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< 2 階微分方程式の初期値問題 2 >

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Academic year: 2021

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(1)

2010年度「数学3」 −44−

< 2 階微分方程式の初期値問題 2 >

例

1 (1)

⎧ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩ d

2

y

dt

2

+ 9y = 0 y(0) = 4 , y

0

(0) = 5

(

解

) (1)

の一般解は

y(t) = C

1

cos(3t) + C

2

sin(3t)

である。

y

0

(t) = − 3C

1

sin(3t) + 3C

2

cos(3t)

で初期条件より

y(0) = C

1

= 4 , y

0

(0) = 3C

2

= 5 ⇒ C

2

= 5

3 (

答

) y(t) = 4 cos(3t) + 5

3 sin(3t)

例

2 (2)

⎧ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩ d

2

y

dt

2

− 4 dy

dt + 13y = 0 y(0) = 4 , y

0

(0) = 5

(

解

) (2)

の特性方程式は

λ

2

− 4λ + 13 = (λ − 2)

2

+ 9 = 0 ⇒ λ = 2 ± 3i

だから，

(2)

の一般解は

y(t) = C

1

e

2t

cos(3t) + C

2

e

2t

sin(3t)

である。導関数は積の微分公式より

y

0

(t) = 2C

1

e

2t

cos(3t) − 3C

1

e

2t

sin(3t) + 2C

2

e

2t

sin(3t) + 3C

2

e

2t

cos(3t)

= (2C

1

+ 3C

2

)e

2t

cos(3t) + ( − 3C

1

+ 2C

2

)e

2t

sin(3t)

となる。初期条件より

y(0) = C

1

= 4 , y

0

(0) = 2C

1

+ 3C

2

= 5 ⇒ C

2

= 1

3 (5 − 2C

1

) = − 1 (

答

) y(t) = 4e

2t

cos(3t) − e

2t

sin(3t)

問 次の微分方程式を以下の初期条件のもとで解け。

(1)

⎧ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩ d

2

y

dt

2

+ 16y = 0 y(0) = 5 , y

0

(0) = 6

(2)

⎧ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩ d

2

y

dt

2

− 6 dy

dt + 13y = 0

y(0) = 7 , y

0

(0) = 8

参照

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