物理数学

(1)

物理数学

http://kurasawa.c.ooco.jp

基本的な知識

1

1.1

テイラー級数

. . . . 1

1.2

複素数

. . . . 3

1.3

ベクトル

. . . . 6

2

微分

11 2.1

偏微分

. . . . 11

2.2

多変数関数のテイラー級数

. . . . 13

2.3

多変数関数の合成微分

. . . . 15

2.4

ベクトルの微分

. . . . 19

2.5

曲線

. . . . 21

2.6

ベクトル場とベクトル演算子

. . . . 23

2.7

ナブラ演算子の極座標表示

. . . . 29

3

積分

37 3.1

多重積分

. . . . 37

3.2

変数変換

. . . . 41

3.3

線積分

. . . . 45

3.4 2

次元でのグリーンの定理

. . . . 48

3.5

曲面と面積分

. . . . 52

3.6

ガウスの定理

. . . . 55

3.7

ディラックのデルタ関数

. . . . 60

3.8

ストークスの定理

. . . . 66

4

常微分方程式

71 4.1 1

階常微分方程式

. . . . 71

4.2 2

階線形微分方程式

. . . . 76

4.3

定数係数の

2

階線形微分方程式

. . . . 79

4.4

演算子法

. . . . 82

4.5

独立変数を含まない

2

階微分方程式

. . . . 88

4.6

べき級数と

2

階線形微分方程式

. . . . 89

5

複素関数

99 5.1

複素関数

. . . . 99

5.2

複素関数の微分

. . . . 102

5.3

複素積分

. . . . 104

5.4

コーシーの積分定理

. . . . 105

5.5

テイラー展開とローラン展開

. . . . 111

5.6

留数定理

. . . . 114

(2)

5.9

コーシーの主値

. . . . 125

5.10

べき級数

. . . . 127

5.11

解析接続

. . . . 130

5.12

鞍点法

. . . . 135

5.13

複素積分と

2

階線形微分方程式

. . . . 139

6

フーリエ解析

145 6.1

フーリエ級数

. . . . 145

6.2

波動方程式

. . . . 150

6.3

フーリエ変換

. . . . 155

6.4

フーリエ変換と微分方程式

. . . . 161

6.5

ラプラス変換

. . . . 163

6.6

ラプラス変換と微分方程式

. . . . 168

7 2

階偏微分方程式

170 7.1

代表的な偏微分方程式

. . . . 170

7.2

波動方程式

. . . . 172

7.3

波動方程式と境界条件

. . . . 175

7.4

ポアソン方程式とラプラス方程式

. . . . 180

7.5

ポアソン・ラプラス方程式とグリーン関数

. . . . 181

7.6

極座標によるラプラス方程式の解法

. . . . 186

7.7

拡散方程式

. . . . 188

7.8 1

次元拡散方程式と境界条件

. . . . 189

8

行列

194 8.1

行列

. . . . 194

8.2

行列式

. . . . 197

8.3

余因子展開と逆行列

. . . . 201

8.4

行列に関する幾つかの性質

. . . . 203

8.5

正方行列の固有値と固有ベクトル

. . . . 206

8.6

エルミート行列の対角化

. . . . 207

8.7

正方行列の対角化

. . . . 210

8.8

連成振動

. . . . 212

8.9

座標系の回転

. . . . 215

8.10

曲線座標

. . . . 220

索引

226

(3)

薩摩順吉岩波基礎物理シリーズ

10

物理の数学

(

岩波書店

)

松下貢裳華房テキストシリーズ物理数学

(

裳華房

)

寺澤寛一自然科学者のための数学概論

(

岩波書店

)

岩波講座応用数学

(4)

1 基本的な知識

1.1

テイラー級数

x=c

近傍における関数

F(x)

の様子を調べる場合

, F(x)

を簡単な関数で近似することは有効な方法である。最も簡単な近似は

,x=c

における

F(x)

の接線

,

つまり

F(x)≈F(c) +F^′(c)(x−c)

で近似することである。これを一般化して,

x−c

のべき級数

(power series)

で展開して

F(x) =F(c) +F^′(c)(x−c) +f2(x−c)²+· · ·+fn(x−c)ⁿ+· · ·

としてみる。ここで,

f2,· · · , fn,· · ·

は定数である。x で順次微分すると

F^′(x) =F^′(c) + 2f₂(x−c) + 3f₃(x−c)²+· · ·+nf_n(x−c)ⁿ⁻¹+· · · F^′′(x) = 2f2 + 3·2f3(x−c) +· · ·+n(n−1)fn(x−c)ⁿ⁻²+· · ·

F^′′′(x) = 3·2·1f3+ 4·3·2f4(x−c) +· · ·+n(n−1)(n−2)fn(x−c)ⁿ⁻³+· · · ...

x=c

とすると

,

一般に

F⁽ⁿ⁾(c) =n!fn

になる。ただし

, F⁽ⁿ⁾(x)

は

F(x)

を

n

回微分した

n

次導関数である。したがって

,F(x)

は

F(x) = X∞ n=0

F⁽ⁿ⁾(c)

n! (x−c)ⁿ (1.1)

と展開できる。これをテイラー級数

(Taylor series)

という。あるいは

x→x+c

と置き換えれば

F(x+c) =

X∞ n=0

F⁽ⁿ⁾(c) n! xⁿ

である。更に,

c

と

x

を交換すると

F(x+c) = X∞ n=0

F⁽ⁿ⁾(x) n! cⁿ=

X∞ n=0

cⁿ n!

dⁿ

dxⁿF(x) = X∞ n=0

1 n!

c d

dx n

F(x) (1.2)

と表せる。(1.1) で

c= 0

とした

F(x) = X∞ n=0

F⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ

をマクローリン級数

(Maclaurin series)

という。これらの級数は収束するとは限らない。代表的なマクローリン級数と収束範囲を示す。

e^x= exp(x) = X∞ n=0

xⁿ

n! = 1 +x+x² 2 +x³

3! +x⁴

4! +· · ·, |x|<∞ (1.3) sinx=

X∞ n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! =x−x³ 3! +x⁵

5! −x⁷

7! +· · · , |x|<∞ (1.4) cosx=

X∞ n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ

(2n)! = 1−x² 2 +x⁴

4! −x⁶

6! +· · ·, |x|<∞ (1.5) log(1 +x) =−X^∞

n=1

(−x)ⁿ

n =x−x² 2 +x³

3 −x⁴

4 +· · · , −1< x≤1 (1.6)

(5)

• F(x) = e^x

とすると

F⁽ⁿ⁾(x) =e^x

であるから

F⁽ⁿ⁾(0) = 1

になる。したがって, (1.3) が成り立つ。

• F(x) = sinx

の場合

F^′(x) = cosx , F^′′(x) =−sinx , F⁽³⁾(x) =−cosx , F⁽⁴⁾(x) = sinx , · · ·

であるから

F^(k)(0) =









1, k= 1,5, 9,· · ·

−1, k= 3,7, 11,· · · 0, k= 0,2, 4,· · ·

つまり

F^(k)(0) =

( (−1)ⁿ, k= 2n+ 1 0, k= 2n

したがって

F(x) = X∞ k=0

F^(k)(0) k! x^k=

X∞ n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)!

になり

(1.4)

が成り立つ。(1.4) の両辺を微分すれば

(1.5)

を得る。

tanx

のマクローリン級数は複雑であり

(1.17)

で与えられる。

• F(x) = log(1 +x)

の場合

F^′(x) = (1 +x)⁻¹, F^′′(x) = (−1)(1 +x)⁻², F^′′′(x) = (−1)(−2)(1 +x)⁻³, · · ·

一般に

n≥1

のとき

F⁽ⁿ⁾(x) = (−1)(−2)· · ·(−n+ 1)(1 +x)⁻ⁿ= (−1)ⁿ⁻¹n!

n (1 +x)⁻ⁿ F(0) = 0

であるから

log(1 +x) = X∞ n=1

F⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ=−X^∞

n=1

(−x)ⁿ n

になる。

上の無限級数の部分和が元の関数に収束する様子を, sin

x

と

log(1 +x)

について示したのが次の図である。細い曲線がそれぞれに付けた整数

N

の

x^N

までの和を表す。sin

x

の部分和は項数が増すにつれて近似の精度がよくなる。一方, log(1 +

x)

の部分和は収束範囲

−1< x≤1

では同様であるが, 収束範囲外では全く近似していない。

1

3 5

7 9

11 13 1

−1 O

2 4

6 14

−1 O 1

部分和は元の関数の近似式として使える。F

^′(c) = 0

の場合,

x=c

近傍を

F(x)≈F(c) +F^′′(c)

2 (x−c)²

で近似することはよく使う。

(6)

問題

1.1

次のマクローリン級数を示せ。

coshx≡e^x+e⁻^x

2 =

X∞ n=0

x²ⁿ

(2n)!, a^x= X∞ n=0

(loga)ⁿ

n! xⁿ,

ただし

a >0 (1.5)

と比較すると

cosh(ix) = cosx

である。

問題

1.2 x

を与えたとき

x= tany, |y|< π/2

を満たす

y

を

y= tan⁻¹x

または

y= arctanx

で表わす。

dy

dx = 1

x²+ 1

を示せ。これを積分して

tan⁻¹x=

X∞ n=0

(−1)ⁿ

2n+ 1x²ⁿ⁺¹,

ただし

|x|<1

を求めよ。

1.2

複素数

x

と

y

を実数とするとき, 複素数

z

を

z=x+iy , i=√

−1 (1.7)

で定義する。ここで

i²=−1

である

i

を虚数単位

(imaginary unit),x

を複素数

z

の実部

(real part), y

を複素数

z

の虚部

(imaginary part)

といい

x= Rez , y= Imz

で表す。z

=iy

を

(純)

虚数

(imaginary number)

という。z

=x+iy

に対して

x−iy

を

z

の共役

(conjugate)

複素数といい, ¯

z

または

z^∗

で表す。共役複素数を使うと, 実部と虚部は

Rez= Rez^∗= z+z^∗

2 , Imz=−Imz^∗=z−z^∗ 2i

と表せる。z が実数である条件は

z=z^∗

である。z

₁=x1+iy1, z2=x2+iy2

のとき

z₁=z₂ ⇐⇒ x₁=x₂

かつ

y₁=y₂ (1.8)

である。z

=x+iy

の絶対値

|z|

を

|z|=p

x²+y²

で定義する。

|z|²=zz^∗

である。

実軸虚軸

x y

O

P

θ r

実数は直線上の点で表せる。これと同様に, 2 つの実数からな

る複素数は平面上の点で表せる。x 軸と

y

軸からなる直交座標を考え

,

点

P (x, y)

に対して複素数

z = x+iy

を対応させる。複素数を表示するために用いられる

xy

平面を複素平面

(complex plane)

またはガウス平面

(Gaussian plane)

という。また

, x

軸は実軸,

y

軸は虚軸と呼ばれる。z の共役複素数

z^∗ =x−iy

は, 複素平面上において実軸

(x

軸) に関して対称の位置にある。原

点

O

から点

z=x+iy

までの距離

r

は

z

の絶対値

|z|

に等しい。OP と

x

軸のなす角を

θ

とすると

z=x+iy=r(cosθ+isinθ) (1.9)

と書ける。これを複素数の極形式という。

θ

を

z

の偏角

(argument)

といい

argz

と書く。

r=|z|=p

x²+y², tanθ=y/x

(7)

であるから,

x,y

を与えると

r

は一意に決まる。一方,

n

を整数とすると

tanθ= tan(θ+ 2nπ)

であるから

θ

には

2nπ

の不定性がある。2π の区間に制限すれば

θ

は一意に決まる。これを偏角の主値といい

Argz

で表わす。通常,

−π <Argz≤π

または

0≤Argz <2π

とする。

−π <Argz≤π

の場合, tan

x

の逆関数

tan⁻¹x, (−π/2<tan⁻¹x < π/2 )

で表すと

x≥0

のとき

Argz= tan⁻¹(y/x), x <0

のとき

Argz=

( tan⁻¹(y/x) +π , y≥0 tan⁻¹(y/x)−π , y <0

である。

オイラー

(Euler)

の公式マクローリン級数

(1.3)

の実数

x

を複素数

z

で置き換えて

e^z=

X∞ n=0

zⁿ

n! (1.10)

により複素変数の指数関数

e^z

を定義する。複素数

z1,z2

に対して

e^z¹^+z² =

X∞ n=0

1

n!(z₁+z₂)ⁿ= X∞ n=0

1 n!

Xn k=0

n!

k! (n−k)!z₁^kz₂ⁿ⁻^k = X∞ n=0

Xn k=0

z^k₁ k!

z₂ⁿ⁻^k (n−k)!

n 0≤k≤n

k n≥k

右図より

n≥0 , 0≤k≤n

は

k≥0,n≥k

と同じであるから

e^z¹^+z² =

X∞ k=0

z₁^k k!

X∞ n−k=0

z₂ⁿ⁻^k

(n−k)! =e^z¹e^z²

になる。実数と同様に

e^z¹^+z² =e^z¹e^z²

が成り立つ。t が実数のとき

d

dte^zt= d dt

X∞ n=0

(zt)ⁿ n! =

X∞ n=1

zⁿtⁿ⁻¹ (n−1)! =z

X∞ n=0

(zt)ⁿ

n! =z e^zt

である。複素数

z

に関する微分は

102

ページ。

純虚数

z=iθ

の場合,

n

が偶数

(n= 2k)

と奇数

(n= 2k+ 1)

に分ければ

e^iθ=

X∞ k=0

(iθ)^2k (2k)! +

X∞ k=0

(iθ)^2k+1 (2k+ 1)! =

X∞ k=0

(−1)^kθ^2k (2k)! +i

X∞ k=0

(−1)^kθ^2k+1 (2k+ 1)!

になる。この実部と虚部はそれぞれ

cosθ

と

sinθ

のマクローリン級数であるから

e^iθ= cosθ+isinθ (1.11)

を得る。これをオイラーの公式という。

• e^iθ_∗

=e⁻^iθ, |e^±^iθ|=p

cos²θ+ sin²θ = 1 , cosθ=e^iθ+e⁻^iθ

2 , sinθ= e^iθ−e⁻^iθ 2i

•

極形式

(1.9)

は

z=re^iθ, z^∗=re⁻^iθ

になる。

• n

を整数とすると

e^inπ= (−1)ⁿ

より

e^iθ=e^iθ⁰

を満たす

θ

は

θ=θ0+ 2nπ

である。

•

オイラーの公式を使うと三角関数のいろいろな等式を簡単に導ける。例えば

e^i(α+β)= cos(α+β) +isin(α+β) (1.12)

eî(α+β)=eîαeîβ= (cosα+isinα)(cosβ+isinβ)

= cosαcosβ−sinαsinβ+i sinαcosβ+ cosαsinβ

(1.13)

(1.8)

より加法定理が求まる。

(8)

• e^inθ = e^iθn

より

cosnθ+isinnθ= (cosθ+isinθ)ⁿ

これをド・モアブルの公式という。

マクローリン級数を用いてオイラーの公式を導いたが, 次のようにしてもよい。e

^iθ

は複素数であるから

F(θ),G(θ)

を実数の関数とすると

e^iθ=F(θ) +iG(θ) (1.14)

とおける。

d

dθe^iθ=ie^iθ

より

(F^′=dF/dθ

など

)

F^′+iG^′=i(F +iG) =−G+iF ,

したがって

F^′=−G , G^′=F (1.15)

になる。これから

F^′′ =−G^′ =−F

である。微分方程式

F^′′=−F

を満たす関数は

sinθ

と

cosθ

であるから

A,B

を任意の実数として

F =Acosθ+Bsinθ , G=−F^′=Asinθ−Bcosθ

になる。

(1.14)

で

θ = 0

とすると

1 = F(0) +iG(0) = A−iB

より

A = 1, B = 0

になるから

F = cosθ, G= sinθ

である。

問題

1.3

ド・モアブルの公式より

cos 3θ= 4 cos³θ−3 cosθ, sin 3θ=−4 sin³θ+ 3 sinθ

を示せ。

問題

1.4 z³ = 8i

の解は

z³−8i=z³+ (2i)³

を因数分解すれば求まるが,

z =re^iθ

とおいて求めよ。求まった

z

を複素平面上の点として図示せよ。

問題

1.5 1 +z+z²+· · ·+zⁿ= 1−zⁿ⁺¹

1−z

より

(z= 1

は

z→1

の極限と見なす

) Xn

k=0

coskθ= cos(nθ/2) sin((n+ 1)θ/2)

sin(θ/2) ,

Xn k=1

sinkθ= sin(nθ/2) sin((n+ 1)θ/2) sin(θ/2)

を示せ。

問題

1.6 f(x) =x/(e^x−1) +x/2−1

は

f(−x) =f(x),f(0) = 0

を満たすから

n Bn

1 1/6 2 1/30 3 1/42 4 1/30 x

e^x−1 = 1−x 2 −

X∞ n=1

(−1)ⁿBn

(2n)! x²ⁿ,

ただし

|x|<2π

とおける。これで定義される正の有理数

Bn

をベルヌーイ数という。右表に具体的値を示す。

x

は複素数でもよい。

x= 2πi

で

x/(e^x−1)

は発散するから収束範囲は

|x|<2π

になる。

xcotx=ix+ 2ix

e^2ix−1 = 1− X∞ n=1

2²ⁿB_n

(2n)! x²ⁿ, |x|< π (1.16) tanx= cotx−2 cot 2x=

X∞ n=1

2²ⁿ(2²ⁿ−1)

(2n)! Bnx²ⁿ⁻¹, |x|<π

2 (1.17)

を示せ。

(9)

1.3

ベクトル

速度, 加速度, 力のように大きさと方向で指定される量をベクトルという。一方, 大きさだけの量をスカラーという。ベクトルは矢印を付けて

A⃗

と書いたり, 太文字

(ボールド体) A

で表す。x,

y, z

軸方向の単位ベクトル

(

大きさ

1

のベクトル

)

を

ex, ey, ez

とする。x,

y, z

成分が

Ax, Ay,Az

であるベクトル

A

は

A=Axex+Ayey+Azez= X3 k=1

Akek

と表せる。A

_x,Ay,Az

をそれぞれ

A1,A2,A3

とし,

ex,ey,ez

を

e1,e2,e3

とも書く。A の大きさを

|A|

で表す。つまり

|A|= q

A²_x+A²_y+A²_z

である。2 つのベクトル

A

と

B

のなす角を

θ

とするとき

A·B=|A||B|cosθ

でスカラー積

(

内積

)A·B

を定義する。A と

B

が直交する場合

(θ=π/2 ),A·B= 0

になる。なお,

A·A=|A|²

を単に

A²

と書く。

単位ベクトル

e_x,e_y, e_z

は大きさ

1

で互いに直交するから

e_x·e_x=e_y·e_y =e_z·e_z= 1, e_x·e_y=e_y·e_z=e_z·e_x= 0 (1.18)

である。これをまとめて書くと

(i,j

は

1, 2, 3

のどれかを指す

)

ei·ej =δij,

ただし

δij =

( 1 i=j

のとき

0 i̸=j

のとき

(1.19)

である。δ

_ij

をクロネッカーのデルタ記号といい, 非常に便利な記号である。

X3 i=1

a_iδ_i3=a₁δ₁₃+a₂δ₂₃+a₃δ₃₃=a₃,

一般に

X3 i=1

a_iδ_ij =a_j (1.20)

になる。スカラー積

A·B

を

2

つのベクトルの成分で表すと

A·B= X³

i=1

Aiei

·X³

j=1

Bjej

= X3 i=1

Ai

X3 j=1

Bjei·ej = X3 i=1

Ai

X3 j=1

Bjδij = X3 i=1

AiBi (1.21)

つまり

A·B=AxBx+AyBy+AzBz

である。

ei·A= X3 k=1

Akei·ek= X3 k=1

Akδik=Ai ∴ A= X3 k=1

Akek = X3 k=1

ek(ek·A) (1.22)

である。

P

の演算に関して次の点に注意せよ。

• X3 k=1

=X

k

, X3 k=1

X3 j=1

=X

kj

など簡略化して書く。

•

和をとる変数は何でもよい

,

例えば

X

i

ai =X

k

ak, X

ij

aibj =X

mn

ambn

物理数学

物理数学

目 次

基本的な知識

テイラー級数

複素数

ベクトル

微分

偏微分

多変数関数のテイラー級数

多変数関数の合成微分

ベクトルの微分

曲線

ベクトル場とベクトル演算子

ナブラ演算子の極座標表示

積分

多重積分

変数変換

線積分

次元でのグリーンの定理

曲面と面積分

ガウスの定理

ディラックのデルタ関数

ストークスの定理

常微分方程式

階常微分方程式

階線形微分方程式

定数係数の

階線形微分方程式

演算子法

独立変数を含まない

階微分方程式

べき級数と

階線形微分方程式

複素関数

複素関数

複素関数の微分

複素積分

コーシーの積分定理

テイラー展開とローラン展開

留数定理

コーシーの主値

べき級数

解析接続

鞍点法

複素積分と

階線形微分方程式

フーリエ解析

フーリエ級数

波動方程式

フーリエ変換

フーリエ変換と微分方程式

ラプラス変換

ラプラス変換と微分方程式

階偏微分方程式

代表的な偏微分方程式

波動方程式

波動方程式と境界条件

ポアソン方程式とラプラス方程式

ポアソン・ラプラス方程式とグリーン関数

極座標によるラプラス方程式の解法

拡散方程式

次元拡散方程式と境界条件

行列

行列

行列式

余因子展開と逆行列

行列に関する幾つかの性質

正方行列の固有値と固有ベクトル

エルミート行列の対角化

正方行列の対角化

連成振動

座標系の回転

曲線座標

索引

薩摩順吉 岩波基礎物理シリーズ

物理の数学

岩波書店

松下貢 裳華房テキストシリーズ 物理数学

裳華房

目次

薩摩順吉岩波基礎物理シリーズ

松下貢裳華房テキストシリーズ物理数学

寺澤寛一自然科学者のための数学概論

岩波講座応用数学

を簡単な関数で近似することは有効な方法である。最も簡単な近似は

次導関数である。したがって

という。これらの級数は収束するとは限らない。代表的なマクローリン級数と収束範囲を示す。

になる。したがって, (1.3) が成り立つ。

について示したのが次の図である。細い曲線がそれぞれに付けた整数

の部分和は項数が増すにつれて近似の精度がよくなる。一方, log(1 +

では同様であるが, 収束範囲外では全く近似していない。