レポート 問題３解答（１９９９年度数学基礎
III
）工学部８・９ （木曜４限）
１９９９年１１月２５日
問題１
次のそれぞれの条件を満たす滑らかな２変数関数はどんなものか？
1.Dxf−Dyf = 0.
2.Dxf+Dyf = 0.
3.DxDyf = 0.
略解
1.t=x+y,s=x−yと置き換えると,Dt=Dx+Dy,Ds=Dx−Dy となる. よって, (Dx−Dy)f = 0 ならば,ある１変数関数gが存在して,f(x, y) =g(x−y)とかける.
2.同様にf(x, y) =g(x+y).
3.f(x, y) =g(x) +h(y).
問題２
1.f(x, y, z) =xy に対して,Dxf,Dyf を求めよ.
2.f(x, y, z) =xyz に対して,Dxf,Dyf,Dzf を求めよ.
略解 1.
Dxf =xy−1y, Dyf =xylogx.
2.
Dxf =yzxyz−1, Dyf =zyz−1xyzlogx Dzf =xyzyzlogxlogz.
問題３
R3内の曲面xyz=a3上の任意の点(x0, y0, z0)における接平面の方程式を求め,その平面と座標平面で囲 まれる四面体の体積は接点のとり方に無関係であることを示せ.
略解
f(x, y, z) = xyz−a3 とおく. ∇f(x, y, z) = (yz, xz, xy) より, (x0, y0, z0) における接平面の方程式は, (x−x0)y0z0+ (y−y0)x0z0+ (z−z0)x0y0= 0. これを計算すると,
x x0
+ y y0
+ z z0
= 3
となる. この平面とx軸,y 軸,z 軸との交点は, それぞれx= 3x0,y = 3y0, z= 3z0 となるので, 求める 四面体の体積V は
V =1
2(3x0)(3y0)(3z0) = 9a3 2 となる.
問題４
1.X = (x1,· · ·, xn) ∈ Rn, Y = (y1,· · ·, yn) ∈ Rn とおく. この時, X, Y = n
i=1xiyi, |X|2 =
n
i=1(xi)2 と定義すると,
|X, Y| ≤ |X| |Y| が成り立つことを示せ.
2.X= (x1,· · ·, xn)∈Rn,Y = (y1,· · ·, yn)∈Rnとおき,{ai}ni=1 はai>0を満たすものとする. この 時,X, Y=n
i=1aixiyi,|X|2=n
i=1ai(xi)2と定義すると,
|X, Y| ≤ |X| |Y|
が成り立つことを示せ.
3.f,gを区間 [0,1]上の連続関数とし,f, g=
1
0
f(x)g(x)dx,|f|2=
1
0
(f(x))2dxと定義すると,
|f, g| ≤ |f| |g|
が成り立つことを示せ.
4.X= (x1,· · ·, xn)∈Rn とおく. この時,|X|2=n
i=1(xi)2 と定義すると,
| |X| − |Y| | ≤ |X−Y| ≤ |X|+|Y| が成り立つことを示せ.
5.|X|を2, 3の定義にした場合には三角不等式は成り立つかどうかをかんがえよ.
略解
[1,2,3] ここで定義したX, Y,|X|2 はすべて,a,b を定数として, X, Y=Y, Z,
aX+bY, Z=aX, Z+bY, Z, X, X=|X|2
という性質を満たす. したがって, 任意のX,Y と t∈Rに対して,
|X−tY|2=X−tY, X−tY=|X|2+t2|Y| −2tX, Y ≥0 が成り立つ. この２次方程式の判別式をとれば,X, Y ≤ |X| |Y|を得る.
[4,5] 上で示したことより,
|X−Y|2=|X|2+|Y|2−2X, Y ≤ |X|2+|Y|2+ 2|X| |Y| ≤(|X|+|Y|)2 が成り立つ. よって,|X−Y| ≤ |X|+|Y|が成り立つ. この不等式を書き換えれば,
|X| − |Y| ≤ |X−Y|, |Y| − |X| ≤ |X−Y|
がわかるので,| |X| − |Y| | ≤ |X−Y| が成り立つ. よって, 1から3のいずれに対しても,三角不等 式が成り立つ.
2
問題５
f:Rn−→Rを
f(x1,· · ·, xn) =
log((x1)2+ (x2)2)1/2, n= 2, ((x1)2+· · ·+ (xn)2)(2−n)/2, n >2, と定義する.
1.n k=1
∂2f
∂(xk)2 を計算せよ.
2.f: Ω⊂Rn−→Rはr=
(x1)2+· · ·+ (xn)2のみによる関数とする. この時,g(r) =f(x1,· · · , xn) と書けば,
n
i=1
∂2f
∂(xi)2 =g+n−1 r g が成り立つことを示せ.
3.x=rcosθ,y=rsinθ とすると,
∂2
∂x2 + ∂2
∂x2 = ∂2
∂r2 +1 r
∂
∂r + 1 r2
∂2
∂θ2 となることを示せ.
略解
∂
∂xi(
(x1)2+· · ·+ (xn)2) = xi
(x1)2+· · ·+ (xn)2,
∂2
∂(xi)2(
(x1)2+· · ·+ (xn)2) =(x1)2+· · ·+ (xn)2−(xi)2 (
(x1)2+· · ·+ (xn)2)3/2 を用いればよい.
問題６
(x, y)= (0,0) で,f(x, y) = sin(x2+y2)
x2+y2 と定義する. f が (0,0) で連続となるように f(0,0) の値を定 めよ.
略解
r=x2+y2 とおく. すると, lim
r→0
sinr
r = 1より,f(0,0) = 1 と定義すれば, f が連続となることを証明す るのは易しい.
問題７
f,g を２回微分可能な１変数関数とし,
h(x, t) =f(x−at) +g(x+at)
とすると,Dt2h=a2Dx2hが成り立つことを示せ. ただし, a= 0は定数とする.
略解
Dth(x, t) = ∂
∂t(f(x−at) +g(x+at)) =−a(f(x−at) +g(x+at)), Dt2h(x, t) = ∂2
∂t2(f(x−at) +g(x+at)) =a2(f(x−at) +g(x+at)) と計算すれば良い.
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