レポート 問題２解答（１９９９年度数学基礎 III ）
工学部８・９ （木曜４限）
１９９９年１１月１１日
問題１
n,mは自然数であるとする. 以下の積分を計算せよ.
1.In = π/2
0
sinnx dx, 2.In =
(logx)ndx, 3.B(n, m),
4.I=
1
x2+ 2px+qdx,ただしp,qは実数, 5.I=
1 0
arcsinx dx.
略解
1.n≥3に対して,In =n−n1In−2 を証明する.
2.n≥1に対して,In =x(logx)n−nIn−1を証明する.
3.n≥1,m≥1 に対して,B(n, m) = mn−1B(n+ 1, m−1)を示す.
4.x2+ 2px+q= (x+p)2+ (q−p2)を利用して,
1
x2+ 2px+q =
1
t2+a2, q−p2>0, a= q−p2, 1
t2, q−p2= 0, 1
t2−a2, q−p2<0, a= p2−q
と場合わけする.
5. arcsinx= (x)arcsinxと思い,部分積分する方法もある.
問題２
γ= lim
n→∞
n
k=1
1 k −
n
1
dx x
が存在することを証明せよ.
略解
logxは単調減少なので,任意の n∈Nに対して, 1 n+ 1 <
n+1 n
dx x < 1
n が成り立つ. したがって,
Sn = n k=1
1 k −
n 1
dx x =
n k=1
1
k −logn >logn+ 1 n >0 が成り立つ. さらに,{Sn}は単調減少であることを示せばよい.
問題３
Γ(s)は s >0で収束することを証明し, Γ(s) = (s−1)Γ(s−1),n∈Nに対して, Γ(n) = (n−1)! を証明 せよ. また, B(p, q)は B(p, q) =B(q, p)を満たすことを示し,B(p, q)はp >0,q >0の時収束すること を示せ. さらに,B(p, q) = Γ(p)Γ(q)
Γ(p+q) であることを認めて, ∞
−∞e−x2dx=√
πをしめせ.
略解
前半は省略.
はじめに, Γ(1/2) =√
πを証明する. B(p, q)において,x= sin2θ と置換すると, B(p, q) = 2
π/2 0
sin2p−1θcos2q−1θ dθ が成り立つ. ここで,
B(1 2,1
2) = (Γ(12))2
Γ(1) = (Γ(1 2))2 であり,
B(1 2,1
2) = 2 π/2
0
dθ=π が成り立つ. したがって, Γ(1/2) =√
π が成り立つ. さらに,
√π= Γ(1/2) = ∞
0
e−xx−1/2dx= 2 ∞
0
e−t2dt= ∞
−∞e−x2dx である.
問題４ I=
π/2
0
log sinθ dθは絶対収束することを示し,I の値を求めよ.
略解
θlim→0+θ1/2(log sinθ) = lim
θ→0+(θ1/2logθ+θ1/2logsinθ θ ) = 0 より,θ→0+の時, log sinθ=O(θ−1/2). したがって,I は絶対収束する.
さらに,
I= π
π/2
log sinθ dθ= π/2
π
log cosθ dθ, I= 2
π 0
log sinθ dθ を示す. これより,I=−π2log 2 を得る.
2
