数学Ⅰ 第１章 数と式

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数学Ⅰ 第１章 数と式

第１節 式の計算

１限目 Ｐ ６～Ｐ ９ 整式の加法と減法 ２限目 Ｐ１０～Ｐ１１ 整式の乗法（１）

３限目 Ｐ１２～Ｐ１４ 整式の乗法（２）展開の公式 ４限目 Ｐ１５～Ｐ１７ 因数分解（１）

５限目 Ｐ１８～Ｐ２０ 因数分解（２）

６限目 Ｐ２１～Ｐ２２ ３次式の展開と因数分解 ７限目 Ｐ２３ 補充問題

第２節 実数

１限目 Ｐ２４～Ｐ２７ 実数と絶対値

２限目 Ｐ２８～Ｐ３０ 根号を含む式の計算 ３限目 Ｐ３１～Ｐ３２ 分母の有理化，２重根号 ４限目 Ｐ３３ 補充問題

第３節 １次不等式

１限目 Ｐ３４～Ｐ３７ 不等式の性質 ２限目 Ｐ３８～Ｐ４０ １次不等式 ３限目 Ｐ４１～Ｐ４３ 連立不等式

４限目 Ｐ４４～Ｐ４５ 絶対値を含む方程式・不等式 ５限目 Ｐ４６ 補充問題

６限目 Ｐ４７ 章末問題Ａ ７限目 Ｐ４８ 章末問題Ｂ

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第１章 数と式 練習問題 解答（第１節）

練習１

（１）6x² の係数は６，次数は２

（２）x の係数は１，次数は１

（３）−x²y² の係数は－１，次数は４

（４）−3abc の係数は－３，次数は３

練習２

（１）2ax^{3 は}x ^{について，係数は}2a，次数は３

（２）3a²x はa ^{について，係数は}3x，次数は２

（３）−6ax²y はxとy について，係数は−6a，次数は３

練習３

（１）4x²+3x−1−2x²−4x+6＝2x²−x+5

（２）3a²−2ab−4b²−5a²+2ab−8b²＝−2a² −12b²

練習４

（１）x³+4x² −5 はx の３次式

（２）1+6a−8a²−3a^{4 は}a の４次式

練習５

ax³−x²y+by²+c ^はx の３次式，y の２次式

練習６

（１）(a+2)x+(4a² −3a) （２）x²+(3y−1)x+(2y²−3y−2)

練習７

（１）Ａ＝2x² +3x−1，Ｂ＝4x²−5x−6 のとき，

Ａ＋Ｂ＝6x² −2x−7^{， Ａ－Ｂ＝}−2x² +8x+5

（２）Ａ＝4x³−3x²−2x+5，Ｂ＝2x³−3x²+7 のとき，

Ａ＋Ｂ＝6x³−6x²−2x+12， Ａ－Ｂ＝2x³ −2x−2

練習８

Ａ＝x² +4x−3，Ｂ＝2x²−x+4 のとき，

（１）Ａ＋２Ｂ＝(x²+4x−3)+2(2x²−x+4) ＝5x² +2x+5

（２）２Ａ－３Ｂ＝2(x²+4x−3)−3(2x²−x+4) ＝−4x²+11x−18

- 3 - 練習９

（１）2a³4a^2＝8a⁵ （２）a²(−3a)^＝−3a³

（３）4ab²b^4＝4ab⁶ （４）3x²y(−2x³y²)^＝−6x⁵y³

（５）(−a²b³)^2＝a⁴b⁶ （６）(−3x²y)^3＝−27x⁶y³

※ （２）や（４）のように，先頭がマイナスの単項式をかけるときは，必ず（ ）でくくる。

a²−3a ^や，3x²y−2x³y^{2 などは，}×

練習１０

（１）4x²(2x²−3x+5)^＝8x⁴−12x³+20x²

（２）(3a²−a−2)(−2a)^＝−6a³+2a²+4a

練習１１

（１）(2x−1)(4x² +3)^＝(8x³+6x²)−(4x² +3) ^{←マイナス付きの（} ）をはずすとき注意！

＝8x³−4x²+6x−3

（２）(2x²+x−3)(x−2)^＝(2x³+x²−3x)−(4x²+2x−6) ＝2x³−3x²−5x+6

（３）(x+3)(x²−2x+1)＝(x³−2x²+x)+(3x²−6x+3) ＝x³+x²−5x+3

（４）(2x+1)(3x² +x−2)^＝(6x³+2x²−4x)+(3x²+x−2) ＝6x³+5x²−3x−2

練習１２

（１）(2x+5)²＝4x²+20x+25 （２）(2x−3y)²＝4x² −12xy+9y²

（３）(5x+4y)(5x−4y)＝25x² −16y^{2 （４）}(x+1)(x+5)＝x² +6x+5

（５）(x−3)(x+8)^＝x² +5x−24 （６）(x−2)(x−4)^＝x²−6x+8

（７）(x+2y)(x+5y)＝x² +7xy+10y^{2 （８）}(x+ y)(x−4y)＝x² −3xy−4y²

（９）(x−2a)(x−7a)＝x²−9ax+14a²

練習１３

（１）(2x+1)(4x+5)＝8x² +14x+5 （２）(x+4)(2x−3)＝2x² +5x−12

（３）(3x−7)(x+2)^＝3x² −x−14 （４）(2x−5)(2x−1)^＝4x² −12x+5

（５）(x+2y)(3x− y)＝3x² +5xy−2y² （６）(3x−2a)(4x−3a)＝12x² −17ax+6a² 練習１４

（１）(3a−b+2)(3a−b−2)＝{(3a−b)−2}{(3a−b)+2}＝(3a−b)² −4 ＝9a²−6ab+b²−4

（２）(x−y+3)(x−y−2)＝{(x−y)+3}{(x−y)−2}＝(x−y)²+(x−y)−6 ＝x² −2xy+y² +x− y−6

- 4 - 練習１５

(x² +x+1)(x² −x+1)^＝{(x²+1)+x}{(x²+1)−x}^＝(x² +1)² −x² ＝x⁴+x² +1

練習１６

（１）(a+b−c)^2＝a²+b²+c² =2ab−2bc−2ca ← a，b，c ３文字の輪環の順

（２）(x+2y+3z)^2＝x²+4y²+9z²+4xy+12yz+6zx ← x，y，z ３文字の輪環の順 練習１７

（１）(x+1)²(x−1)^2＝(x²−1)^2＝x⁴ −2x² +1

（２）(x² +1)(x+1)(x−1)＝(x² +1)(x²−1)＝x⁴−1

練習１８

（１）3ab−2ac^＝a(3b−2c)

（２）12x³ −8x²y^＝4x²(3x−2y)

（３）3a²x+6ax² +ax＝ax(3a+6x+1) 練習１９

（１）(a+b)c+d(a+b)^＝(a+b)(c+d)

（２）(a−2b)x+(2b−a)y＝(a−2b)x−(a−2b)y＝(a−2b)(x−y)

練習２０

（１）x²+10x+25＝(x+5)² （２）x² −12x+36＝(x−6)²

（３）x² +6xy+9y²＝(x+3y)² （４）4a²−4ab+b²＝(2a−b)²

（５）x² −9y²＝(x+3y)(x−3y) （６）16a² −25b²＝(4a+5b)(4a−5b)

練習２１

（１）x² +8x+12＝(x+2)(x+6) （２）x² −7x+12＝(x−3)(x−4)

（３）x² +2x−8＝(x+4)(x−2) （４）x² −5x−6＝(x+1)(x−6)

（５）a² −13a+36＝(a−4)(a−9) （６）y² −y−20＝(y+4)(y−5)

練習２２

（１）x² +5xy+6y^2＝(x+2y)(x+3y) （２）x² −6xy+8y^2＝(x−2y)(x−4y)

（３）x² +7ax−18a^2＝(x+9a)(x−2a) ^（４）x²−ax−12a^2＝(x+3a)(x−4a) 練習２３

（１）3x² +7x+2^＝(3x+1)(x+2) ３ １ １ １ ２ ６

（２）2x² +9x+10＝(2x+5)(x+2) ２ ５ ５ １ ２ ４

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（３）2x² −7x+6＝(2x−3)(x−2) ２ －３ －３ １ －２ －４

（４）4x² +8x−21^＝(2x−3)(2x+7) ２ －３ －６

２ ７ １４

（５）6x²−13x−15^＝(6x+5)(x−3) ６ ５ ５ １ －３ －１８

（６）2y² −11y+12＝(2y−3)(y−4) ２ －３ －３

１ －４ －８

（７）3x²+5ax−2a^2＝(3x−a)(x+2a) ^{３ －１} －１ １ ２ ６

（８）6x²−7ax−3a^2＝(2x−3a)(3x+a) ２ －３ －９

３ １ ２

（９）4x² +13xy−35y²＝(4x−7y)(x+5y) ４ －７ －７ １ ５ ２０ 練習２４

（１）(x−y)² −5(x−y)+6^＝{(x−y)−2}{(x−y)−3} ＝(x−y−2)(x−y−3)

（２）2(x+y)²−(x+y)−1＝{2(x+ y)+1}{(x+ y)−1} ２ １ １ ＝(2x+2y+1)(x+y−1) １ －１ －２ 練習２５

（１）x⁴−8x²−9^＝(x²−9)(x² +1)^＝(x−3)(x+3)(x² +1)

（２）x⁴−16^＝(x² −4)(x² +4)^＝(x−2)(x+2)(x²+4)

練習２６

（１）x²+xy−4x− y+3^＝(x² −4x+3)+(x−1)y ^{←次数の低い文字}yについて整理する。

＝(x−1)(x−3)+(x−1)y ＝(x−1){(x−3)+ y}

＝(x−1)(x+ y−3)

（２）x²+3ax−9a−9＝(x²−9)+3a(x−3) ←次数の低い文字aについて整理する。

＝(x−3)(x+3)+3a(x−3) ＝(x−3){(x+3)+3a} ＝(x−3)(x+3a+3)

練習２７ 重要 ←x^，yの次数が同じ場合，文字xについて降べきの順に整理する。

（１）x²+2xy+ y²−5x−5y+6＝x²+(2y−5)x+(y²−5y+6) ＝x²+(2y−5)x+(y−2)(y−3) ＝{x+(y−2)}{x+(y−3)} ＝(x+y−2)(x+y−3)

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（２）x²−3xy+2y²+x+y−6＝x²−(3y−1)x+(2y²+y−6) ２ －３ －３ ＝x²−(3y−1)x+(2y−3)(y+2) ^{１ ２} ４ ＝{x−(2y−3)}{x−(y+2)} ^１ −(2y−3) −2y+3

＝(x−2y+3)(x−y−2) １ −(y+2) − y−2

（３）3x²+4xy+ y²+7x+ y−6^＝3x²+(4y+7)x+(y²+y−6) ＝3x²+(4y+7)x+(y+3)(y−2)

＝{3x+(y−2)}{x+(y+3)} ^３ (y−2) y−2 ＝(3x+y−2)(x+y+3) ^１ (y+3) 3y+9

（４）2x² +5xy+2y² −x+ y−1＝2x²+(5y−1)x+(2y²+y−1) ２ －１ －１ ＝2x²+(5y−1)x+(2y−1)(y+1) ^{１ １} ２ ＝{2x+(y+1)}{x+(2y−1)} ２ (y+1) y+1 ＝(2x+y+1)(x+2y−1) ^１ (2y−1) 4y−2

重要 ２次の因数分解公式

● a² +2ab+b²＝(a+b)² ● a² −b²＝(a+b)(a−b)

● a² −2ab+b²＝(a−b)² ● x² +(a+b)x+ab＝(x+a)(x+b)

重要 ２次の因数分解公式（たすき掛け） a b b c ● acx² +(ad+bc)x+bd＝(ax+b)(cx+d) c d a d

発展 練習１

（１）(x+2)^3＝x³+6x²+12x+8 ^（２）(x−1)^3＝x³−3x²+3x−1

（３）(3a+b)^3＝27a³+27a²b+9ab²+b^{3 （４）}(x−2y)^3＝x³−6x²y+12xy²−8y³

発展 練習２

（１）(x+2)(x²−2x+4)^＝x³+8

（２）(x−3y)(x² +3xy+9y²)^＝x³−27y³

発展 練習３

（１）x³+27^＝(x+3)(x² −3x+9)

（２）x³−1＝(x−1)(x² +x+1)

（３）125x³+a^3＝(5x+a)(25x² −5ax+a²)

重要 ３次の因数分解公式

● a³+3a²b+3ab² +b^3＝(a+b)³ ● a³ +b^3＝(a+b)(a² −ab+b²)

● a³−3a²b+3ab² −b³＝(a−b)³ ● a³−b³＝(a−b)(a² +ab+b²)