コウホート分析における交互作用効果モデル再考

第

53

1

103–132 2005 c

［原著論文］

コウホート分析における交互作用効果モデル再考

中村 隆

^†

（受付

2004

8

26

2004

12

8

要 旨

年齢×時代の交互作用効果をもつベイズ型コウホートモデルについて再考察する．既存のモ デルを階差ベクトルと階差行列を導入することにより再記述し，いったんコウホートモデルを 離れて順序尺度水準の

2

2

キーワード：

APC

ベイズ型モデル．

1.

コウホート分析は，継続調査データの分析方法であり，同一調査項目について得られる年齢

×調査時点別の集計データから年齢・時代・世代（コウホート）効果を分離することによって，

社会の変化の構造を明らかにしようとする方法である．

コウホート分析を行う場合，分析対象とするデータのカバーする期間（時代の範囲）は長い方 が望ましい．データの期間が短いと，同一コウホートがわたる年齢区分が少なく，また同じ年 齢区分を経験するコウホート区分が少ないため対比が十分とならず年齢効果とコウホート効果 を区別するのが難しい．一方データの期間が長くなると，たとえば晩婚化の影響について考え てみればわかるように，年齢効果やコウホート効果が長期にわたって変わらないとするモデル の仮定は受け入れがたくなる．年齢・時代・コウホート効果以外の何らかの交互作用効果の導 入が求められる．

コウホート分析における交互作用効果モデルについては，中村（

1986, 1987, 1989

1995

3.5

2004, 15

本稿では，交互作用効果をもつコウホートモデルについて見直し，残された問題点を解消す る年齢×時代の交互作用効果をもつ新しいコウホートモデルを提案する．以下，まず第

2

†

4–6–7

コウホート分析が対象とするコウホート表とコウホートモデル，識別問題などについて簡単に 説明し，これまで用いてきたベイズ型コウホートモデルを階差パラメータと階差行列を導入し て再記述する．第

3

2

4

“#2.7

”

2.

2.1

コウホート分析は，年齢・時代・コウホート効果を分離する．

分析の結果，年齢効果が大きいことがわかれば，データの変動は主に年齢要因によって引き 起こされたものであり，世代を問わず時代を越えて社会の成員個々の意見や態度は加齢に伴っ て同じように変化する一方，社会全体としての意見や態度の分布は長期間にわたって安定して いる．これに対し，コウホート効果が大きいことがわかれば，データの変動は主にコウホート の相違（世代差）によるものであり，個々の成員の意見や態度は変わりにくい一方，世代交代に よって社会全体での意見や態度の分布はゆるやかに変化している．また，時代効果が大きいこ とがわかれば，データの変動は主にその時々の時勢によるものであり，年齢や世代を越えて社 会全体の意見がある一定の方向に変化するため流動的であり，ある時点を境に逆の方向に転換 する可能性もある．このように

3

Ryder

1965

, Glenn

1977

, Mason and Fienberg

1985

ところがコウホートモデルは，数学的に「コウホート＝時代−年齢」という関係が存在する ために，何らかの制約条件がなければ

3

C

この識別問題への対応方法としては大きく

2

3

コウホート分析の本来の目的が

3

1

2

赤池のベイズ型情報量規準

ABIC

3

Nakamura

前節で引用した文献において年齢効果を拡張した年齢×時代の交互作用効果をもつモデルを提 案してきた．この他に中村（1995）は，複雑なサンプリング法により得られたデータに対応する ため一般化線形モデルの枠組みに準拠した過大分散項をもつベイズ型コウホートモデルを提案 し，日本人の国民性調査データに適用した．中村（2000），Nakamura（2002）は，多項分布に従

う反応変数についてのコウホートモデルに取り組んだ．

2.2

年齢区分×調査時点の形式に何らかの数量を集計・整理した表を，コウホート分析の立場か らはコウホート表と呼ぶ．コウホート表には，形式上，調査間隔と年齢区分幅が一致する標準 コウホート表と，それ以外の一般コウホート表が区別できる．また，集計された数量の性質上，

回答比率の場合を特に比率型のコウホート表として区別する．以下では

5

B，G

McCullagh and Nelder

1989

標準コウホート表は次のようにして得られる．Y

1

∆

Y J

J

∆

A 1

A I

I

1

A I

C 1

Y 1

A I−1

Y 2

年の

A I

C 2

j

A i

( i, j )

k = j − i + I

C k

最新の

Y J

A 1

C K

∆

K (= I + J − 1)

k

C k

n ^C _k = min( k, K − k + 1 , min( I, J )) (2.1)

個のセルに現れる．

2.3

コウホート表の

( i, j )

1

π _ij

0

η _ij = log[π _ij /(1 − π _ij )]

η _ij = β ^G + β ^A _i + β ^P _j + β ^C _k , i = 1, . . . , I; j = 1, . . . , J; k = 1, . . . , K.

(2.2)

ここで，β

^G

^A _i

^P _j

^C _k

APC

コウホート表のセルと

3

X _A

_P

_C

B

η = vec

η ₁₁ η _1J .. . · · · .. . η _I1 η _IJ

, π = vec

π ₁₁ π _1J .. . · · · .. . π _I1 π _IJ

,

β ^A = ( β ^A ₁ , . . . , β ^A _I ) , β ^P = ( β ^P ₁ , . . . , β ^P _J ) , β ^C = ( β ^C ₁ , . . . , β ^C _K )

2.2

η ≡ log π − log( 1 − π ) = β ^G 1 + X _A β ^A + X _P β ^P + X _C β ^C (2.3)

と表すことができる．以上において，

vec

プライム（

とする．1

= 1 _N

1

= IJ

さて，各効果のデザイン行列は付録の（B.1），すなわち，

X _A 1 _I = X _P 1 _J = X _C 1 _K = 1 _N

を満たしている．これは，たとえば年齢効果のデザイン行列について言うと，X

_A

C(X _A )

1 _N

C(1 _N )

X _A β ^A

C ( 1 _N )

C ( 1 _N ) ^⊥

1

1 ⁺ = ( 1 1 ) ⁻¹ 1

I − 11 ⁺ = I _N − 1 _N ( 1 _N 1 _N ) ⁻¹ 1 _N

である．これを用いればモデル（

2.3

η = β ^G 1 + (I − 11 ⁺ )X _A β ^A + (I − 11 ⁺ )X _P β ^P + (I − 11 ⁺ )X _C β ^C (2.4)

とあらためて表現される．

2.4

上のモデル（

2.4

η ^A = ( I − 11 ⁺ ) X _A β ^A

{ ( I − 11 ⁺ ) X _A } = I − 1

^A

I

β ^A

1

1 = 0

r

r

r β ^A = r

2.5

モデル（2.3）のベクトル

η

1 η = Nβ ^G + 1 X _A β ^A + 1 X _P β ^P + 1 X _C β ^C

1 X _A β ^A = 1 X _P β ^P = 1 X _C β ^C = 0 (2.5)

というゼロ和制約を課せば，

β ^G = 1 η/N

^G

標準コウホート表では，

1 X _A = J1 _I , 1 X _P = I1 _J , 1 X _C = ( n ^C ₁ , . . . , n ^C _K )

^C _k

I

i=1

β ^A _i =

J

j=1

β ^P _j = 0 ,

K

k=1

n ^C _k β ^C _k =

I

i=1 J

j=1

β ^C _k(=j−i+I) = 0 (2.6)

である．コウホート効果のゼロ和制約としてこれまで

K

k=1

β ^C _k = 0

を考えてきた．上の（2.6）にある

_k n ^C _k β ^C _k = 0

2.5

コウホート分析における識別問題を克服するために，付録（C.1）により示唆されるパラメータ の漸進的変化の条件 各効果で隣り合うパラメータの値の変動を小さくするという条件 を モデルに付加する．具体的には，次の各効果の

1

2

1 σ _A ²

I−1

i=1

( β ^A _i − β ^A _i+1 ) ² + 1 σ _P ²

J−1

j=1

( β ^P _j − β ^P _j+1 ) ² + 1 σ _C ²

K−1

k=1

( β ^C _k − β ^C _k+1 ) ² −→ min (2.7)

である．ここで，σ

_A ²

_P ²

_C ²

3

付録

D

D ₍₎

D _A = D _(I) =

1 −1 1 − 1

. . . . . . 1 − 1

, D _P = D _(J) , D _C = D _(K)

であり，階差パラメータは

δ ^A = D _A β ^A , δ ^P = D _P β ^P , δ ^C = D _C β ^C

2.7

1

σ _A ² (β ^A ) D _A D _A β ^A + 1

σ _P ² (β ^P ) D _P D _P β ^P + 1

σ ² _C (β ^C ) D _C D _C β ^C (2.8)

= 1

σ _A ² ( δ ^A ) δ ^A + 1

σ _P ² ( δ ^P ) δ ^P + 1

σ _C ² ( δ ^C ) δ ^C

= δ _∗ Σ ⁻¹ δ _∗ −→ min ,

と書き直すことができる．ここで，δ

_∗ = ( (δ ^A ) , (δ ^P ) , (δ ^C ) )

Σ = diag

σ _A ² , . . . , σ _A ² , σ _P ² , . . . , σ _P ² , σ ² _C , . . . , σ _C ² = σ _A ² I _I ⊕ σ _P ² I _J ⊕ σ _C ² I _K

そしてさらに，（

2.8

π ( δ _∗ | σ ) = (2 π ) ^{− M 2} | Σ | ^{− 1 2} exp

− 1

2 δ _∗ Σ ⁻¹ δ _∗

−→ max (2.9)

となって，階差パラメータ・ベクトル

δ _∗

σ = ( σ _A ² , σ _P ² , σ _C ² )

M = I + J + K − 3

2.6

コウホートモデル（2.4）を階差行列と階差パラメータを使って記述する．付録の（D.2）より，

階差行列

D _A

D _A ⁻

α ^A

β ^A = D _A ⁻ δ ^A + α ^A 1

のように解ける．(I

− 11 ⁺ )1 = 0

(I − 11 ⁺ )X _A β ^A = (I − 11 ⁺ )X _A (D _A ⁻ δ ^A + α ^A 1) = (I − 11 ⁺ )X _A D _A ⁻ δ ^A

であり，α

^A

2.4

η = β ^G 1 + ( I − 11 ⁺ ) X _A D _A ⁻ δ ^A + ( I − 11 ⁺ ) X _P D _P ⁻ δ ^P + ( I − 11 ⁺ ) X _C D _C ⁻ δ ^C (2.10)

となる．さらに，

X _A ^∗ = (I − 11 ⁺ )X _A D _A ⁻ , X _P ^∗ = (I − 11 ⁺ )X _P D _P ⁻ , X _C ^∗ = (I − 11 ⁺ )X _C D _C ⁻

2.10

η =

1 X _A ^∗ X _P ^∗ X _C ^∗

β ^G δ ^A δ ^P δ ^C

=

1 X ^∗

β ^G δ _∗

= Xδ (2.11)

と表すことができる．ここで，

X ^∗ =

X _A ^∗ X _P ^∗ X _C ^∗

, X =

1 X ^∗

, δ = ( β ^G , δ _∗ )

2.7

コウホート表の

( i, j )

m _ij

π _ij

y _ij

2

f ( y | π ( δ ))

(δ)

( δ ) ≡ log f ( y |π ( δ )) − (const.) = y log π + ( m − y ) log( 1 − π ) (2.12)

と書ける．ここで，

m = ( m ₁₁ , m ₂₁ , . . . , m _IJ ) , y = ( y ₁₁ , y ₂₁ , . . . , y _IJ )

通常は最尤法により

δ

2.9

2.8

ABIC

パラメータの推定は，事後密度

f ( y | π ( δ )) · π ( δ _∗ | σ )

f ( y |δ ) · π ( δ _∗ |σ ) −→ max (2.13)

により行う．得られる推定値は

MAP

maximum a posteriori estimate

φ ( δ ) = log f ( y | δ ) · π ( δ _∗ | σ ) − (const.)

φ ( δ ) = ( δ ) + log π ( δ _∗ |σ ) = ( δ ) − M

2 log 2 π − 1

2 log | Σ | − 1

2 δ _∗ Σ ⁻¹ δ _∗

(2.14)

である．

超パラメータベクトル

σ = ( σ _A ² , σ _P ² , σ _C ² )

2.13

= 0

E

未知である超パラメータ

σ

ABIC

ABIC = − 2 log(

) + 2 h = − 2 log

f · π d δ _∗ + 2 h.

ここで，

dim σ

σ

^G

h = dim σ + 1

コウホートモデルについて上の

ABIC

ABIC(σ) χ ² _L +

δ _∗ Σ ⁻¹ δ

_∗ + log |Σ | + log |X ^∗ WX

^∗ + Σ ⁻¹ | +2h (2.15)

となる．ここで，

χ ² _L = − 2 y (log µ

− log y ) − 2( m − y ) [log( m − µ

) − log( m − y )] , µ = (diag m ) π,

W

= (diag m )(diag π

)( I − diag π

)

であり（詳細は付録

F

ABIC

σ

= (

σ _A ² , σ

_P ² ,

σ _C ² )

κ _A = log ₂ σ _A ²

_P = log ₂ σ _P ²

_C = log ₂ σ ² _C

= ( κ _A , κ _P , κ _C )

2.9

前小節までの

3

G

A

P，C

G

η _ij = β ^G , A

η _ij = β ^G + β ^A _i , P

η _ij = β ^G + β ^P _j , C

η _ij = β ^G + β ^C _k ,

AP

η _ij = β ^G + β ^A _i + β ^P _j , AC

η _ij = β ^G + β ^A _i + β ^C _k , PC

η _ij = β ^G + β ^P _j + β ^C _k , APC

η _ij = β ^G + β ^A _i + β ^P _j + β ^C _k

個々のモデルに関するパラメータの推定や

ABIC

X，超パラメー

σ

ABIC

3.

2

3.1 2

コウホート効果

β ^C _k

時代の交互作用効果

β ^AP _ij

本節では，コウホート効果

β ^C _k

β ^AP _ij

2

η _ij = β ^G + β ^A _i + β ^P _j + β ^AP _ij , i = 1 , . . . , I ; j = 1 , . . . , J.

(3.1)

このモデルは，コウホート分析を離れて，任意の順序尺度水準の

2

交互作用効果のパラメータ・ベクトルを

β ^AP

X _AP

β ^AP = vec

β ^AP ₁₁ β ^AP _1J .. . · · · .. . β ^AP _I1 β ^AP _IJ

, X _AP = I _J ⊗ I _I = I _N

である．本節で扱うかぎり

X _AP

X _AP

以上の記号を用いると，モデル（3.1）は

η = β ^G 1 + X _A β ^A + X _P β ^P + X _AP β ^AP (3.2)

と書ける．

さてこのとき，交互作用効果による部分ベクトル

ξ ^AP = X _AP β ^AP

ξ ^A = X _A β ^A

ξ ^P = X _P β ^P

Z =

X _A X _P

の列空間

C ( Z )

C ( Z ) ^⊥

C ( 1 )

C ( Z )

I − Z Z ⁺

ξ ^AP

, p. 92）．これによりモデル（3.2）は

η = β ^G 1 + ( I − 11 ⁺ ) X _A β ^A + ( I − 11 ⁺ ) X _P β ^P + ( I − Z Z ⁺ ) X _AP β ^AP (3.3)

となる．

ゼロ和制約は，主効果に関する

1 X _A β ^A = 1 X _P β ^P = 0

Z X _AP β ^AP = 0，すなわち，

X _A X _AP β ^AP = 0, X _P X _AP β ^AP = 0 (3.4)

である．

3.2

δ ^AP _ij = ( β ^AP _ij − β ^AP _i,j+1 ) − ( β ^AP _i+1,j − β ^AP _i+1,j+1 )

D _AP

D _AP = D _P ⊗ D _A , D _AP ⁻ = D _P ⁻ ⊗ D _A ⁻

δ ^AP

δ ^AP = vec

δ ^AP ₁₁ δ ^AP _1,J−1 .. . · · · .. . δ ^AP _I−1,1 δ ^AP _I−1,J−1

= D _AP β ^AP

で与えられる．元のパラメータ

β ^AP

I × J

A = (α ij )

β ^AP = D _AP ⁻ δ ^AP + ( I − D _AP ⁻ D _AP ) vec A

上の右辺第

2

D _AP ⁻ D _AP = ( D _P ⁻ D _P ) ⊗ ( D _A ⁻ D _A ) = ( I _J − 1 _J i _J ) ⊗ ( I _I − 1 _I i _I )

D _AP ⁻ D _AP = I − (I _J ⊗ 1 _I i _I ) − (1 _J i _J ⊗ I _I ) + (1 _J i _J ⊗ 1 _I i _I )

である．ここで，i

_a

1

0

a

A

α _J (= Ai _J )，最終行ベクトルを α

_I (= (i _I A) )

( I − D _AP ⁻ D _AP ) vec A (3.5)

= { ( I _J ⊗ 1 _I i _I ) + ( 1 _J i _J ⊗ I _I ) − ( 1 _J i _J ⊗ 1 _I i _I ) } vec A

= vec(1 _I i _I A) + vec(Ai _J 1 _J ) − vec(1 _I i _I Ai _J 1 _J )

= (I _J ⊗ 1 _I ) α

_I + (1 _J ⊗ I _I )α _J − (1 _J ⊗ 1 _I )α IJ

となる．

Z

C ( Z ) ⊃ C ( 1 ), C ( X _A ), C ( X _P )

Z Z ⁺ 1 = 1， Z Z ⁺ X _A = X _A

Z Z ⁺ X _P = X _P

_AP = I

( I − Z Z + ) X _AP ( I − D _AP ⁻ D _AP ) vec A (3.6)

= ( I − Z Z + ) { ( I _J ⊗ 1 _I ) α

_I + ( 1 _J ⊗ I _I ) α _J − ( 1 _J ⊗ 1 _I ) α IJ }

= (I − Z Z ⁺ )(X _P α

_I + X _A α _J − α IJ 1) = 0

3.3

( I − Z Z ⁺ ) X _AP β ^AP = ( I − Z Z ⁺ ) X _AP D _AP ⁻ δ ^AP

X _AP = (I − Z Z ⁺ )X _AP D _AP ⁻

η = β ^G 1 + X _A ^∗ δ ^A + X _P ^∗ δ ^P + X _AP δ ^AP (3.7)

と書き表すことができる．

パラメータの漸進的変化の条件（2.8）に付加すべき項は

1

σ _AP ²

I−1

i=1 J−1

j=1

[( β ^AP _ij − β ^AP _i,j+1 ) − ( β ^AP _i+1,j − β ^AP _i+1,j+1 )] ²

= 1

σ _AP ² ( β ^AP ) D _AP D _AP β ^AP = 1

σ _AP ² ( δ ^AP ) δ ^AP

δ _∗ = ( (δ ^A ) , (δ ^P ) , (δ ^C ) , (δ ^AP ) ) , σ = ( σ _A ² , σ _P ² , σ ² _C , σ _AP ² )

とおけば，パラメータの事前密度は形式的には（2.9）と同じものになる．

なお，ゼロ和制約（

3.4

X _AP β ^AP = 0

⁺ = ( Z Z ) ⁺ Z

η ^AP = ( I − Z Z ⁺ ) X _AP β ^AP = X _AP β ^AP ,

η ^AP = ( I − Z Z ⁺ ) X _AP D _AP ⁻ δ ^AP = X _AP δ ^AP

β ^AP = ( X _AP X _AP ) ⁻¹ X _AP X _AP δ ^AP

β ^AP

δ ^AP

3.4

モデル（

3.1

3.7

[AP ]AP

[AP ]

η = β ^G 1 + X _AP δ ^AP ,

[AP ]A

η = β ^G 1 + X _A ^∗ δ ^A + X _AP δ ^AP , [AP ]P

η = β ^G 1 + X _P ^∗ δ ^P + X _AP δ ^AP ,

[AP ]AP

η = β ^G 1 + X _A ^∗ δ ^A + X _P ^∗ δ ^P + X _AP δ ^AP ,

および，2.9節の

G，A，P，AP

8

2

A，P

ところで，

A

P

[AP ]C

η = β ^G 1 + X _C ^∗ δ ^C + X _AP δ ^AP ,

[AP ]AC

η = β ^G 1 + X _A ^∗ δ ^A + X _C ^∗ δ ^C + X _AP δ ^AP , [AP ]PC

η = β ^G 1 + X _P ^∗ δ ^P + X _C ^∗ δ ^C + X _AP δ ^AP ,

[AP ]APC

η = β ^G 1 + X _A ^∗ δ ^A + X _P ^∗ δ ^P + X _C ^∗ δ ^C + X _AP δ ^AP ,

である．

2.9

C

AC

PC

APC

16

3.5

ここでは，問題点を指摘する目的のために交互作用効果

[AP ]

8

2004

の

‘#2.7

‘家族’

れる回答をした人の割合である．

表

1

8

ABIC

]AP

ABIC

[AP ]APC

C

ABIC

図

1

8

ABIC

[AP ]AP

2

]APC

3