確率の計算(1)

コンピュータ科学 III

担当：武田敦志 <[email protected]>

復習問題

次の数値・計算を2進数(小数点以下8bit)で表現せよ (1) 0.1

(2) 0.8

(3) (0.1 × 8) – 0.8 0.00011010₂

0.11001101₂

(0.00011010₂ × 1000₂) - 0.11001101₂

= 0.11010000₂ - 0.11001101₂

今日の話

確率と条件付き確率 確率

高校数学の復習

条件付き確率

条件の一部が確定した場合の確率を計算する ただし、「数式」で確率を表す

例：天気予報が晴である場合に 実際の天気が雨である確率

確率の計算(1)

確率の計算

６面サイコロの場合

「１」が出る確率： 1/6 「４」が出る確率： 1/6

「５」が出る確率： 1/6

「２」が出る確率： 1/6

「６」が出る確率： 1/6

「３」が出る確率： 1/6

「偶数」が出る確率： 1/2

「３の倍数」が出る確率：

確率の計算(2)

確率の数式

事象 s_i が発生する確率：P(s_i)

事象 s_i が発生しない確率：1 ‐ P(s_i) 全事象の発生確率の総和：

( ) 1

1

∑ =

= n

i

s

P

事象：S = { s₁, s₂, s₃, ... , s_n }

確率の計算(3)

確率の数式（６面サイコロの場合）

「１」が出る確率：P(s₁) = 1/6

「１」が出ない確率：1 ‐ P(s₁) = 5/6 全事象の発生確率の総和：

Σ P(s_i) = P(s₁)+ P(s₂)+ P(s₃)+ P(s₄)+ P(s₅)+P(s₆)

= 1

事象：S = { s₁, s₂, s₃, s₄, s₅, s₆ }

練習問題

次の確率を求めよ

明日の天気の確率

天気 晴 曇 雨

確率 P(晴) = 0.5 P(曇) = 0.2 P(雨) = 0.3

次の表を埋めよ

シャッフルしたトランプ５２枚から１枚引いたとき、

引いたトランプが絵札（Ｊ・Ｑ・Ｋ・Ａ）である確率 P(J)=4/52 P(Q)=4/52 P(K)=4/52 P(A)=4/52 P = P(J) + P(Q) + P(K) + P(A) = 4/13

複数の事象を含む確率

複数の事象を含む確率

例：天気予報が晴で実際の天気が雨である確率 例：天気予報が雨で実際の天気が雨である確率 事象：S = { s₁, s₂, s₃, ... , s_n }

事象：T = { t₁, t₂, t₃, ... , t_m } 事象 s_i と t_k が発生する確率：P(s_i,t_k) 事象 s_i が発生する確率：P(s_i) = 

∑

= m

k

k i

t s P

1

) , (

∑

練習問題

次の表を埋めよ 天気予報の確率

天気予報 晴 曇 雨

確率 0.4 0.4 0.2

実際の天気の確率

実際の天気 晴 曇 雨

確率 0.5 0.2 0.3

天気予報

実際の天気 晴 曇 雨

晴 0.3 0.2 0.0

曇 0.1 0.1 0.0

天気予報と実際の天気の確率

条件付き確率

条件の一部が確定した場合の確率

例：天気予報が雨である場合に実際の天気が雨である確率 例：天気予報が晴である場合に実際の天気が雨である確率

事象：S = { s₁, s₂, s₃, ... , s_n } 事象：T = { t₁, t₂, t₃, ... , t_m }

t_k が発生したときに s_i が発生する確率：P(s_i|t_k)

s_i と t_k が発生する確率：P(s_i,t_k) = P(s_i|t_k) P(t_k)

∑

=

練習問題

下記の表に従って確率を求めよ

天気予報

実際の天気 a : 晴 b : 曇 c : 雨

A : 晴 0.3 0.2 0.0

B : 曇 0.1 0.1 0.0

C : 雨 0.0 0.1 0.2

天気予報と実際の天気の確率

(1) P(A|a) = 0.75 (2) P(A|b) = 0.5 (3) P(a|B) = 0.5 (4) P(b|B) = 0.5

応用問題(1)

少し難しい問題

３個の宝箱があり、どれか１個に３０００円が入っている １個だけを開けることができ、その中身を取得できる

１．プレイヤーは、宝箱を１個選ぶ（開けない）

２．出題者は、残り２個の宝箱のうち、

ハズレ（空の）宝箱を開ける 選択手順

３．プレイヤーが５００円払えば、 選択を変更した方が

応用問題(2)

定式化 A B C

事象 Aが当たり：s_A Bが当たり：s_B Cが当たり：s_A プレイヤーが

Aを選択 ：t_A

プレイヤーが Bを選択 ：t_B

プレイヤーが Cを選択 ：t_C 出題者が

Aを開ける：u_A

出題者が

Bを開ける：u_B

出題者が

Cを開ける：u_C 確率 P(s_A) = 1/3 P(s_B) = 1/3 P(s_C) = 1/3

応用問題(3)

計算の指針

プレイヤーが A を選んだ場合を計算

֜ B や C を選んだ場合でも同じ計算となる

計算したい確率

P(s_A|t_A,u_B) = ???

出題者が B を開けた場合を計算

֜ C を開けた場合でも同じ計算となる

応用問題(4)

条件付き確率を使って表現

プレイヤーの選択による確率の変化（変化しない）

P(s_A|t_A) = 1/3 P(s_A|t_B) = 1/3 P(s_A|t_C) = 1/3

出題者の選択確率

P(u_A|s_A,t_A) = 0 P(u_A|s_B,t_A) = 0 P(u_A|s_C,t_A) = 0

P(u_C|s_A,t_A) = 1/2 P(u_B|s_A,t_A) = 1/2

P(u_B|s_B,t_A) = 0 P(u_C|s_B,t_A) = 1 P(u_B|s_C,t_A) = 1 P(u_C|s_C,t_A) = 0

応用問題(5)

計算

P(s_A,u_B|t_A) = P(u_B|s_A,t_A) P(s_A|t_A) = 1/6 P(s_B,u_B|t_A) = P(u_B|s_B,t_A) P(s_B|t_A) = 0 P(s_C,u_B|t_A) = P(u_B|s_C,t_A) P(s_C|t_A) = 1/3

P(u_B|t_A) = P(s_A,u_B|t_A) + P(s_B,u_B|t_A) + P(s_C,u_B|t_A) = 1/2

P(s_A|t_A,u_B) = P(s_A,u_B|t_A) / P(u_B|t_A) = 1/3

֜ 期待値 1000円 (3000円×1/3)

宝箱を変更しない

宝箱を変更する

まとめ

コンピュータ上の計算でおきる間違いと誤差 確率

数式で確率を表すことで、確率を計算できる 条件付き確率

条件の一部が確定した場合の確率を計算する

獲得した情報に従って、とるべき戦略や処理を決定する 確率の計算は重要

例：風が強いという情報を獲得 ֜ 慎重な戦略をとる