流体の粘性項を

流体の粘性項を

気体分子運動論の助けを借りて 直感的に理解する方法 、

三重大学・大学院 生物資源学研究科

共生環境学専攻

地球環境気候学研究室 教授　立花義裕

作図協力：当研究室４年生一同

年６月１日バージョン

U



粘性項　　　　と書ける理由を理解することが目標！

*

図より下方面内の流体の平均運動量が増加することがわかる

*

運動方程式から運動量の変化率

　　であった。

面の間の運動量の交換→その面内の流体に力が働いている事と等価 応力

・速度差　　　　　　　に比 例

・　　 に反比例





応力の大きさは 応力

)

( z

u z

u



 

 



 



と書ける



_{は比例定数}

粘性係数

*

このように流体は速度差がある時に応力が働く。

上記のような応力を煎断応力と呼ぶ

力の向きと面の向きが平行

　シャーストレスとも呼ばれている

F

流体の粘性と方程式の粘性項

z ^u1

u2

z

2 u¹

u2 2

1 2u

u 

100

個

個

200

個

200

個

分子

10

個

10

個

10

個

10

個

U^:1

^割減る

^割増す

U^:0.5

^割減る

U^:0.5

^割増す

そのうちの

つについて説明をする

他の方向も同様なので‥

z

y ^x

) ( z zx 



) 0 (



このような応力は各面全てに考えることができる

z z

zx zx z

zx   

 _



 

 ₍₀₎

) (

*

図のような応力が働いているときの 　　の流体の単位を考える

*

作用反作用で同じ大きさである

*

これが受ける力　　は

y x y

x

F  _zx1   _zx0 

y x y

x z z

F  _zx0 ^zx    _zx0 



 







 



z y z x

F ^zx   



 

m z

y

x  



より単位質量が受ける力は

z m

F _zx



 

 1

z u

zx 

  



さらに　　　　　　　　　だから

2

1 2

z u z

u z

m F



 



 











 



 



*

他の方向も同様なので‥



 







 



 



 ² ₂ ² ₂ ²₂ z

u y

u x

u m

F_x





2u



  u 



 



*

　　　　も同様なので‥ y, z

2v, m

F_y



 

 w

m

F_z  ₂





と書ける

F

*

テイラー展開より

分子

1

2 2u

u 

u2

u3

u1 1

3 3u u 

U0

： 変化な

U し

粘性力に

階微分が含まれることの意味

流れが一次関数

この層には見かけ上、力は働かな い！

( つり合っている )

真ん中の層

緑色

　　　 に注目 u

分子運動によって 運動量を輸送

z

3u1

と

増え

る

10

個

10

個

個

2u1

が交換

u1

と

が交換

減る

流れが二次関数

真ん中の層

緑色

　　　に 注目

分子

1 2

2 2 u

u 

u2

u1 1

2

3 3 u

u 

U0

この層には力が働いていることと等 価！

u

分子運動によって 運動量を輸送

z

： 増える

U

9u1

と

増え

1

る

4u

が交換

u1

と

が交換

減る

u3

10

個

10

個

個 粘性力に

階微分が含まれることの意味

(2)

粘性力は

階微分を含 む

流れの形は変わらな い

加速なし 加速あり

粘性力

一次関数 二次関数

etc.

流れの形が変わる

粘性力に

階微分が含まれることの意味

簡単な粘性流の例

a)Couette

流

*

定常を仮定する

U P

U t U

U       









 1

2 0

2 2

2 2

2  



 







 



 





z u y

u x

u





2 0

2 



 z

 u ^_^_u^u _^_U⁰ _at^at _z^z _^_d^0_^

^であれば

d z u  U

0

ｂ )Poiseuille

流

d x d

p



 

 1

1 0

2

2 



 



 

z u x

p 

 ^{( )}

1 C const x

p 







2 0

2 



 

z

C  u C

z

u  





2

 2



 















d z

at u

d z

at u

0

0

であれば

) 2 (

2

2 z

C d

u  

 d

d

z  ^U

２階微分が粘性力？

• ラプラシアンが値を持つ→２階微分が値を持 つ→２階微分は関数の凹凸→ラプラシアンと は、２次元で考えればスカラー量の出っ張り や引っ込みを表す。→出っ張りは、ラプラシ アンが負、引っ込みは、ラプラシアンが正→

出っ張りは、引っ込む方向に力がかかる。

引っ込みは、出っ張るような方向に力がかか

る→太りすぎは痩せよ、痩せすぎは太れ！と

いうことを意味する。出る杭は打たれる。