面外せん断力を受ける弾性体内の複数個の
孔周辺応力，変形
平島健一
（昭和47年8月30日受理）Stresses and Deformations Around Holes Under Longitudinal Shear
Ken-ichiHIRASHIMA Synopsi8 1t is of importance to obtain the f皿damental data for the stress measurement around openings in an elastic medium and to estimate the fracture strength for the brittle ma・ terials， subjected to longitudinal shear． In thepres節t paperジthe following Problems・are studied：（1）stresses and deformations around two or more cylindrical openings with arbitrary cross sections in isotropic body under the longitudinal shear apPlied at infinity， and（2）stresses and deformations around two or more cylindrical openings with circular or elliptical cross sections in a plane anisotropic body under the longitudinal shear at infinity． The method of analysis are used the successive approximation to be obtained by the point matching approach based on the exact solution of isotropic or anisotrpic body containing a cylindrical hole． The numerical results of computation are shown for some typical cross sections under uniform longitudinal shear． For the particular cases of isotropic body involving two elliptical holes， the numerical results obtained by the present method are quite in agreement with the results obtained by others．
1．緒
言 面外（縦）せん断力が作用する場合の物体内の空洞 ないしクラック周辺の応力，変形の解析は地山内の坑 道周辺の応力測定，したがって地山を対象とする構造 体の設計資料をうるための不可欠の条件の一つであ り，また応力（ひずみ）集中論に立脚した材料のぜい 性破壊に対する強度評価にとっても重要なものであ る。したがって，これまでに空洞ないしクラックを有 する弾性体に面外せん断荷重が作用する場合の弾性応 力の解明が幾人かの研究者によって行なわれている。 たとえぽ，複素関数と等角写像を利用したSihの研 究1），微小転位の連続分布の概念を応用したBaren・ blattおよびCherepanov2｝，横堀，市川および大橋3｝ の研究，Hilbert問題への変換により有限項で表わさ れる解を導いたSihの研究4）等がその例である。こ れらの研究では孤立したクラックあるいは規則性をも った配列のクラック群の問題が取り扱われている。こ のほか，面外せん断荷重を受ける無限弾性体内の二直 線クラックの相互干渉についてはHilbert問題への 変換ならびに摂動法の適用により解を導いた玉手，山 田の研究5）がある。しかしながら，以上の研究におい ては等質の弾性体内の直線クラック（colinear cracks） がその対象とされている。 この論文は，等方性弾性体内に複数個（2ないし3 個）の任意形状の孔を有する場合，ならびに異方性体 内に複数個の円孔ないし楕円孔を有する場合の孔周辺 における応力および変形状態を複素変数法と選点法 （point matching method）を組み合せて理論的に解 いたものであり，この方法でえられた計算結果の特殊 な場合の応力集中係数が，他の研究者のものと比較検 討されている。2． 問題の設定，基礎方程式 ここで，面外（縦）せん断応力とは等方性または異 方性の材料でできた角柱の母線に沿って作用する，面 外方向のせん断荷重によってこの角柱内に生じる応力 を意味するものとする。また，問題を取り扱いやすく するために角柱の断面領域は無限に拡がっており，奥 行方向に直角な断面内の孔形状等は一定であるものと する。いま，Fig．1のようにz軸を柱体の母線に平行 （奥行方向）であるような直交デカルト座標系（x， y，z）を設けるとすれぽ，等方性ならびに二次元的な 異方性体に対して，面外せん断応力のもとでの応力， 変位成分は次式で与えられる。
≡㍍㌻）｝ （2・・1）
残りの応力成分τy、およびTxzのみは零とはならない。 したがって面外せん断応力状態のもとでの応カーひず み関係は，二次元的な一般異方性弾性体に対して，つ ぎのように表示できる。 o τOl 〃 Σ1 δ π 0 ， y Σ2／ ／’ 、 、@1
@1
’ λo ’ 1 π 0’ P＼、 、 ノ＿ノ S。 （a） ’ （b） ・ ，Fig．1 Geometry of elastic medium with cylindrical holes，ll：‡：：：：：：1：：：：：：｝一
物体力を無視しうる問題の場合，つり合方程式は誓＋鵠一・ （2・3）
となる。式（2．3）を満足する応力関数ψ（x，y）を導 入し，変位ωに対する関係式（2．2）から，次式の基礎 方程式がえられる。鵜裟一輪嘉＋四陛一・
上式を解くために，微分演算子：キ☆噺☆（le−1・2）
を導入すれぽ，式（2．4）は 1）1D2ψ＝0 となる。ここに， ass／t2−2a4sLt十a44＝0 の根であり， ＝μ2）である。いま，複素変数Zlを Zl＝x十PtiY （2．4） （2．5） （2．6） μ1およびμ2は特性方程式： （2．7） これらは互いに共役は複素数（i．e． μ1 （2．8） と定義すれぽ，式（2．4）の一般解はつぎのように求め られる。 ψ＝2Re［φ1（Zt）］ （2．9） したがって，応力ならびに変位成分は物体の領域で正 則な一・つの複素関数φ、（Zl）を用いて，つぎのように 表わすことができる。lll：蕊；ll；1召｝ （2・…）
w−2小一晋）￠・（Zl）］ （2・・1・b） なお，対象とする材料が等方性体の場合，特性方程 式（2．7）の根μ1は単位の純虚根（i．e． iCt i＝i）とな り，したがって，式（2．8）の複素変数z、をZoとおき かえるものとすれば， z。−x＋iy （2．8）’ 等方性体に対する応力，変位成分は，式（2．10）の代 りに正則関数φo（Zo）を用いて次式のようになる。1：＝鴛1；㍑；｝ （2・・1・・）’
w−−21。［a44φ・（z・）］ （2．10b）’ 3． 一個の孔を有する弾性体の応力，変位の解析 3．1境界条件 ． −tt Fig．1に示すように孔の内部に原点oをもつ直角座 標系（x，y， z）を設ける。いま，式（2．10）または（2．10）’で決定される孔の境界に沿う外荷重応力をZnと すれば， Zn＝τxz cos（n， Xo）÷τya cos（n， yo） （3．1） で表わされる。ここに，nは孔の境界線に垂直で孔の 内側に向う単位法線ベクトルであり，x。， y。は後述す るように孔の境界を表わす座標成分である。ところ で，この境界線上の時計回りの単位法線ベクトルをs． とすれば，式（3．1）の方向余弦は今考えている内部境 界をもつ問題では次式で与えられる。 ・・s・（n，・x・）一寄・…（n，…）一誓（3・・2） さて，式（3．1）に式（3．2）および（2．10）あるいは （2．10）’を代入し，境界線に沿って積分することによ り，複素関数φ1（Zl）あるいはφ0（20）の満足すべき条 件式がつぎのように求められる。 2R・［φ、（z、）］一一轣Fz・ds＋c， 2R・［￠・（・・）］一一轤X．z・ds＋c， （3．3） （3．3）’ ここに，C、は積分定数であって，この節で考えている ような単結合領域問題の場合，任意に選べる定数であ る。 ところで，孔の周縁に働く外荷重応力に対する境界 条件式として， Zn＝一［τxzo cos（n， xo）十τyffo cos（n， yo）］ （3．4） を採用するものとすれば，上式は孔縁に一様な応力成 分一τ。、oおよび一τ，J、°が作用した場合のものである から．自由境界の孔をもつ柱体の無限遠より一様な面 外せん断荷重τxzoおよびτ品が作用する場合の応 力，変位は式（3，4）を境界条件式として，式（3．3） あるいは（3．3）’で計算した複素関数による結果（式 2．10）あるいは（2．10）’）に，それぞれτ。、O，τy、oおよ びwoを加え合せたもので表わされることになる。 以下では説明の都合上，問題を等方性および異方性 の二つの場合に分けて考えることにしよう。 3．2 任意形状の孔を有する等方性体の場合 等方性体内の任意形状の孔の内部に原点をもち，孔 の母線b： z軸に平行で，これに直交してx，y座標とな る直角座標系（x，y， z）を設ける（Fig．1（a）参照）。そ の孔の境界X1は一般的に次式で与えられるものとす る。 レ
：：ll：：lll…｛ll：∴：㌫｝
m；1 （3．5） ここに，αm，βmは孔の断面形状によって決まる実 定数であり，レは正の整数を表わす。またθはX軸の 正の方向より反時計回りに測った角度である。孔の形 状および偶角部の曲率が種々変化した場合の，これら の係数値が幾人かの研究者により求められている6）。 上式のように任意形状の孔を表わすものとすれば， 物理平面z。（＝x＋iy）内の孔の境界およびその外部領 域を レ Zo≡ω（ζ）一αoζ＋Σ（αm＋iβm）ζ一m （3．6） m＝1 によってζ一平面内の単位円上およびその外部に等角 写像することができる。 式（3．・2）に式（3．・5）からの結果を代入すれぽ，式 （3．1）の値が求められるから，式（3．3）’の右辺の積 分が比較的簡単に遂行できることになる。そこで，い ま等方性体内の応力，変位を決定する複素関数φ。（20） を次式の形式： φo（Zo）＝Σ Emζ’m （3・7） m＝1 で求めるものとすれば，式（3．3）’の右辺の積分より， 複素係数㌫は外荷重応力成分τxg°， ryz°および孔の形 状を表わす係数砺，βmを用いて次式のようにえられ る。 ・，−X｛（｛）・yz・−i（α・一α1）Txz・ 一β、（τx、O−iτy，O）｝， ε。一 ｛α・（・，z・＋i・…）一βm（一‘ぴ・）｝・ （2≦m≦レ） み一〇， （m≧レ＋1） （3．8） 3．3 楕円孔を有する異方性体の場合 等方性体の場合とは異なって，異方性体の場合には 複素関数φ1（Zl）を求めるために特性方程式の複素根 μ1を用いた写像を行なわなければならない。その場 合，φ1（21）を無限遠において2位以上の極を持たない ような解析関数の形で求める必要があることから，孔 の形状としては円孔ないし楕円孔の場合についてのみ 解析解がえられる。したがって，この場合の孔形状は Xo、＝＝ a cosθ， yo＝bsinθ （3．9） で表わされる。ここに，a， bはFig．1（b）に示すよう に楕円孔の主軸長を示し，θはx軸より反時計回りに 測った角度である。これは式（3．4）において， v−1，αo＋α1＝＝a，αo−crl− b，β1−0 （3．10） とおいたものに相当する。 したがって，この孔をもつ異方性弾性体の物理平面 z。をζ一平面上の単位円とその外部に写像する関数は炉ω（ζ）−9｛（・＋b）ζ＋（a−b）ぐ1｝（3・・6）’ となる。また，複素関数φ1（21）を求めるために，Zl＝ x＋PtlYによって， Zo一平面上の楕円孔の境界およびそ の外部領域を91一平面上の境界とその外部領域に変換 し，さらに， 炉助ω一丁｛（・−i，・Pt，b）ζ・＋（・＋i，・Pt，b）ζ「1｝ （3．11） によって，21一平面上の領域をζ、一平面の単位円上およ びその外部に写像して問題の解を考える。このように すると孔の境界上ではζ＝ζ1≡a（＝＝ eiη）が成立する。 いま，異方性体の応力，変位を決定する複素解析関 数φ1（Zl）を等方性体の場合の式（3．7）と類似の形 式： co φ1（z1）＝Σ i．ζ・．”nt （3．12） 〃τ＝1 で求めるものとすれば，複素係数㌫は次式で与えら れる。
蕊嘘ごり （3・・13）
2．0 1．0 0．0 一1．0．ρニ1／2 一2．0 一3．◎ ハ1／16 兎＝1．0［square〕 ゐ＝2．0 ［rectangular〕 ところで，式（3．5）あるいは（3．9）で与えられる ような孔に沿う直交曲線座標系（r，θ，z）内での法線 方向の面外せん断応力をτ。x，接線方向のそれをτeaと すれば，応力および変位の基礎関係より次式が成立す る。 3／16 1／8 ρ＝1／2欝簿（巫dy）｝
（3．14） したがって，式（3．7）を応力，変位の式に用いるこ とにより，式（3．5）で表わされるような任意形状の孔 を有する等方性体の無限遠に一様な面外せん断荷重が 作用するような問題カミ容易に解ける。たとえば，Fig． 2は正方形⑭一b／a＝・1．0）および長方形（le−2L・O）の 孔が存在する場合の孔周縁に生じる応力τe、の分布を 孔の偶角部の丸み（ρ・・ro／2b）をパラメータとして図 示したものである。図には対称性あるいは逆対称性が 明らかであることからπ／2の範囲についてのみ図示 されている。なお，孔の形状を表わす係数αm，βmぱ Hellerらの与えた結果6ノ（y＝7まで採用されている） を利用した。まったく同様の手順によって式（3．9）で 与えられる楕円孔をもつ二次元的異方性体に対 する問題が解ける。その一例として二次元的な 180° 1／4−（・1・−1・0） Fig．2 Typical longitudinal stress distribution along edge of（1）asquare （k＝b／a＝1．0） or（2）arectan・ gular （k一2．0）． hole i血isotropic body subjected to uniform stress rxzo or ryzo at infinity・ 4．0 2．0 0．0 一2．0 e＝1．0 （Isotropic） 〔9 ＝90°〕 2．0 5．0 10．0 直交異方性体（直交する主せん断弾性係数を G13， G23とする）内に円孔を有する場合のこの 孔縁に生じる応力τegの分布を主せん断係数比 e（−G23／G13）ならび？e Gi3の面とX軸とのな す反時計回りの傾斜角qをパラメータとしてプ ロットしたものがFig．3に示されている。図 では，対称性からψ一〇°，q 一・ 90°の場合に対 してπ／2の範囲について，また逆対称性から q ・＝ 45°の場合に対してπまでの範囲について図 示されている。なお，この場合の弾性コンプ ライアソスa44， a45およびa55・（式（2． 2））は Gi3，G23およびqにより次式で表わされる7｝。 2 2 a・・−Cﾑ，ψ＋Si’lliignl3q ・ 2 2 ・・5−S￨，°P＋C緩、“ a…一 i1 1G23 G13）…輌 （3：15） 2．o e＝1・o（Is・tr・pic 4．複数個の孔を有する弾性体の応力，変位の 〔9＝4問 解析 Fig．3 Typical longi，tudinal stress distribution along edge of a circular hole in orthotropic body sub・ jected to uniform stress rxz°or rvff°at infin・ity・ 前節で求まった弾性体内の1個の孔周縁およ びその近傍の応力，変位から，選点法を活用して複数個の孔を有するような多連結領域の問題が解け る。ここでは簡単のため2個の孔が任意距離はなれて 位置する場合についての解法の概略を示そう。この方 法は3個以上の孔が存在する場合も原理的にまったく 同様な操作を行なえばよい。なお，選点法を利用した 多連結領域の境界値問題の解法についての詳細は文献 （8）を参照されたい。 4．1等方性体の場合 いま，Fig．1（a）のように2個の大きさおよび形の異
なる任意形状の孔XiおよびX2のおのおのの中心
o，o’ 原点とする二つの直線座標系（x， y， z）およ び（x’，y’， zt）を設ける。これらの中心間の水平お よび鉛直距離をそれぞれSoおよびhoとすれば，これ らの座標系間にはつぎの関係が成立する。 xt＝＝x十So， y「＝2ノ十ho， 2t＝＝z （4．1） 中心o’を囲む任意形状孔i2の境界は次式で与えら れると仮定する。 ・ 1：：二1：：：ll欝：：lll：：ll：：き：｝ （4．2） ここに，θ’はx’軸の正方向から反時計回りに測った角 であり，孔Xlの境界を示す式（3．5）中のθと同じ方 向にとるものとする。 さて，座標系（x’，y’，2’）内に任意形状孔i2のみ をもつ単結合領域に対しても前節と同様に複素平面 2。’ i−x’＋iyt）を考え，この孔X2の境界およびその 外部をζ’一平面（ζ’・＝p’eiη’）の単位円およびそめ外部 に写像するものとすれば，式（3．6）と類似の式： pt 20Lあ（ζ’）＝α。’ζ’＋Σ（αnt十iBn’）ζL・（4．3） n＝＝1 が成立する。 ところで，式（3．6）の20と式（4．3）のZotとの間に は，式（4．1）の関係から， Zo’＝＝・Zo十（So十iho） （4．4） t が成立するゆえ，これよりζとζ’の関係として， yt CUOζ”＋1＋｛（SO＋iho）一α0’ζ’一Σ（απ’＋iβn’）ζ’−n｝ζ・ ’ n＝1 ソ ＋Σ（eVrn＋i Brn）ζ・’m−O m＝1 あるいは， （4．5a） り qo’ζ’〆＋1−｛（SO＋仇0）＋α0ζ÷Σ（αm＋iβm）ζ一m｝ζ’〆 7π＝1 り’ ＋Σ（α。’＋ゴβ。’）ζ’〆一・−0 n＝1 がえられる。 （4．5b） ここで，前節と同じように座標系（x’，y’，ピ）内で の複素解析関数φo＊（20）に対する式を oo φo＊（Zot）＝Σ］Ele’C”−k （4．6） k＝1 の形に仮定すれば，これ以降の操作は著者の先の論 文8）の手法によって行なえばよい。なお，式（4．6）の 複素定数Ek’は選点法の適用により， 一一∫9z・ d・一 co’＋菖（c・・eil・et＋E・’・一・ket）（4・7） の形式の式から決定できる値である。 ただし，この節で取り扱っているような任意形状の 孔を対象とする場合，式（4．5）に示したような（レ＋1） 次あるいは（〆＋1）次の高次代数方程式を解かなけれ ばならないが，これは電子計算機により，容易に解く ことが可能である。 4．2異方性体の場合 Fig．1（b）に示すように，大きさおよび形の異なる楕 円孔ii，Σ2のおのおのの中心0，0’を原点とする二 つの座標系（x，y，2）および（X’， y’，2’）を設ける。 これらの座標系間にはつぎの関係が成立する。 t t ■蹴：；三‡；：｝ （4・・8）
楕円孔E2の境界は次式で与えられると仮定する。 Xot＝at cosθ’， Yo’＝btsinθ’ （4．9） 複素平面Zl「（−X’十PtiY’）をζ1L平面の単位円とそ の外部に写像すれぽ，次式が成立する。 ・1LT｛（dLiptlb’）ζ1’＋（d＋ゴμ・b’）ζ1−・｝ （4．10） ここで，21とZl’との間には式（4．8）より ‘ ・1L・・Sη｛・・＋（S・＋Pt，h・1）｝−Sinη｛μ1・1 ＋†（1＋μ・2）（ζ1一ζピ1）一（h・一μ1・・）｝ （4．11） の関係が存在するゆえ，ζ1とζ1’との間の関係がえら れることになる6 いま，座標系（’ ”x・y・z）内での複素解析関数 φ1＊（Zl’）を oo ‘ φ1＊（glt）＝Σ］ik’ζ1’−k （4．12） k＝ 1 の形に仮定すれば，以後の操作は4．1節の場合と同様 にして2個の孔周辺における応力，変位の解析が可能 となる。 5． 数値計算例 t 数値計算に際してまず，この解法の精度を検討するTable l Comparison of the results obtained by this solution and bipolar coordinates solution， for the case of isotropic body containing two equal circular holes． （a） so／2a＝1．50 （b） so／2a＝1．20 θ 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° τθa（v〃ae＝1．0） Bipolar solution9） 2．144 2．077 1．879 1．564 1．151 0．668 −0．141 −0．404 −O． 948 −1．484 −1．999 −2．420 −2．594 ∠θ＝2．5° m＝ 20 i＝6 2．144 2．077 1．879 1．563 1．151 0．668 −0。141 −O．403 −0．948 −1．485 −1． 999 −2．420 −2．594 rθ。（r。。°＝1．0） Bipolar solution9） 0．000 −0．503 −0．969 −1．365 −1．659 −1．829 −1．858 −1．741 −1．484 −1．117 −O．702 −O．318 0．000 Aθ＝2．5° m＝20 i＝6 θ 一〇．002 −0．503 −O．969 −1． 365 −1．659 −1．829 −1．858 −1．741 −1．484 −1．118 −0．702 −0．318 −O．001 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° rθ，（r、。°＝1．0） Bipolar solution9） 2．227 2．161 1．967 1．660 1．260 0．793 0．289 −0．231 −0．765 −1．355 −2．104 −3．020 −3．535 Aθ＝2．5° m ＝20 i＝6 2．227 2．161 1．967 1．660 1．260 0．793 0．289 −0．234 −0．765 −1．356 −2．104 −3．019 −3．532 τθa（rxeO＝1．0） Bipolar solution9） 0．000 −0．501 −O．966 −1．359 −1．649 −1．810 −1．825 −1．681 −1．378 −O．945 −0．473 −0．136 0．000 dθ ＝2．5° mニ20 i＝6 一〇．002 −0．501 −0．966 −1．359 −1．649 −1．811 −1．825 −1．681 −1．378 −O．945 −0．473 −O．136 −0．008 Table 2 Comparison of the results obtained by some investigators， for the case of isotropic body containing two equal colinear cracks． So／b Oo 2．00 1．00 0．50 0．25
T・m…＆Y・m・d…1…1・・923・1・・86・4i
Yokobori et a13） 1・・・…1 ・・92441 b・SS491・・79881・・7622 Author ろ／a 10．0 100．0 1000．0 ・．・… 1・…951 ・・SS32｛・…681…7974 ・．㎜1…924・1 ・・SS47 i ・・79941…7686 ・．・…1ぴ924川…8553i ・・79891・・767・ ために，2個の等円孔を有する等方性板の無限遠にお いて一・様な面外せん断荷重τ。z°およびτy、oが作用した 場合の孔．Σ、の周縁での応力τezを，双極座標系を用 いた解法による結果9）と比較してみる。Table 1（a）お よび，（b）は2個の等円孔の中心間距離s。と円孔の直 径2aとの比So／2aをそれぞれ1．50および1．20とし た場合の結果を比較したものである。本論文の解法に よる計算では孔の境界上での選点数を中心角∠θ一 2．5°間隔すなわち144点とし，式（4．6）の級数式の 項数mを20まで採用し，繰り返し回数ゴを6回行な って求めた結果である。この表より両者の結果はほと んどまったく一致していることが認あられる。 横堀ら3）；玉手および山田5）らは2個の直線クラッ ク（colinear cracks）の相互干渉について研究し， Fig．1（b）の図においてop・・o， b−b’， a・＝ a’ ＝・ o； ho−o の形状，位置の2個のクラックを有する等方1生弾性体 に，無限遠よりτxa°の面外せん断応力が作用する場合 の，クラック先端での応力集中係数をクラヅク間距離 s。をパラメータとしたいくつかの数値計算結果を与え ている。これらの結果と比較するために，it’L． O， ho− O，b＝b「， a＝atとし， b／aを10． 0，100．0ならびに 1000．・0として計算した結果を示したものがTable 2で ある。ここに与えた数値はSo／b＝。。すなわち1個め 楕円孔が存在する場合の計算結果とs。／bのそれぞれ の値との比（つまり応力集中係数比）が示されている。 この表より，他の研究者による結果と著者のそれは b／aが大きくなるにしたがい非常によく一致している といえよう。なお，この計算においては，b／aの値に かかわちず，選点を孔の中心における等角度間隔刀θ ＝2．5°（i．e．144の選点数）とし， m＝20，‘＝4∼ 7回とした結果である。 以上の計算例の比較によって，著者の方法は非常に 精度のよい結果がえられると考えられる。 そこで，つぎに無限遠より座標軸方向の外荷重応力 τ。、oあるいはτゾが作用した場合のいくつかの計算例 を示そう。3．0 τ．θτ ．（、 1／16 、 Isotropic（e＝1．0） ∬ ノ 1 〃 ．’， f 、 1／8 D3o膓・一芸一；i・ γ6
ﾒ
ポ 駕ノ ，ポ 工 −、D∠
＼ ノ ｿ ro D0 α （τ；、−1．0）・ ρ＝1／2（circular） 80＝3α @ 瓦＝旦 2．0 P．0 O．0 P．0 ＝艀＿Lo，。＿。・ α α（equal SqUare h・leS） 0° 20° 40° 60° ．80° 100° 120° 140° 160° 18 ρ＝1／2 （τ；、＝1．0） 、 1／4 R／16 、 ． 2．0 R．0 1／8 ρ＝1／2（circular） 1、 ’， ’ ， 1／16 、 2．0 1．0 0．0 一1．0 一2．0 w。 ⊥．0 0．0 Fig，4 Effects of the rounded corners on the stress concentration around the hole E， in isotropic body containing two equal square holes． ∠／：XX・ 180° 一1．0 （×α／G、3） 1．50 ＼＼・・／2・＝。。 s。／2α＝。。 （・・eh・1・）＼＼＼／ （a） 5＝：ご＝ニー＾、、 ，一一一一A ∨ ザ ’声． S’ @一一’一一 一＿、 一＼1．20−’一一一一＾−1∼ 、＼ 、w 1．50 ：；4二ご ， ’ 一 C 員 、 、 @ 、、 、 （τ；τ＝1．0）＼ヌー、＼ン 、 s。／2α＝。。ベミ’ ’← ’ 、 、 @ 、 、 、 、、 （。neh。1，）べ 0° 20° 40° 60° 80° ㍉ユ00°＼120° 140° 160° 180 x ）d；e ＝＝i・o）王・ザi：，δ一一一 （b） t Fig．5 Stresses rθz and deformations wz aro皿d the hole Xl in isotropic body containing two equal square holes． 2．0 1．0 0．0 一1．0 一2．0 一一R．O Fig．6 z，τ多z 一 1 @！ f 、一 、 @ 、 around ．Σ1 ノ 一 ／ 、、 τθz ㌶ y ’ ！ f 、 τ：，around 易 ノ ＿一 （弓．・＝1．0） 、、 ゐ＝b／α＝ポ @ 〆＝2α， ／α’＝LO ro n b’ ノ 勾 違 ｜ べ・、 、 ＼こ、 、 、 ρ＝γ。／26＝γ6／2b’＝1／8幽
゜’マo° 40° 60° 80°べ100° 、、 @、、 120° 140° 160°／180 ’ ＼ 、 、 1 ’ ＼＼ 、、 ＝ 、、 ’ 、 ’ ” O’（・；， ＝1．0） 、＼ 、 、、 、 〆 Iづ 一’ ／ A、 一！！ ・N、 ’ A ／ ！ Typical example of stressesτox and vegt around the holes Σコ， X2 in isotropic body containing two unequal square holes． Fig．4は等方性体内に2個の等しい正方形 孔を中心間距me So ＝3aの位置に設けた場合の 右側の孔X、の周縁に生ずる応力τezを偶角部 の丸みρをパラメータとしてプPットしたもの である。これは1個の正方形孔のみが存在する 場合（i．e． s。／2a−。。）の孔縁応力τeeを示し た，Fig．2の左半分の図に対応するものであ る。これらを比較すると，ここに例示した中心 間距離の程度では両者の場合でほぼ5∼8％程 度の差異（増減）が認められる。しかしなが ら，特に，τ。、o−1．0が作用する場合，孔Σ1の 周縁上のθ ・＝ 130°付近の応力集中率はかなり 顕著に減少することが観察される。これに反 し，τy、O−1．0が作用する場合には，θ一180°付 近の応力はθ一〇°付近に比較して15∼20％程 度の増大がみられる。 Fig． 5（a）はFig．4の2個の等しい正方形孔 （ρ＝1／8，b／α＝1．0）の接近度によるΣ1の孔 縁での応力分布の変化の様相をしらべたもので ある。図中の点線で示したものは， So／2a＝。。 すなわち1個の孔のみが存在する場合のもので あり，中心間距離の変化により応力集中状態は 図にみるように変化する。これらの傾向は面内 荷重が作用する場合の結果1°，と同じような挙動 をしているといえる。Fig．5（b）はFig．5（a）の 場合の孔縁での変形w、の分布図を示したもの である。点線は1個の孔のみが存在する場合の ものである。 Fig，4および5に示した結果はいずれも等し い大きさの孔をもつ場合についてであったが， 一般的に孔の形状，大きさが異った場合の一例 を示すとFig．6のようである。これは2個の大 きさの異なる正方形孔（d−2a，ρ一ρL1／8）が その中心間隔So−4aで位置する場合のおのお のの孔縁に生じる応力τθ、およびτ，ノの分布を 図示したものである。点線は先程と同じく1個 の孔Xiが存在する場合のものであり，実線は 孔Xi上の，また一点鎖線は孔X2上の面外せ ん断応力を表わしている。孔形状ならびに外荷 重の対称性からπまでの範囲にわたって示され ている。図にみるように小さい方の正方形孔 Xiはかなり顕著な応力の増大または減少を示 しているのが認められる。 以上は等方性体内に2個の任意形状孔が存在 する場合の応力，変形の分布図の例であった2．0 1．0 0．0 一1．0 一2．0 一3．0 、 一 、 @ ＼ご @；＝乙 f一一一一 、 @ ぶ一『一で 〔ρ＝0°〕∼ 、、、一、、 ＼ ご Orthotropic （ε＝2．9） P．20 0 9 穿 ﾆx κ 、 P．20 、緊。 ＼・’
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0 α （τ；z＝1．o） 1．50》 oo 、 、 A 、 A、・ 1．50 @ 3。／2α＝。・ α 30hole） 〔ψ＝90’°〕 べ （・ne circular 0 20° 40° 60° 80° ミ！00も、120 ゜ 140° 160°−180，／， ＼ ＼ 〔ψ一90°〕＼、ご 、 ’@ ， ’ ^∠／ ノ ^！！ 、 、ミ oo 1．501．20・、 ’ ！^ ！ 〆 1 鴫一駝 一 ＿コ ープ ’＿ご， ’心： 一一一一一 、、 ／ 0 （τ；z＝1．0） 、 ，／ 1．20 〔9・＝O°〕＼ 、 ’ 一一 ミ 、＼ @ 、こ、∼ s。／2α＝。。 1．50 、 ＼ 、 0 （one circular hole） ・A 、＼ 、 Tθt 2．0 （a） （×τ；、） 1．0 0．0 ξべ Orthotropic ’（e＝＝2．0，g ＝14se） ・ミ・ （・膓一・・六ミ翌9。 ノ当撰認』輌
’ ’ ！ 〆 1．20 、 1・50 〃 t，／ へs ．．≧う’ 〃’ ／4’ ＼s 0° @40°80°・，・e120°160°・200『240膓γ280 °’ 一1．0＼
” 、 、 ！s〆So／2α ：Oo 320° 360° 一2．0 一3．0 Nベ−ノ （τ；，＝1．0） ’’ ノ’ ’ x （one circular 尉e）’ tl 、 、 、 N ＼ N ＼＼一 ＼ 、 ノ！’ @So／2α＝○○ 1．50 ’1．20 一 一 ＿ 1 〔θ＝0°〕10．0．0° @ ． 一 噛 一一一 、 @、 @一 鼈黶@ ∼ s、 「 A 、 、 5．0 一 、 0° 鼈鼈 一一r e＝2．0，ρ＝0°一 一 ← 一丁一一∼一一一一 @ e＝1．0（lsotropic）、、一一＿一 一一一一一一＿ 」 ＿ 一 e＝2．0，ψ＝90° 5．0，90° 10．0，90° 0・0壬L20−1．50 2．00 s。／2α Q・巨o TR．00 3．50 4．0 R．0 Q．0 @τθz P．0 ￨1．0 ￨2．0 ￨3．0 ￨4．0 ￨5．0 e＝10．0，90° 5．0，90° ’ Q．0，90° ノノ ’ @ ’ @ ’ @ ’ @’ I ’ @ ／ ’ 一一一’ ’” ’ 一 C− @ 5．0，0° 7， ＿ ’ 一一・ 一一一 ’ ’ ， ノ ー @10．0，0° ， 一 一 ノ @／1’ （θ＝G、3／G23） 〔θ＝180°〕一 Fig．8 Effect of the ratios e of stress concentration of typical points aro− und the hole Xl in orthotropic body containing two equal circular holes under the external stress ryzo・ ＼， （b） ］Fig．7 Stressesτee around the hole EI in orthotropic body （e＝G13／G23＝2．0） containing two equal circular holes． が，つぎに2次元的な異方性体内の2個の円孔周辺の 応力，変形の数値例のいくつかを以下に示す。Fig．7 は二次元的な直交異方性体（主せん断弾性係数をG、3 およびG23とし， e−G13／G23−2．0とする）内に2個の 等円孔ii， x2が存在する場合に，無限遠よりτxa°あ るいはτ．ya°が作用したときの右側の孔Σ、に生じる周 縁応力τezを2円孔の中心間距離および主せん断係数 の方向ψをパラメータとして図示したものである。 Fig．8（a）はq−O（つまりxz面に平行な面内の主せん 断係数がG13， yx面に平行な面内のそれがG23）およ びop 一 90°（つまりyz面に平行な面内の主せん断係数 がG13， XZ面に平行な面内のそれがG23）であるよ うな場合のτθzの分布である。外荷重および異方性軸 の対称性からπまでの範囲にわたって示されている。 Fig．7（b）はψ 一・ 45°（したがって，弾性定数は式（3．15） に従って変換した値をもつ）の場合についての結果で ある。この場合には孔．X1の全範囲＠． e．2π）に対 して図示されている。これらの図において，点線で示 r 5．0 Aノ 0．25 0．50 ／ ＝ちニー’． 0．75 A Fig．9 Stresses ryz on the x−axis between the two equal circular holes in orthotropic body with the spacing so／2b＝＝1．50， when the uniform stress rvee ＝1．Oapp’ lies at infinity． したものはs。／2a−・・つまり1円孔のみが存在する場 合のτθzの分布であり．，これは当然のことながらFig． 3のe−2，0に対する結果と一致している。なお，図 中の実線はτx、o＝1．0，一点鎖線はτ，J、o ＝ 1．0が作用し た場合のものである。 上図にみるように，円孔の接近度So／2aにより応力 集中率がかなり変化することが観測される。そこで，’幽 Fig．10 （q ＝°°） ge θ’
σ㎡一2α ゜ 鳶一・・
④’ ㊤ 2・o・・9・＝O° e＝1・0． 10．0，9＝0° 2．0，ψ＝0° 10．0，g＝0° So＝・4α Stress Scale：（×τo）−
0 2． 4． 6． 卜＿＿＿＿F＿．一＿ド＿一吋 0． 2． 4． 6． （a） （b） Typical example of stressesτee，τeat and deformations we， w2t around the holes E，， X2 ’哨’孝
@③． ’／ ’ ’1 ・ ’⑤・・＝m
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ｿ’＝2α ．，へ’ @ ぺ呈 ∫ e＝1￡ ’ α ’ ，’ @ e＝1．0 E 20，9＝0’1α0，9＝0° 、、、 20，ψ＝0° ・ワ7＼＿＿⑧ ’，’ 1α0，ρ＝0° C’ @So・＝4α Soale：（×ατo／G23） in isotropic or orthotropic body containing two unequal circular holes． いまτγ、oが作用する場合の，接近度So／2aの変 化による応力集中率をみるために，Fig．8は θ＝0°およびθ一180°の孔E1の周縁上の点の 応力値を弾性係数比e−G13／G23および主弾性 係数方向の傾斜角qをパラメータとしてプPッ トしたものである。応力τeaの増加率は，接近 度So／2aが小さくなるにつれて，θ＝0°の位置 よりもθ一180°の点における場合の方がより顕 著であることが認められる。なお，図中に点線 で示した結果はθ一LOすなわち等方性体に2 個の等円孔が存在する場合のものである。 いままでの例では孔周縁上の応力τezを図示 したが，ここでは2個の等円孔の中心を結んだ 線上（すなわちx，x’軸上）の2個の孔ではさ まれた部分（ウェブ）の応力分布の一例をFig．9 に示す。これはTyz°−1．0が作用した場合に対 して，e， qをパラメータとして図示したもの である。この図より，ψ一90°の場合の1応力集 中は孔縁・4，A’に近づくに従って，等方性の場 合（e＝1．0）に比して，かなり大きくなってい る。 つぎに，異方性体内に，より一般的な孔が存 在する場合の例として，Fig．10に示すような 2個の不等円孔（a」2a， So ・ 4a）が存在する 場合についての応力，変形を求めてみよう。 Fig．10は無限遠に作用する一様分布の面外せ ん断応力τo−1．0がx軸よりδ一45°の傾斜を もって働く場合の2円孔Σiおよび．Σ2上の τe、，，Wzの分布をeをパラメータとして描いた 3．0 2．0 1．0 0．0 一1．0 一2．0 一3．0 ’ ﾑθz，τθ2 τ， ﾆ2．’ へ、 0 ≒ 、、・・／2・＝ Σ3 〃”@ち
ノ 凵@Σ1 び 一． ﾑ僥．’二： ”1●’ ， ！ β’ 工’ ’δ z ノ @1 f ’ボ s。／2α＝ 唐P／2α＝1．50 ro n％ b” @〃ｿ， 劣” W1 γ0 D0ノ ノ ｿ． ’γ0 D0 α 一’ @τθz （㌦＝1．o）しこ ＼、 、 80 ・〉、・ ＝b”／α”．夫＝b／α＝b’／α’ @ α＝α’＝α”（square） A 、 、x、、さ．ρ：＝γo／2b＝ゲ6／2 b’＝γ‘／2 b”：＝1／8 べ・、 100° 120° 140° 160°’：二180 ，’ ＼ ，So／2α＝＝31／2α＝1．50×
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