効率的数値積分に基づく構造破損確率の評価法

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(1)効率的数値積分に基づく構造破損確率の評価法奥田昇也 E v a l u a t i o nofS t r u c t u r a lF a i l u r eP r o b a b i l i t yBasedonE f f e c t i v eN u m e r i c a lI n t e g r a t i o n Shouya OKUDA 百lIsp a p e ri s concemedw i t ht h ee v a l u a t i o no fs t r u c t u r a lf a i 1 u r ep r o b a b i l i t yb a s e donn u m e r i c a li n t e g r a t i o ncombinedw i t h r e p e t i t i v es i m u l a t i o np r o c e d u r e The q u a s ii d e a li m p o r t a n c es a m p l i n gj o i n tp r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o n combined i nt h e c o n d i t i o n a le x p e c t a t i o ni scomposdont h eb a s i so ft h ei d e a li m p o r t a n c es a m p l i n gc o n c e p ta n dt h er e s p e c t i v em a r g i n a lp .d . fsa r e c o n s t r u c t e dn u m e r i c a lw i t hs m a l ls a m p l e s .M a r g i n a lp.d . fsi sc h a n g e ds t e pbys t e pw i t hr e p e t i t i v es i m u l a t i o nu n t i li ti sc 10 s et o t h ei d e a loneandt h ef a i 1 u r ep r o b a b i l i t yi sd e t e r m i n e dbyt h ep i e c e w i s ei n t e g r a t i o no fo n eb a s i cv a r i a b l ef a i l u r ep r o b a bi 1i t yf u n c t i o n c o n s t r u c t e d企omt h eq u a s ii d e a lm a r g i n a lpfd . .N u m e r i c a le x a m p l e sg i v e da c c u r a t e de s t i m a t i o n sw i t hs h o r t e rp r o c e s s i n gt i m e. a i l u r ep r o b a b i l i t y ，C o n d i t i o n a le x p e c t a t i o n，I m p o r t a n c es a m p l i n g，V a r i a n c er e d u c t i o n Keyw o r d s :R e l i a b i l i t ye s t i m a t i o n，F. 1 .緒言著者は、これまでシミュレーション法や数値計算法に基づく構造システムの信頼性解析を取り扱ってきた 14 ) 。数値計算法の場合，厳密解に近い解が得られる利点がある. 態関数を f u C U ) ， h (U)とおく.基本確率変数の任意の l番目の， ) ，制確率変数日を制御変数とし，その確率密度関数をん7(U 御変数を除く k l個の変数からなる US = (U，J U2，… ，U， J U， + J ，. u k lをサンプリング変数ベクトルとし，その確率密度関. が，多変数・多破損モードの場合，数値計算法の解法の適用. . . ，.. に困難を生じる。そこで、多変数-多破損モード問題が 1変. 数をんiU とすると，条件付期待値原理に基づく構造破損確 ) s. 数問題に帰着出来るような数値積分法を提案することが出. 率は，. ム号. 来れば、数値積分法は有効な手法と思われる。. P j=. シミュレーション法の場合多変数・多破損モードの取扱. ，. ，. ( ul us) んs( us) ぬ s=Eルs[ P j( ul us) ]. ( 1 ). いは容易であるが、厳密解を得るためには膨大なサンプル数. u ，Iu s )の fu s CUs ) に関する期待値のように条件付破損確率今 (. が必要となる O そこで、理想的な重点サンプリング密度関数. として表わされる.. による重点サンプリング法を用いれば l個のサンプルで破損確率の厳密解を算出できるので、理想的重点サンプリング. 3 . 重点サンプリング法 7-9) 式(1)に重点サンプリング確率密度関数 hu s Cus)を導入する. 密度関数を構成することが出来れば有効な手法と思われる D そこで、従来の破損確率定義式では、多変数問題を l変数. と，破損確率は次のように表される.. 問題に帰着することや、理想的重点サンプリング密度関数の. F シ. 構成は不可能であるので、条件付期待値原理を用いて破損確. J ' . .. U. '. s. ， ru ~ (us). 率定義式を条件付破損確率定義式に置き換え、準理想的重点. ( 2 ). =Eh，， _[ P r ( ul u s )二 L ーニー] "Us' J ‘ u ' hu ( u s ). サンプリング密度関数の構成や多変数問題でも 1変数問題. s. 式( 2 )の重点サンプリング確率密度関数 hu s Cu s )が次式のよ. へ帰着できるような数値積分を考える。本研究では、準理想的重点サンプリング密度関数を少ない. ι(u). s f1う(utlus)~v s: _ J : h u u s ) d u s s( h u s ( u) vs. ' / u s 。. うに与えられると，. ，. サンプル数でのシミュレーションを繰り返すことにより、密. f U e( u s ) P f ( ul u s )-v Sv一一 h u u s )= s( 1f. 度関数を更新し、より理想的な重点サンプリング密度関数に. Jhus( u s) d u s=1. ( 3 ). al /Us. 近づけ、同時に、更新の過程で得られる l変数問題に帰着し. l個のサンプルで厳密解が得られ. た条件付破損確率の数値積分の結果から構造破損確率を算. リング確率密度関数となる .しかし，式( 3 )には求めるべき未. 出し，数値計算例により，その有効性を検討する.. 知の破損確率与を含むため，これを構成することは不可能で. これは理想的重点サンプ. あるので、準理想的重点サンプリング密度関数を構成するこ. 2 . 条件付期待値原理に基づく構造破損確率定義式 5のー基本確率変数 U二 (U ，J U， z. . .，U ". ， .u k lは互いに独立で時. とを考える.. 3 . 1 理想的重点サンプリング密度密度の周辺密度関数. 間に依存しない標準化変数とし，その確率密度関数，限界状. シミュレーションの場合、サンプル生成関数となる理想的. -5-.

(2) 重点サンプリング確率密度関数の周辺確率密度を構成しな. ( 11). ければならない。説明を簡単にするために，基本確率変数が. M 3 M o l l l Fか 4 1 ( uj ， U2， U3) 弘1( U ]) .!U2( U2) ! U U3 } i u1du2) 3(. 4変数 U ]， U2， U3， U4の場合について示す.制御変数は U4 変. んd U 2[ P f C { U4I い U2'U3) } ]ん3( U3) =E. 数の場合を考えると、式 ( 3) の理想的重点サンプリング密度関数何・)は. ( 12 ) 式(10 )、 ( 1 1 、 ) ( 1 2 ) An、 A 1 2、As を積分すると、破損確率. hI( U l 'u 2， U 3 'U 4 )=P f C { U 4I ( U l 'U 2， U 3) } ! U ( U l 'U 2， U 3 )1 Pf S. が求められる O すなわち、. fAn(U1)du1= f f P f C { U4 い } ' U2' U3) }. ( 4 ). I. となり、 U ]， U 2 ' U 3変数は互いに独立であるので、 fu U l 'U 2， U 3 )=! U ]( U l )' fU U 2 )' fU u 3 ) s( 2( 3(. ん ]( U ] )ん2( U2) ! U U3) d u1du2 du3 3( ( 5 ) 二. となる D 理想的な重点サンプリング密度関数は、. バ. ω. h u υ 叫 S z ( 叩 1 2 ' U 内3 )= η P j ( い u 叫州山 4 仰 1 同 I z 削 U 4. f u c( U ]， U 2， U 3 ). い. Ef u d u 2 f u J P f C { U 4I， ] U2 ， U3)}]=P f. fAn(u2)du2= f ( 6 ). い. f P f C { u41 } ' U2' U3) }. んlい 1 ). ん2( U2 ) ん3(U3)dU1duzdU3 =E ん向f U3[ P j C { U4I い ] ， U2， U3 泊=Pf. 'f. となる O U ]， U 2， U 3変数の理想的な重点サンプリング密度関数の. ( 14 ). 周辺密度関数はそれぞれ次式となる。. fA1 u3 ) d u3= f 3(. hn( U l ). f .. f Pj U 4I u l， u 2， u 3) ! U 1(ul)!U2(u2)!U3(u3)du2du3IPj C(. 3. 3 1変数による破損確率数値積分. =Ej U z f U 3[~犬 (u4I u l ， U2 ， U3)]!U1 (Ul)IPj. 各変数の周辺密度要素から破損確率が算出されることに ( 7 ). より、破損確率算出は、多変数問題でも、例えば、. h U 2 ) I2(. そこで、数値積分の範囲と分割幅を決めると、次式から区分. a l lU]， U3. 積分により、破損確率の推定量が算出できる O. du3I j …f Pj U 4I u l， u 2， u 3) ! U 2( u 2 ) ! U l( u l ) ! U 3( u 3 )du2 Pj c( E j U Jん 3[~井 (u4I u l ， U2 ， U3)]!U2(Ul)IPj ( 8 ). h川U3). J -.f h1( U1， U2， U3) i u1du2. a l lu ]，u 2. P241 附~U. ( 1 6 ). 今三自ん (U~i) )~U. ( 17 ). Pf 三三 AI3 (uji) )~U. ( 18 ). = 。ιp(U4￨Ul， u2，叫ん 3(U3)ん I 州ん 2(U2)ぬ ldu2I 今ここで、 =Efudu2[~犬 (U 4 I U1， U2， U3) ]f U3( U3)IPf. 3. 4 シミュレーションによる周辺密度要素の算出. 式 ( 7 ) 、 ( 8 )、( 9 )は期待値で表示されているので、本研究で. 3 . 2 周辺密度要素の構成. はシミュレーションを用いて推定する O 以下では次式のそれ. 式 ( 7 ) 、 ( 8 )、( 9 )の右辺の分子をんがふん( U 2 )、ん(的)と置. ぞれの周辺密度要素のヒストグラムの k番目の値を推定する. き、これらを周辺密度要素と呼ぶ。. f PfC{U41(Uj，U2， U 3 ) } f u ]い ])ん2(U2)!U3い3} i u2 du3 ). I い U2，U3泊ん] ( Uj) =Ef U 2 f u 3[P U4 f C{ ( 10 ) An( U2)=(. q は区分積分範囲の分割数、ム u は分害U~的る D. 以上より、 U，J u 2， u 3変数のいずれの周辺密度要素からも破損確率が算出される O ( 9 ). An(u])=(. 変数の. U]. l変数問題として取扱うことができる。. …f hI( 九 U2'u3} i u ld U 3. 二. f P f C { u41 ( U } 'U2' U3) }. ん ]( U ] )ん2(叫んル3 ) d u1du2 du3 ( 15 ) =Efu向お [ P f C { U4I い ] ， U2， U3 泊=Pf. u2 du …f h U l， u 2， u 3} i 3 I(. ニ. ( 13 ). f PfC{U4I(Uj U2' U3) } f u ]い j ). ん2( U2) ん3い 3} i u ] d u3 ) '. 方法を示す。 An( u ? ) )=Eん山 [ P f C{ u4I ( U } k )，U2' U3) ]ん1( U } k )). ( 19 ). An( u t ) )=Eん d U 3[ P f C~4 I ( U }，. ( 2 0 ). U~k) ， U3) ] ! U (U~k) ) Z. Aポu j k ) )= Eん dU2[P u4I u]， u2 ， u y ) } ]ん3( u j k ) f C{. ん duJP u41 ( U ] 'U2， U3 U2) =E 泊ん2( f C{. -6. ( 2 1 ).

(3) すなわち、 E f o ，2μ [. ]ら1μ[・ ] Ef u I . μ [・]をシミュレーシ. ろ. ヨンで推定すれば、 k番目のヒストグラム AQ1( U l ( k ) )、AQ2( U 2 ( k ) )、 AQ u } k ) )が求まる o 3( 円，、. 三十三 [PUlW)，updoulw)) 日. Q1 = 1. Nn. げ))三十三 [P川. AQ 2(. ( 3 2 ). l. となる。. Nn. AQ1( U [ k ) ). = 2今附. 式( 3 0 )、( 3 1 )、( 3 2 )と式 ( 2 8 ) より、次式を用いれば、準理. ( 2 2 ). 想的な重点サンプリング密度関数の周辺密度関数を構成す. 、、，、. ることが出来る。. { u ? )， U~k) ， u j))]!u u y )) ( 2 3 ) 2{ j. 1. Q1 = 1. 1Y. Nn. ト. AOl( U1) ，，， A02( U吋 AQ3( U1) hQ1( U1)= ~~' 一、 h Q2 (U 2 )= ~~'一一、 h Q3 (U 3 ) =~士」ー. d ). AQ u Y ) )三 τ-Z[PF{U4lufi)，， ujk)}]fU3(ujk))(24) 3( l Y Q1 = 1 NQはシミュレーションのサンプル数、 U 1 (t )、U 2 ( t )、U 3 ( のは、んh. ( 3 3 ). I U3に従うサンプルである式( 2 2 ) 、( 2 3 )、ρ4)をシミュ. f ω. 式( 3 3 )の模式図を図 lに示す。. O. レーションで算出する場合、 NQが無限個であれば、. ι. 2 f o 3[ ・ ]. hω(. ら lμ[. ]E f o l μ [・]の真の値が求まるが、シミュレーションで大切なことは、少ないサンプルで精度の良い推定量の算 f o 抑 [. ]E f u ] f u 3 [・]らゆ2 [・]の値を効率出であるので、 E 5 _ 0U l. 的なシミュレーションで求める事を考える D 3 . 5 効率的シミュレーションによる破損確率要素の算出. サンプル生成関数をん .J u 2 .J u 3ではなく、理想的重点サンプリング密度関数の周辺密度関数から生成することを考える o すなわち、 A1 ] ( u1 )=E u41 u1 ' u2' u3) ] ん1(U1) f u山[ろ (. い. U3( 恥如、 [ P r c 41U1 ， U， uJ')4U2( U2) 1 U3 =E ) ] / U I ( U l ) ，- 2 3 hI h U3) u2) 2( I 3( IZ"13~. J~'. ~，. ( 2 5 ). 図 1 3変数の場合の周辺密度関数の構成法. ~-. 3 )より、理想的重点サンプリング密度関数の周辺密度関式(. ]ん2 AJ2(uJ=E U2， U3) u41 U ]， ( U2) ん山[ろ ( U ( U! U 3( 4 U l 1) 3 U2， u3) ) ] f U 2 ( U 2 ) =Eh h ， T JPrJU41U1 12"13~ J~' ~，，- ~ - J' h] ( u) h [ 3( U) I 1 3. 数が構成されれば、シミュレーションで次式を推定すると、. ο 6 ). Pf= E ん山ん3[ ろ( u4I u1 ， U2， U3) ]. lO. j 1. T1. い. A [ 3 3)=E ん1ん 2 [~六 (U 4 1U 1 'U 2 'U 3) ] I U3( U 3 ). 1 !. たい4Iu]>U2，U3) UI(U1)!U2(U2)]fU3(U3) =Eh " h [P I lI2F hIl(Ul)hI2(U2)J lO. L-. E. ‘ ノ、. 4 今 -1aa. 今. f. Y4-. A一. 一一、‘，ノ，、 -. ぺ 4 74. 'hH. . L. u 〆，.‘、. An( 払 l h : . . : . ! . 七ム一、 n(U1)=. い -3f. 但し、. =P f. ( 2 7 ). より、 EhIlh n h s[ ・]の値は l個のサンプルで真の値が求まる D すなわち、理想的重点サンプリング密度関数の周辺密度関数. ，、. が構成できれば、 1個のサンブ勺レで E肌h n h s [・]の値が求まる。. A ( U司 ) h13( u3) = : . . : . ! . 七」ー . L. )、( 2 0 )、( 2 1 )から次式の値も理想的重点サンそこで、式(19. f. プリング密度関数の周辺密度関数旬、 hn、んが構成できれば、 1個のサンプルで E問的[・]、 E肌 [・]の真の回 [ ・ ] 、 EhI 1昭. ( 2 8 ). である o 式( 2 8 )では与が予め既知でないので、理想的重点サンプリ. 値である An(u])、. An( U 2 )、As( U 3 )が算出される。すなわち、. ι. ング密度関数の周辺密度関数を構成することが出来ない。. Eん山[ろい 4 1叩 U. そこで、乃の推定量を算出する。式(1)より、. L41 1__ _ _ _ _ i } ん ; U ω 2 ( い Uρ f ん z U ω 3 ( い Uρ 2) 3) =Eh "[ P r cヤ u]， u2 ， u3r ，u.!:--.!:~u-'，'--~/] T 1 h 1 2 " 1 3~ J 、 h [ 2( u2) h [ 3( U3 ). Pf= JEfudu3[ ろ (u4IUl>U2，U3)]んl(Ul) a l l u ]. JEfu山 [ ろ (u4Iul，U2，U3)]!U1(Ul)dul. ( 2 9 ). =An(U1). h. u] EfuJ f U 3[ ろ( u4I ， U2， u3. となり区分積分で置き換えると、. = 2い. ( 3 0 ). U 2 ) = AI2(. 同様に、. ろ. = Z d Q l附. 1. (， \fz~fl ( U ])Im( U1 ) =Ehh "[ P r Ct U 41U ]， U2， U3r， U :--I:~ U .j，'--~ 11"U~ J 、，h ( U ]) h [ 3( U3) 1 I T 1. f))dU. ( 3 5 ). I. a l lu ]. ろ. 2 ] (34). =Ehh T 1 h T J P r c ( U 4 I u I， U 2， U 3 )U I( U ] )ん2( U2) ! U 3( U3 1I "12"13~ J~'~' ， - ~ - J' h ( ) h [ 2 ( u2) h [ 3 ( U3) n u1. ( 3 1 ). -7-. ( 3 6 ).

(4) Ef Ulん 2[ P f J U4I 叩. lY. . r. ) C \!;ん日1(ω U u 1 )J; ん ~J2 伊 (u = Eh"h，[ P r c l uI U， U， U ~-.I~~ . l ， ' -2 ~/ J 1._. . _. . _. U. ( 3 7 ). I U 、4 1 2 3 h ( u) h( u) 2. 今. H. 1 1 12'" JI.，. ，、、、 1 Nn Q 、川〆パ山、 rι、 1 、ハ/ι り Ai u i "， P f c~U4 I U i， Ur'Dlu3(Ur') ; Hur')=て← L [ 一 l VQ ; = 1. j. I. I I. 1 I 2. =A/3( u3). 実際は理想的重点サンプリング密度関数の周辺密度関数. ( 4 3 ). 第 l回目の破損確率は、. 母)=24(uf))AU. ( 4 4 ). の構成は不可能であるので、準理想的重点サンプリング密度. で算出する O. U 1 )、 hQ2( U 2 )、 hQ U 3 )を式( 3 3 )から関数の周辺密度関数 hQ 1( 3(. ( l( k ) )、 A ( ¥ ) ( u l ) )、AQ U 3 ( k ) ) 1 ) ( U 1( 第 1 回目に算出した AQI( 3) Q2 ) ( U 1 ( k ) ) F ) ( U 2 ( k ) ) 、 AQ Q I σ と式( 、 3 3 )より、次式により 2回目の A. 構成すると、 u， j. U 2， U 3変数の破損確率要素のヒストグラ. ムの k番目の値. ( 2 ) ( U 3 ( k ) )を算出する。 AQ 3. AO !( u ? ) ). 必)(u?)). υ ぺ. 宝. ν ) の du 切り ). i )I =土 b PバC 川川 ω ( 叫 u ω 似 i 凶 u れ ι 山 u孔 i μ r 川 P 刈 i ) 入 J いイ叫 A d 刈 ) ; 刈 d r ， P d i O u ))f ん U 2 メ刈 ω 川 ω u ι ( d ; 伊 f i ) 切凶ん f 以 Uバ μ 3 刈川附 ω 川イ込 u ( 伊附わ j 叫 ; 勺 ) り i Pん f パ μ U 1 パ (l l NQ 同 f 414JhQ2(Edit))hQ3(14ji))J. NQ i-t)}f U 2 ( 込i))!U3(ujり ¥(u?)) =: : -L [ 、， 414uiuj)(l)()(l) (]ん = 1 h Q 2 ( U 2 t ) h Q e 3 ( U 3 5 ) ) Qi. ろい. ( 3 8 ). A 2似. k ) ). AQ2(U~勺. ) -L2 z t Z u [ d PJ c 4 A f d ♂ PIE i ο r 1 up叫い c( ' 4. =. ( 4 5 ). ) i. 1. NQ 同. '五. i ) り刊 ). 3hQl(ufi))hIQ3(uf)). 以乙. U j ( u [ りIU3( り k ).，(i)¥IU¥ )， Ci . ( 1.， .( D ， =--Z~ [Pr 1 44 ￨Ul ， U3)、 r;)，. ， (、]ん2(U~k)) U 2，円 l NQi = 1 .J~ 、 I h~f ( U1 ' J)h~~3 ( u j ' J ) (1). 事が出来る D. 、 ‘ ，ノ. U 2 ( k ) )、hQ3( U 3 ( k ) )に従う少ないサンプルで求める h臼 (. J 吟. hQl(町内、. r. r JJ. ( 4 7 ). ( 4 0 ). は準理想的重点サンプリング密度関数の周辺密度関数. a 3 κ ι u ，，.‘、弓、. 2. 'h. r-ll. れい2 0. 一. raE -fs 、 ‘今ゐ一、J 今、、・円い .U一 Q 4j一川 y-1l. ，、u-一u 、ι. bR '. u U i--it. .U U、 Q JfL 円一In. 、内JL a. ，、 u ‘ ，， ‘ 何. u. ，st. u. 司，. a守. Pr J. f.. ihv. U. Q Z ( u y ) ) h Q l ( u fりh. f. NQi = l. U I ~_.. Z同. J.. J. f.. 1一 %. ( U } i ) ) k ) ん1 ( k ) んl . 2(U~ ， ( i ) I.， ( i ). ， ( i )，， .( ~ rD ~._~):)l~ U i "， U r') ( U r ' ) Prc(utI ut， ~;):~ L[ J / U ツ3 i). =一~. . .， a 山 3 均 ‘ 、W. dA=. AQ3(U~k)). ( 4 6 ). 計. ( 3 9 ). 第 2回目の破損確率は、. ヴ)=ZdZ)(uii)hu. ( 4 8 ). Q I ( U 1 ( k ) ) Q I ( U 1 ( k ) )、 AQ2( U 2 ( め ) 、 AQ U 3 ( め)を構成する際、 A しかし、 A 3(. で算出する O. U 2 ( k ) )、hQ U 3 ( k ) )が必要で、同様に、 AQ2( め)には、には hQ2( u } ' 3(. 第 2回目に算出した AQ¥ ( 2 ) ( U j ( k ) )、 AQ2( 2 )( U 2 ( め ) 、 AQ 2 )( U 3 ( k ) ) 3( と式( 3 3 )より、次式により第 3回目の hQl( 2 ) ( U1( k ) )、hQ2(2)( U 2 ( k ) )、. め ) 、 U 1 ( hQ 1(. U 3 ( k ) )がめ ) 、 U 1 ( ' 、 AQ う hQ -には、 hQl( 3( 3(ul. U 2 ( k ) )が hQ2(. h Q 3(2)( U 3( k ) )を算出する O. 必要となる D そこで、少ないサンプルで周辺密度要素を構成しても準理想的重点サンプリング密度関数の周辺密度関数であるため、 l 回のシミュレーションでは分布に誤差が生じている o このため、少ないサンプルでのシミュレーションで周辺密度要素 U 2 ( k ) )、め ) 、 hQ2( u / ' U 3 )を更新し、同時に hQl( U 2 )、AQ A Q I ( U 1 )、AQ2( 3( U 3 ( k ) )を理想的重点サンプリング密度関数に近づけること hQ3(. hZ)(ufk))=(hg(uik))+AZ)(ujk))/PF))/2 hgi(U~k)) =(h泣い ~k))+Agi(uY))1 P J } ) ) / 2. ( 4 9 ). hg(ujk))=(hU(ujk))+A3(ujk))/pjf))/2 A S ) ( u f k ) ). ~. z. rn. (. I(k). ilu2(U~i) )IU3 ( U j i ) ). (i)(i). =でァ [PCU4￨ujk)， uF， u j t ) ) r 八明川 J ! U ¥ ( u ? ) ) NQ i=\ ' h( j :(ut) i J .(Ui")hc;. により、収束した破損確率分布を構成する O. 3 . 6 周辺密度要素の更新. 引. 、~. 1 ( k ) )、h Q 2 ( l )( U } k ) )、ヒストグラム(i二 1 )の k番目の hQl(内U 2， . . . ，q ， ( l )( U 3 ( k ) )は. IU1、 IU2、 IU3に従うサンプルを生成して構成する O. hQ 3. その際のサンプル数は NQ とし、次式を算出する O 、，、 τ Nn u i i )， u j t ) bん1 ( U } k ) ) 4 l u j k )， dlujk))=て [ P f cい子 l VQ i = 1. t. f. 、. N円，. f. 4 2 M ) ) や. ( 4 1 ). 、. dsiMK))=τ千 U~ ヤ ;k) ， ujq ん 2(U~k)) 玄 [Pf 4I cい l VQ i = 1. ( 5 0 ). ( 4 2 ). r . り. 勺IU3(uj勺. I.， ( i )， .( k ).，(i)¥I U 1( U1 ( 一一-T[PChl f 4 7 )， 1 4 3 1 引 .J 、 u (i¥ I. NQ i = ¥. 、勺. k. u i)) ，， ) ] ん 2(. h~/(U\l'J)h~Ll(ut). ( 5 1 ).

(5) 4 . 数値計算例. d g ( u j k ) ) i. ) r f r ( i ) . . ( i ). . ( k )i U1( { 勺五U 3 ( u i) . . ( k ) u f ) 4 l u f ) ，， u (! ]U f ( U3 ) =: : -~ L[ P f cい jI 31hg)(uPM2( 込勺 NQ D. ( .. I... 1. モンテカルロ法を MS，条イ牛イ寸シミュレーションを C . S . 提案手法を N .I .C . S .とする.. 同. ( 5 2 ) 第 3回目の破損確率は、. ヴ) = 2 4 )似i). ( 5 3 ). ( 6 0 ). h(U)=U1+U2+U3-U4+15. 式( 6 0 )の破損確率は AFOSM法により厳密解を算出できる o 表 1は、提案手法と条件付シミュレーションの比較を示す。まず、厳密解の比較として、破損確率が 1 01 4の小さい場合. である。. 司. 第 t回目については、 t回目の hQl(卜 l ) ( U l ( ' め ) 、. hQ2(ι1)( U 2 ( め ) 、. hQ3(1-1)( U 3 ( め)は次式により求める。. 07程度であれば条件付シミュレーションでもサンプル数が 1. では、算出した破損確率の値に大きな誤差が生じる事が判る D. U 略ザ h 怖 ; 5 戸 r J 「. 一方、提案手法で用いた総サンプル数は 652320であるが、. り l 1)(U?. φμω ) 附 ιψ イ uj r 刊 F k 必ぷ F r l ) 1. 硲 h 佑 ; ι ; 1 )(uik))=. ぷ釘抗代切 ( 伊幻勺 ) う ) 汁 +A. 真の値に近い推定値を算出している O 提案手法と同じサンプ. り( u i k ). ル数や計算時間を用いた条件付シミュレーションでは、オーダー的に違う推定量を算出しているので、条件付シミュレー. 崎川. ションでは、小さい破損確率算出には、大きなサンプルがいることが判る O. d ; J ( u j k ) ) 1 ~ rn C I_ (k) i ) _( i )¥ J;~2 ( u i)) ! U 3( u j i ) )1 r /_.(k)J J _( =一~ L [ P f c~U4 ut， U ， ut).;'~1 、，、ハ 1 、(;" ] ! U l(ut) 、I P i. γ. NQ 同. ， h~;-吋Ui'))h~~I) ( u j り ). 返しで、 NQを 1 3 5 9 0にした場合の破損確率の比較である O ング密度関数の周辺密度関数を更新するほうがに破損確率算出に効果的であることが判る O. A;; い~k) ) ~ r D (.. 1..(の (k) . . ( け ! ( U { 勺 !U3 ( U j i ) ) k =: : -L [ P f c~U4 町内，u J，Ul 1 、，、 ( ， _ 1 ¥，( ， ;J ん2(ui) ) 、I j. 同. ぷ町u}'))hぷ代uj')). 'h. 図 2-a、 2・b、 2-c は、それぞれ分割幅が 0 . 1 、 0. 5~ 1 .0の場. 合の推定値の推移を示す。本提案手法は基本的には数値計算であるので、分割幅が小さい程、真の値に近い破損確率が算. ( 5 6 ). d ; ;いj k )). 出できることを示している。. 【 Cぉ e 2】 i. 1 ~ rn C I_(i) _(i) _ ( k )¥ J;~1 ( u ? )) ! U 2( u i)) 1 r / _ . ( k ) r:" ]! U3 ( Uj "J ) NQ i=1 、 'h広町ujり )h~;-j) ( u i ) ) '. J '， =一~ L [Pfc~U4 I ut， U i Uj "J) .;'~1、，、(，_1、 L. 表 2は、表 lの繰り返し数 1 3 5 9回の代わりに l回の繰り. 表より、少ないサンプル数であるが、準理想的重点サンプリ ( 5 5 ). NQ. 【 C部 e 1】. h(U)=-Ltuf-U8+7 U. ( 6 1 ). i =l. }. ( 5 7 ). める事ができない。そこで、モンテカルロ法で厳密解を算出する O 表 3では、提案手法の総サンプル数と同じサンプル数. 第 t回目の破損確率は. げ =24) いi) ~U. 式 ( 61)は非線形であるので、 AFOSM法では厳密解を求. ( 5 8 ). の条件付シミュレーションの場合では、変動係数の大きな推定量しか算出できないことが判る。また、非線形度が大きな限界状態関数であるので、サンプル数を大きくしても、変動. である O. 係数が小さくならないことが判る。一方、提案手法では、厳. 以上の操作を繰り返し破損確率を算出する O. 密解と同じ推定値を算出できる D 図 3により、繰り返し数が多くなるに従い、破損確率の値. 3 . 7 収束条件. 繰り返しにより準理想的重点サンプリング密度関数がよ. が収束していることがわかる O. り理想的重点サンプリング密度関数に近づくように更新さ. 【 C a s e 3】. れるが、実際的には繰り返し数を無限にすることができない。. 2 h1(U)=U1 -O.05U2-U3U4+7.55. そこで停止条件としては、次式. H = . 1 2 ( h j ; i L j k ) ) -必(U?-l)t 2. h2(U)=O.03U1U4-U2U3+7. 2. 卸). で Hが1.0 -5以下になる時の数値計算値を破損確率の推定値とする D. ( 6 2 ). h3(U)=-U -U2-U3-U4+7 1. 式( 6 2 )は非線形度が大きく、かっ、多破損モードの場合で.

(6) 表 4 Case3の場合. ある O 厳密解はモンテカルロ法で算出した。表 4では、提案手法と同じ総サンプル数の条件付シミュレーションを示し. サンプル. ているが、変動係数が大きな推定量となっている O しかし、. 数. 提案手法と同じ計算時間での条件付シミュレーションでは、. C .S .. ミュレーションは、破損確率が大きい場合には効果的である O. 8000000. 図 4は、繰り返し数と破損確率の推定値の推移を示しているO 図より、推定値が収束していることが判る O 図 5は、 NQ. N.I .C . S . 1398000. を 2とした場合の破損確率の収束状況である O 図より収束状 0の場合と比較すると、厳密解に収束する繰り返況が NQ を 1. M.S.. し数に違いがあることが判る O. 表 1 Caselの場合サンプル. C .S . 3500000 N.I .C . S . 652320. 9. 10. 3 . 5 7. ×. 4 1 0. 3 . 5 5. ×. 1 0-4 3 . 5 4. 0 . 9 1 0 . 0 0 5 5. ×. 7. 10-4 3 . 5 6. ×. 4 10. 7. 4.9X10-4. 859. 変動係数. 計算. Hが1.0 -5以下になるまでの繰り返し数=4 660. 時間. ×. 5. 45 1 0 -1. 4 .結言. 0 . 9 1. 提案手法により、準理想的重点サンプリング密度関数をシ. 1 .64 10 ・ 1 5. ×. 3 . 1 4. ×. ミュレーション毎に更新し、より理想的重点サンプリング密. 3. 0 . 9 9. 度関数に近づけることが可能となり、この過程で l変数問題に帰着した数値積分を用いて算出する破損確率は精度のよい. 3. 1 0 -14. 推定値であることが判った。特に、限界状態関数が非線形で. ×. 3 . 1 4 1 4 10 ・. AFOS 恥f. 計算. ム u二0 .1、 q二 100、区分積分範囲(・5~5) 、. 破損確率. 数 652320. 変動係数. 時間. 1398000. 変動係数の小さな推定量を算出していることから条件付シ. 破損確率. も多破損モードでも対応可能である D. ム u二0 .1、 q=80、区分積分範囲(・8~8) 、. 参考文献. 5. Hが 1 . 0 -以下になるまでの繰り返し数二1359 1 ) 奥田昇也，米津政昭，最適重点サンプリングシミュレー. 表 2 Caselの場合で繰り返し数の比較繰り返し. NQ. 破損確率. 数 N.I . C .S .. 1359. N.I . C .S .. 10 13590. 3 . 1 4 1 4 10 ・. ×. 2 . 7 4. ×. 4 1 0 -1. 計算. ションによる構造信頼性解析法，関西支部第 8 2期定時総. 時間. 会講演会講演論文集， No. 0 7 4 ・ 1 ， pp. 5 ・ 1 9， ( 2 0 0 7 ) 2 ) 奥田昇也，米津政昭，反復重点サンプリング法による構. 3. 造信頼性解析法一条件付期待値原理に基づく最適重点サンプリング密度関数の構成一，機械学会 2 0 0 7年度年次. 3. 大会講演論文集 Vo . 1 4，N o . 0 7 1，pp. 19 3 1 9 4， ( 2 0 0 7 ) 3 ) 奥田昇也，米津政昭，材料(日本材料学会誌)， 44( 19 9 5 )， 1 2， p p .5 1 7 5 2 2 . 4 ) 奥田昇也，米津政昭，部暁文，室津義定，日本機械学会論文集， A，62( 19 9 6 )， 6 0 2， p p .2 3 8 7・ 2 3 9 2 . 伊n d ，U .，α l y p o m p r a s e r t ，W.a n dP r e n n i n g e r ，P . H . W .， 5 )B o u r . n s t i t u t 白rMechanik ，U n i v e r s i t yo f R e p o r t1 9( 1 9 8 6 )，I Aus 仕i a . I n n s b r u c k， I m p r o v e dS i m u l a t i o n 6 ) Ayyub，B.M.，a n dH a l d a r ，A . ， " T e c h n i q u e s a sS i 的 i c t u r a lR e l i a b i l i t yModels ， "S . 的i c t u r a l S a f e t yandR e l i a b i l i t y ，P r o c .o fICOSSAR'85，V o . l1，pp. 1 7 2 6 . g，A . H-S a n dW. H .T a n g : “P r o b a b i l i t yC o n c e p t si n 7 ) An E n g i n e e r i n gP l a n n i n gandD e s i g n， "V o l .2，D e c i s i o nR i s kand R e l i a b i l i t y ， J o h nW i l e y& S o n s， NewY o r k( 19 8 4 ) ， pp. 3 61 . 8 )S c h u e l l e r ，G 1 .a n dS t i x，R .S t r u c t u r a lS a f e t y ，4 ( 19 8 7 )， pp. 29 3 3 0 9. i m u l a t i o nandT h eMonteC a r l oMethod ， " 9 )R u b i n s t e i n ， R， Y， “S J o h nW i l e y& S o n s( 19 8 1 )， p p .1 1 4・1 5 7.. ム u=O .1 、 q=80、区分積分範囲 (-8~8) 、. 表 3 Case2の場合サンプル. 破損確率. 変動係数. 時間. 数 935900 C . S . 4340000 N. I. C . S . 935900 M.S.. 計算. 9. 10. 1 .38 10 ・ 5. × 7. 41. 1 .43 10 ・ 5. × 3. 52. 1 .39. ×. ×. 2 1 0 -. ×. 2 1 0 -. 5 1 0 -. 5 5. 5 1 0 -. 1. 390 X. 1. 3 2. 3X1 0 -. 1239. ム u二0 .1、 q=100、区分積分範囲 (-5~5) 、 5 Hが 1 . 0 以下になるまでの繰り返し数=1337. 1よ司. ハU.

(7) 4 . 0 E 0 4 4斗. 4斗凋. 司 L. UT. l. 噌. nununu. d. 司. 1 0. nununU. エ. EEE. J. 時樺曝援. 時躍嘩語. 3. 50E-14 3. 00E-14 2. 50E-14 2.00E-14 1. 50E-14 1. 00E-14 5 . 0 0 E 1 5 O. OOE+OO. O. OE+OO. 100. 1000. 10000. 1 0. 繰り返し数. 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 繰り返し数. o =. 図2 a C a s e lの場合でム u = O . lの場合の破損確率の推. 図4 C a s e 3の場合でム u=O. 1( N 1 0 )の場合の破損確. 移. 率の推移 4. 0E-04 時 3 . 0 E 0 4. 襲2.0. 印. 樫 1 . 0E-04. O. OE+OO. 1 0. 100. 1000 10000. 1 0. 繰り返し数. 100. 1000 1 0000. 繰り返し数. o =. 図 2・b C a s e lの場合でム u = 0 . 5の場合の破損確率の推. 図5 C a s e 3の場合でム u 二0 . 1 (N 2 ) の場合の破損確. 移. 率の推移. 時躍嘩樫. 4.50E-14 4.00E-14 3. 50E-14 3.00E-14 2.50E-14 2.00E-14 1. 50E-14 1. 00E-14 5. 00E-15 O.OOE+OO 1 0. 100. 1000. 繰り返し数. 図2 -c C a s e lの場合でム u=1 .0の場合の破損確率の推. 移 1. 5E-05 1. 3E-05 1. 1E-05 9 . 0 E 0 6 7. 0E-06 5. 0E-06 3. 0E-06 1. 0E-06 1. 0E-06. 1. 10. 100. 1000. 10000. 図3 C a s e 2の場合でム u= 0. 1の場合の破損確率の推移. t. 噌1ム. 司ム.

(8)