光⼦の伝播パラドックス実証のための実験条件の考察

(1)

平成３０年度卒業論⽂

光⼦の伝播パラドックス実証のための実験条件の考察

広島⼤学理学部物理科学科

⾼エネルギー物理学研究室

B153954 井⽥健⼆郎

指導教員⾼橋徹

主査飯沼昌隆

副査両⾓卓也

(2)

(3)

⽬次

1. 序論 ... 4

1.1 研究背景 ... 4

1.2 ⽬的 ... 4

2. 粒⼦の伝搬パラドックス ... 5

3. 波動光学 ... 8

4. 光学系の設計 ... 11

4.1 運動量状態の⽣成法 ... 11

4.2 位置と運動量のスリット幅の決定 ... 12

5. 光波場の伝播の数値計算 ... 14

5.1 数値計算⽅法 ... 14

5.2 分割数の決定 ... 15

5.3 レンズ⾯での光波場の様⼦ ... 15

5.4 焦点⾯の光波場の数値計算 ... 17

5.4 焦点⾯での光波場の評価 ... 18

6. 光波場伝搬実験 ... 21

6.1 実験セットアップ ... 21

6.2 実験１結果 ... 22

6.3 実験２結果 ... 22

6.4 位置状態と運動量状態の重ね合わせ ... 24

7. まとめ ... 27

謝辞 ... 28

参考⽂献 ... 29

(4)

1. 序論

1.1 研究背景

古典⼒学では粒⼦は慣性の法則に従い等速直線運動をする．⼀⽅、量⼦⼒学では，位置と運動量の不確定性関係から、ある時間経過後の粒⼦の位置は確率分布でしか予測できない．また古典⼒学で考えられる軌道の概念は量⼦⼒学では否定され，古典的な軌道は統計的な平均値とされている．しかしながら現実の粒⼦を古典的に⾒ようが量⼦的に⾒ようが時間経過とともに伝播していることに変わりはない。粒⼦を古典的に⾒れば⾃由粒⼦は直進するため、位置の不確定性のゆらぎがあっても慣性の法則に従って伝播し、確率的に軌道を考えることができると思われる。実際、不確定性の内側での⾃由粒⼦の伝播がどうなっているのか、⼤変興味ある問題である。しかし歴史的にはコペンハーゲン解釈によって伝播を考えること⾃体が無意味であるとされ、この問題は⻑年放置されてきた。近年の量

⼦操作技術の進展とともに、始状態と終状態を選択し中間状態を測定する弱測定が実現できるようになり、現実の系での伝播を観測する試みがされている[1][2][3]．しかし弱測定で得られる弱値の物理的意味が明確になっていないため、いくつかの実験結果が異なる解釈を与える状況となっている。特に隠れた変数理論と呼ばれる不確定性のゆらぎがあっても確率的に軌道を考える解釈があるが、その代表例であるボームの理論を⽀持する実験結果もある[3]。その実験結果は量⼦⼒学の計算結果とは全く⽭盾しないが、従来の量⼦論の考えとは明らかに⽭盾する。現代は量⼦⼒学が確⽴した時代とは異なり、量⼦操作技術を駆使できる状況にあるため、この⾃由粒⼦の伝播の問題を改めて実験的に問い直すことができる環境にある。

1.2 ⽬的

粒⼦の伝播の問題は、本質的には位置の不確定性の揺らぎの中の伝播の問題であるた

め、実験的には簡単ではない。しかし近年、ホフマンにより，ある特定の状況下で３点の

位置の確率分布を⽐較することで、粒⼦の伝播が慣性の法則に従わないことが実験的に観

測可能との指摘がなされた[4]．慣性の法則の破れを実験的に実証するには，初期状態とし

て位置分布を幅𝐿に制御された状態|𝐿⟩と運動量分布を幅𝐵に制御された状態|𝐵⟩の重ね合わ

せ状態を⽤意する必要がある．そこで本研究では光⼦の横⽅向の運動に着⽬し，最適な実

験状況の考察と運動量の状態|𝐵⟩の準備、およびテスト実験を⾏った．

(5)

2. 粒⼦の伝搬パラドックス

この章では粒⼦が慣性の法則を破ることを検証する実験について説明する．図 2.1 のように粒⼦の伝播の横⽅向の運動のみを考える。時刻𝑡＝0での粒⼦の𝑥⽅向の位置𝑥(0)が−𝐿/2 ≤ 𝑥(0) ≤ 𝐿/2 である確率を𝑃(𝐿)とし，𝑥⽅向の運動量𝑝(0)が−𝐵/2 ≤ 𝑝(0) ≤ 𝐵/2である確率を

𝑃(𝐵)とする．このとき古典⼒学の描像では時刻𝑡 = 𝑡

2

の粒⼦の位置について

|𝑥(𝑡

₂

)| ≤ 𝐿 2 + 𝐵

2𝑚 𝑡

₂

≡ 𝑀

2 (2.1)

が成り⽴つ．ここで𝑚は粒⼦の質量である．また，時刻𝑡 = 0で−𝐿/2 ≤ 𝑥(0) ≤ 𝐿/2でありかつ−𝐵/2 ≤ 𝑝(0) ≤ 𝐵/2である確率を𝑃(𝐿 ∩ 𝐵)とし，同様に𝑃(𝐿 ∪ 𝐵)を⽤いると

𝑃(𝐿 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐿) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐿 ∪ 𝐵) ≥ 𝑃(𝐿) + 𝑃(𝐵) − 1 (2.2) となる．時刻𝑡 = 𝑡

2

で−𝑀/2 ≤ 𝑥(𝑡

2

) ≤ 𝑀/2である確率を𝑃(𝑀)とする。もし慣性の法則が成

⽴していれば、𝑃(𝐿 ∩ 𝐵)を満たす粒⼦は必ず幅 M を通過する。 L だけ通過する粒⼦や B だけ通過する粒⼦の⼀部も M を通過する可能性があるから、慣性の法則が成⽴すれば、 𝑃(𝑀) ≥ 𝑃(𝐿 ∩ 𝐵)の条件を満たさなくてはならない。したがって、

𝑃(𝑀) ≥ 𝑃(𝐿) + 𝑃(𝐵) − 1 (2.3)

となる．以上の議論から𝑃

_@ABACD

≡ 𝑃(𝐿) + 𝑃(𝐵) − 1 − 𝑃(𝑀)とすると慣性の法則が成⽴すれば 𝑃

_@ABACD

≤ 0を得る．

次に量⼦⼒学で考える．|𝐿⟩と|𝐵⟩を

図 2.1 実験原理

|"⟩ |$⟩

% = 0 % = % ₍ % → ∞

" + $

,

-

(6)

⟨𝑥|𝐿⟩ = F 1

√𝐿 H− 𝐿

2 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 2 I 0 (𝑒𝑙𝑠𝑒)

(2.4)

⟨𝑝|𝐵⟩ = F 1

√𝐵 H− 𝐵

2 ≤ 𝑝 ≤ 𝐵 2 I 0 (𝑒𝑙𝑠𝑒)

(2.5)

となるスリット関数型の状態とし，２つの状態の重ね合わせ状態

|𝜓⟩ = 1

P2(1 + ⟨𝐿|𝐵⟩) (|𝐿⟩ + |𝐵⟩) (2.6)

を初期状態とする．すると

𝑃(𝐿) = 𝑃(𝐵) = 1

2 (1 + ⟨𝐿|𝐵⟩) (2.7)

𝑃(𝑀) = S TU𝑥T𝑈W(𝑡

^[ ₂

)T𝜓XT

^Y

𝑑𝑥

\[

= S 2⟨𝐿|𝐵⟩

^Y

(1 + ⟨𝐿|𝐵⟩)𝐿 ] 2ℏ

𝐵𝑥 sin H 𝐵𝑥 2ℏ Ib

Y

cos

^Y

e 1

2𝜋⟨𝐿|𝐵⟩

^Y

H 𝐵𝑥 2ℏ I

Y

− 𝜋 8 h

[

\[

(2.8)

が成り⽴つ． ⟨𝐿|𝐵⟩ = i

_Ykℏ^j[ ^lℏ_j[

Si n

^j[_lℏ

o ≈ i

_Ykℏ^j[

（但し， 𝐵𝐿 < ℏ）であり，ここでU𝑥T𝑈W(𝑡)T𝐿Xは𝑡 ≥

r[^s

t

， U𝑥T𝑈W(𝑡)T𝐵Xは𝑡 ≤

^rt_j_s

の条件で近似しており，両⽅の条件をみたす𝑡は𝑡 =

^r[_j

であり、このとき両者の波動関数は⼀致する。そこで、今後は𝑡

₂

=

^r[_j

の場合を考える（このとき𝑀 = 2𝐿 である）。上記の式に従い、数値計算した結果が図 2.2 である。図 2.2(c)は𝐿，𝐵/ℎと𝑃

_@ABACD

の関係を⽰しており，𝑃

@ABACD

> 0となる𝐿と𝐵が存在することがわかる．𝑃

@ABACD

は粒⼦が直進すると仮定して粒⼦が−

²_Y

≤ 𝑥(𝑡

2

) ≤

²_Y

の範囲内に存在する確率𝑃(𝐿) + 𝑃(𝐵) − 1から実際に

−

²_Y

≤ 𝑥(𝑡

₂

) ≤

²_Y

の範囲内に存在する確率𝑃(𝑀)を引いた値であるから，直進していない粒⼦

が存在する最低の確率を表している．すなわち𝑃

_@ABACD

> 0が得られる場合は粒⼦が慣性の法則に従っていない粒⼦が最低でも𝑃

_@ABACD

だけ存在していることを表している．

測定する確率分布は𝑃(𝐿)，𝑃(𝐵)，𝑃(𝑀)であるが，これらが実験的に測定可能な範囲で，

𝑃

@ABACD

> 0となる𝐿と𝐵を選ぶ必要がある． 𝐿と𝐵の決定は第４章で説明する．また本実験では

光⼦を使⽤する．光⼦は相対論に従うが横⽅向の運動に限れば、⾮相対論的に扱うことがで

きるため，横⽅向は仮想的な質量𝑚 =

^ℏw_x

の粒⼦の運動として考えることができる．実験では

𝑃(𝐿)， 𝑃(𝑀)をそれぞれ時刻𝑡 = 0， 𝑡 = 𝑡

₂

での粒⼦の位置を測定し， 𝑃(𝐵)を時刻𝑡 = 0での粒

(7)

⼦の位置をレンズでフーリエ変換し測定することで𝑃

@ABACD

を測定できる．

(a)

𝑃(𝐿) + 𝑃(𝐵) − 1

(b)

𝑃(𝑀)

(c)

𝑃_@ABACD

図 2.2 𝐿，𝐵/ℎと各確率分布の関係

(8)

3. 波動光学

この章では光波の伝搬と薄⾁レンズによる光波の位相変化について説明する[5]．

まず光波場の伝搬を考える．ヘルムホルツ⽅程式(Δ + 𝑘)𝑈 = 0を満たす解を光波場𝑈(𝑥, 𝑦) と呼ぶ．光波場は光波の電場または磁場の時間に依存しない振幅に対応し， |𝑈|

^Y

は強度分布

𝐼を表す．図 3.1 の状況を考え、⼊⼒⾯での光波場を𝑈

~

(𝜉, 𝜂)とすると⼊⼒⾯から距離𝑑にあ

る出⼒⾯での光波場𝑈

•

(𝑥, 𝑦)は

𝑈

•

(𝑥, 𝑦) = 𝑑

𝑖𝜆 „ 𝑈

~

(𝜉, 𝜂) exp[𝑖𝑘𝑟

_Š‹

] 𝑟

_Š‹^Y

𝑑𝜉𝑑𝜂

•

(3.1)

と表され，式(3.1)をホイヘンス-フレネル原理という．ここでΣは⼊⼒⾯上の光源の領域であり，𝜆，𝑘はそれぞれ光波の波⻑，波数であり，𝑟

_Š‹

は⼊⼒⾯上の点𝑃

_Š

(𝜉, 𝜂)と出⼒⾯上の点 𝑃

‹

(𝑥, 𝑦)との距離𝑟

_Š‹

= P𝑑

^Y

+ (𝑥 − 𝜉)

^Y

+ (𝑦 − 𝜂)

^Y

である．

𝑟

_Š‹

を⼆項展開し２次以上の項を無視すると𝑟

_Š‹

≈ 𝑑 ]1 +

^‹_Y

n

^•\•_‘

o

^Y

+

^‹_Y

n

^’\“_‘

o

^Y

bと近似でき，

(𝑥 − 𝜉)

^Y

， (𝑦 − 𝜂)

^Y

が𝑑に⽐べて⼗分⼩さい時𝑟

_Š‹^Y

≈ 𝑑

^Y

と近似することができる．𝑟

_Š‹

の近似を

⽤いるには２次以上の項を無視することで⽣じる最⼤位相変化が，1rad よりはるかに⼩さくなければならない．この条件は

𝑑

^”

≫ 𝜋

4𝜆 [(𝑥 − 𝜉)

^Y

+ (𝑦 − 𝜂)

^Y

]

_–—˜^Y

(3.2) のとき満たされる．これらの近似を⽤いることで式(3.1)は

𝑈

_•

(𝑥, 𝑦) ≈ exp[𝑖𝑘𝑑]

𝑖𝜆𝑑 „ 𝑈

_~

(𝜉, 𝜂) exp ]𝑖 𝑘

2𝑑 {(𝑥 − 𝜉)

^Y

+ (𝑦 − 𝜂)

^Y

}b 𝑑𝜉𝑑𝜂

•

(3.3)

図 3.1 光波場の伝搬の座標系

!

"

#

$

%

_&

%

_'

(

_&'

Σ

*

₊

*

_,

(9)

と変形できる．式(3.3)で⽤いた近似をフレネル近似という．

フレネル近似に加え，

𝑑 ≫ 𝑘(𝜉

^Y

+ 𝜂

^Y

)

_–—˜

2 (3.4)

が成り⽴つ場合，式(3.3)は

𝑈

_•

(𝑥, 𝑦) ≈ 𝑒

^~w‘

𝑒

^{~ w}^Y‘(•^s^›’^s⁾

𝑖𝜆𝑑 „ 𝑈

~

(𝜉, 𝜂) exp ]−𝑖 𝑘

𝑑 (𝑥𝜉 + 𝑦𝜂)b 𝑑𝜉𝑑𝜂

•

(3.5)

と近似できる．ここで⽤いた近似をフラウンホーファー近似という．

次にレンズによる光波場の位相変化を考える．厚さが無視できる球⾯薄⾁レンズに⼊射する直前の光波場を𝑈

_œ

(𝑢, 𝑣)，通過直後の光波場を𝑈

_œŸ

(𝑢, 𝑣)とするとレンズの球⾯で光路ごとに位相差が⽣じ

𝑈

_œŸ

(𝑢, 𝑣) = 𝑈

_œ

(𝑢, 𝑣) exp e−𝑖𝑘 𝑢

^Y

+ 𝑣

^Y

2𝑓 h (3.6)

となる．

式(3.3)，式(3.6)から薄⾁レンズの後ろ側焦点⾯の光波場𝑈

_•

(𝑥, 𝑦)は薄⾁レンズの前⽅の距離𝑑の位置（⼊⼒⾯）の光波場𝑈

_~

(𝜉, 𝜂)で次のように表される．

𝑈

_•

(𝑥, 𝑦) = exp ]𝑖 𝑘 2𝑓 H1 − 𝑑

𝑓I (𝑢

^Y

+ 𝑣

^Y

)b

𝑖𝜆𝑓 „ 𝑈

_~

(𝜉, 𝜂) exp ]−𝑖 2𝜋

𝜆𝑓 (𝜉𝑥 + 𝜂𝑦)b 𝑑𝜉𝑑𝜂

¡

\¡

(3.7)

ここで𝑓はレンズの焦点距離であり，レンズ⾯での光波場の領域は⼗分⼩さいとした．式 (3.7)で𝑑 = 𝑓のとき係数の位相因⼦が消え式(3.7)は完全なフーリエ変換が成り⽴つ．さらに

•

≡ tan 𝜃 ≈ sin 𝜃，

^’_•

≡ tan 𝜑 ≈ sin 𝜑が成り⽴つとき，𝑝 =

^t_¦

の関係から式(3.7)は 𝑈

_•

§𝑝

_•

, 𝑝

_“

¨ = 1

𝑖𝜆𝑓 „ 𝑈

_~

(𝜉, 𝜂) exp e−𝑖 𝑝

•

𝜉 + 𝑝

“

𝜂 ℏ h 𝑑𝜉𝑑𝜂

¡

\¡

(3.8)

が成り⽴ち，式(3.7)と式(3.8)を⽐べると

𝑝

_•

= ℎ𝑥

𝜆𝑓 ， 𝑝

_“

= ℎ𝑦

𝜆𝑓 (3.9)

の関係を得る．

⼀⽅𝑑 = 𝑓でフレネル近似を⽤いない場合，式(3.1)，式(3.6)から焦点⾯での光波場は

𝑈

•

(𝑥, 𝑦) = − 𝑓

^Y

𝜆

^Y

„ 𝑑𝜉𝑑𝜂

•_ª

„ 𝑑𝑢𝑑𝑣𝑈

~

(𝜉, 𝜂) exp ]𝑖𝑘 «𝑟

_Š‹

+ 𝑟

_‹Y

− 𝑢

^Y

+ 𝑣

^Y

2𝑓 ¬b 𝑟

_Š‹^Y

𝑟

_‹Y^Y

•_s

(3.10)

(10)

と表される．ここでΣ

‹

，Σ

Y

はそれぞれ⼊⼒⾯，レンズ⾯の光波場の領域であり，𝑟

Š‹

，𝑟

‹Y

はそれぞれ⼊⼒⾯上の点𝑃

_Š

(𝜉, 𝜂)からレンズ⾯上の点𝑃

_‹

(𝑢, 𝑣)との，レンズ⾯𝑃

_‹

(𝑢, 𝑣)から焦点⾯

上の点𝑃

_Y

(𝑥, 𝑦)との距離で𝑟

_Š‹

= P𝑓

^Y

+ (𝑢 − 𝜉)

^Y

+ (𝑣 − 𝜂)

^Y

，𝑟

_‹Y

= P𝑓

^Y

+ (𝑥 − 𝑢)

^Y

+ (𝑦 − 𝑣)

^Y

である．

焦点⾯の運動量空間の光波場𝑈 -(𝑝

_• _•

, 𝑝

_’

)は位置空間の光波場𝑈

_•

(𝑥, 𝑦)で次のように表される．

𝑈 -§𝑝

_• _•

, 𝑝

_’

¨ = 1

ℎ „ 𝑈

_•

(𝑥, 𝑦) exp ]−𝑖 𝑝

_•

𝑥 + 𝑝

_’

𝑦 ℏ b 𝑑𝑥𝑑𝑦

¡

\¡

(3.11)

式(3.7)，式(3.11)から

𝑈 -§𝑝

• _•

, 𝑝

’

¨ = 𝜆𝑓

𝑖ℎ 𝑈

~

H− 𝜆𝑓

ℎ 𝑝

•

, − 𝜆𝑓

ℎ 𝑝

’

I (3.12)

が得られる．

(11)

4. 光学系の設計

4.1 運動量状態の⽣成法

第２章で⽰した運動量分布がスリット関数型の状態|𝐵⟩を⽣成することを考える．第３章で述べたように光波場の絶対値の２乗は強度分布であるから、光波場を波動関数と⾒⽴てることにする．図 4.1 で⽰すように、まず，スリットに通す平⾏ビームはビームエクスパンダーでガウスビームを拡⼤することで⽣成させ，ビームスポットが最⼩になる位置（ビームウェスト位置）に設置した幅Δ𝜉のスリットを通過させる．これにより位置空間で幅Δ𝜉のスリット関数型の光波場𝑈

_~

(𝜉, 𝜂)が得られる．次に焦点距離𝑓の凸レンズをスリットから下流側に距離𝑓離して設置する．スリット⾯での光波場は，焦点⾯での光波場とフーリエ変換の関係にある．スリット⾯での位置分布はスリット関数型，運動量分布は Sinc 関数型であり，

フーリエ変換により焦点⾯での位置分布は Sinc 関数型，運動量分布はスリット関数型となる．そのため焦点⾯で𝑥⽅向の運動量が幅𝐵のスリット関数である光波場

𝑈 -§𝑝

_• _•

, 𝑝

_’

¨ ∝ F 1

√𝐵 (− 𝐵

2 ≤ 𝑝

_•

≤ 𝐵 2 ) 0 (𝑒𝑙𝑠𝑒)

を得るには式(3.12)から𝜉⽅向のスリット幅をΔ𝜉 = 𝜆𝑓𝐵/ℎとすればよい．

また先⾏実験[6]で⽤いているレーザー光，エクスパンダーを使⽤するため波⻑𝜆は

図 4.1 状態|𝐵⟩を⽣成する光学系

! =810nm

#

$

%

& = 0

()*

+

# #

,_- . $

,_/ .

0

(12)

810nm とする．

4.2 位置と運動量のスリット幅の決定

図 2.2(c)を⾒ると𝐿 = 50µm の付近と𝐵/ℎ = 50/m 付近に⼭があることがわかる．よってこの⼭の付近でかつ実験的に実現可能な𝐿と𝐵を選ぶことにする．

まず|𝐵⟩の準備について考える．実験ではレンズにより|𝐵⟩を準備するが式(3.12)より𝐵 =

t¯•

¦•

である．これより|𝐵⟩の準備で⽤いるスリットの幅をΔ𝜉とする．スリットやレンズなど

𝑃(𝑀) Δ𝜉 = 50µm Δ𝜉 = 100µm Δ𝜉 = 200µm

𝐿 = 50µm 0.0907 0.172 0.321

𝐿 = 100µm 0.172 0.321 0.567

𝐿 = 200µm 0.321 0.567 0.834

(a) 𝑃(𝑀)

𝑃(𝐿) + 𝑃(𝐵) − 1 Δ𝜉 = 50µm Δ𝜉 = 100µm Δ𝜉 = 200µm

𝐿 = 50µm 0.176 0.248 0.351

𝐿 = 100µm 0.248 0.351 0.497

𝐿 = 200µm 0.351 0.497 0.703

(b) 𝑃(𝐿) + 𝑃(𝐵) − 1

𝑃_@ABACD Δ𝜉 = 50µm Δ𝜉 = 100µm Δ𝜉 = 200µm

𝐿 = 50µm 0.0850 0.0761 0.0304

𝐿 = 100µm 0.0761 0.0304 -0.0698

𝐿 = 200µm 0.0304 -0.0698 -0.132

(c) 𝑃@ABACD

𝑥(𝑡₂)[cm] Δ𝜉 = 50µm Δ𝜉 = 100µm Δ𝜉 = 200µm

𝐿 = 50µm 10.0 5.00 2.50

𝐿 = 100µm 20.0 10.0 5.00

𝐿 = 200µm 40.0 20.0 10.0

(d) 𝑥(𝑡₂)

表 4.2 位置状態のスリット幅𝐿，運動量状態のスリット幅Δ𝜉と確率分布，中間状態の位置𝑥(𝑡2)の関係

(13)

のホルダーやスタンドの⼤きさの都合で焦点距離𝑓があまりに⼩さいと、レンズをスリット

⾯から距離𝑓離して後ろに，焦点⾯から距離𝑓離して前に置くことができない．そのため本実験では𝑓 = 10cm のレンズを使⽤することにした．𝑓がより⼤きなレンズを使⽤することもできるが，実験スペースを広くとる必要があることや第５章で記述する数値計算の所要時間の問題から𝑓を定めた．

𝜆と𝑓が決定したところで次に各確率分布について考える．表 4.2 は𝐿が 50µm，100µm または 200µm，Δ𝜉が 50µm，100µm または 200µm のときの各確率分布(a-c)と𝑥(𝑡

2

)(d)を表している．𝐵/ℎでなくΔ𝜉としたのはスリットの幅を制御するからである．

表 4.2(c)から𝐿 = 50µm，Δ𝜉 = 50µm のとき𝑃

_@ABACD

が最も⼤きいことがわかる．⼀⽅で表 4.2(a)，(b)から𝑃(𝑀)，𝑃(𝐿) + 𝑃(𝐵) − 1は最も⼩さいことがわかる．ここで問題となるのは本実験で何を測定するかであるが，直接測定する値は𝑃(𝑀)と𝑃(𝐿) + 𝑃(𝐵) − 1であり， 𝑃

_@ABACD

はこれらの 2 つの値の差である．したがって𝑃

@ABACD

は測定可能な範囲で値を⼤きくし， 𝑃(𝑀) と𝑃(𝐿) + 𝑃(𝐵) − 1の値が⼤きいほど測定はしやすくなる．そこで確率分布の観点から⾒ると𝐿 = 50µm，Δ𝜉 = 100µm または𝐿 = 100µm，Δ𝜉 = 50µm が最適だと考えられる．

最後に中間状態の位置𝑥(𝑡

₂

)について考える．表 4.2(d)のように𝐿 = 50µm，Δ𝜉 = 100µm のとき𝑥(𝑡

₂

) = 5.00cm である．光学素⼦の⼤きさの問題からある程度空間的スペースが必要となるため、 𝑥(𝑡

₂

) = 5.00cm の位置に検出器を置くことは難しい．⼀⽅で， 𝐿 = 100µm，

Δ𝜉 = 50µm のとき𝑥(𝑡

₂

) = 20cm であり，この距離であれば問題なく検出器を置くことがで

きる．以上の議論から本実験では𝐿 = 100µm，Δ𝜉 = 50µm とする．このとき𝐵/ℎ = 617/m

である．

(14)

5. 光波場の伝播の数値計算

第３章，第４章ではフレネル近似を⽤いて光波場の伝搬を考えた．フレネル近似を⽤いることで焦点⾯での光波場を解析に導くことができ，強度分布では実験結果とよく⼀致することがわかっている．しかし実際の実験では、レンズに有限な厚みと⼤きさがあるように解析解で想定したような理想どおりではない。そこでまず薄⾁レンズで⼤きさが有限のレンズの条件で近似を⽤いず焦点⾯での光波場を数値計算によって求め，解析解と⽐較する．その後レンズの厚みを考慮して数値計算をするのが理想であるが、後述するようにこの計算は現実的に難しい．そのためこの章では理想的な⼤きさが有限な薄⾁レンズによって光波場をフーリエ変換できるのか確認する．

5.1 数値計算⽅法

実際の実験では縦⻑の⻑⽅形型のスリットを使⽤するが計算の簡単のため図 5.1 のように−

^¯•_Y

≤ 𝜉 ≤

^¯•_Y

， −

^¯“_Y

≤ 𝜂 ≤

^¯“_Y

の正⽅形型のスリットであるとする．スリットの前⽅から波

⻑𝜆 = 810nm の平⾯波がスリットを通過しスリット⾯(𝜉, 𝜂)での光波場は𝑈

_~

(𝜉, 𝜂) =

^‹

P¯•¯“

となる．スリットから 10cm 離れた場所(レンズ⾯(𝑢, 𝑣))にある半径𝑅，焦点距離𝑓 = 10cm の薄⾁レンズを通過し，レンズからさらに 10cm 離れた位置(焦点⾯(𝑥, 𝑦))の光波場𝑈

_•

(𝑥, 𝑦)を考える．𝑈

_•

(𝑥, 𝑦)は式(3.10)を𝜉，𝜂，𝑟，𝜙に対してシンプソン則

S 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

^•^³

•_ª

= ℎ ] 1 3 𝑔

_‹

+ 4

3 𝑔

_Y

+ 2 3 𝑔

_”

+ 4

3 𝑔

_l

+ ⋯ + 2

3 𝑔

_µ\Y

+ 4

3 𝑔

_µ\‹

+ 1

3 𝑔

_µ

b + 𝑂(𝑁

^\l

)

で数値積分することで求める．ここで𝑁は分割数でありℎ =

^•^³_µ^\•^ª

，𝑔

_~

= 𝑔(𝑥

_~

)である．スリット⾯のΔ𝜉の分割数を𝑛

_•

， Δ𝜂の分割数を𝑛

_“

とし，極座標表⽰をしたレンズ⾯(𝑟, 𝜙)の動径⽅

図 5.1 数値計算の状況

! =810nm

# =10cm

$

%

10cm 10cm

Δ' Δ(

' (

)

*

+ ,

(15)

向の𝑅の分割数を𝑛

¹

，⾓度⽅向の分割数を𝑛

º

とする．

積分⽅法としてガウス積分法等シンプソン則よりも少ない分割数で積分する⽅法はあるが，後述するようにレンズ⾯で光波場が激しく振動し，その上この振動の周期は実際に数値計算しなければわからず振動を全て拾って積分するには，振動数よりも数倍多くの分割数が必要となる，そのため⼀つ⼀つの計算が簡単なシンプソン則を採⽤した．

5.2 分割数の決定

次に数値積分をする際の分割数を決定する⽅法を説明する．

まず，スリット通過後のレンズ直前の光波場𝑈

_œ

(𝑢, 𝑣) （図 5.1 参照）を数値積分し，強度分布|𝑈

_œ

(𝑢, 𝑣)|

^Y

がフラウンホーファー近似を⽤いた場合の強度分布の解析解|𝑈

_œ^»

(𝑢, 𝑣)|

^Y

と⼗分

⼀致することを確認する．本来はレンズ⾯の２次元プロットで強度分布を⽐較すべきであるが，スリットは正⽅形型のため𝑢⽅向， 𝑣⽅向の分布は対称であるはずである。したがって

⽐較する強度分布は|𝑈

_œ

(𝑢, 0)|

^Y

と|𝑈

_œ^»

(𝑢, 0)|

^Y

とした．フラウンホーファー近似を⽤いた場合のレンズ⾯での光波場𝑈

_œ^»

(𝑢, 𝑣)は式(3.5)より

𝑈

_œ^»

(𝑢, 𝑣) = PΔ𝜉Δ𝜂

𝑖𝜆𝑓 e

^~^Y•(¼^w ^s^›½^s⁾

Sinc H πΔ𝜉

𝜆𝑓 𝑢I Sinc H 𝜋Δ𝜂

𝜆𝑓 𝑣I (5.1)

であり，𝑣 = 0の強度分布は|𝑈

_œ^»

(𝑢, 0)|

^Y

=

^¯•¯“_¦_s_•_s

¿Sinc n

^k¯•_¦•

𝑢oÀ

^Y

である．

そして，𝑈

œ

(𝑢, 𝑣)の実部と虚部をそれぞれグラフにプロットするが、典型的には振動解となる．その振動の周期を⾒ながら焦点⾯のフレネル近似を⽤いた場合の強度分布の解析解とT𝑈

_•

(𝑥, 0)T

^Y

が⼗分⼀致するよう𝑛

_¹

と𝑛

_º

を決定する．今回準備したい光波場は横⽅向の運動量分布がスリット関数の光波場であるため，⽐較する強度分布はT𝑈

_•

(𝑥, 0)T

^Y

とした．フレネル近似を⽤いた場合の焦点⾯での光波場𝑈

_•^»

(𝑥, 𝑦)は式(3.7)より

𝑈

_•^»

(𝑥, 𝑦) = PΔ𝜉Δ𝜂

𝑖𝜆𝑓 Sinc H 𝜋Δ𝜉

𝜆𝑓 𝑥I Sinc H 𝜋Δ𝜂

𝜆𝑓 𝑦I (5.2)

であり，𝑦 = 0の強度分布はT𝑈

_•^»

(𝑥, 0)T

^Y

=

^¯•¯“_¦_s_•_s

¿Sinc n

^k¯•_¦•

𝑥oÀ

^Y

である．

5.3 レンズ⾯での光波場の様⼦

図 5.2 は各スリットのスリット幅を変えたときの、レンズ⾯での強度分布（図 5.1 参照）

(16)

を表しており，フラウンホーファー近似を⽤いた場合の解析解𝑈

_œ^»

(𝑢, 0)と数値計算の結果は

⼗分⼀致している．このときのレンズ⾯での光波場の実部と虚部を表した図が図 5.3 であり，Sinc 関数による周期の⻑い包絡線の振動(振動 1)とそれよりも短い周期の振動(振動 2) があることがわかる．最低でも振動 2 の振動数よりも𝑛

_¹

，𝑛

_º

は⼤きくなければならない．

またスリット幅が⼩さいほど振動 2 の周期は短くなっており，𝑢が⼤きくなるほど振動 2 の周期は短くなっているため𝑢，𝑣が⼤きくなるほど必要な分割数は増えてくる．さらにスリット幅が⼩さいほど振動 1 の周期は⻑くなるため，焦点⾯での光波場の数値積分ではレンズ⾯の積分範囲をより広くとらなければならない．その結果スリット幅が⼩さくなるほどレンズ⾯での分割数は爆発的に増え，計算時間が極端に⻑くなってしまい計算の⼯夫をしなければ事実上計算できない．

計算時間の短縮のため速い計算機の利⽤，並列処理，レンズ⾯での積分範囲の適切な分割を⾏なった．焦点⾯での光波場の計算ではレンズの中⼼から離れるほど分割数が多く必要になるので、レンズ⾯での動径⽅向の積分範囲を区間毎に分け、それぞれの区間で異なる分割数で数値積分を⾏い、最終的にはそれらを合計することで計算した．

(a) スリット幅 50µm

(b) スリット幅 100µm (c) スリット幅 200µm

図 5.2 レンズ⾯での強度分布𝐼(𝑢, 0)

0 2 4 6 8

0 100 000 200 000 300 000 400 000

u[mm]

I[/m2]

|Ul(u,0) ²

0 2 4 6 8

0 500 000 1.0×10⁶ 1.5×10⁶

u[mm]

I[/m2]

0 2 4 6 8

0 1×10⁶ 2×10⁶ 3×10⁶ 4×10⁶ 5×10⁶ 6×10⁶

u[mm]

I[/m2]

(17)

(b) スリット幅 100µm (c) スリット幅 200µm

図 5.3 レンズ⾯での光波場𝑈œ(𝑢, 0)

レンズ⾯，焦点⾯での光波場を数値積分する際，数値積分で⽤いる変数の精度についても注意しなければならない．今回の数値計算で⽤いる変数は𝜆， 𝑓， Δ𝜉， Δ𝜂， 𝜙(= 2𝜋)， 𝑅， 𝑥(𝑦 はゼロとしているため実際の計算では⽤いない)であるが，最も⼩さい変数は𝜆 = 810nm，

最も⼤きな変数は𝑓 = 10cm であり．𝑓は𝜆のおよそ10

^Á

倍である．そのため光波場の数値積分をする際，変数の精度は倍精度では不⼗分で 4 倍精度が必要である．𝑓を⼤きくすれば変数の精度がさらに必要となるばかりか，レンズ⾯での像が 2 乗に⽐例して⼤きくなるのでより多くの分割数が必要となり計算時間はより⻑くなる．

5.4 焦点⾯の光波場の数値計算

焦点⾯での光波場（図 5.1 参照）の計算について考える．図 5.4 は各スリット幅の焦点⾯

での強度分布を表している．(a)，(b)のいずれもおよそ最初の⾕まではフレネル近似を⽤いた解析解𝑈

_•^»

(𝑥, 0)と数値積分の結果は⼗分⼀致している．しかし，それ以降は明らかに⼀致していない．

その理由としてレンズ⾯での分割数の不⾜と積分範囲の狭さが考えられる．分割数については図 5.4(a)の𝑛

_º

，𝑛

_¹

を 2 倍に増やしても結果は変わらなかった．よって分割数が理由

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 -600

-400 -200 0 200 400 600

u[mm]

Ul(u,0)[/m]

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 -1000

-500 0 500 1000

u[mm]

Ul(u,0)[/m]

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 -2000

-1000 0 1000 2000

u[mm]

Ul(u,0)[/m]

(18)

でないことがわかった．

⼀⽅積分範囲については，フレネル近似を⽤いた解析解はレンズでの積分範囲を∞としているが，数値積分ではレンズの半径𝑅は有限なため、積分範囲も有限である。このことが 2 つの結果が⼀致しない原因と考えられる．改善策として𝑅を⼤きくすることが考えられるが，

図 5.2，図 5.3 のようにレンズの中⼼から離れるほど光波場の振幅は⼩さくなり焦点⾯の光波場の計算に対する寄与は⼩さくなる．そのため現在正確に求まっている焦点⾯の光波場の範囲の𝑠倍の範囲を正確に計算するには𝑠倍以上のレンズ半径が必要となり，⼗分な範囲の正確な数値計算は現実的に不可能である．事実，図 5.4(a)の計算をするために数⽇を要した。また積分範囲を𝑅 =8mm から𝑅 =12mm まで広げ，それに合わせた分割数で数値積分したが，解析解と⼀致した範囲は 100µm も広がらなかった．さらに現実の系では、レンズ半径は必ず有限であるため、フーリエ変換の積分範囲が∞ということはありえない。したがって現実の光学系を考えると、有限の積分範囲を考えねばならないことがわかる。ただし今回はレンズ半径と積分範囲を⼀致させたが、⼀致させる必要があるかどうかは⾃明ではない。

前述の通り，本来はこの後レンズの厚さを考慮し，理想的な薄⾁レンズではなく実際のレンズで焦点⾯での光波場を計算するのが理想であるが，レンズ径が有限という条件だけでも数値計算が困難であることから，レンズの厚さについては⾔及しないこととする．

5.4 焦点⾯での光波場の評価

これまでで式(3.10)を数値計算することは⾮常に難しいことがわかった．そこで図 5.4 で

(a) スリット幅 50µm(𝑅 =8mm，𝑛_•= 50，

𝑛“= 50，𝑛º= 400，𝑛¹ÃŠ~Y––= 400，

𝑛¹ÃY~Å––=1200，𝑛¹ÃÅ~Æ––=2400)

(b) スリット幅 200µm(𝑅 =2mm，𝑛_•=50，

𝑛“=50，𝑛º=50，𝑛Ç= 200)

図 5.4 焦点⾯での強度分布𝐼(𝑥, 0)

0 1 2 3 4

0 100 000 200 000 300 000 400 000

x[mm]

[/m2]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 1×10⁶ 2×10⁶ 3×10⁶ 4×10⁶ 5×10⁶ 6×10⁶

x[mm]

[/m2]

|Uf(x,0) ²

(19)

解析解と数値計算の結果が⼀致する範囲だけを考え，有限な⼤きさのレンズによるフーエ変換がどこまで理想に近いかを確認することにする．

まず焦点⾯での光波場が Sinc 関数由来の振動のみが⾒られるかどうか確かめる．図 5.5 は図 5.4 と同じ条件での各スリット幅の焦点⾯での光波場の計算結果を表しており，Sinc 関数由来の振動のみが⾒られる．よって薄⾁レンズによるフーリエ変換は定数の位相のずれこそあるが，図 5.4 の𝑥の範囲内では、積分範囲が∞ではなくても光波場のレベルで解析解と⽭盾しないことがわかる．特にスリット幅 200µm では、レンズ半径が 2mm であってもフレネル近似の解析解との⼀致は良い。⼀⽅、スリット幅 50µm では、レンズ半径が 8mm でも不⼗分であることがわかる。

次に数値計算で求めた範囲の𝑈

_•

(𝑥, 0)を𝑥のみフーリエ変換した，すなわち運動量空間の光波場𝑈 -(𝑝

_• _•

, 𝑦 = 0)の関数形を確認する．図 5.6 は図 5.5 の計算結果𝑈

_•

(𝑥, 0)を𝑥のみフーリエ変換した運動量空間の光波場

𝑈 - n

_•

𝑝

•

ℎ , 𝑦 = 0o = S

^¯•

𝑈

_•

(𝑥, 0)𝑒

^\~^È^É^t^•

𝑑𝑥

\¯•

(5.3)

とフレネル近似を⽤いた解析解𝑈

_•^»

(𝑥, 0)を𝑥 のみフーリエ変換した運動量空間の光波場 𝑈 -(𝑝

_•^» _•

/ℎ, 𝑦 = 0)を表している．図 5.6 のように𝑈 - n

_• ^È_t^É

, 𝑦 = 0oはフレネル近似の解析解をフーリエ変換した𝑈 - n

_•^» ^È_t^É

, 𝑦 = 0oと⼀致している．またΔ𝑥を∞に持って⾏けば、フレネル近似の解析解は、理想的なスリット関数と⼀致している。したがって図 5.6 の範囲内では数値解と解析解が⼀致しているため、数値解でΔ𝑥を∞に持っていっても、スリット関数に近い形に再現することが期待される。本実験では、焦点⾯での光波場の再フーリエ変換はしないので、運動量空間でのレンズ半径 8mm での数値解と解析解との⼀致が確認されたのは⼤きい。

(a) スリット幅 50µm (b) スリット幅 200µm

図 5.5 焦点⾯での光波場𝑈_•^»(𝑥, 0)

0 1 2 3 4

-200 0 200 400

x[mm]

Uf(x,0)[/m]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1000 -500 0 500 1000 1500 2000

x[mm]

Uf(x,0)[/m]

(20)

(b) スリット幅 200µm

図 5.6 𝑥⽅向だけフーリエ変換した焦点⾯の光波場

以上の議論からスリット幅 50µm でレンズ半径 8mm による光波場のフーリエ変換はフレネル近似を⽤いた解析解で⼗分表すことができることが確認できた．したがって本実験は、

少なくともレンズ半径を 8mm 以上に設定すれば、フレネル近似による解析解を⽤いて考えることができる．

0 500 1000 1500 2000

0 2.0×10¹¹ 4.0×10¹¹ 6.0×10¹¹ 8.0×10¹¹ 1.0×10¹² 1.2×10¹²

p_x/h[/m]

|U˜_f

(p_x/h,y=0) ²(Δx→∞)

|U˜_f

(px/h,y=0) ²(Δx=2mm) U_f

˜ (p_x/h,y=0) ²(Δx=2mm)

0 500 1000 1500 2000

0 2.0×10¹¹ 4.0×10¹¹ 6.0×10¹¹ 8.0×10¹¹ 1.0×10¹² 1.2×10¹²

p_x/h[/m]

|U˜_f

(p_x/h,y=0) ²(Δx→∞)

|U˜_f

(px/h,y=0) ²(Δx=0.8mm) U_f

˜ (p_x/h,y=0) ²(Δx=0.8mm)

(21)

6. 光波場伝搬実験

これまでレンズによって光波場のフーリエ変換が可能であることが近似解と数値計算を

⽐較することにより確かめられた．しかし数値計算では計算時間の問題から⼩さなレンズ径でしか確かめておらず，理想に近いスリット関数を準備するためにレンズ径がどれだけ必要かはわからなかった．そこでこの章ではスリットとレンズを通過した光波場の伝搬を実験的に確かめ，解析解と⽐較しその結果を⽰す．

6.1 実験セットアップ

図 6.1 のようにスリット(シグマ光機製 FSL-50)前⽅からビームエクスパンダーによって拡⼤された波⻑ 810nm のガウスビームが 50µm×3mm のスリットに⼊射する(スリット

⾯)．スリット後⽅ 10cm の位置(レンズ 1 ⾯)で半径𝑅

‹

，焦点距離 10cm，厚さ𝑑

‹

の平凸レンズ(レンズ１)を通過し，レンズ１後⽅ 10cm の位置(焦点⾯)でプロファイラーによりビームの強度分布を測定する．(実験１)

次に図 6.2 のように焦点⾯後⽅ 10cm の位置(レンズ２⾯)に半径𝑅

_Y

，焦点距離 10cm，厚さ𝑑

_Y

の平凸レンズ(レンズ２)を置き，レンズ２後⽅ 10cm の位置(フーリエ変換⾯)でプロフ

図 6.1 実験１セットアップ

図 6.2 実験２セットアップ

10cm 10cm

3mm

50µm 2"#mm

$_#mm

1

% =810nm

'#=10cm

10cm 20cm

3mm

50µm 2"_#mm

$_#mm

1

% =810nm

'_#=10cm

10cm

2"₍mm

$₍mm

2 '₍=10cm

(22)

ァイラーによりビームの強度分布を測定する．(実験２)

なお本実験ではレンズ１，レンズ２としてシグマ光機製 SLB-40-100PIR1(2𝑅 =40mm，

𝑑 =6.0mm)または SLB-60-100PIR1(2𝑅 =60mm，𝑑 =12.5mm)を使⽤する．

6.2 実験１結果

図 6.3 は実験 1 における 2 𝑅

‹

= 40mm ， 𝑑

‹

= 6.0mm(a-1) または 2𝑅

‹

= 60mm ，

𝑑

‹

=12.5mm(b-1)の場合の焦点⾯でのビームの強度分布(縦軸はプロファイラーのデジタル

値 ADC であり強度分布に⽐例する)を⽰しており，(a-2)，(b-2)はレンズ径毎のピーク位置での横⽅向の強度分布と𝑎

_‹

[Sinc{𝑎

_Y

(𝑥 − 𝑎

_”

)}]

^Y

+ 𝑎

_l

でのフィッティング結果を⽰し，フィッティングパラメータを(c)に⽰す．

図 6.3(a-2)，(b-2)のように Sinc 関数によるフィッティングとよく⼀致していることがわかる．図 6.3(c)のように各レンズ径のフィッティングパラメータは2𝑅

‹

=40mm のとき𝑎

Y

= 1.9125 × 10

^\”

± 1.4 × 10

^\Á

/µm， 2𝑅

‹

=60mm のとき𝑎

Y

= 1.9368 × 10

^\”

± 1.5 × 10

^\Á

/µm であり，これらは式(5.2)の

^k¯•

¦•

= 1.939 × 10

^\”

[/µm]に対してそれぞれ相対誤差は−1.4%，

−0.13%であり⼗分⼀致している．

6.3 実験２結果

図 6.4 は実験２における2𝑅

_‹

=40mm，60mm，2𝑅

_Y

=40mm，60mm の場合のフーリエ変換⾯でのビームの強度分布を⽰している．スリット⾯の光波場𝑈

~

(𝜉, 𝜂)をレンズ１によってフーリエ変換し，さらに焦点⾯の光波場𝑈

_•

(𝑥, 𝑦)をレンズ２によってフーリエ変換するためフーリエ変換⾯での光波場𝑈

Î

§𝑘

•

, 𝑘

’

¨は式(3.8)より𝑈

Î

§𝑘

•

, 𝑘

’

¨ = 𝑈

~

§−𝑘

•

, −𝑘

’

¨ = 𝑈

~

§𝑘

•

, 𝑘

’

¨ となり，フーリエ変換⾯ではスリット関数型の強度分布が測定されることが予想される．図 6.4 の⾚く塗られたグラフは予想される 50µm×3mm のスリット関数であり，実験結果はこのスリット関数型の強度分布がえられると予想される．しかし実際には𝑘

_•

⽅向ではスリット関数型では⾒られないはずの中⼼ピーク以外の⼭が⾒られる．これは𝑘

_’

⽅向ではスリット関数型の強度分布が⾒られることからレンズの収差が原因で，後段のレンズ２でのフーリエ変換⾯で 50µm 以内にビームが集光されていないことが考えられる．本実験では焦点

⾯の光波場を初期状態とするためレンズ２については考える必要はないが，𝑘

_’

⽅向では予

想される幅 3mm のスリット関数型の強度分布と結果が⼀致していること， 𝑘

_•

⽅向ではスリ

ット関数型の強度分布ではないものの中⼼ピークの⼭の幅が 200µm 程度と数値計算結果の

(23)

図 5.6 と著しく違ってはいないことから，焦点⾯の光波場は数値計算結果を信頼してよいと考えられる．そのため本実験のセットアップの焦点⾯の光波場が⽤意したい運動量状態|𝐵⟩

となることが期待できる．

(a-1) 2𝑅_‹=40mm，𝑑_‹=6.0mm

(a-2) 𝑦 = 230.4µm(ピーク位置)での横⽅向の強度分布(2𝑅_‹=40mm，𝑑_‹=6.0mm)

(b-1) 2𝑅_‹=60mm，𝑑_‹=12.5mm (b-2) 𝑦 =243.2µm(ピーク位置)での横⽅向の強度分布(2𝑅‹=60mm，𝑑‹=12.5mm)

𝑎_‹ 𝑎_Y[/µm] 𝑎_”[µm] 𝑎_l

2𝑅 =40mm 𝑑 =6.0mm

5.480 × 10^l

± 4 × 10^‹

1.9125 × 10^\”

± 1.4 × 10^\Á

2.8039 × 10^”± 0.5 3033 ± 7

2𝑅 =60mm 𝑑 =12.5mm

5.280 × 10^l

± 4 × 10^‹

1.9368 × 10^\”

± 1.5 × 10^\Á

2.9096 × 10^”± 0.5 −16 ± 16

(c) フィッティングパラメータ図 6.3 焦点⾯での強度分布

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0

10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000

x[µm]

ADC

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

0 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000

x[µm]

ADC

(24)

(a) 𝑅‹=40mm，𝑑‹=6.0mm，

𝑅Y=40mm，𝑑Y=6.0mm

(b) 𝑅_‹=40mm，𝑑_‹=6.0mm 𝑅_Y=60mm，𝑑_Y=12.5mm

(c) 𝑅‹=60mm，𝑑‹=12.5mm，

𝑅Y=40mm，𝑑Y=6.0mm

(d) 𝑅_‹=60mm，𝑑_‹=12.5mm，

𝑅_Y=60mm，𝑑_Y=12.5mm 図 6.4 フーリエ変換⾯での強度分布

6.4 位置状態と運動量状態の重ね合わせ

本実験では図 6.1 の焦点⾯で運動量状態|𝐵⟩と位置状態|𝐿⟩を重ね合わせた初期状態を準備する．そのために本実験では偏光ビームスプリッター(PBS)を⽤いて図 6.5 のように 2 つの状態を重ね合わせる．完全なスリット関数型の運動量状態|𝐵⟩を⽤意するには１辺の⻑さが無限⼤の PBS を⽤いなければならないが実際には 1 辺の⻑さ𝑙のキューブ型の PBS を使⽤

する．焦点⾯での横⽅向の運動量空間の光波場𝑈 - n

_•^» ^È_t^É

, 𝑦 = 0; 𝑙oは 𝑈 - n

_•^»

𝑝

_•

ℎ , 𝑦 = 0; 𝑙o = S

^œ/Y

𝑈

_•^»

(𝑥, 0)𝑒

^\~È^É^t^•

𝑑𝑥

\œ/Y

(6.1)

であり， 𝑈 - n

_•^» ^È_t^É

, 𝑦 = 0; 𝑙oが⼗分スリット関数とみなせる𝑙を選ばなければならない．図 6.6 は

(25)

運動量空間の光波場𝑈 - n

_•^» ^È_t^É

, 𝑦 = 0; 𝑙oと PBS の１辺の⻑さ𝑙の関係を解析解で計算した結果を

⽰しており， 𝑙 =4cm 以上で𝑈 - n

_•^» ^È_t^É

, 𝑦 = 0; 𝑙oはほとんどスリット関数とみなすことができる．

そのため本実験では 5.0cm×5.0cm×5.0cm の PBS を⽤いる．

また状態を重ね合わせる際注意すべき点がある．PBS の反射⾯は対⾓線上にあるため位置空間で広がりのある|𝐵⟩を反射させた場合，反射⾯までの経路差が⽣じた上で位相が変化するため PBS を反射することでスリット関数型が崩れてしまう．⼀⽅|𝐿⟩は横幅が 100µm と広がりが狭いため PBS の反射による経路差は⼗分⼩さい．そのため PBS で位置状態|𝐿⟩

を反射させ，運動量状態|𝐵⟩を透過させるようにして、状態を重ね合わせなければならない．

図 6.5 状態の重ね合わせ

図 6.6 運動量空間の光波場𝑈- n_•^» ^È_t^É, 𝑦 = 0; 𝑙oの𝑙依存性

10cm 10cm

3mm 50µm

12.5mm

!

"10cm

|$⟩

2"'

3mm 100µm ( =810nm

50mm

50mm QWP

HWP

0 100 200 300 400

0 2.0×10¹¹ 4.0×10¹¹ 6.0×10¹¹ 8.0×10¹¹ 1.0×10¹² 1.2×10¹²

px/h[/m]

|Uf

˜

(px/h,y=0) ²(l→∞)

|U˜_f

(px/h,y=0) ²(l=2cm)

|U˜_f

(p_x/h,y=0) ²(l=3cm)

|U˜_f

(px/h,y=0) ²(l=4cm)

|U˜_f

(px/h,y=0) ²(l=5cm)

|U˜_f

(px/h,y=0) ²(l=6cm)

(26)

さらに，2 つの状態|𝐿⟩，|𝐵⟩は状態準備の過程で理想よりも定数位相だけずれてしまう．

そのため状態の重ね合わせの時点で 2 つの状態の位相を⼀致させるために，λ/2 波⻑板

(HWP)とλ/4 波⻑板(QWP)で楕円偏光を⽤意し、⽔平偏光成分と垂直成分の偏光の位相差

を制御することで、光路差分の位相を調整する．

(27)

7. まとめ

これまで光⼦の伝搬パラドックスの検証実験の実験条件と運動量状態の⽣成法の考察，

テスト実験を⾏なった．レンズによって位置空間での光波場の分布を運動量空間へ有限な

⼤きさであってもフーリエ変換できることが数値計算により確認され，運動量状態はスリットとレンズによって準備できることが実験により確認できた．本実験では位置状態は横幅 100µm のスリット，運動量状態は横幅 50µm のスリットを⽤いることでそれぞれの状態を準備し、1 辺が 5cm の PBS で両者を重ね合わせることで理想に近い初期状態が準備できることがわかった。この状況の下では、少なくとも 7.61%の光⼦が直進しないことが予想される．

今後はビームエクスパンダーを調整しなおし、ノイズのない状態を重ね合わせ，位置状態，

運動量状態，中間状態の確率分布をそれぞれ測定し，伝搬パラドックスの実験的検証を期待

する．その後レーザー光ではなく⾮線形結晶内のダウンコンバージョン過程で⽣成したシ

ングルフォトンを⽤いて各確率分布を測定し，伝搬パラドックスを実証することを期待す

る．

(28)

謝辞

本研究を進めるに当たり、指導教官の⾼橋徹先⽣と飯沼正隆先⽣には⼤変お世話になりました．特に飯沼先⽣には研究が⾏き詰まっていた際，助⾔を賜り激励してくださいました。

数ヶ⽉もの間数値計算で結果が出ずとも試⾏錯誤を繰り返し，最終的に結果を出すことが

できたのは飯沼先⽣のおかげです．厚く感謝を申し上げます。また固体電⼦論研究グループ

の⽥中新先⽣には数値計算について助⾔を賜りました．⽥中先⽣のおかげで早い段階で間

違った⽅法を修正できました．厚く感謝を申し上げます．そして⾼エネルギー物理学研究室

の皆さんには研究についてはもちろん，その他様々な場⾯で助⾔をいただき，愉しい⽇々を

過ごすことができました．感謝申し上げます．

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光⼦の伝播パラドックス実証のための実験条件の考察

平成３０年度 卒業論⽂