PowerPoint プレゼンテーション

電磁波工学

柴田幸司

第8回

電磁波の伝搬特性Ⅱ

本章の目的

・産業や通信に用いられる電磁波は宇宙的な規模での振る舞いを考えると、その周波 数によって空間を伝搬する性質などが異なる。 ・よって、特に電離層での振る舞いを例に、その違いについて理解する。 電離層伝搬に関連する周波数 MF（中波） ・・・ 300kHz～ 3MHz HF（短波SW） ・・・ 3MHz～30MHz

上に行くほど電子密度が高い

電離層が等価的 な誘電体となる 超長波 3kHz～30kHz（波長:10～100km） 電離層の影響をあまり受けず、直接波とし て伝搬（水中も伝搬） LF 長波 30kHz～300kHz（波長1～10km） 船舶・航空機用ビーコン、標準電波（JJY） 昼間はD層で ほとんど吸収 短波（3MHz～30MHz） 中波 （300kHz～3MHz）

～電磁波の電離層への垂直入射～

電離層（f_p＝√N）

電磁波が電離層に垂直入射した場合、入射

させる周波数 f が電子サイクロトロンの周波

数 f

_H

と衝突周波数νに比べて充分大きい時、

平面波に対する電離層の屈折率は

電子密度の 非常に濃い場所 （プラズマ状態） 2 2 2 0 2

1

1

f

f

m

N

e

n





p









で与えられる。ここで、諸定数は以下の通りである。

f : 送信する電磁波の周波数

[Hz］

f

_p

：その電子密度での電離層の臨界

（プラズマ）周波数［Hz］

N : 電離層の電子密度 ［個／m

3

］

e : 電子の電荷量 1.6×10

－19

［C］

m : 電子の質量 9.109×10

-31

［kg］

（SI単位系による）

ε

_o

: 真空の誘電率

8.854・10

-12

短波帯の電波伝搬

あとで導出 電荷が沢山あるので誘電体 と考えることが出来る 1より小さい

 

2 2 2

9

1

81

1

f

N

f

N

n









f





 2

であるから、先のﾌﾟﾗｽﾞﾏの屈折率nにω=2πfを代入してみると

2 2 0 2 2 0 2 2 0 2

4

1

)

2

(

1

1

f

m

N

e

f

m

N

e

m

N

e

n

























2 2 0 2

4

1

f

N

m

e









となる。さらに であるか_ら与式に e2 o m 4  2 80.403  を代入して _{となる。そこで,} を得る。つまり、f_p 以上の周波数の 電磁波は電離層で反射されず突き ぬけることになる。

nの変形によるfおよびf

_p

の分離

定数 2 2

1

f

f

n





p p

f

N



9

とおけば e =1.6・10-19 m=9.109・10-31 ε₀ =8.854・10-12

N

9

をあらたに 電離層の臨界周波数として 1より小さい

垂直入射では屈折率がn=0を満たす点で電磁波は全反射するから、与式にn=0を

代入すれば

 

2 2 9 1 0 f N  

_{となる。よって、この両辺を2乗すれば}

 

2 2

9

1

0

f

N





となり

f

_



f

_p



9

N

を得る。

これが電離層で反射する限界（臨界）周波数［Hz］と電子密度［個／m

3

］との関係で

ある。

一例として、8MHzの電波を上空に送信して垂直入射させた電磁波が電離層にて

反射する為の電子密度は

]

m

個

[

10

901

7

9

10

8

9

3 11 2 6 2

/

.

f

N

_





　









 



















_{以上となる必要がある。}

送信電磁波の周波数ｆと電子密度との関係

（電子密度のNを用いた臨界周波数の導出）

ﾌﾟﾗｽﾞﾏの中では n<1だがn=0だと 全反射 これを満足するためには

 

₂ 2 9 1 f N  となる必要なので 2

 

2 9 N f  をさらに変形して f  9 N _{の時全反射なので、}

_f

_N

p



9

であるから p f f  _{なる関係、すなわち臨界周波数よりも送信する周波数の方が小さいと全反射} √の中が＋になるためには

最大電子密度N

_max

と臨界周波数

N

_max 今、上空に行くほど高くなる電子密度を持つ 電離層について、一番上部での電子密度を N_maxとする。 ここで、宇宙に飛び出さず反射する限界の周 波数をあらためて臨界周波数と呼び max

9 N

f

_c



で表される。つまり、周波数を高くするにつれて 徐々に高い電離層で反射し、f_c 以上では反射 せずに電離層を通過することになる。

f

₁

f

₂

f

₃

=f

_C

f

₄

f

₁

< f

₂

< f

₃

< f

₄ 上にいくほど電子密度が高いから

電子 イオン（電子が抜けた分子） 中性の原子、分子

プラズマ状態

x

t

x

0

T

_p : p



プラズマ角周波数

電離層

0 2 2





m

Ne

p



N: 粒子密度 e: 粒子の電荷量 m: 粒子の質量

+

‐

電離層発生のメカニズム

N₂ O₂

上空の分子

・・・(1) p p T 1 



コンデンサ・モデル

誘電率

静電容量

d

S

C





電離層を誘電体と仮定

ﾌﾟﾗｽﾞﾏ状態

での誘電率





















₂ 2 0

1









p 電子密度

高度

_大 小 大 小

d

C

s

誘電体

e

e:

誘電率

e

N

・・・(2) 0









0

e

₀ 0 真空の誘電率よりも小さい よって

 

 

2 2 2 2 2 2 0

1

2

2

1

1

f

f

f

f

_{p p} p r





























なので 2 2

1

f

f

n





p となる。 比誘電率は1より小さい

であるが、J=0としてあらたに電磁波が電離層を伝搬中の変位電流J_i を c d i

J

J

J

t









D

ここに、J_d ・・・自由空間での電界の変位電流 J_c ・・・電子の運動による対流電流（ﾌﾟﾗｽ ﾞﾏ中に発生） と定義する。そして電磁波の変位電流 J_dは伝搬中の電磁波の電界の振幅をE とし、時間因子も合わせて表示すれば t j d

j

Ee

J





₀ 

-m : 質量 e : 電荷量 v : 速度 と表現される。 電界の時間変化が 変位電流を生み出す t j

Ee

e

dt

dv

m





 一方、J_C =N・evを求めることを考えると、電界Eによっ て電子は加速されるが、その際に粒子として次の運 動方程式を満足する必要がある。 電界の印加による加速分 初速度を零とすれば、上記微分 方程式を変形してみると t j

Ee

m

e

dt

dv

_



_{であるから、vを求めるためこの両辺を} tで積分すれば t j t j

e

j

E

m

e

dt

e

E

m

e

v

 



1











となるから、これを整理すれば

運動方程式からの電離層の屈折率の導出

電離層内の屈折率は内部に発生する変位電流を整理すれば求まる。まず、アンペア・ マクスウェルの法則は

t













H

J

D

,

_D

_E

0





電界の時間変化により発生する磁界の中心には変位電流が流 れていると仮定 積分した結果

t j

Ee

m

j

e

v







t j t j c d i

Ee

m

j

Ne

Ee

j

J

J

J

 













₀ 2 となるので、電離層中を電磁波が伝搬時の 変位電流J_i は結局 t j

Ee

m

Ne

j

_























0 2 2 0

1

等価的な比誘電率（1より小さい） （これの√をとれば屈折率になる） を得る。 よって電子が速度vで移動した時の電子の運動による対流電流J_ｃは電離層内の電子密度 Nを用いて t j c

Ee

m

j

Ne

Nev

J





2





となる。

10 102 ₁₀3 ₁₀4 ₁₀5 ₁₀6 ₁₀7 (N/cm3₎ 電子密度 50 70 90 130 C D E F₁ F₂ 50 100 500 (Km) 高 度

夜

日中

H 地表 t₀ t₁

m

t

t

H

1 0

3

10

8

2









p



電離層における高度分布と測定法

i₁ r₂ 1



2



1 sini1  2 sinr2 1 2 1 2 sin sinr i    i₁ r₂ 1



2



i₁ r₂ 1



2



1 2







1 2







電離層（ﾌﾟﾗｽﾞﾏ媒質中）におけるスネルの法則

～光の屈折～ ・・・(3) i₁ r₂ 0



0







大気 電離層 一般的な媒質 _{電離層でではε} r <1なので

i



0



i r sin sin 0    1 sin 0  i   1 sinr    90 i   90 r 0 sin    i i



0



  90 r 0 sin    r   90 r 1 sini  r 0 i sin    i 0





射入射時の電離層における屈折および反射条件

電離層(地表)に平行に進む条件 i r sin sin 0    0







r

電離層の反射

電離層の反射の条件 ・・・(5) 下部は誘電率が低いので 海面での反射は起こらない

1 2    i₁ r₂ 1



2



i₂ 3



r3 2 2 1 1 sini  sinr   3 3 2 2 sini  sinr   2 2 r i  3 3 2 2 sinr  sinr   3 3 1 1 sini  sinr   1 3 1 3 sin sinr i    2 3    i r



0



i r sin sin 0   

電離層内における多重屈折

・・・(4) となり、多重層におけるスネルの法則は の条件では となるから、これを整理すれば となる。

電離層（f_p） Q P R i i 電離層を利用した長距離通信では、送受信間の距離と反射により可能となる周波数の把握が重要 である。図に示す様に電磁波が電離層により反射する場合、垂直入射（i=0）時には反射する臨界周波 数（その周波数以下なら反射する）はf=f_pであるが、射入射する場合にはスネルの法則からfとf_pには 以下の関係が成り立つ。

)

cos(

1

)

sec(

i

f

i

f

f



_p



_p f : 送信する電磁波の周波数（Hz） f_p ：電離層の臨界（プラズマ）周波数（Hz） N : 電離層の電子密度（個／S） i : 入射角

電離層への斜入射時の反射条件

・・・（１） 以上のことから、(1)式を満足するように入射角ｉが大きい場 合には反射による通信が可能な周波数 ｆは高くなることが 分かる。

0

i（rad）

i（deg）

0

) cos( 1 i

1

4 

45

1.414

2 

90

∞

3 

60

2.0

)

cos(

1

i

の性質 この関係を正割の法則と呼び、fなる周波数の電波が電離層 へ斜入射した時に反射するための最小角度 i を定める。つま り、その角度以上では電磁波は反射する。 入射角が大きいほど同じ周波数でも 反射しやすい（スネルより） f=f_p×∞より、無限大の周波数も反射する 実際には f=fp （垂直入射）

(1)式の導出

まず、点Pから発射した電磁波がQに対して角度i₀ で入射した場合、入射角i₀ と透過角i₁とはスネルの 法則より次式が成り立つ

)

sin(

)

sin(

_{0 1 1} 0

i

n

i

n



ここで、n_oおよびn₁は自由空間および電離 層の屈折率として n_o＝1 , 2 2 1

1

f

f

n





p で与えられる。 電離層（f_p） Q P R i₀ i₀

n

₀

n

_１ i₁ ・・・(2)

ここでi₀ =90°の時、i₁ =90°すなわち

sin(

)

1

1



i

の時に電磁波は全反射するので 2 2 1 1 1 0

)

sin(

)

1

sin(

f

f

n

i

n

i









p 1

 

₀

1

₂2

f

f

i

sin





p (2)式は

と変形できる。そこで、両辺の2乗をとれば 2 2 2 0 2

1

1

)

(

sin

_



















f

f

f

f

i

p p となり、これを整理すれば

)

(

cos

)

(

sin

1

2 ₀ 2 ₀ 2

i

i

f

f

_p



















となる。さらにf, f_p >0である から両辺のルートは

_f

cos(

i

0

)

f

_p



となり、これをfについて整理すれば

)

sec(

)

cos(

i

₀

f

i

0

f

f



p



_p



を得る。 池澤俊冶郎, “電波工学概説”, 森北出版, PP.117-120.

0 sin    i 2 2

1

sin





_p

i





)

1

(

₂ 2 0













p

反射の条件

1

₂

0

2









_p p







0





7MHz 10.5MHz 14MHz 21MHz

MHz

7



p

f

i

i

p 2 2 2 2

cos

sin

1











i

f

f

p p

cos

1









・・・(5) ・・・(2)

反射周波数と入射角との関係のまとめ

コセカント法則 ・・・(6)

H p

f

i D: 距離 R H i  cos R 2 2 ) 2 (D H R  

H

R

i

f

f

p p







cos

1





2 2

)

2

(

1

D

H

H

p









2

)

2

(

1

H

D

p









2

)

2

(

1

H

D

f

f

_m



_p



MUF (Maximum Usable Freq. )

・・・(6)

・・・(7) 距離dにて通信が可能な最大周波数を

f

_m とすれば

f=0.8f_p f=2f_p f=4f_p 参考資料:電波受験

i

f

f

p

cos



・・・(6)’

i

(N/cm3₎ 電子密度 50 70 90 130 C D E F₁ F₂ 50 100 500 (Km) 高 度

夜

日中

D層減衰

F

₁

,F

₂ i₁ r₂ 1



2



例題1

無線中継所において、周波数15MHzを用い11時に、また周波数8MHzを用いて24時 に通信をしたい。11時および24時における電離層の臨界プラズマ周波数をそれぞれ 13MHzおよび6MHzとすれば、その時刻に受信可能かを調べよ。 但し、送受信間の距離を600km、電離層の高さを400kmとする。また、大地および電 離層を平面とし、電離層の電子密度および送受信電界強度の変化は考慮しないものと する。 正割の法則より

 

 

i

cos

f

i

sec

f

f



_p





_p

1

であるから、

 

0

.

87

15

13

cos







f

f

i

p を得る。ここで図における臨界→入射角 ｉ での飛躍距離dを求めると、電離層の高さHは 400kmであるから

 

800

2

400

2

/

tan

d

d

H

d

i









となる。なお、ここでのdは通信できる最小距離であり、d=800・tan(i)として求められる。なお、 計算時にはtan(i)をcos(i)で表現する必要がある。 まず、11時にて与えられた反射する最小入射角度をｉとすれば、15MHzでは

これによりdは

 

448

87

.

0

)

87

.

0

(

1

800

tan

800

2













i

d

kmとなり、この値は *1 *1





₂ 2

1

1

cos

tan





より

1

1

2 2









cos

tan

となるので、両辺のルートをとった 電波を反射できる最小角度iにおける通信可能な最短距離を意味する。

1

2 2









cos

sin

の両辺に1/cos2_{θをかけると}







2 2 2

1

1

cos

cos

sin





となり、これを整理すれば (a) 通信可 (b) 通信不可 H 電離層(f_p ) 突き抜け現象 i i1 i0 (b) (a) d

H d/2 i

 

H

/

D

i

tan



2

H d/2 i 伝搬長

なる関係を用いれば













cos

cos

cos

cos

cos

tan

2 2 2 2

1

1

1

1



















を得る。これより、11時ではd=448km<送受信間距離600kmであり、dよりも大きい為に入射 角i₀をiより大きくすることができ電波が受信可能となる。 次に、24時では同様に

 

₀

_.

₇₅

15

6

cos







f

f

i

p となるので 飛躍距離dは

 

704

75

.

0

)

75

.

0

(

1

800

)

cos(

)

cos(

1

tan

800

2















i

i

i

d

kmを得る。 以上のことから、24時ではd=704km>送受信間距離600kmより、dより距離が狭い場合に は入射角度入射角i₁はiより小さくなり、電波は電離層で反射されず通信不可能となる。











cos

cos

cos

cos

tan

2 2 2

1

1



_





f[MHz]

送信周波数

f

_p

[MHz]

垂直入射時の臨

界周波数

通信

15

13

○

8

6

×

例題2

電離層（E層）の臨界周波数f_p が4MHzの時、400kmの距離をE層の反射で伝搬する最高使用 周波数（MUF）を求めよ。但し、E層の高さを100kmとする。

 

_{ }

h

r

i

cos

f

i

sin

f

f



_p



_p











6

10

4

1

MUF

E層 i d=400km h=100km r r T Q R 図において 223 2 2 2 _         h d r kmとなるので 6 3 3 6

10

92

.

8

10

100

10

223

10

4















Hz



8

.

92

MHz となる。 注： 最低使用周波数 （LUF）はD層の電波吸 収を考慮して決められる。

 

r

h

i

cos



より

対流圏伝搬

地球の球面を考慮した多層分割モデルを右 図に示す。第0層と1層との間にスネルの法則 を適用すれば、入射角i_nと波数k_nとの関係に おいて、次式が得られる。

)

sin(

)

sin(

_{0 1 1} 0

i

k

i

k





ここで、各層の屈折率と波数には以下の 関係がある。 0

k

n

k

_i



_i



次に、各層は充分薄いものとし、地球を球形 とみなせば、地球の中心Oから地表までの距 離R₀ と第1層までの距離R₁ で作られる三角形 において、正弦の法則から次式が求まる。

)

sin(

)

sin(

₀ 1 0 0

i

R

i

R







_

O 地球の中心 0 1 2 R0 R₁ R2 R3 k₀, n₀ k₁, n₁ k₂, n₂ 対地球面 i_{0 i} 0 ’ i₁ i₂ i₁ ’ i2 ’ ・・・(1) ・・・(2) ・・・(3) この3角形 において

(1)および(3)式を用いて、第0層から第1層への入射角i₀’を消去することを考えると

)

sin(

)

sin(

₀ 1 1 1 0 0

i

R

i

k

k

R







0 1 1 0

)

sin(

)

sin(

k

i

k

i





より から

)

sin(

)

sin(

)

sin(

_{0 0 0 0 1 1 1} 0 0

k

i

R

k

i

R

k

i

R









となる。 さらに、 0

k

n

k

_i



_i



なる関係から、各層の屈折率に対して

)

sin(

)

sin(

_n



_{n1 n1 n1} n n

R

i

n

R

i

n

という、曲面を考慮したスネルの法則が導出される。 すなわち、各電離層に対して電磁波が斜めに入射した時、上記式を満たすように屈折 しながら宇宙に抜けていくことを示している。

フェージングとは

ダクト伝搬とは

海上などで、大気中の超屈折による異常伝搬（屈折率

の逆転層の発生により、大気中に出来たダクト層に閉じ込

められながら伝搬する現象）

伝搬経路の影響により受信電界が数秒間減少する現象

例えば、短波帯ではF層の反射を利用するが、E層では減

衰しながら透過する。この時に偏波性のフェージングと呼

ばれる電波がプラズマ電子と結合して異常波を励起し、偏

波が長楕円となり、この偏波面の回転によりアンテナから

の受信電圧が変動する。

干渉フェージング

伝搬路の違う2つ以上の電波が受信されたとき、合成電 界が変化する時に発生するタイプを干渉フェージングと 呼ぶ。 代表例としては、地上波と上空波によるものであり、日 没時などに電離層の状態が急変することによるもので ある。 見通し通信距離外でも、電離層でいくつもの伝搬経路が 出来、これが急変すると干渉フェージングが発生する。 電離層（f_p） T R 地上波 上空波 複数の 伝搬経路

飛躍フェージング

一波型のフェージングで、電離層の状態がわずかに変化することにより飛躍距離 も変化するが、これによる受信電界強度の変化によるもの

吸収フェージング

伝搬路上の吸収率の変化によるもの。たとえば、雲、霧など

偏波フェージング

電離層への入射時の偏波変化によるもの