KdV
方程式の初期値問題A03SA018
野津 章弘2007 2 16
1 KdV
方程式とは運河など広くて浅い川の水面において観察される、形を変えることなく進行していく波
(
浅水波)
の波形が満たす非線形微分方程式であり、次の式で与えられる。u t − 6uu x + u xxx = 0 (1)
ここで
u(x, t)
は位置x
、時刻t
における波の高さとする。2 KdV
方程式の初期値問題KdV
方程式は非線形であるので簡単には解けないが、以下では初期値u(x, 0)
をt = 0
での解に持つようなKdV
方程式の解u(x, t)
を構成する。3
解の構成の手順初期値
Schr odinger ¨
方程式−−−−−−−−−−−−−−→
散乱データu(x, 0) ←−−−−−−−−−−−−−−
GL
方程式{η j , c j }
? ?
解
GL
方程式←−−−−−−−−−−−−−−
時刻t
での散乱データu(x, t) {η j (t), c j (t)}
時刻
t
での散乱データ{η j (t), c j (t)}
は、η j (t) = η j , c j (t) = c j e 8η
j3t (2)
としておき、この散乱データから解
u(x, t)
を求めるには、u(x, t) = −2 d 2
dx 2 log∆(x) (3)
とする。ここで
∆(x, t)
は次のような散乱データから決まる行列式∆(x, t) = det(δ jk + c j (t)e −(η
j(t)+η
k(t))x
η j (t) + η k (t) ) (4)
である。
4
散乱の直接問題u(x) = u(x, 0)
はZ ∞
−∞
(1 + |x|)|u(x)|dx < ∞ (5)
を満たすとする。この時
Schr¨odinger
方程式−f 00 (x, ζ) + u(x)f (x, ζ) = ζ 2 f (x, ζ) (ζ ∈ C) (6)
の解f (x, ζ)
のうちでx → ∞
でe iζx
とふるまうものは、積分核K (x, t)
を用いて次のよ うに表される。f (x, ζ) = e iζx (1 +
Z ∞
0
K (x, t)e 2iζt dt) (7)
ここで、積分核
K (x, t)
は次の積分方程式を満たす。K(x, t) =
Z ∞
x+t
u(s)ds + Z t
0
{ Z ∞
x+t−s
u(τ )K (τ, s)dτ }ds (8)
このような解を右
Jost
解という。同様にx → −∞
でe −ıζx
とふるまう解を左Jost
解と いい、それぞれf + , f −
とあらわす。この時、
f +
とf −
のWronski
行列式f + 0 f − − f + f − 0 (9)
の零点となるような
ζ = C
、Imζ > 0
は有限個ですべて純虚数であることが分かる。そ れらをiη 1 , iη 2 , · · · , iη n
とする。つまりζ = iη j
の時、f +
とf −
は一次従属でx → ±
で 指数関数的に減少し、2
乗可積分となる。よって次のようにc j
を定義する。c j = ( Z ∞
−∞
f (x, iη j ) 2 dx) −1 (10)
以上のように定まる
2n
個の正の実数{η j , c j
(j = 1, 2, · · · )} (11)
を散乱データと呼ぶ。
5
散乱の逆問題積分核
K (x, t)
は次のGelfand-Levitan
方程式K (x, t) + F (x + t) +
Z ∞
0
F (x + t + s)K (x, s)ds = 0 (t > 0) (12)
を満たす。ここで
F (x) = 2 X n
j=1
c j e −2η
jx (13)
とする。逆に与えられた
2n
個の正の実数{η j , c j (j = 1, 2, · · · , n)}
に対し、K (x, t)
を次 のようにおく。K(x, t) = X n j=1
f j (x)e −2η
jt (14)
これらを
(12)
に代入すると、次の連立1
次方程式を得る。c −1 j f j (x) + e −2η
jx X n
k=1
1
η j + η k f k (x) = −2 (j = 1, 2, · · · , n) (15)
この方程式の解
f j (x)
は、f j (x) = 2 ∆ j (x)
∆(x)
(16)
と表せる。ここで、
∆ j (x)
は∆(x)
のj
列を微分で置き換えたものである。この時u(x) := − ∂K
∂x (x, 0) = − X n
j=1
f j 0 (x) = −2 d 2
dx 2 log∆(x) (17)
とおくと、
u(x)
の散乱データは{η j , c j (j = 1, 2, · · · , n)}
に一致する。よって散乱データ からKdV
方程式の解を構成できる。6
具体例では実際に
{η j , c j }
を具体的に考えて解を作ってみる。1. 1
ソリトン解η = 1 , c = 2 (18)
とすると、
∆(x, t) = 1 + e −2(x−4t) (19)
なので、
u(x, 0) = −2sech 2 x
u(x, t) = −2sech 2 (x − 4t) (20)
となる。この
u(x, t)
のふるまいは次のようになる。-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 u 0.5
1 1.5 2 2.5 x
図
1 u(x, 0)
：1
つの波0.5
1
1.5
2
2.5
x
2.2
ソリトン解η 1 = 1 , η 2 = 2
c 1 = 6 , c 2 = 12 (21)
とすると、
∆(x, t) = 1 + 3e −2(x−4t) + 3e −4(x−16t) + e −6(x−12t) (22)
なので、
u(x, 0) = −6sech 2 x
u(x, t) = −12 3 + 4 cosh{2(x − 4t)} + cosh{4(x − 16t)}
(3 cosh(x − 28t) + cosh{3(x − 12t)}) 2
(23)
となる。このときの
u(x, t)
は次のようになる。-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 u 1
2 3 4 5 6 7 8 x
図
