波動方程式の初期値問題のフーリエ級数展開による解法

(1)

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波動方程式の初期値問題のフーリエ級数展開による解法

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

現象の数学B L13(2012-01-17 Tue)

今日の目標

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1 フーリエ級数展開を用いて初期条件を満たす解を見つけられるようになろう

http://hig3.net

樋口さぶろお (数理情報学科) L13波動方程式の初期値問題のフーリエ級数展開による解法現象の数学B(2011) 1 / 18

(2)

前回の復習

Quiz略解:振動の初期条件 x(t) = 4 cos(3t−¹₆π) = 2√

3 cos(3t) + 2 sin(3t).

Quiz略解:振動の初期条件 x(t) = 2√

2 cos(2t−⁵₃π) =√

2 cos(2t)−√

6 sin(2t).

Quiz^略解:波動の初期値境界値問題固定境界条件のもとでの波動方程式の一般解は

u(x, t) =

∑∞

`=1

sin(^`π_Lx)[A_`cos(^`πv_L t) +B_`sin(^`πv_L t)]

初期条件はモード `= 1,2 ^{だけを含むので}, A₃=A₄=· · ·=B₃ =B₄ =· · ·= 0 として,

u(x, t) =

∑2

`=1

(3)

前回の復習

とおいてみる.

∂u

∂t(x, t) =

∑2

`=1

sin(^`π_Lx)`πv

L [−A_`sin(^`πv_L t) +B_`cos(^`πv_L t)].

u(x,0) =

∑2

`=1

A_`sin(^`π_Lx) =−2 sin(^π_Lx)−3 sin(^2π_Lx)

∂u

∂t(x,0) =

∑2

`=1

`πv

L B_`sin(^`π_Lx) = 0

よって,B1 =B2 = 0,A1=−2, A2 =−3とすると初期条件が満たされる.

条件を満たす解は

u(x, t) =−2 sin(_L^πx) cos(^πv_Lt)−3 sin(^2π_Lx) cos(^2πv_L t).

(4)

前回の復習

見通しのよい人は,初期条件の時間微分がzeroであることから B_`= 0 を見抜くでしょう.

Quiz^略解:波動の初期値境界値問題固定境界条件のもとでの波動方程式の一般解は

u(x, t) =

∑∞

`=1

初期条件はモード `= 1,2 ^{だけを含むので}, A₃=A₄=· · ·=B₃ =B₄ =· · ·= 0 として,

u(x, t) =

∑2

`=1

とおいてみる.

∂u

∂t(x, t) =

∑2

`=1

sin(^`π_Lx)`πv

L [−A_`sin(^`πv_L t) +B_`cos(^`πv_L t)].

(5)

前回の復習

u(x,0) =

∑2

`=1

A_`sin(^`π_Lx) =−2 sin(_L^πx)

∂u

∂t(x,0) =

∑2

`=1

`πv

L B`sin(^`π_Lx) =−3 sin(^2π_Lx)

よって,A₂ =B₁ = 0,A₁=−2, B₂ =−_2πv^3L とすると初期条件が満たされる.

条件を満たす解は

u(x, t) =−2 sin(_L^πx) cos(^πv_Lt)−_2πv^3L sin(^2π_Lx) sin(^2πv_L t).

(6)

フーリエ級数変換固有モードの直交関係

霊感解法卒業前夜

`, m= 1,2,3, . . ..

.

.. .

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∫ _π

0

sin`θsinmθdθ= ^π₂δ_`m = ^π₂ × {

1 (`=m) 0 (`6=m) クロネッカーのδ記号

(7)

変数変換 θ= ^π_Lx ^により,

2 L

∫

L

0

sin

^`π_L

x sin

^mπ_L

x dx

=δ_`m. he_`(x)i`=1,2,3,··· は‘正規直交基底’.

e

_`

(x) =

√

2

L

sin

^`π_L

x

(8)

もうちょっと練習.

θⁿsinθ ^{の不定積分}

¶ ³

∫

sinθdθ=−cosθ

∫

θsinθdθ=−θcosθ+ sinθ

∫

θ²sinθdθ=(2−θ²) cosθ+ 2θsinθ ...

µ ´

これは,部分積分を繰り返して証明できる.

じゃあ ∫ _L

0

x²sin^`π_Lxdx=

?

(9)

∫

L 0

x

²

sin

^`π_L

x dx = − 2L

³

`

³

π

³

(1 − ( − 1)

^`

)+ L

³

( − 1)

^`

`π

(10)

霊感解法卒業

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フーリエ級数変換による解法

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.. .

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固定境界条件の波動方程式を,次の初期条件のもとで解け. u(x,0) = 1−cos(^2π_Lx), ^∂u_∂t(x,0) = 0.

一般解は,

u(x, t) =

∑∞

`=1

=A₁sin(^1π_Lx) cos(^1πv_L t) +A₂sin(^2π_Lx) cos(^2πv_L t) +· · ·+ [B] u(x,0) =

∂u

∂t(x,0) =

境界条件から A_`, B_` を定めよう. 霊感がないので,両辺に

∫

L

0

dx e

_m

(x) ×

(11)

(12)

A

_m

=

_π¹

(1 − ( − 1)

^m

)(

_m²

−

_m+2¹

−

_m¹₋₂

), B

_m

=

0.

(13)

フーリエ級数変換 Quiz

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三角関数の正規直交関係

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.. .

.

e_`(x) =

√2

Lsin^`π_Lx に対して

∫ _L

0

e_`(x)e_m(x) dx=δ_`m = {

0 (`6=m) 1 (`=m)

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フーリエ級数展開

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.. .

. .

f(x) =

∑∞

`=1

c_`e_`(x),という展開をフーリエ級数展開という. 両辺に

∫ _L

0

dx em(x)×^{することで},cm =

∫ _L

0

em(x)f(x) dx^{と求められ} る(^{フーリエ級数変換})

(14)

どっかでみたことない

? ベクトルu=

(₁

23

) とする.

正規直交基底

e₁= ¹₂ (_√₁

2 1

)

,e₂ = √¹ 2

( ₁

−01

)

,e₃= ¹₂ ( ₁

−√ 2 1

) をとるとき,

c1e1+c2e2+c3e3 =u となるように係数 c₁, c₂, c₃ を決めよう.

霊感解法 c1, c2, c3 を適当にきめてあうかどうかやってみる.

ちょっと進歩した霊感解法各成分で,c₁, c₂, c₃ についての連立方程式をたててとく(先週の方法)

フーリエ級数変換 ci=ei·u(^{今週の方法}) he`(x)i`=1,2,3,···,e`(x) =

√2

Lsin^`π_Lx は関数からなるベクトル空間の‘^正規直交基底’.

関数の間の内積は

f ·g=

∫ _L

0

f(x)g(x) dx

(15)

.

問題(正規直交基底での展開)

.

.. .

.

u= (₁

02

)のときに内積を使って c1, c2, c3 を求めよう.

(16)

.

問題(波動方程式の初期値問題)

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.. .

.

区間 (0, L) で,波動方程式

∂²u

∂t²(x, t) =v²∂²u

∂x²(x, t) を考える(L, v >0は定数).

固定境界条件 u(0, t) =u(L, t) = 0, 初期条件u(x,0) =x²−Lx,^∂u_∂t(x,0) = 0

のもとで解を求めよう. ただし,解は固有モードの和として書けばいい. しかも上で出てきた公式はぜんぶ使っちゃっていい.

Hint:

∫_L

0

√2

Lsin^`π_Lx×(−Lx) dx ってさっきの公式で計算できる…

(17)

ファイナルトライアル計画

!

.

外部記憶ペーパーあり. 別紙参照. 出題計画2012-01-24に情報を更新します.

基準座標を利用して2物体の連成振動の運動を求めよう(プチテスト再出題)

固有周波数と固有モードを利用して2物体の連成振動の運動を求めよう(プチテスト再出題)

3物体の連成振動の固有周波数と固有モードを求めよう(L08)公式使用不可.行列の固有値と固有ベクトル求める方法で.

うなりのx(t)のグラフを描こう(L08)

N物体の固有周波数と固有モードと波数を求めよう(L09)外部記憶ペーパーに書いておいた公式使用可.

波動方程式の直観的意味(L10)

波動方程式の固有モード,分散関係(L11) 波動方程式の初期値問題の霊感解法(L12) フーリエ級数変換を利用した初期値問題の解(L13) ダランベールの進行波解(L14)

(18)

おすすめのファイナルトライアル準備方法

去年のファイナルトライアルの問題と略解は公開してるけど,^{それより下} のリストに従って各回のquizを復習しておくことをお奨めします. 模範解答を作ろうプロジェクトもやってます.

今日の範囲に対応する教科書のお奨め問題フーリエ級数変換 ^¨_§小形§4.3^¥_¦

初期値問題^¨_§小形例題4.3(p.72)^¥_¦

フーリエ級数展開 ^¨_§小形第4章演習問題[1](p81),[6][8](p.82)^¥_¦

補講

2012-01-24^火3^教室は1-107 欠席届

公務欠席届の提出機会は,今日の講義前後,来週の講義前後,ファイナルトライアルの講義前後,^{だけに限られます}. まだ提出していない分がある人は用意しておいてね.