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< 2 階微分方程式の初期値問題 1 >

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(1)

2010年度「数学3」

−43−

< 2 階微分方程式の初期値問題 1 >

例

1

微分方程式

(1) d

2

y dt

2

= − 10

の一般解は

(2) y = − 5t

2

+ C

1

t + C

2

(C

1，C2は任意定数) である。ここで初期条件

(3) y(0) = 3 , y

0

(0) = 4

があれば

y(t) = − 5t

2

+ C

1

t + C

2

, y

0

(t) = − 10t + C

1 より

y(0) = C

2

= 3 , y

0

(0) = C

1

= 4

となるから

y = − 5t

2

+ 4t + 3

が

(3)

をみたす

(1)

の解である。

例

2 (4) d

2

y dt

2

− 5 dy

dt + 6y = 0

の一般解は

(5) y = C

1

e

2t

+ C

2

e

3t

(C

1，C2は任意定数) である。ここで初期条件

(6) y(0) = 5 , y

0

(0) = 7

があれば

y(t) = C

1

e

2t

+ C

2

e

3t

, y

0

(t) = 2C

1

e

2t

+ 3C

2

e

3t より

y(0) = C

1

+ C

2

= 5

y

0

(0) = 2C

1

+ 3C

2

= 7

⎫ ⎪

⎬

⎪ ⎭ ⇒ C

1

= 8 , C

2

= − 3

となるから

y = 8e

2t

− 3e

3t

が

(6)

をみたす

(4)

の解である。

問 次の微分方程式を以下の初期値条件のもとで解け。

(1) ( d

2

y

dt

2

= 8

y(0) = 7 , y

0

(0) = 6

(2) ( d

2

y

dt

2

− 4 dy

dt − 5y = 0

y(0) = 7 , y

0

(0) = 8

参照

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