電磁波の物理

電磁気学

Electromagnetics C

C

山田 博仁

電磁波の物理

情報ナノエレ コース 5 セメ開講

講義につい

1. 目的 : 古典的な電磁場や Maxwellて方程式について理解を深め、さらに そこから導かれる電磁波の性質を理解し、古典電磁気学の素養を 身に付ける

2. 内容

　　 - Maxwell 方程式の意味、定常状態での Maxwell 方程式の扱い

　　 - 波動方程式の導出と電磁波

　　 - 平面電磁波の性質（偏波、運動量、エネルギー）

　　 - 誘電体中の電磁波（位相速度、インピーダンス、分散、非線形効 　　 - 電磁波の反射、屈折、透過、回折、散乱現象果）

　　 - 導波路中の電磁波伝搬

　　 - 電磁ポテンシャルとゲージ変換

　　 - 遅延ポテンシャルと先進ポテンシャル 　　 - 電気双極子による電磁波の放射

3. 成績評価

　　出席点 (2 点 /1 回 ) 、レポートまたは小テストの合計で 60 点、定期試 験で 40 点

4. 参考書

　　太田昭男著、新しい電磁気学　培風館

　　砂川重信著、物理テキストシリーズ 4 　電磁気学、岩波書店 　　砂川重信著、理論電磁気学、紀伊国屋書店

　　日本語訳　ファインマン物理学Ⅲ、Ⅳ　岩波書店など

再試は行わないつもりです

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:

(

:

2

203

)

TEL: 795-7101

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※

B5

A4

遠隔作用と近接作

Coulomb の法則 用

遠隔作用 +q +Q

2

4 0

1 d

Q F q

 

d +Q +q

2

4 0

) 1

( r

r Q

E  

qE F  電荷 電荷

力 力

F F

電場 ( 電界 )

遠隔作用→近接作用 近接作用

0

) ) (

(

div 

 x x

E  ^e ) ( )

(x E x

F  q 力

F

F r

_e(x) は位置 x で の電荷密度

電場に関す る Gauss の 法則

両電荷間の距離 r が残っているという 意味において、これでもまだ遠隔作用的 な考え方

遠隔作用と近接作

クラシックコンサート 用

距離 : d

演奏が始まるぞ ! 遠隔作用

演奏が始まるぞ !

近接作用 周りが静かになった

前の席の人が大きくて指揮者が見えない 席が悪くて指揮者が見えない

タクトが上がった

あなたは、その「場」

の雰囲気を感じ取って 遠隔作用では、 いる

「場」という概念は 必要ない

Maxwell

0 ) , ( div

) , ( )

, ( div

) , ) (

, ( )

, ( rot

) , ) (

, ( rot







 









t

t t

t t t

t

t t t

e e

x B

x x

D

x x D

i x

H

x x B

E



ファラデーの電磁誘導則

アンペール・マクスウェルの法則 電場に関するガウスの法則

磁場に関するガウスの法則

0 ) , (

) , ( )

, (

) , ) (

, ( )

, (

) , ) (

, (















 









 







t

t t

t t t

t

t t t

e e

x B

x x

D

x x D

i x

H

x x B

E



E(x, t): 電場 (V/m) SI 国際単位系 H(x, t): 磁場 (A/m)

D(x, t): 電束密度 (C/m²)

B(x, t): 磁束密度 ( 磁場 ) (Wb/m²) i_e(x, t): 伝導電流密度 (A/m²)

_e(x, t): 真電荷密度 (C/m³) 物質中の電磁場を規定する基本法則

変位電流

古典

(

)

ニュートンの運動法則 復習

（第一法則）　慣性の法則

外力が働かなければ、静止している物体はいつまでも静止をつ づけ、運動している物体はいつまでも等速直線運動をつづける

物体 A がB に力 F （作用）を働かせてると、 B は A に同じ大き さで逆向きの力 -F （反作用）を同一作用線上で働き返す

物体に外力が働くとき、物体には外力と同じ向きの加速度が生じる。

その加速度の大きさ a は、働いている外力の大きさ F に比例し、

物体の質量 m に反比例する。つまり、 F = ma

F = G(m m’/r²) [m と m’ は二質点の質量、 r は両者の間の距離、 G は重力定数 ] 万有引力の法則

（第二法則）　運動の法則

（第三法則）　作用反作用の 法則

古典物理学の法則総決

Maxwell 方程式 算

c t

t

e e



 





























E B i

B E B E

0 2

0

0







電荷の保存則

( ファインマン物理学第Ⅲ巻第 18 章 )

t

e

e 

 





 

i

力の法則 ( ローレンツ力 ) )

(E v B

F  q   運動の法則

2 2 / , 1

)

( v c

m dt

d

 

 v

p F

p

万有引力

r r

m

G m e

F   ¹₂ ²

Maxwell

t t t





 ( , ) )

, (

rot B x

x E

1. ファラデーの電磁誘導則

磁場 ( 磁束密度 ) の時間的減少が、その周りに電場の渦を右ネジ方向に作る

変化する磁場の周りの電界は、そこに導線 ( コイル ) が有る無しに関わらず生じる たまたま導線が有ると、導線内の自由電子

が電界により動き、電流 I が流れる I

コイル B(x, t₂)

E(x, t₂)

B(x, t₃)

E(x, t₃) B(x, t₁)

E(x, t₁)

Maxwell

2. アンペール・マクスウェルの法則味

さらに、電場 ( 電束密度 ) の時間的増加が、その周りに磁場の渦を右ネジ方向に作る t

t t

t _e



 

 ( , )

) , ( )

, (

rot D x

x i x

H

定常電流が、その周りに磁場の渦を右ネジ方向に作る

i_e(x, t)

H(x, t)

E(x, t₁)

H(x, t₁)

E(x, t₂)

H(x, t₂)

E(x, t₃)

H(x, t₃)

Maxwell

3. 電場に関するガウスの法則 味

4. 磁場に関するガウスの法則

電荷密度が電場 ( 電束密度 ) の発散を引き起こす )

, ( )

, (

div D x t  _e x t

0 ) , (

div B x t 

磁場 ( 磁束密度 ) の発散源 ( 磁荷 ) は存在しない

D(x)

_e(x)

B(x)

_m(x)

その他の関係 式

t

t ^e t

e 

 





 ( , )

) ,

( x

x

i 

( 電流連続の式 ) )]

, ( )

, ( [ )

,

( t t _ex t

e x E x E x

i   オームの法則 )

(E v B

F  q   ローレンツ力 電荷保存則

( 構造関係式 ) 媒質中での扱い

) , (

) , (

) , ( ) 1

(

) , ( )

, (

) , ( )

, ( )

, (

0 0

0 0

0

t t

t

t t

t t

t

r

e

e

x E

x E

x E

x E x

E

x P x

E x

D



































) , (

) , (

) , ( ) 1

(

) , ( )

, (

)}

, ( )

, ( { )

, (

0 0

0 0

0

t t

t

t t

t t

t

s m

m

x H

x H

x H

x H x

H

x M x

H x

B



































_e: 電気 ( 比 ) 感受率 P(x, t): 分極ベクトル

 : 誘電率 (F/m)

_r : 比誘電率

₀ : 8.854185×10^-12 (A² ・ s² ・ N^-1 ・ m^-2)

_m: 磁化率 ( 磁気感受率 ) M(x, t): 磁化ベクトル

 : 透磁率 (H/m)

_s : 比透磁率

₀ : 1.2566371×10^-6 (A² ・ s² ・ N^-1 ・ m^-2) ややこしい矢号も自由に引けりゃ一人前 人の不幸ろくろく見ないで点引きゃ無情 覚え方

導線 導線

ローレンツ

) 力

(E v B

F  q   ローレンツ力

x

y

z v

F +q

B

電流

I F B F I

同一方向に流れる電流には引力が働く

B I v

フレミングの右手の法則

フレミング の左手の法 則

B v 電子

-e F

I

これらは全てローレンツ力で説明できる アンペールの法則

( 右ねじの法則 )

B v

電子

F -eI E = 0 なら

クイズ

[1]

B

一様な磁場 v

コイルに電流は流れるか ?

コイル

速度 v で移動

1) 図の方向に流れる

2) 図と反対方向に流れる

3) 流れない

I ?

[ 答 ]

参 ) 大田昭男著　新しい電磁気学

　　　 p.119 8.2 節参照

[2] 起電力は発生するのか ?

一様な磁場

1) 図の方向に電圧が発生する

2) 図と反対方向に電圧が発生する 3) 発生しない

[ 答 ]



回転する導体円板 B

参 ) 大田昭男著　新しい電磁気学

　　　 p.120 　例題 8.1参照

V + -

単極誘導

クイズ

[3] [2] で、円板は固定して、磁場

の方を回転させたらどうなるか ?

1) 図の方向に電圧が発生する

2) 図と反対方向に電圧が発生する 3) 発生しない

[ 答 ]

回転する一様な磁場 V



静止した導体円板 B

- + V

B

- +

S N

 回転する磁石

静止した導体円板

磁場の本質と は

?

V B

- +

S N



回転する磁石 静止した導体円板

両者は等価

V B

- +

 I

コイル

電流 I が流れてい るコイルを回転す る

静止した導体円板

x

y

z 一様な磁場 B +q v

v F

クイズ

[4] 磁場中を運動している荷電粒子のパラドクス

F = q v B

v = 0

荷電粒子と同じ速度で運動している観測 者から見ると v = 0

ローレンツ力が働き

、粒子はこちらに近 づいて来る

x

y

z 一様な磁場 B

v F

+q

従って、ローレンツ力は働かず、粒子は こちらに近づいて来ない。本当か ?

ローレンツ力と相対運 動

B_z

q+

E

-v

x’

y’

z’

K’

x y

z K

v

F

’ = q v×B

F_y’

電磁場とは何 か

?

場とは、空間の歪み

重力場 : 空間の重力的な歪み ? 電磁場 : 空間の電気的な歪み ? よくこんな図を見かけるが、、、

一体何が歪むのか ?

ゴムシートの上に重い球を乗せると、シートが窪む この場合、歪む「もの」が実体としてある

しかし電磁場の場合、或いは重力場の場合、そのような歪む「もの」が実体と してある訳ではない

ゴムの分子

クイズ

[5]同じ速度 v で、並走する 2 つの電子のパラドクス

v 電子

-e

v -e B

F

今、ロ－レンツ力による引力 と、クーロン力による反発力 が吊り合っているとする

F F F

v 電子

-e

v

F -e F

電子と同じ速度で並走してい る観測者から見ると、 v = 0 であるため磁場 B は存在し ない。従ってロ－レンツ力に よる引力は働かないので、

クーロン力による反発力のみ となり、 2 つの電子は次第に 離れていく

参

)

Maxwell

) 5 ( ) 0

, ( ) 1

, ( div

) 4 ( )

, ( )

, 1 (

) 3 ( )

, 1 (

) , 1 (

) 2 ( )

, ( rot )

, (

) 1 ( )

, ( ) grad

, ) (

, (

2 2 0 2 2

0 2

2 2











 

 



 



 







 





 



 







 





 





t t t c

t t t

c

t t t

c

t t

t t t t

e e

x x A

x i x

A

x x

x A x

B

x x x A

E





 





ローレンツ・ゲージにおいて、 Maxwell 方程式は次の方程式系で置き換えられる

2 0

0

 

  c

ただし、真空中を仮定して、 としている。

式 (5) は、ローレンツ条件と呼ばれている

ここで、 ϕ(x, t), A(x, t) は 各々スカラーポテンシャ ルとベクトルポテンシャ ルである

ベクトル解析の復 習

E E

E E

E E

E E

0







































































) (

) (

rot rot

ベクトル場) (

) (

スカラー場) (

) ( grad

div

0 ) (

rot div

ゼロベクトル) (

) ( grad

rot

2 









ガウスの定理





V S

dV

dS F

n F

ストークスの定理





S C

dS

dr F n

F ( )

dS F

V S n

dS

F S

C dr n 重要なベクトル恒等式

ベクトル解析の復 習



 







 



 



 













 















 



2 2 2

2 2

2

, ,

z y

x z y

x

演算子∇ ( ナブラ ) と ララララララの意味

勾配 (gradient) ‥ スカラー量に作用して、ベクトル量を導く演算子

z y

x y z

x z

y

x x e

x e x e

x x

x x

x 

 



 



 



 















 



 ( ) ( ) ( ) ( )

), , (

) ) (

( )

(

grad       

発散 (divergence) ‥ ベクトル量に作用して、スカラー量を導く演算子

z E y

E x

Ex y _z



 



 



 





 ( ) ( ) ( )

) ( )

(

div x x x

x E x

E

ナブラ∇と E(x) のスカラー積

スカラー積 ( 内積 ) AB  A^xB^x  A^yB^y  A^zB^z ( ベクトルと見なせる )

( スカラーと見なせる )

ベクトル解析の復 習

回転 (rotation) ‥ ベクトル量に作用して、ベクトル量を導く演算子

x z y

z y x x

z y

z y

x

z y

x

y E x

E x

E z

E z

E y

E

E E

E

z y

x

x e e x

x e x

x x

x x

x

e e

e x

E x

E



 







 



 



 







 



 



 







 



 











 







) ) (

) ( ( )

) ( ) (

(

) ( )

( )

( )

( )

( rot

ベクトル積 ( 外積 )













z y

x

z y

x

z y

x

B A B

A B

A B

A B

A B

A B

B B

A A

A e e e

e e

e B

A       

ナブラ∇と E(x) のベクトル積