法を用いた流体 構造連成現象の数値解析
精密工学専攻 号 渥美 日向
はじめに
流れの中に置かれた物体の後方にはカルマン渦が発生し，その 結果物体は励振力を受け大きな振動を起こす．渦励振を抑制する 手段の一つに， に示すように物体の後部にリボン状の柔ら かいものを取りつける方法がある．これは，リボンの振動によっ てカルマン渦の発生が抑えられるためと考えられている．本論文 では，この方法による渦励振の抑制を数値シミュレーションした 結果について報告する．
変位や変形を伴う物体のまわりの流れを解析する方法の代表
として， 法 がある．
この方法は時間ステップ毎に流体領域の再分割を行なうため，計 算精度は優れているが，運動物体の移動が大きい場合には計算の アルゴリズムが複雑化し，計算時間の増大につながるという難点 を有する．これに対して，物体が占める領域も流体領域とみなし，
代わりに物体近傍の流れが物体表面に沿って流れるように計算上 のトリックを施す仮想境界法が近年注目を集めている．この手法 では 法のように時間ステップ毎に領域の再分割を必要とせ ず，物体の形状や数に依存せずに直交格子網を張ることができる ため，主に差分法をベースとしていくつかの手法が提案されてい
る．その代表に 法や 法などがあ
る．一方で，有限要素法ベースで考案された手法として
法 がある． 法では物体の表面上で 課されるべき境界条件をラグランジュの未定乗数法によって流れ の支配方程式に対する拘束条件として扱う．このとき，ラグラン ジュ乗数は流体が物体に及ぼす応力を表すためラグランジュ乗数 をそのまま弾性体の変形計算に用いることができるという利点が ある．
そこで，本研究では， 法を用いて，弾性変形 を伴う物体まわりの流れ計算を行う．
基礎方程式
流体の流れ
のような剛体の後部に弾性変形する平板を取りつけた物 体のまわりの流れを考える．流体は非圧縮性粘性流体とし，流 れは層流と仮定する．流れの支配方程式は次の非圧縮ナビエ・ス
トークス方程式と連続の式である．
ここで， は流速成分， は応力テンソルの成分を表す．ニュー トン流体を仮定すると は次のように定義される．
ここで， は粘性係数， は圧力を表す．計算領域を図のような 長方形とし，境界条件を次のように与える．流入境界 では流 速を指定し とする．ここに， は流入速度の成 分である． は滑り境界とし，条件
を課す．流出境界 では
を課す．ここで， は境界上に立てた外向き単位法線ベクトルの 成分である．物体表面を として， 上ですべりなし条件
を課す．ここに， は物体の移動速度の 成分である．
固体の変形
平板は等方性の線形弾性体とし，その変形は微小であると仮定 する．このとき，基礎方程式は，応力のつり合い方程式
と構成式
ひずみと変位の関係
である．ここに は微小ひずみテンソルの成分， は変位の 成分である．また， はヤング率， はポアソン比である．平板 の運動による慣性力は無視する．
流れの方程式の離散化
法
通常の有限要素法では，流体の占める領域を計算領域とする が， 法では物体が占める領域に仮想的な流体が 存在すると考えて物体が占める領域を計算領域と考える．そし て，物体境界 上の境界条件 を支配方程式 ， の弱形 式に対する拘束条件とみなす．拘束条件 はラグランジュの未 定乗数法によって式 ， の弱形式に導入される．このように 法においては物体の位置や形状を意識すること なく有限要素メッシュを張ることができるので，物体の位置や形 状の変化に応じてメッシュを作り直す必要がない．
弱形式
式 に 法を適用して弱形式を導くと
次式を得る．
ただし に関して総和はとらない．ここに， は の計算領 域全体を表し， はラグランジュの未定乗数， は重み 関数である．
式 ， の境界 に沿う積分を行うために， のよう に物体の境界に沿って点群を配置する．以後，これらの点をコン トロールポイントと呼ぶ．
空間方向の離散化
空間方向の離散化は有限要素法で行う．三角形要素を用いる．
のように要素を四つの小三角形に分割し，各小三角形で速 度を の 次式で近似し，圧力は全体要素内で一定と近似 する．
式 に現れる境界積分項の離散化のために，ラグラン ジュの未定乗数 と重み関数 の値をコントロールポイントで 定義し，境界 に沿ってコントロールポイント間で線形に変化す ると仮定する．さらに，式 中の と も境界 に沿っ てコントロールポイント間で線形に変化すると仮定する．コント ロールポイントにおける と の値はそのコントロールポイン トを内に含む小三角形の 節点で定義される速度成分で表す．こ うして，弱形式 は離散化され，重み関数の任意性より
が得られる．式 はナビエ・ストークス方程式より，式 は連続の方程式より，式 は拘束条件 より導かれた式で ある．ここに， は対角化された質量行列であり， はコント ロールポイントに関与する節点における の値を成分とするベ クトルを表す．
時間方向の離散化
時間方向の離散化には差分法を用いる．時間軸を一定の長さ
の小区間に分割し，時刻 と時刻 に
挟まれた代表的な区間を考える．そこで，式 を時間に ついて離散化するとともに，次のような 組の方程式群に分解 する．
そこで，これら 組の方程式群を次のようなステップで段階的に 解いていく．
式 より中間速度 を計算する．この は連続の 方程式を満たしていないので，次のステップで連続の方 程式を満たすように修正を加える．
式 の第 式を について解き，その結果を第 式に代入すると，
を得る．ここに
である．そこで，式 を解いて，圧力増分 を求め，
式 により を計算する．さらに，式 の第 式によって第 の中間速度 を計算する．こうして求 められた は拘束条件 を満たしていないので，条 件を満たすための修正を次のステップで施す．
式 の第 式より物体表面 上のコントロールポイ ントに関与する節点の速度成分だけを取り出して
とする．ここに
である．式 を について解き，その結果を式 の第 式に代入すると
を得る．そこで，式 を解いて を求め，式 によ り を計算する．さらに式 によって を計算 する．
～ を解が収束するまで反復する．第 回目の 反復で求まった を と表すとき収束判定は
によって行う．本計算では， とした．
固体変形の基礎方程式の離散化
式 を用いて応力のつりあい方程式を変位成分で表し，こ れを離散化する．用いる有限要素は四角形で，変位を要素の 頂 点で定義し，要素内の分布を局所座標の双 次式で近似する．離 散化の詳細は，たとえば文献 を参照されたい．
計算手順
計算のアルゴリズム
時刻 の状態を知って，時刻 の状態を求めるための計算 のアルゴリズムは以下のようにまとめられる。
流れ計算を行う．
物体に働く流体力を計算する．
剛体の運動方程式を解いて，剛体の変位，速度を求める．
弾性平板の変形計算を行う．
剛体の変位，弾性平板の変形にあわせてコントロールポ イントの位置を更新する．
時間を だけ進めて，繰り返す．
剛体の運動方程式
剛体の運動方程式は次式で与える．
ただし に関して総和はとらない．ここに， は剛体重心の 座標であり， は剛体の質量， は 方向の運動に対する減衰 係数， は 方向のばね係数である． は流体力の 成分で ある．式 の解法には 次のルンゲ・クッタ法を用いる．
流体力の計算
法を用いる利点として，物体が受ける流体力 の計算が容易であることが挙げられる．それは，ラグランジュ乗 数 が
という意味をもつからである．そこで，剛体の変位を求めるため の剛体に作用する流体力 は
で計算する．積分は， がコントロールポイント間で線形に変化 すると仮定して数値積分により行う．
数値計算
静止円形物体まわりの流れ
法で計算される流体力の精度を検証するため に静止円形物体まわりの流れを計算し円柱に働く流体力を従来の 物体まわりに沿って分割したメッシュを用いる有限要素法を用い て計算した流体力と比較した．円柱に働く揚力と抗力の時間変化
を に示す． をみると， 法による抗
力係数の値が大きめに計算されているが，揚力係数の値はよく一 致している．図中の時間は円柱の直径と一様流入流速で無次元化 された無次元時間である．
渦励振の抑制計算
次に， のように円形の剛体の後部に弾性平板を取り付け た物体のまわりの流れを計算する．このとき，平板の変形ととも に円形物体の流れに直交する方向の振動も計算する．円形物体の 直径を とし，平板の長さを ，厚さを とする 弾性体のヤング率は ，ポアソン比は である．流 れのレイノルズ数は である．
計算を開始すると，平板の両面に対称な渦が発生する． 秒 まで経過すると流れ場は非対称となり，その後渦放出が生じるよ うになる． にそのときの瞬間の流線のパターンを示す．弾 性平板を取り付けたことにより渦の規模が弱くなっている様子が 分かる．渦放出が生じるようになると弾性平板は，その側面に作 用する流体力の差によって振動するようになる． に平板先 端の変位の時間変化を示す． をみると，平板が流れの粘性 によって流れの方向に伸び縮みしながら振動していることが分 かる．
に，平板が剛体の場合，平板が弾性体の場合，平板がな
い場合の円形物体の変位の時間変化を比較して示す． をみ ると剛体板をつけるだけでも円形物体の振幅を抑えることができ る．弾性平板をつけたときの振動の抑制が期待したほど大きくな かったのは，平板の変形が小さいためであると思われる．
おわりに
法と有限要素法を用いて弾性変形を伴うまわ りのながれを計算した．円形物体の後部に弾性平板を取り付けた モデルを使って計算を行った．弾性平板の振動によってカルマン 渦列の規模が弱められ，物体の渦励振を抑えることができること を確認した．
参考文献
卯野 義矩 中山 司 “ を用いた 運動物体まわりの流れの有限要素法解析” 第 回数値 流体力学シンポジウム講演論文集
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三好俊郎 白鳥正樹 坂田信二 有限要素法解析 朝倉書店
