効率的数値積分による構造信頼性解析の効率化手法--方向重点サンプリング・シミュレーションを適用した破損領域の算出方法

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(1)効率的数値積分による構造信頼性解析の効率化手法一方向重点サンプリング・シミュレーションを適用した破損領域の算出方法一奥田昇也. S t r u c t u r a lR e l i a b i l i t yE v a l u a t i o nBasedona nE f f i c i e n tNumericalI n t e g r a t i o n -C a l c u l a t i o nMethodo ft h eF a i l u r eAreaA p p l i e daD i r e c t i o nI m p o r t a n tSampling S i m u l a t i o nShoyaOKUDA. Anewmethodf o re s t i m a t i n gt h es t r u c t u r a lf a i l u r ep r o b a b i l i t yb a s e dont h ed i r e c t i o n a li m p o r t a n c es a m p l i n g s i m u l a t i o ncombinedw i t han u m e r i c a lr a d i a li n t e g r a t i o np r o c e d u r et od e t e r m i n et h ec o n d i t i o n a lf a i l u r ep r o b a b i l i t y i nt h e sampledd i r e c t i o ni sp r o p o s e d . The s t a n d a r d i z e do r t h o g o n a ls p a c ei sd i v i d e dw i t hs e v e r a lc o n c e n t r i c h y p e r s p h e r e sandt h ec o n d i t i o n a lf a i l u r ep r o b a b i l i t yi nt h esampledd i r e c t i o ni se v a l u a t e dbyar a d i a lp i e c e w i s e i n t e g r a t i o noft h ef a i l u r ep r o b a b i l i t yvolumec o n t a i n e di nt h er e s p e c t i v ec o n c e n t r i ch y p e r s p h e r e s . Samplesa r e h ei m p o r t a n c es a m p l i n gp .dfsc e n t e r e da tt h ed e s i g np o i n t sont h er e s p e c t i v el i m i ts t a t es u r f a c e s g e n e r a t e d丘omt h eo r i g i nt ot h er e s p e c t i v esampledp o i n t sa r ep r o p o s e dt ou t i l i z ea sd i r e c t i o n a lv e c t o rs a m p l e s andd i r e c t i o n s企omt e q u i v a l e n t l y .Numericalexamplesshowt h a tt h ep r o p o s e dmethodg i v e sa c c u r a t ee s t i m a t i o n soft h es t r u c t u r a l 旺i c i e n t l y . f a i l u r ep r o b a b i l i t ye Keyword S i m u l a t i o n B a s e dR e l i a b i l i t yE s t i m a t i o n，V a r i a n c eR e d u c t i o n，D i r e c t i o n a lI m p o r t a n c e Sampling. S i m u l a t i o n .. 1 . 緒言. 2 .. 方向シミュレーション(1) は，構造破損確率を推定する有力な方法の lつである .方向シミュレーションでは，方向ベクトルサンプルに対する条件付破損確率を算定するた. 構造破損確率の推定. 時間に依存しない信頼性解析問題において構造破損確率乃は，次式で与えられる .. めに，原点から限界状態曲面までの距離情報が必要である. 唱EEA. f. = G l jム ( 肋 ( U 同. 、 ‘ ，. 今. 解くことが必須となる .一般に多変数の非線形方程式を解. 、‘.，ノ. そのために，動径変数に関する線形または非線形方程式を. くことは，多大な計算労力を要する場合がある.そこで本研究では，標準直交座標系空間をいくつかの間心超球で分. ここで， U=(U ， U2， . Uk)は，信頼性解析問題を記述する k 1. 割し，各同心超球の破損領域内の確率体積を，半径方向に. 個の基本確率変数で，すべて標準正規確率変数に従うと仮. 沿う動径変数 l変数の区分積分によって，近似的に条件付. 定する •. 破損確率を決定することを考える (2) また方向ベクトノレの. I D f ( U )は，システムの状態を判別する指標関数であり，シ. サンプリングには，前報の設計点方向重点サンプリング法. ステムが破損状態にあれば ID j( U ) = lで，安全状態であれ. ( 3 ) を適用して，構造破損確率を効率的に推定する方法を提. 案する .非線形限界状態関数で記述される構造システムの. ば IDf(U)=Oとなる. α 1，直交座標系の Uの微小積分要素 duと方向ベクトノレa=(. 構造破損確率の推定量を求める数値計算例により，提案手. a 2， .a k )と動径 rの微小積分要素 dadrの聞には，次の関係. 法の有効性を検討する.. が成り立つ. k-l du=r " ' l d a d r. 近畿大学工業高等専門学校総合システム工学科. f u Cu)は，基本確率変数 Uの結合確率密度関数，. 機械システムコース. -5-. ( 2 ).

(2) ここで， al .a 2 .. .a kはUl. U2 … り，. Uk軸に対する方向余弦であ. 20i2=1の関係がある. ここで，nは，動径. r の有限区間範囲を区分積分する分割. 数で，これは，原点を中心とした同心超球で標準直交座標. 動遅Rと方向ベクトルA を用いて，基本確率変数 Uを U=R.Aとして式 ( 1)を書換えると，構造破損確率乃は，次式で表される (1). 系空間を分割する場合の同心超球の個数に対応する.また， L 1rは，分割された有限区間範囲の微小区間幅である.. 式( 3 )の構造破損確率は，式( 7 )を用いて次式のように表される .. 今=ぷいが IfRA(r.a)ω. =」;ぃ a) . r k-1 ゐIA~la)}脱抑. a) a=Ef a ) ] f P f ( ' d 叫ん( A島(. 今. ( 3 ). ( 8 ). UEQk. a) f ( a ) a d fP ゐ(. ここで，. a ε Qk. . ]で表す f Aい)に関する P f ( a )の期待値を Ef A[. 以上より，構造破損確率Pfの推定量 Pf' 推定量の分散ここで aεQkは，方向ベクトノレaをk次元単位超球 Qk表面上で積分することを表す •. f R A ( r . a )は，動径 rと方向. 今)は，次式で算定され V a r ( T f )およびその変動係数 C o v ( る. ベクトルaの結合確率密度関数で、ある.基本確率変数が独立な標準正規確率変数に従う場合， f r .a )は，動径 R A( に関する標準正規確率密度関数. r. f R ( r )に一致する .. f R ! A H a )は，方向ベクト川を条件とする動径. 均. r の条件付. を. ηい)で表す.また，. f Aい)は方向ベクトルaの確率密度. 関数である . 方向ベクトノレA. ， k次元単位超球 Qk表面上に一 aは. 以下では，シミュレーション計算の効率化を図るために，方向ベクトルサンフ。ルを方向重点サンプリング法に基づいて生成することを考える . 方向重点サンプリング密度関数 h A. ( a )を式 (3)に導入す. ると，次式のように表される.. ν 1 2/r(k/2 ) } f A(a)=山(加/ ここで，. [ } I a) a ) /hA( =Eh { J 吋] A( Ap f( ( 4 ). この場合，. P f ( a )の近似値 P a )は，次式で表される r(. ろレ i ) ). r ( . )は，ガンマ一関数で、ある. i ) ) s 九)ん = 2 1 1 D f ( r jd. k次元単位超球 Qkの超表面積 S k ( l )と半径rのk次元超球. b ) いいいん ( i ) ) い ( 1 1 ). の超表面積 S k ( r )の聞には，次の関係が成り立つ k-l r )=r S S 1 ) k( k(. 本研究では，方向重点サンプリング密度関数勺 ( a )を構. ( 5 ). 成して，方向重点サンプリングを実行するのではなく，前. 以上より，式( 3 )の第 3式の中の，方向 A=aに対する条件. 本研究では，式 ( 6 )の条件付破損確率 P f ( a )を動径. 報の設計点方向重点サンプリング法(3)を活用して，方向重点サンプリングを実行する.. 付破損確率 P fい)は，次式のように書き換えられる .. r. r )ん ( r a r) )Sk( d 判 )=JI今 (. 'EEA. a) A ( a凶 } J 今ニムろ(山 (ψA(. a )は，次のように表される. f A(. 、ノハU ， ‘ 〆、 ‘ . ，. 様に分布するので，単位超球の超表面積を Sk( 1 )で、表すと，. ( 9 ). ω科 )=長不)九. 確率密度関数である.式 ( 3 )の第 2式の積分内の{ }内の項は，方向ベクトルa に関する条件付破損確率であり，これ. i ( ) 抑) r ( ( N性 l /N 今 ) ={ 同ぺ Pf，f. N ) l / 今=(. 3 . 数値計算例. ( 6 ). 数値計算例として r. の. 与えられた非線形限界状態関数. g (・)をもっ構造システムの構造破損確率を推定することを考える rの有限区間範囲 [ 9 . 0 ]における区分積 0壬r壬+. 有限区間範囲に対する区分積分によって近似的に決定し，. 分の計算条件を L 1r=0. 0 1，n=900とする場合の提案手法を ( P r o p o s e d )とし，方向シミュレーション法(1) (DS )，重点サ. P f ( a )と表すすなわち，. ( 4 ) ンプリング法 (4) ( )，多峰性重点サンプリング法 (MIS)， 1S. 1r M)=iい州山 ( り t i. ( 7 ). 設計点方向重点サンプリング法 (3) (DIS) など各手法による構造破損確率の推定を行なう.またサンプル数 N=108. -6-.

(3) の通常のモンテカルロ・シミュレーションの結果を厳密解. は，信頼性解析問題における多変数の数値積分問題を容易. ( E x a c t )として示す.基本確率変数は，すべて正規確率分布. に取り扱えることを示した.. ，3に，構造破損確に従うものとし，その統計データを表 1. 文. 率の推定結果を表 2，4 に比較して示す.なお，使用計算. a l u eOne( P e n t i u mD ) J・ [ " "CompaqV i s u a l 機・言語は rNEC製 V. ( 1 ). F o r t r a n J である.. B j e r a g e r ，P .，“P r o b a b i l i t yi n t e g r a t i o n by d i r e c t i o n a l s i m u l a t i o n， "J o u r n a lofE n g i n e e r i n gMech αn i c s，(ASC め，. [C ぉ eI]の設計点座標と 8値は， ( 0. 49 6・，0. 49 6，1 . 5 8 7， 0.635)， s= 1 .8 4 7である. Vol .1 1 4 ， N o .8( 1 9 8 8 )， p p . 1 2 8 5 1 3 0 2 .. [ C a s e2 ] の設計点は 2カ所. 。. ，M.，P a r k ，Y .T .a n dOkuda ，S .， “D i r e c t i o n a l ( 2 ) Yonezawa. あり，それぞれの設計点座標と 8値は， ( 1 . 0 2，5 . 0 4， ) 1ニ. 献. 5 . 1 5 ，( 0 . 8 4 5，4 . 5 8 2 )， s2. s i m u l a t i o nc o m b i n e dw i t hn u m e r i c a li n t e g r a t i o nmethod. 4 . 6 6である.各設計. 二. 印r a l r e l i a b i l i 句 e s t i m a t i o n ， " Monte C a r l o f o r s t r u c. 点は，本研究で開発した『設計点ランダム探索法』によっ. S i m u l a t i o n，S c h u e l l e r& S p a n o s( e d s . )，Balkema ，( 2 0 0 1 )，. C a s e1 】の l個の設計点，て決定した. 【. p p . 3 0 1・3 0 8 .. 個の設計点に対して. 【 C a s e2】の 2. 設計点方向重点サンプリング法 (3). ( 3 ) 奥田昇也，小林宏彰，米津政昭，方向重点サンプリン. を適用して，方向ベクトルのサンプリングを実行し，その. グ・シミュレーションに基づく構造システムの破損確. 方向ベクトルサンフ。ルに対する条件付破損確率を数値積. 率推定法一設計点方向重点サンプリング確率密度関. 分によって決定する提案手法によって，いずれの場合でも. 7 9巻 8 0 1号数の構築法一，日本機械学会論文集 (A編 ). 少ないサンフ。ル数で，構造破損確率の推定量の変動係数. ( 2 0 1 3 )， p p .6 0 9 6 1 9 .. Co ν壬0 . 0 1の構造破損確率を推定できることがわかった .. ( 4 ) S c h u e l l e r ，G . .I .a n dS t i x ，R . ， “A c r i t i c a la p p r a i s a lo f. "S t r u c t u r a l m e t h o d st od e t e r m i n ef a i l u r ep r o b a b i l i t i e s，. 4 . 結. 言. ，4( 19 8 7 )， S a f e t y p p .2 9 3 3 0 9 .. シミュレーションの方向ベクトルサンプルに対する条件付破損確率を数値計算によって決定して，シミュレーシ. ( 5 ) AyyubB .M.a n dMcCuen ，R .H . ， “P r o b a b i l i t y ，S t a t i s t i c s，. ヨン法に数値計算法を結合した構造破損確率の推定法を. nd a n dR e l i a b i l i t yf o rE n g i n e e r sa n dS c i e n t i s t s， "2 e d i t i o n，. Chapman& Ha l l /CRC( 2 0 0 3 )， p p .4 9 5 5 0 1 .. 提案した.条件付破損確率の評価を半径方向に沿った動径変数 1変数の区分積分で評価することによって，提案手法. [ Casel】4変数限界状態関数(5) 式(12 )で与えられる構造システムの構造破損確率の推定結果を表 2 に. 示す.. 2 / 4. g(Y ， S， W， L ) =YS一院. Table1 S t a t i s t i c a ld a t a V a r i a b l e. Meanvalue. ( 1 2 ) 8. t:ヰ=3.18xl0-2byMCS(N ニ 1 0) Table2 Estimationr e s u l t s(Exac Standard d e v i a t i o n. Method. 今 xl0-2. IS. 3 . 1 8. 33， 746. N (Cov= O . O I ). CPUt i m e [s e c ]. Y. 3 8 . 0. 1 . 9 0 0. S. 1 0 0 . 0. 5.000. DS. 3 . 1 5. 87， 466. 97.17. W. 0 . 3. 0.075. DIS. 3.14. 3， 898. 2 . 0 1. L. 1 8 0 . 0. 9 . 0 0 0. Proposed. 3 . 0 9. 848 3，. 0. 436. 0.0468. *N:requiredsamplenumbertoattainCov~ 0.01. -7-.

(4) 【 Case2] 2変数 2破損モード限界状態関数(4) 式(13 )で与えられる構造システムの構造破損確率の推定結果を表 4に示す.. ( 13 ). gl(X X2)=1+X X2)=1-X 1， 2-X? ，g2(X 1， 2-X?. T a b l e3 S t a t i s t i c a ld a t a V a r i a b l e Meanv a l u e. X1 Xミ. 0. 1 0 . 0 5. T a b l e4 E s t i m a t i o nr e s u l t s( E x a c t : 九二 2. 30 x1 0 { )byMCS(N=1 0) 8. S t a n d a r d d e v i a t i o n. Method. 今x10-o. N (Cov=O. O l ) CPUt i m e [s e c ]. 0 . 1. 乱但 S. 2 . 2 9. ， 226， 820 1. 0 . 2. DS. 2 . 1 8. 54， 762. 0 . 0 9 9. DIS. 2 . 2 9. 1 ， 239. 0 . 0 9 4. Proposed. 2 . 2 9. 1 ， 4 4 1. 0 . 1 7 1. -8-. 1 . 9 2 1.

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