Tychonoffの定理 : 選択公理

Tychonoff

の定理と選択公理

alg-d

http://alg-d.com/math/ac/

2014

年

8

月

15

日

2. F ⊂ AX が有限交差性(finite intersection property)を持つ

⇐⇒任意の整数n≥ 0と任意のF0,· · · , Fn ∈ F に対してF0∩ · · · ∩ Fn̸= ∅． 補題 1. 位相空間Xに対して次の命題は同値． 1. X がコンパクト 2. F ⊂ AX が有限交差性を持つ=⇒∩F ̸= ∅ 証明. 補集合を考えれば明らか． 定義. Xを位相空間とする．

1. (I,≤)を有向集合とするとき，{xi}i_∈I (xi ∈ X)をXの有向点列という．

2. x ∈ XがXの有向点列_{xi}i∈I の集積点(cluster point)

⇐⇒ xの任意の開近傍U ⊂ X と任意のi ∈ I に対して，あるj ≥ iが存在して

xj ∈ U となる．

3. X の有向点列_{xi}i∈I がx ∈ Xに収束する

してxj ∈ U となる．

定義. (I,≤), (J, ≤)を有向集合とし，{xi}i_∈I をX の有向点列とする．順序を保つ写像

i : J −→ I が「任意のi0 ∈ I に対してあるj ∈ J が存在してi0 ≤ i(j)」を満たすとき， 有向点列_{xi(j)}j∈J を_{xi}i∈I の部分有向点列という． 次の有向点列に関する性質は認めることにする． 命題. Xを位相空間とする． 1. x ∈ XがXの有向点列_{xi}i∈I の集積点である ⇐⇒ xに収束する{xi}i_∈I の部分有向点列が存在する． 2. X がコンパクト ⇐⇒ Xの任意の有向点列が集積点を持つ． ⇐⇒ Xの任意の有向点列が収束する部分有向点列を持つ． 定理. 以下の命題は(ZF上)同値． 1. 選択公理 2. コンパクト空間の直積はコンパクト．（Tychonoffの定理） 3. コンパクトなT1 空間の直積はコンパクト． 4. 開集合が有限個な空間の直積はコンパクト． 5. 開集合が丁度3個な空間の直積はコンパクト． 証明. (1 =⇒ 2) {Xλ}λ_∈Λ をコンパクト空間の族とする．X := ∏ λ∈Λ Xλ がコンパクト であることを示すために，X の有向点列 ξ = {fi | i ∈ I} を取る．Σ ⊂ Λ に対して ξ|Σ :={fi|Σ | i ∈ I}と書く．(各fi ∈ X は写像Λ−→ ∪ λ∈ΛXλであることに注意して おく．) A := { g  Σ ⊂ Λ, g ∈ ∏ λ∈Σ Xλ, gは ξ|Σ の集積点 } と定義し，Aに包含関係_⊂で順序を入れる．AにZornの補題を適用する為に，部分全順 序C ⊂ Aを取る．h := ∪ g∈C g，Σ := ∪ g∈C dom(g)と置く．h∈ ∏ λ∈Σ Xλはξ|Σの集積点で ある． . ..) 任意の開近傍 U ∋ h と i ∈ I を取る．U = ∏ λ∈Λ Uλ，有限個の λ を除いて Uλ = Xλ，としてよい．Uλ ⊊ Xλとなるλ 全体をλ1,· · · , λn とする．このときあ

るg ∈ C が存在して λ1,· · · , λn ∈ dom(g)となる．g ∈ ∏ λ∈dom(g) Uλ であり，gが ξ|dom(g) の集積点だから，あるj ≥ iが存在してfj|dom(g) ∈ ∏ λ∈dom(g) Uλとなる．こ のとき定義から明らかにfj|Σ ∈ U である．よってhがξ|Σの集積点であることが分 かった． 故にh ∈ Aとなるから，hがC の上界である．従ってZornの補題によりAの極大元 gが存在する． Σ := dom(g) ⊊ Λと仮定する．µ∈ Λ \ Σを取る．gはξ|Σ の集積点だから，gに収束 する部分有向点列η ={fφ(j) | j ∈ J}が存在する．このときη(µ) :={fφ(j)(µ)| j ∈ J} はXµの有向点列である．今Xµはコンパクトだったから，η(µ)の集積点a ∈ Xµが存在 する．このとき eΣ := Σ ∪ {µ}として_{eg ∈} ∏ λ∈eΣ Xλを eg(λ) := { g(λ) (λ ∈ Σ) a (λ = µ) と定めればeg ∈ Aである． . ..) egがξ|_Σe の集積点であることを示せばよい．その為に任意の開近傍U ∋ egと i∈ I を取る．U = ∏ λ∈Λ Uλ，有限個のλを除いてUλ = Xλ，としてよい．Uµ = Xµ の時は簡単に分かる．Uµ ⊊ Xµとする．ηがgに収束するから，あるj0 ≥ iが存在 してj ≥ j0 に対してfi|Σ ∈ ∏ λ∈Σ Uλである．一方a = eg(µ)がη(µ) の集積点だった から，あるj ≥ j0が存在してfj(µ)∈ Uµとなる．よってfi|eΣ ∈ U である． よって eg ⊋ gだから gの極大性に矛盾する．故にdom(g) = Λであり，gはξ の集積 点である． (2 =⇒ 3) 明らか (3 =⇒ 1) {Xλ}λ_∈Λを非空集合の族とする．どのXλにも含まれない元∞ /∈∪_λ∈ΛXλ を用意し，Yλ := Xλ∪ {∞}とする．各Yλの位相を OYλ :={U ⊂ Yλ | Yλ\ U は有限集合} ∪ {∅, {∞}} で定義する．各(Yλ,OY_λ)はコンパクトである． .

..) {Ui}i_∈I をYλの開被覆とする．OYλ の定義から，Yλ\ Ui0 が有限集合となるよ

ことからyk ∈ Ui_k となるikが存在する．この時Yλ= Ui0 ∪ Ui1∪ · · · ∪ Uin．従って Yλはコンパクト． また明らかに Yλ は T1 空間でもある．故に仮定3 から直積空間 Y := ∏ λ∈ΛYλ も コンパクトである．_OYλ の定義から，Xλ = Yλ\ {∞} ⊂ Yλ は閉集合．閉集合の族 {πλ−1(Xλ)}λ∈Λは有限交差性をもつ． . ..) 任意のλ1,· · · , λn ∈ Λに対しπ_λ−1₁ (Xλ1)∩ · · · ∩ π −1 λn(Xλn) ̸= ∅となることを示 せばよい．各Xλは空でないから，xλ1 ∈ Xλ1,· · · , xλn ∈ Xλn が取れる．λi 以外の λ∈ Λに対してはxλ :=∞としてx := (xλ)∈ Y を考える．明らかにπλi(x)∈ Xλi だからx∈ π_λ−1 1(Xλ1)∩ · · · ∩ π −1 λn(Xλn)． よって補題1の条件2から∅ ̸= ∩ λ∈Λ π−1_λ (Xλ) = ∏ λ∈Λ Xλである． (2 =⇒ 4) 開集合が有限個の空間はコンパクトなので明らか． (4 =⇒ 5) 明らか． (5 =⇒ 1) 3 =⇒ 1の証明において，Yλの位相を OYλ :={∅, {∞}, Yλ} で定めればよい． 定理. 任意の整数n≥ 3に対して 選択公理_⇐⇒開集合が丁度n個な空間の直積はコンパクト． 証明. Yλ := Xλ⊔ Nとして OYλ := { ∅, N, Yλ,{4}, {4, 5}, · · · , {4, 5, · · · , n}} と定めればよい． 定理. 任意の整数n≥ 3に対して，以下の命題は(ZF上)同値． 1. 選択公理 2. 互いに同相なコンパクト空間の直積はコンパクト． 3. 互いに同相な，開集合が丁度n個ある空間の直積はコンパクト． 証明. 1 =⇒ 2と2 =⇒ 3は明らか．

(3 =⇒ 1) 選択公理は 非空集合の族_{Xλ}λ∈Λで全てのXλの濃度が等しいもの，に対して ∏ λ∈Λ Xλ ̸= ∅. と同値だった(集合に関する命題を参照)ことから明らか． しかし，直接選択公理を示すことも出来るので，その証明を書いておく．簡単のため n = 3とする．{Xλ}λ_∈Λ を互いに素な非空集合の族とする． X := ∪_λ∈ΛXλ, Y := X× NX としてY の位相Oλを Oλ :={∅, Y, (X \ Xλ)× NX} で定める．λ, µ∈ Λとすると|Xλ× NX_{| = |Xµ× N}X_{|である．} . ..) ⟨x, f⟩ ∈ X × NX に対しg = g(x, f )∈ NX を g(y) := { 2f (y) (y̸= xのとき) 2f (y) + 1 (y = xのとき) と定める．a ∈ Xµを取りφ : Xλ× NX −→ Xµ× NX をφ(x, f ) := (a, g(x, f ))で 定める．するとφは単射である．よって|Xλ× NX| ≤ |Xµ× NX|となる．同様にし て_≥も言えるからBernsteinの定理より=が分かる．

そこで，全単射F : Xλ× NX −→ Xµ× NX により写像G : (Y,Oλ)−→ (Y, Oµ)を

G(x, f ) :=    F (x, f ) (x∈ Xλのとき) F−1(x, f ) (x∈ Xµのとき) (x, f ) (それ以外のとき) Y = (Xλ× NX)⊔ (Xµ× NX)⊔ (Xν × NX)⊔ · · · Y = (Xλ× NX)⊔ (Xµ× NX)⊔ (Xν × NX)⊔ · · · G F F−1 id と定める．するとGは同相写像である．故に族_{{(Y, Oλ})}λ_∈Λ は仮定 3の条件を満たす ので ∏ λ∈Λ (Y,Oλ)はコンパクトである．閉集合の族{π_λ−1(Xλ× NX)}λ∈Λ は有限交差性を 持つから， ∅ ̸= ∩ λ∈Λ π_λ−1(Xλ× NX) = ∏ λ∈Λ Xλ× NX

となり，故に ∏

λ∈Λ

Xλ̸= ∅である．

※ 「コンパクトHausdorff空間の直積はコンパクト」は選択公理と同値でないことが

知られている．(BPI (= Boolean Prime Ideal Theorem)と同値である．) また「コ ンパクトの可算直積はコンパクト」は可算選択公理からでは証明できないことも知ら れている．

参考文献

[1] Horst Herrlich, Axiom of Choice，Springer, 2006

[2] Ofelia T. Alas, the Axiom of Choice and two particular forms of Tychonoff The-orem, Portugaliae Math., 28 (1969), 75–76, http://purl.pt/2594

[3] Paul R. Chernoff, A Simple Proof of Tychonoff’s Theorem Via Nets, Amer. Math. Monthly, Vol. 99, No. 10 (1992), 932–934, http://www.jstor.org/stable/ 2324485