１ [16センター本試 センター本試]
赤球 個，青球 個，白球 個，合計 個の球がある。これら 個の球を袋の中に入れ，
この袋から さんがまず 個取り出し，その球をもとに戻さずに続いて さんが 個取 り出す。
さんと さんが取り出した 個の球のなかに，赤球か青球が少なくとも 個含ま れている確率は アイ
ウエ である。
さんが赤球を取り出し，かつ さんが白球を取り出す確率は オ
カキ である。
これより， さんが取り出した球が赤球であったとき， さんが取り出した球が白球 である条件付き確率は ク
ケコ である。
さんは 球取り出したのち，その色を見ずにポケットの中にしまった。 さんが 取り出した球が白球であることがわかったとき， さんが取り出した球も白球であっ た条件付き確率を求めたい。
さんが赤球を取り出し，かつ さんが白球を取り出す確率は オ
カキ であり，
さんが青球を取り出し，かつ さんが白球を取り出す確率は サ
シス である。
同様に， さんが白球を取り出し，かつ さんが白球を取り出す確率を求めること ができ，これらの事象は互いに排反であるから， さんが白球を取り出す確率は セ
ソタ である。
よって，求める条件付き確率は チ
ツテ である。
アイ
ウエ オ
カキ ク
ケコ サ
シス
セ
ソタ チ ツテ
解説
さんと さんが取り出した 個の球のなかに，赤球も青球も含まれないのは，
人とも白球を取り出したときであるから，その確率は ･
よって，求める確率は
アイ ウエ
さんが赤球を取り出す事象を ， さんが白球を取り出す事象を とすると，
さんが赤球を取り出し，かつ さんが白球を取り出す確率は である。
･ であるから ･
オ カキ
さんが取り出した球が赤球であったとき， さんが取り出した球が白球である条件 付き確率は であるから
ク ケコ
さんが青球を取り出し，かつ さんが白球を取り出す確率は ･
サ シス
さんが白球を取り出し，かつ さんが白球を取り出す確率は， より
よって， さんが白球を取り出す確率 は
セ ソタ
さんが白球を取り出す事象を とすると，求める条件付き確率は
ここで， であるから
チ ツテ
さんが白球を取り出す確率は，取り出す順番によらないから， さんが白球を
取り出す確率は
２ [14センター本試(旧課程) センター本試]
下の図は，ある町の街路図の一部である。
ある人が，交差点 から出発し，次の規則に従って，交差点から隣の交差点への移動を 繰り返す。
① 街路上のみを移動する。
② 出発前にサイコロを投げ，出た目に応じて上図の ～ の矢印の方向の隣の交差 点に移動する。
③ 交差点に達したら，再びサイコロを投げ，出た目に応じて図の ～ の矢印の方 向の隣の交差点に移動する。 一度通った道を引き返すこともできる。
④ 交差点に達するたびに，③ と同じことを繰り返す。
交差点 を出発し， 回移動して交差点 にいる移動の仕方について考える。この 場合， の矢印の方向の移動と の矢印の方向の移動をそれぞれ 回ずつ行うので，こ のような移動の仕方は ア 通りある。
交差点 を出発し， 回移動して交差点 にいる移動の仕方は イ 通りある。
交差点 を出発し， 回移動することを考える。このとき，交差点 を出発し，
回の移動が終わった時点で交差点 にいて，次に 回移動して交差点 にいる移動の 仕方は ウエ 通りあり，その確率は オ
カキクケ である。
交差点 を出発し， 回移動して交差点 にいる移動の仕方について考える。
の矢印の向きの移動を含むものは コ 通りある。
の矢印の向きの移動を含むものは サシ 通りある。
の矢印の向きの移動を含むものも サシ 通りある。
上記 つ以外の場合， の矢印の向きの移動は ス 回だけに決まるので，移動の 仕方は セソ 通りある。
よって，交差点 を出発し， 回移動して交差点 にいる移動の仕方は タチツ 通 りある。
ア イ ウエ オ
カキクケ コ サシ ス セソ タチツ
解説
～ の矢印の方向の移動をそれぞれ ① ～ ⑥ と表すこととする。
求める移動の仕方は ③，③，④，④ の順列であるから
ア通り ③，④，⑤ をそれぞれ 回ずつ行えばよい。
よって，求める移動の仕方は ③，④，⑤ の順列であり
イ通り
交差点 を出発し， 回移動して交差点 にいる移動の仕方は， と同様に考えて 通りある。
よって，求める移動の仕方は
ウエ通り
交差点 を出発し， 回移動する移動の仕方は 通り ゆえに，求める確率は
オ カキクケ
① を含むとき
① を 回，④ を 回行えばよい。
よって，求める移動の仕方は ①，④，④，④，④，④ の順列であり
コ通り
② を含むとき
② を 回，⑤ を 回，④ を 回行えばよい。
よって，求める移動の仕方は ②，⑤，④，④，④，④ の順列であるから
サシ通り
⑥ を含むとき
② を含むときと同様に考えて，移動の仕方は 通りある。
上記以外のときを考える。
移動方法は ③，④，⑤ のみである。
③，⑤ 回ずつの移動は，④ 回の移動と同じである。
合計の移動回数が 回になるように移動することに注意すると，③，⑤ はそれぞれ 回，④ は
ス回だけに決まる。
よって，求める移動の仕方は ③，③，④，④，⑤，⑤ の順列であるから
セソ通り
， ， ， は同時には起こらないから，交差点 を出発し， 回移動して交差点
にいる移動の仕方は
タチツ通り
３ [09センター追試(改題)]
つの袋 ， ， があり，それぞれの袋には ， ， ， と番号がつけられた 個の玉 が入っている。袋 ， ， から 個ずつ玉を取り出し，その玉の番号をそれぞれ ，
， とする。このときの得点を次のように定める。
， ， がすべて同じ数であるとき，得点を 点とする
， ， の中の つが同じ数であり，残りの つがそれと異なる数であるとき，得点 を 点とする
， ， が互いに異なる数であるときは，それらの数から重複を許して選んだ つの 数の積，すなわち ， ， ， ， ， ， ， ， ， が表す数の中 で，異なるものの個数を得点とする
， ， がすべて同じ数である玉の取り出し方は ア 通りである。また， ， ， の中の つが同じ数であり，残りの つがそれと異なる数である玉の取り出し方は イウ 通りである。
次の エ ～ キ に当てはまるものを，下の ～ のうちから一つずつ選べ。
ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。
， ， であるとき，得点は エ 点である。
， ， であるとき，得点は オ 点である。
， ， であるとき，得点は カ 点である。
， ， であるとき，得点は キ 点である。
得点が ， ， のときの得点と同じになる確率は ク
ケコ であり，
， ， のときの得点と同じになる確率は サ
シス である。
また，得点が１０点であるときに である条件付き確率は セ
ソ である。
ア イウ エ オ カ キ ク
ケコ サ
シス セ ソ
解説
， ， がすべて同じ数である玉の取り出し方は
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， となる場合の
ア通り。
次に， ， ， の中の つが同じ数であり，残りの つがそれと異なる数である玉の取 り出し方の総数を求める。
， ， のうち，同じ数になるものの選び方が 通り
それぞれの選び方について，同じ数の選び方が ， ， ， の 通り それと異なる数の選び方が 通り
よって，求める取り出し方の総数は
イウ通り ， ， が，それぞれ与えられた数であるときの
， ， ， ， ， ， ， ， ， …… ＊ の値は，次の表のようになる。
， ，
， ，
， ，
， ，
， ， のとき， ＊ の値はすべて異なる。
よって，得点は 点である。 ゆえに
エ， ， のとき， ＊ の中で異なるものは，小さい順に ， ， ， ， ， ， 個
よって，得点は 点である。 ゆえに
オ， ， のとき， ＊ の値はすべて異なる。
よって，得点は 点である。 ゆえに
カ， ， のとき， ＊ の値はすべて異なる。
よって，得点は 点である。 ゆえに
キ玉の取り出し方は全部で 通り
， ， のときの得点は 点であり，条件と より， ， ， の つの数 の組合せが ， ， ， ， ， ， ， ， のとき，得点が 点となる。
ここで，例えば ， ， の つの数の組合せが ， ， であるとき，玉の取り出し方 は， ， ， が ， ， のどの数になるかを考えて 通り
同様に，組合せが ， ， ， ， ， のときもそれぞれ 通りずつあるから，得点が ， ， のときの得点と同じになる確率は
ク ケコ
また， ， ， のときの得点は 点であり，得点が 点となるのは， ， ， の つの数の組合せが ， ， のときだけである。
玉の取り出し方は，上と同様に 通り であるから，得点が ， ， のときの得点と同じになる確率は
サ シス
また，得点が１０点であるときに である条件付き確率は
セ ソ
４ [03センター追試(旧々課程) センター追試]
枚の硬貨を 回投げたとき，表が 回だけ出る確率は ア
イ である。
枚の硬貨を 回投げたとき，表が少なくとも 回出る確率は ウ
エ である。
枚の硬貨を 回投げたとき，表が続けて 回以上出る確率は オ
カ である。
枚の硬貨を 回投げたとき，表が続けて 回以上出ることがない確率は キク ケコ である。
ア
イ ウ
エ オ
カ キク ケコ
解説
表が 回だけ出る確率は
ア イ
表が少なくとも 回出るという事象は，すべて裏が出る事象の余事象であるから，
求める確率は
ウ エ
各回に表，裏が出る場合を
回目 回目 回目 回目 のように表すと，表が続けて 回以上出る場合は
表 表 〇 〇， 表 裏 表 表，
裏 表 表 〇， 裏 裏 表 表
となる．ただし，〇は表，裏のどちらが出てもよい．
よって，求める確率は
オ カ
と同様に考えると，表が続けて 回以上出る場合は 表 表 〇 〇 〇，
表 裏 表 表 〇，
表 裏 裏 表 表，
裏 表 表 〇 〇，
裏 表 裏 表 表，
裏 裏 表 表 〇，
裏 裏 裏 表 表
よって，求める確率は
キク ケコ
