2010年度「数学3」 −42−
< 1 階微分方程式の初期値問題 >
例題 次の微分方程式を以下の初期条件の下で解け。
(1) ( dy
dt = 6 − 10t t = 0
のときy = 20
(2) ( dy
dt = − 2y
t = 0
のときy = 5
(3) ( dy
dt + 2y = − 5 t = 0
のときy = 4
(
解) (1)
求積法よりy = Z
(6 − 10t)dt = 6t − 5t
2+ C
初期条件より
t = 0
のときy = C = 20 (答) y = 6t − 5t
2+ 20
(2) 23
ページと同様にして一般解はy = Ce
−2t初期条件より
t = 0
のときy = Ce
0= C = 5 (
答) y = 5e
−2t(3) 29
ページと同様に考える。同次方程式dy
dt
+ 2y = 0
の一般解はCe
−2tだからy = C(t)e
−2t とおくdy
dt + 2y = C
0(t)e
−2t= − 5
よりC(t) = Z
( − 5e
2t)dt = − 5 2 e
2t+ C
となる。よって(3)
の一般解はy = µ
− 5 2 e
2t+ C
¶
e
−2t= − 5
2 + Ce
−2tとなる。初期条件より
t = 0
のときy = − 5
2 + Ce
0= − 5
2 + C = 4
よりC = 13 2 (
答) y = − 5
2 + 13 2 e
−2t問 次の微分方程式を以下の初期条件の下で解け。
