波動方程式の初期値問題

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波動方程式の初期値問題

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

現象の数学B L12(2012-01-10 Tue) 今日の目標

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1 振動の初期条件からすばやく任意定数を決めら れるようになろう

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2 波動方程式(+固定境界条件)の一般解を書ける ようになろう

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3 簡単な初期条件の時に霊感で解を見つけられる

ようになろう http://hig3.net

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前回の復習

Quiz略解:波動方程式の固有モード

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1 f⁰⁰(t) =−v²(^3π_L)²f(t).

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2 u(¹₂L, t) =−f(t) であることに注意すると, f(0) =−√

3, f⁰(0) =−^3πv_L .

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3 微分方程式を解くと,f(t) =Acos(^3πv_L t−θ). 初期条件から任意定数 A, θ ^を定めて,f(t) = 2 cos(^3πv_L t− ⁷₆π).

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前回の復習

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問題

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A, θ を定数とするとき,関数 x(t) =Acos(3t−θ) が条件 x(0) = 2√

3,^dx_dt(0) = 6^を満たす. x(t) を求めよう.

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前回の復習

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問題

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A, θ を定数とするとき,関数 x(t) =Acos(2t−θ) が条件 x(0) =√

2,^dx_dt(0) =−2√

6^を満たす. x(t) を求めよう.

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前回の復習

波動方程式の固有モード

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固定境界条件の波動方程式の固有モード

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g^(`)(x, t;θ) =Csin(px) cos(ωt−θ)

p:^波数. p= <sup>`π</sup><sub>L</sub>. `∈Z ^{はモード番号}. ω: 固有周波数.

分散関係

ω =pv で定まる. 比較:連成振動 と 波動

連成振動 波動

波数 p の現れ方 sin(pn) sin(px)

pの値 _N+1^{`π `π}_L

`の範囲 `= 1,2, . . . , N `= 1,2,3, . . . 波数の単位 無次元(radian) radian/m 分散関係 ω= 2

√k

msin(¹₂p) ω=vp

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波動方程式の一般解と初期値境界値問題

固有モードで解はすべて

そんなはずない!

g⁽¹⁾(x, t; 0) = sin(^π_Lx) cos(^πv_Lt),

g⁽²⁾(x, t; 0) = sin(^2π_Lx) cos(

2πv L

t) はともに固有モード,よって解. このとき,

線形結合 u = Ag

+ Bg

も解(一般に解の 線形結合は解)

なぜなら,波動方程式は線形だから.

∂²u

∂t² −v²∂²u

∂x² = (

A∂²g⁽¹⁾

∂t² +B∂²g⁽²⁾

∂t² )

−v² (

A∂²g⁽¹⁾

∂x² +B∂²g⁽²⁾

∂x² )

=A (

∂²g⁽¹⁾

∂t² −v²∂²g⁽¹⁾

∂x² )

+B (

∂²g⁽²⁾

∂t² −v²∂²g⁽²⁾

∂x² )

=A·0 +B·0 = 0

数理モデル基礎の線形常微分方程式のところで聞いたような話…

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波動方程式の一般解と初期値境界値問題 波動方程式の一般解

波動方程式の一般解

つまり,一般解は固有モードの線形結合. 待てFourier級数変換.

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固定境界条件の波動方程式の一般解

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∂²u

∂t²(x, t) =v²∂²u

∂x²(x, t) (0≤x≤L) u(0, t) =u(L, t) = 0 の一般解は,線形結合

u(x, t) =

∑∞

`=1

C<sub>`</sub>g<sup>(`)</sup>(x, t;θ_`) =

∑∞

`=1

C_{`</sub>sin(p<sub>`}x) cos(ω_{`</sub>t−θ<sub>`})

= (cos^{の加法定理}) =

∑∞

`=1

sin(p`x)[A`cos(ω`t) +B`sin(ω`t)]

p`=`π/L,ω`=vp` =`πv/L,`= 1,2,3, . . ..

(C_{`</sub>, θ<sub>`}),(A_{`</sub>, B<sub>`}): ^任意定数

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波動方程式の一般解と初期値境界値問題 波動方程式の一般解

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問題

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波動方程式に従う弦を,下の形でそっと手を放したとき,節(u(x, t) = 0 であるような x)^{はどっちに動く}?

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-2 -1 0 1 2

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1 左に動く

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2 動かない

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3 右に動く

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4 節が2個に分裂して左右に動く

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5 多数の節に分裂して大爆発する

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波動方程式の一般解と初期値境界値問題 波動方程式の初期値境界値問題

霊感解法

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Quiz (

初期値境界値問題

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波動方程式∂²u

∂t²(x, t) =v²∂²u

∂x²(x, t)^を,

固定境界条件 u(0, t) =u(L, t) = 0, 初期条件 u(x,0) =F(x),∂u

∂t(x,0) =G(x) のもとで解け.

一般解は,u(x, t) =

∑∞

`=0

[A_{`</sub>sin(p<sub>`}x) cos(ω_{`</sub>t) +B<sub>`}sin(p_{`</sub>x) sin(ω<sub>`}t)] ^と書 ける. (A`, B`) ^任意定数. ^この時点

で

波動方程式と境界条件

OK

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波動方程式の一般解と初期値境界値問題 波動方程式の初期値境界値問題

ここからが霊感解法

霊感で A1 = 3, A2 = 9, A3= 370, . . . , B1= 0, B2= 2, . . . ^{などとうまく} 決めて,

u(x, t) =

∑∞

`=0

[A`sin(p`x) cos(ω`t) +B`sin(p`x) sin(ω`t)]

が初期条件

u(x,0) =F(x), ∂u

∂t(x,0) =G(x) を満たすようにする. そうできれば,それが求める解.

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波動方程式の一般解と初期値境界値問題 波動方程式の初期値境界値問題

もっと説得力のある霊感解法

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Quiz

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固定境界条件の波動方程式 ^∂2u

∂t²(x, t) =v^2∂_∂x^2u2(x, t)^を,^{次の初期条件のも} とで解け.

u(x,0) =−2 sin(^π_Lx), ^∂u_∂t(x,0) = 3 sin(_L^πx).

のお告げ: A2 =A3=· · ·= 0, B2 =B3=· · ·= 0. A1=?,B1 =?

u(x, t) = sin(^π_Lx)[A1cos(^πv_Lt) +B1sin(^πv_Lt)] ^とおくと

∂u

∂t(x, t) = sin(^π_Lx)[−A1πv

L sin(^πv_Lt) +^πv_LB1cos(^πv_Lt)]

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波動方程式の一般解と初期値境界値問題 波動方程式の初期値境界値問題

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問題

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固定境界条件(u(0, t) =u(L, t) = 0)の波動方程式を,次の初期条件のも とで解こう.

u(x,0) =−2 sin(^π_Lx)−3 sin(^2π_Lx), ^∂u_∂t(x,0) = 0.

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波動方程式の一般解と初期値境界値問題 波動方程式の初期値境界値問題

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問題

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固定境界条件 u(0, t) =u(L, t) = 0を課した波動方程式

∂²u

∂t² =v²∂²u

∂x²(x, t)

の固有モードを g<sup>(`)</sup>(x, t;θ)とする(`= 1,2,3, . . .). 解になってないのは どれ?

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1 g⁽¹⁾(x, t; 0)−g⁽²⁾(x, t;π)

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2 g⁽²⁾(x, t; 0)×g⁽³⁾(x, t;π)

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3 1−2g⁽¹⁾(x, t; 0)

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4 −5g⁽¹⁾(x, t;π)

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5 (g⁽¹⁾(x, t; 0))²

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波動方程式の一般解と初期値境界値問題 固有モードの直交関係

霊感解法卒業前夜

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∫ _π

0

sinnθsinmθdθ= ^π₂δnm= ^π₂ ×

{1 (n=m) 0 (n6=m) クロネッカーのδ記号

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波動方程式の一般解と初期値境界値問題 固有モードの直交関係

変数変換 θ= ^π_Lx

2 L

∫

0

sin

x sin

x dx

=δ_nm

h √

2

L

sin nx i

は正規直交基底.

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波動方程式の一般解と初期値境界値問題 固有モードの直交関係

今日の範囲に対応する教科書のお奨め問題 Fourier^{級数変換¨}_§^小形§4.3^¥_¦,^自由端¨_§^小形p.75-78)^¥_¦

初期値問題^¨

§

¥

小形 例題4.3(p.72)¦

Fourier^{級数展開 ¨}_§^{小形 第}4章演習問題[1](p81),[6][8](p.82)^¥_¦

予習復習問題明日水曜日の昼にはeラーニングシステムで公開するので やってね〜締切は月曜夜.

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問題

波動の初期値境界値問題

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固定境界条件(u(0, t) =u(L, t) = 0)^{の波動方程式を},^{次の初期条件のも} とで解こう.

u(x,0) =−2 sin(^π_Lx), ^∂u_∂t(x,0) =−3 sin(^2π_Lx).

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