レポート 問題５（１９９９年度数学基礎 III ）
工学部８・９ （木曜４限）
２０００年１月２７日 問題１
次の領域の体積を求めよ.
D = { (x, y, z) ∈ R 3 : x 2 a 2 + y 2
b 2 ≥ z 2 c 2 , x 2
a 2 + y 2 b 2 ≤ x
h , z ≥ 0 } .
問題２R 3
の閉領域Ω
の近傍で定義された滑らかな関数f , g
に対して,Ω
(f ∆g + ∇ f · ∇ g) dxdydz =
∂Ω
f ∇ g · N dS
を証明せよ.
問題３
R n
内の(x 1 , · · · , x n − 1 )
平面内の領域U
は原点を含み,面積確定であると仮定する. この時,U
上の高さH
の錐体C(U )
をC(U ) = { (x 1 , · · · , x n ) : 0 ≤ x n ≤ H, ((1 − t
H )x 1 , · · · , (1 − t
H )x n − 1 ) ∈ U }
で定義する. この錐体の体積をU
の体積を用いて表せ.問題４
R 2
内の領域Ω p = {| x | p + | y | p ≤ 1 } , p > 0
の面積を重積分を用いて計算せよ.（Gamma
関数を用いて表せ.）問題５
以下の手順で
R n
の単位球面の体積ω n
と表面積c n − 1
を計算せよ.1. R n
の直交座標を(x n 1 , · · · , x n n )
と表し,R n
の極座標(r, θ 1 , · · · , θ n − 1 )
を以下のように定める.n = 2
の時θ 1 ∈ [0, 2π]
として,x 2 1 = r cos θ 1 , x 2 2 = r sin θ 1 , n ≥ 3
の時θ n − 1 ∈ [ − π/2, π/2]
として,帰納的に,x n 1 = x n 1 − 1 cos θ n − 1 , .. .
x n n − 1 = x n n − − 1 1 cos θ n − 1 , x n n = r sin θ n − 1 ,
このように極座標を定めたとき,n i=1
x n i = r 2
が成り立つことを示せ.
2.
J n =
∂x
n1∂r
∂x
n1∂θ
1· · · ∂θ ∂x
n−1n1.. .
∂x
n1∂r
∂x
nn∂θ
1· · · ∂θ ∂x
n−1nn
とする. この時,
| det J n | = r cos n − 2 θ n − 1 | det J n − 1 |
が成り立つことを示せ.3. R n
の単位球面の表面積c n − 1
はc n − 1 = c n − 2
π/2
− π/2
cos n − 2 θ dθ
を満たすことを示せ.
