レポート 問題４（１９９９年度数学基礎
III
）工学部８・９ （木曜４限）
１９９９年１２月９日 問題１
次の関数が極値をとる点を求めよ.
1. f (x, y) = x
3+ y
3− 3xy.
2. f (x, y) = (x + y)e
−xy. 3. f (x, y) = xy(a − x − y).
4. f (x, y, z) = x
2− y
2+ z
2. 5. f (x, y, z) = x
2+ y
2− z
2.
6. f (x, y, z, w) = x
2+ y
2+ z
2− w
2. 7. f (x, y, z, w) = x
2+ y
2− z
2− w
2. 8. f (x, y, z, w) = x
2− y
2− z
2− w
2. 9. f (x, y) = x
4+ y
4− a(x
2+ y
2) − 4xy.
問題２
次の条件付き極値問題の解を求めよ.
1. x
2+ y
2= 1
の元でのf(x, y) = xy.
2. x
2+ y
2+ z
2= 1
の元でのf (x, y, z) = xyz.
3. x
2+ y
2+ z
2= 1
の元でのf (x, y, z) = 4x + 3y + 2z.
4. x
2+ y
2= 1
の元でのf(x, y, z) = 3x
2+ 2xy + y
2.
問題３与えられた点を通る直線のうち,原点からの距離が最大となるものを求めよ. さらに,一般にこの問題の次 元を上げると結果はどうなるかを考察せよ.
問題４
楕円の長軸上の定点と楕円上の点との最大値を求めよ.
問題５
a, b, c
を0
でない実数としたとき,曲面 xa22+
yb22+
zc22= 1
は楕円面と呼ばれる. 楕円面の直交する３接平 面の交点の軌跡を求めよ. さらに,一般にこの問題の次元を上げると結果はどうなるかを考察せよ.レポート の提出について.
このレポートは１９９９年１２月１６日の講義終了時に提出すること.
