光子の伝播のパラドックス実証のための実験的検討

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平成 29 年度

卒業論文

光子の伝播のパラドックス実証のための実験的検討

広島大学理学部物理科学科高エネルギー物理学研究室

B142899 本田達也

指導教員高橋徹

主査飯沼昌隆

副査檜垣浩之

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第１章序論

1.1 研究背景

古典力学では粒子の軌道を考えることが普通に行われており、自由空間での軌道は慣性の法則から直線となる。一方で、量子力学においては不確定性の存在により粒子の位置の時間発展は位置の確率分布でしか予測できず、統計的な平均値が古典的軌道を描くとされている。このとき量子的な粒子は我々が日常で経験するようにまっすぐに進んでおり、さまざまな軌道が確率的に測定されているだけなのであろうか？この軌道を肯定する考え方の代表的なものがボームの隠れた変数の理論であり、量子論は古典論と整合していなければならないとの観点から、現在でも一部の研究者から支持されている。その一方、現在の量子力学の主流のコペンハーゲン解釈では量子的粒子の軌道の考え方そのものを否定しており、現実の物理的現象で軌道を考えてはいけないとされている。実際、外力が働かなくても一粒子干渉を考えることによって、自由空間であっても粒子が直進しないことをシュレディンガー方程式から計算で示すことができる。しかしこれまでは軌道の考え方の否定の立場から、それが物理的にどういう意味なのか、研究対象とはなりえないと考えられており、量子的粒子の位置の時間発展を物理現象としてどのように理解すべきかの研究はあまり活発には行われてこなかった。そのため我々は、量子的な粒子も自由空間では直進すると想像しがちである。実際、ボームの理論は軌道の考え方を元にした科学理論として確立することを目指しており、粒子は直進しないというシュレディンガー方程式の結果とも矛盾しない。粒子がどのように自由空間を運動しているのかという問題は物理学の最も根幹となる問いかけであるが、現在の研究ではこの基本的な問題について説得力のある答えを出せているとは言えない状況である。

1.2 目的

近年、ホフマンによって、ある特定の条件下で三点の位置分布を比較すると慣性の法則の破れが実験的に観測可能であることが理論的に指摘された[1]。本研究はこの提案に従い、慣性の法則の破れを直接的に検証することを目的とする。そのためには、初期状態としてある位置の幅（Δx）をもった状態と、ある運動量幅（Δp）をもった状態との重ね合わせ状態を用意する必要がある。そこで本研究では、初期重ね合わせ状態を実現するための光学系の考案および構築を目標とした。本論文では考案した光学系と予備実験の結果について報告する。

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第２章光子伝播のパラドックス

この章では量子的な粒子が慣性の法則を破ることを検証する実験について説明する。まず古典力学で考える。P(L)を t=0 で粒子の x 方向の位置 x(0)が x=0 を中心とする幅 L の範囲内にある確率とし、P(B)を t=0 で粒子の運動量の x 成分 p(0)が p=0 を中心に運動量幅 B の範囲内にある確率とする。このとき t=t_M の粒子の位置について、

|𝑥(𝑡_𝑀)| ⩽ ¹

2𝐿 + _2𝑚¹ 𝐵𝑡𝑀≝^𝑀₂ (2.1)

が成り立つ。ただし m は粒子の質量である。光子についても質量を考えることが出来るが、そのことについては後で述べる。また、t=0 で粒子が上記のような位置について幅 L 内にありかつ運動量について幅 B 内にある確率を P(L and B)とし、同様に

P(L or B)を定義すると、

𝑃(𝐿 and 𝐵) = 𝑃(𝐿) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐿 or 𝐵) ⩾ 𝑃(𝐿) + 𝑃(𝐵) − 1 (2.2) である。t=0 で L and B を満たすとき、t=t_Mで粒子は必ず(2.1)式で定義した幅 M を通るので、

𝑃(𝑀) ⩾ 𝑃(𝐿) + 𝑃(𝐵) − 1 (2.3) となる。これが古典力学で成り立つ式であり、

𝑃_{𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡} ≝ 𝑃(𝐿) + 𝑃(𝐵) − 1 − 𝑃(𝑀) (2.4)

とすると、古典的にはPdefect は0以下の値をとる。しかし、初期状態としてx=0を中心とする幅Lのスリット関数型の状態、

⟨𝑥|𝐿⟩ = {

1

√𝐿 (−^𝐿₂≤ 𝑥 ≤^𝐿₂)

0 (𝑒𝑙𝑠𝑒) (2.5) とp=0を中心とする幅Bのスリット関数型の状態、

⟨𝑝|𝐵⟩ = {

1

√𝐵 (−^𝐵₂≤ 𝑝 ≤^𝐵₂)

0 (𝑒𝑙𝑠𝑒) (2.6) の重ね合わせ状態である次の状態、

|𝜓⟩ = ¹

√2(1+⟨𝐿|𝐵⟩)

(|𝐿⟩ + |𝐵⟩) (2.7)

を選び、𝐵𝐿 ≈ 0.048𝜋ℏとなるようにBとLを決めると、

𝑃_{𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡} ⩾ 0.072 (2.8)

となることが示される。また、P(L)、P(M)、P(B)はそれぞれt=0、t=tM 、t=∞での粒子の位置の測定で得られるので、(2.3)式の破れを実験的に検証することが可能である。この実

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験でのポイントは、Bの状態とLの状態の重ね合わせ状態をどのように実現するか、にある。

ところで、光子は質量ゼロである。しかし、伝搬方向に垂直な成分の運動については、

光速よりも遅い速度での運動となるので質量を考えることは可能である。例えば、図2.1 の光子の場合、θを微小角とすると光子のx方向の速さは c θ ≪ c であり、このときの質量mは、 m =^ℏ𝑘

𝑐 であると考えることができる。

図 2.1 z 軸から微小角θの向きに伝搬する光子。

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第３章ビーム伝播

この章では光学系の設計およびビーム径の測定に必要な概念について説明する。

3.1 ガウシアンビーム

本実験ではレーザーを用いるので、レーザー光の伝播について知る必要がある。通常、

レーザーの発振モードは最低次のガウスモードである。z 方向に伝搬する、波長λ、波数 k の最低次のガウシアンビームの電場 E は次のように表される[2]。

E(r, z) = 𝐸0 𝜔₀

𝜔(𝑧)𝑒𝑥𝑝 {−𝑖[𝑘𝑧 − 𝜂(𝑧)] − 𝑟²[_𝜔₂¹_(𝑧)+_2𝑅(𝑧)^𝑖𝑘 ]} (3.1) ω(z) = 𝜔₀√1 + ^𝑧²

𝑧₀² (3.2) R(z) = z (1 +^𝑧⁰²

𝑧²) , 𝜂(𝑧) = 𝑡𝑎𝑛⁻¹(^𝑧

𝑧₀) (3.3) 𝑧₀≡^𝜋𝜔⁰²^𝑛

𝜆 (3.4)

ただし、r はビームの中心軸からの距離である。(3.1)式より、ω(z)は電場振幅が 1/e となる中心軸からの距離を表しており、ビーム半径の目安となる。ω(z)はスポットサイズと呼ばれる。(3.2)式より、ω₀ は最小のスポットサイズを表していることがわかる。ω₀ の大きさはウェストサイズ、ω₀ の位置はビームウェストと呼ばれる。(3.2)式は、ビームウェストが z=0 にある場合の表式となっている。また、z₀ はスポットサイズが √2 倍になる距離を表しており、z₀ の２倍の値はレイリー長と呼ばれる。

z が十分に大きく、 z ≫ 𝑧₀ を満たす領域で(3.2)式は、

ω(z) ≈_𝑧^𝑧

0

(3.5)

となり、ビームは直線的に広がる。この直線の z 軸からの角度をθとすると、

tanθ=^𝜔(𝑧)_𝑧 =_𝜋𝜔^𝜆

0

(3.6) である。θはビームの角度広がり、広がり半角などと呼ばれる。

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3.2 ビーム品質因子 M

²

実際のレーザーは、ビーム品質の劣化により、同じ角度広がりθのビームであればウェストサイズが理想ガウシアンビームのものよりも大きくなる。そこで、理想ガウシアンビームのウェストサイズを ω₀ 、実際のウェストサイズを Ω₀ としたとき、Ω₀ = M² ω₀ となるように M² を定義し、ビーム品質の指標とする[3]。ビームが理想的な場合は M² =1 で、ビームの品質が劣化するほど M の値は大きくなる。

3.3 ABCD 則

一般に、光の伝播は行列で表すことができる。z 方向に伝播するビームの、z 軸からの距離を x 、傾きを x’ とし、光学要素がビームに与える効果を表した行列を G とすれば、ビームの伝播は次の式で表現できる。

[𝑥_𝑜𝑢𝑡

𝑥_𝑜𝑢𝑡^′] = 𝐺 [𝑥_𝑖𝑛

𝑥_𝑖𝑛^′] (3.7) 厚み d の並行平板 G = [1 𝑑

0 1] (3.8) 焦点距離 f の薄肉レンズ G = [1 0

−1

𝑓 1] (3.9)

ただし、空気の屈折率を 1 とした。ここで、ガウシアンビームの q 値というものを次式で表す。

1

𝑞(𝑧)

=

¹

𝑅(𝑧)

− 𝑖

^𝜆

𝜋𝑛𝜔²(𝑧) (3.10) n は媒質の屈折率である。このとき、次の式が成り立つ[2]。

𝑞_𝑜𝑢𝑡 =^𝐴𝑞^𝑖𝑛^+𝐵

𝐶𝑞_𝑖𝑛+𝐷 (3.11) G = [𝐴 𝐵

𝐶 𝐷] (3.12)

(3.10)、(3.11)式より、光学要素を通過した後のビームの曲率半径 R とスポットサイズω を求めることができる。また、複数の光学要素 G₁ 、G₂ 、G₃ … G_n を次々と通過したときの行列 G_totalは次のように表せる。

𝐺𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= 𝐺𝑛⋯ 𝐺3𝐺2𝐺1 (3.13)

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3.4 フーリエ光学

レンズの前方の距離 d の位置（入力面）にある振幅 E_in の入射光は、電磁光学からレンズの後ろ側焦点面で次のような振幅 E_out になる[4]。

𝐸𝑜𝑢𝑡=_𝑖𝜆𝑓¹ 𝑒𝑥𝑝 [𝑖_2𝑓^𝑘 (1 −^𝑑_𝑓) (𝑢²+ 𝑣²)] ∬_−∞^∞ 𝐸𝑖𝑛𝑒𝑥𝑝 [−𝑖^2𝜋_𝜆𝑓(𝜉𝑢 + 𝜂𝑣)] 𝑑𝜉𝑑𝜂 (3.14) ただし、f はレンズの焦点距離、λは真空中での光の波長、ξとη、u と v はそれぞれ入力面、後ろ側焦点面内での座標を表す。参考となる図を、図 3.1 に示す。

(3.14)式で d=f である場合、係数部分の位相因子がなくなり、厳密なフーリエ変換の関係が成り立つ。さらに、^𝑢

𝑓≡ 𝑡𝑎𝑛𝜃 ≈ 𝑠𝑖𝑛𝜃 , ^𝑣

𝑓≡ 𝑡𝑎𝑛𝜑 ≈ 𝑠𝑖𝑛𝜑 が成り立つとき、p =^ℎ

𝜆の関係

式を用いて(3.14)式は、

𝐸_𝑜𝑢𝑡=_𝑖𝜆𝑓¹ ∬_−∞^∞ 𝐸_𝑖𝑛𝑒𝑥𝑝 [−𝑖^(𝑝^𝜉^𝜉+𝑝_ℏ ^𝜂^𝜂)] 𝑑𝜉𝑑𝜂 ( d = f ) (3.15) となる。(3.14)式と(3.15)式を比べることによって、入力面での面に平行な運動量成分と、焦点面での面に平行な座標成分との関係は次式のようになる。

𝑝_𝜉 = ^ℎ𝑢

𝜆𝑓 (3.16)

図 3.1 レンズによるフーリエ変換の様子。

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3.5 ナイフエッジ法とビームプロファイラーによる方法

ビームのスポットサイズを測定する方法として、本実験ではナイフエッジ法とプロファイラーによる方法を用いた。ナイフエッジ法とは、ビーム断面の強度分布がガウス関数である場合に有効な方法であり、ビームの一部を遮蔽した状態での強度測定を遮蔽領域を変化させながら行い、測定結果に対するフィッティングからスポットサイズを求めることができる。図 3.2 にナイフエッジ法の様子を示す。

図 3.2 に示したように、ビームの一部を x 方向に動かせる遮蔽板で遮蔽し、通過したビームの強度を測定する。ある位置 z で、x 方向に－∞からある距離 x までを遮蔽したときの、通過したビームの強度 I(z,x)は C を定数として次のように書ける。

I(z, x) = C ∫ 𝑒𝑥𝑝 [−^{2(𝑡−𝑡}⁰⁾²

𝜔(𝑧)² ] 𝑑𝑡 =

𝑥

−∞ 𝐶^𝜔(𝑧)

2 √^𝜋₂{1 + 𝐸𝑟𝑓 [ ^√2

𝜔(𝑧)(𝑥 − 𝑡₀)]} ^(3.17)

ただし、Erf(x)は誤差関数と呼ばれるもので、次式で定義される。

Erf(𝑥) = ²

√𝜋∫ 𝑒₀^𝑥 ^−𝑡²𝑑𝑡 (3.18)

また、遮蔽板は x、z 軸に垂直な y 方向について十分な大きさがあるものとする。遮蔽範囲 x を変化させながら強度を測定し、測定結果をω(z) 、t₀ 、C をフィッティングパラメーターとして(3.17)式でフィッティングすることでスポットサイズが求まる。バックグラウンドを考慮する場合は(3.17)式に適当な定数を加える。

もう一つの方法として、プロファイラーによる方法がある。プロファイラーとは、レーザービーム横方向空間分布を解析する測定機器である。本実験で使用したプロファイラー BP100 では、ビーム直径、楕円率、位置、重心、疑似 3D プロファイル等が計算、出力される。また、強度分布のガウシアン近似を表示させることができる。

図 3.2 ビームを俯瞰した図。ナイフエッジ法では、ガウス関数の積分が誤差関数となることを用いる。

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3.6 初期ガウスモードの測定

光学系を設計するためにはビームの伝播の様子を知る必要がある。そこで、まず使用予定の既存のレーザー光のスポットサイズの距離依存性を調べた。光源は中心波長 810 nm の TiSa レーザーである。レーザー媒質である TiSa 結晶の温度が熱平衡に達するまではレーザーの強度が安定しないので、レーザーの立ち上げから 60 分以上待ってから測定を行うようにした。また、レーザー光の強度がそのままでは強すぎて不便であったため、ND フィルターで強度を落としてから測定した。ナイフエッジ法による測定を、日時を変えて複数回行った結果を図 3.3 に示す。

図 3.3 に示したように、日時によってスポットサイズが変化しているという結果が得られた。

図 3.3 スポットサイズωと、レーザーの出射口からの距離 z の関係。ナイフエッジ法の測定誤差を

求めるのは非常に手間がかかるため、誤差は求めていない。測定は全て 2017 年に行った。

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次に、10 月 17 日の測定からビーム品質因子

M

²を求めた解析結果を図 3.4 に示す。

図 3.4 では、ナイフエッジ法による測定結果を青色の丸、測定結果に対するフィッティング曲線を赤線で表した。フィッティングパラメーターはウェストサイズ、ウェスト位置、M² の３つである。この結果から、M の値が 1 よりも大きく、理想的な最低次のガウシアンビームからのずれがあることがわかった。また、図 3.4 より、ビームウェストの位置がレーザーの出射口よりも外側にあることがわかる。しかし通常、このビームウェストは出射口より内側にあることが多い。以上のことから、レーザー発振器に問題がある可能性が考えられたのでレーザー調整を行った。レーザー調整後のスポットサイズの測定および解析結果を図 3.5 に示す。

図 3.4 10 月 17 日に行った測定の解析結果。レーザーの出射口を z=0 とする。ビームクオリティの指標となる M

²

をパラメーターに含めたフィッティングを行い M の値を求めた結果、M=1.25 であった。

M=1.25

図 3.5 レーザー調整後に行った測定の解析結果。M=1.51 となり、調整前よりもビームクオリティは低下したようである。

M=1.51

フィッティング結果

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図 3.5 に示したように、レーザー調整後も最低次のガウシアンビームからのずれが見られたため、レーザー光をシングルモードファイバーに通すことでモード整形することを考えた。そこで、Thorlabs 社の 50-850-FC を使うことにした。この製品はシングルモードファイバーの一端に GRIN レンズがついたもので、出射光が平行光線に近い形にコリメートされる。これにより、モード整形後の光学系の設計やアライメントが容易になる。ただし、50-850-FC は波長 850 nm 用に設計されているため、本実験で用いた 810 nm のレーザー光では GRIN レンズの効果は小さくなる。また、50-850-FC の動作保証された入射光強度の上限は 300 mW であり、強度 1 W を超える TiSa レーザーをそのまま入射するは出来ない。実験装置の設置スペースも考慮し、ファイバーより上流側にビームスプリッターを設置することにした。概略図を図 3.6 に示す。

図 3.6 モード整形するための光学系の概略図。アライメントの結果、ファイバーへの入射光強度が

163.4 mW に対して GRIN レンズからの出射光の強度が 105.0 mW となり、ファイバー透過率は

64.3 % になった。

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次に、モード整形後のスポットサイズの測定結果を図 3.7 に示す。

図 3.7 で示した測定結果から、ファイバー通過後のビームクオリティは M=1.05 であり、モード整形により理想的なガウシアンビームに近い状態を得られたことが確認できた。

図 3.7 スポットサイズの距離依存性。横軸は GRIN レンズ端面からの距離。M=1.05 であった。

M=1.05

フィッティング結果

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第４章光学系の設計

4.1 Δx 状態の生成法

第２章で示した状態 |𝐿⟩ を作ることを考える。位置幅 L の状態を作るには、幅 L のスリットにビームを通せばよい。また、径が十分に大きなビームをスリットに通せば、空間的にほぼ一定の強度分布を得ることができ、ビームのウェストの位置にスリットを設置すれば空間的に位相も一定の分布になる。そこで、レーザー光のビーム径を、ビームエクスパンダーを使って拡大し、ビームウェストの位置にスリットを設置する光学系を考えた。図 4.1 に光学系の概略図を示す。

4.2 Δp 状態の生成法

第２章で示した状態 |𝐵⟩ を作ることを考える。目標となる状態は運動量空間で強度分布と位相が一定のスリット関数型の状態である。そのため、レンズによるフーリエ変換を利用して位置の分布と運動量の分布を対応させることを考えた。まず、ビームエクスパンダーでビームを拡大し、ウェスト位置に設置した幅 d のスリットを通過させる。これにより位置空間で幅 d のスリット関数型の状態が得られる。その位相は空間的には一定であり、

強度分布もほぼ一定となる。次に、焦点距離 f の凸レンズをスリットから下流側に距離 f 離して設置する。このレンズによってスリット位置で得られた位置の分布は、レンズの後ろ側焦点面での運動量分布とフーリエ逆変換の関係となる。(3.16)式より、スリット幅 d を、

d =^𝜆𝑓𝐵

ℎ (4.1)

とすると、凸レンズの後ろ側焦点面で状態 |𝐵⟩ を得ることができる。ここで、λはレー

図 4.1 Δx 状態を作る光学系。

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ザー光の波長、h はプランク定数である。ここで考えた光学系の概略図を図 4.2 に示す。

4.3 重ね合わせ状態の生成法

と状態 |𝐵⟩ の重ね合わせ状態を作る光学系を考えた。概略図を図 4.3 に示す。

図 4.2 Δp 状態を作る光学系。

図 4.3 重ね合わせ状態を作る光学系。上の経路で状態 |𝐿⟩ を作り、

下の経路で状態 |𝐵⟩ を作ってビームスプリッター上で重ね合わせる。

ビームスプリッター

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4.4 ビームエクスパンダーの設計

ここでは、図 3.7 で示したビームプロファイルに基づき、ビームエクスパンダーを設計した結果について述べる。まず、ビームエクスパンダーには大きく分けて２種類あり、凹レンズと凸レンズを組み合わせるガリレオ式と、凸レンズのみで構成されるケプラー式がある。２種類のエクスパンダーの概略図を図 4.4 に示す。

ケプラー式はビームを一度集光させる必要があり、高エネルギーレーザーでは強度分布が崩れてしまうが、ガリレオ式にはその問題はない。また、ガリレオ式の特徴として、比較的短い全長で大きなビーム径を得ることが出来る。これらを踏まえて、本実験ではガリレオ式ビームエクスパンダーを採用することにした。

さて、ビームエクスパンダーでビーム径を拡大する理由は、スリット通過時の強度分布をほぼ一定とするためである。そこで、エクスパンダーで拡大したビーム径がスリット幅よりも十分に大きくなるよう、ビームエクスパンダーを設計する。そこで、ビーム直径はスリット幅の 100 倍程度を目安に設計することにした。また、スリット通過時の位相が一定となるように、ビームウェストの位置にスリットを置くことになる。そのため、ビームウェストが現実的な位置になければならない。さらに、レンズに入射するビーム径はレンズの直径よりも十分に小さい必要があるので、レンズの位置でのビームの直径はレンズ直径の 1/5 程度を目安とすることにした。以上の条件を満たす範囲で、エクスパンダー通過後のウェストサイズが最大となるようにフィッティングを実行することで設計を行った。

フィッティングは２回に分けて行い、１回目のフィッティングでのフィッティングパラメーターは４つで、GRIN レンズから凹レンズまでの距離 d₁ 、凹レンズから凸レンズまでの距離 d₂ 、凹レンズの焦点距離 f₁ 、凸レンズの距離 f₂ である。ただし、各パラメーターには上下限を設けた。距離については、光学素子どうしの距離が 40 mm 以上で、GRIN レンズから凸レンズまでの距離の上限を 500 mm 程度とした。また、レンズは市販のものを用いることを考えて、製品カタログより焦点距離の上下限が決まった。１回目のフィッティングにより焦点距離の最適な値が求まるので、この最適値に近い焦点距離をもつレンズを市販品から探し、２回のフィッティングを d₁ 、d₂ をフィッティングパラメーターとして行う。上で述べた条件を満たす解が得られなかった場合は、他の焦点距離を使ってフィッ

図 4.4 ２種類のビームエクスパンダー。

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ティングを繰り返した。このようにして、ビームエクスパンダーを設計した。設計図を図 4.5 に、エクスパンダーによるスポットサイズの変化を理論計算した結果を図 4.6 に示す。

設計では各点でのスポットサイズω(z)をフィッティングの条件として用いた。ここで、

ω(z)の計算方法について具体的に説明しておく。例として、エクスパンダーの凸レンズの位置でのスポットサイズを計算する。まず、図 3.7 より凹レンズ位置でのスポットサイズ ωがわかるので、(3.4)式、(3.3)式より凹レンズ位置での曲率半径 R を計算する。ω、R より凹レンズ位置での q 値（q₁ とする）が求まる。次に、焦点距離 f の凹レンズと、凹レンズと凸レンズ間（距離 d とする）の伝播を表す行列は、(3.8)、(3.9)、(3.13)式より、

G = [1 𝑑 0 1] [

1 0

−1 𝑓 1]

である。この行列 G と q₁ を(3.11)式に代入することにより、凸レンズ位置での q 値（q₂ とする）が計算できる。最後に、q₂ の虚部よりスポットサイズが求まる。

図 4.6 エクスパンダーによるスポットサイズの変化。レンズの厚さを無視する近似を用いて、第３章で示したビーム伝播の ABCD 則を用いて計算した。凸レンズ以降のスポットサイズはほぼ一定で、レイリー長は 147.6 m である。

図 4.5 エクスパンダーの設計図。ビームの直径の値として、2ωの値を示してある。この図の縮尺は

正確ではないことに注意してほしい。レンズの各パラメーターはカタログ値を記載してある。

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第５章光学系の構築と測定

5.1 測定結果

前章で設計したエクスパンダーを組み立て、エクスパンダーより下流でスポットサイズを測定した結果を図 5.1 に示す。

図 5.1 に示したように、エクスパンダーにより得られたビームのスポットサイズは、設計段階で求めた理論計算の値よりも約 1.2 mm 小さい。また、予想されるスポットサイズは 1 m にわたってほぼ一定の値を取るが、得られたデータは僅かながら単調減少しているのが見て取れる。x 方向と y 方向でビーム径が多少異なるが、この差はエクスパンダーを構成する２枚のレンズのアライメントと、測定時のプロファイラーのビームに対する角度の垂直からのずれによるものと考えられる。しかし、x 方向と y 方向でのスポットサイズの差は約 0.3 mm で、この差のスポットサイズに対する大きさは約 6.8 % であり、ビーム断面はほぼ円形と言えるだろう。プロファイラーで取得したビームの断面の画像を図 5.2 に示しておく。

図 5.1 エクスパンダーを構成する凸レンズより下流でのスポットサイズの測定結果。ω_x 、ω_y

はそれぞれプロファイラーでの x 方向、y 方向の断面測定であり、x 方向は地面と平行、y 方向は

地面に垂直な向きである。ナイフエッジ法による測定は x 方向断面の測定を行っている。

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プロファイラーによる測定は、ナイフエッジ法による測定よりも精度が良いと考えられるが、実験当初はプロファイラーが使用できなかったため、エクスパンダーの設計は図 4.4 で示したナイフエッジ法による測定に基づいて行った。だが図 5.1 を見ると、ナイフエッジ法による測定結果が、プロファイラーによる x 方向の測定結果とよく一致している。

このことから、ナイフエッジ法による測定も信頼して良さそうである。よって、設計で使用した図 3.7 のデータも正確な値であると考えられる。

5.2 考察

測定されたスポットサイズが設計段階で予想した値からずれた原因として、設計で用いたレンズの厚みを無視した計算による近似が考えられる。エクスパンダーに使用したレンズの厚みを図 5.3 に示す。

図 5.3

ビームエクスパンダーで使用した凹レンズと凸レンズの厚み。

図 5.2 プロファイラーにより得られたビーム断面の強度分布の２次元画像。エクスパンダー通過

後、凸レンズから 1448 mm 下流での測定。

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凸レンズは焦点距離が 170 mm と長いが、厚みが 8.3 mm もある。一方、凹レンズの厚みは 1.5 mm 程度だが焦点距離が – 6 mm と非常に短く、ビームを急激に曲げるので、近似によるずれも大きくなるだろう。

レンズの厚みを考慮した計算を用いてエクスパンダーを設計し直すのが確実であるが、

別の方法で設計し直してみた。その方法と結果について述べておく。引き続き、計算では厚みを無視する近似を使う。まず、設計計算上のレンズの焦点距離の値を適当に補正することで、レンズの厚みを考慮した場合と同様の結果が得られるのではないかと考えた。そこで、図 5.1 で示した設計段階での予想値が実測値と一致するように、レンズの焦点距離をフィッティングパラメーターとしてフィッティングした。結果として図 5.1 は次の図 5.4 のように変化する。

このフィッティングにより、凹レンズ、凸レンズの焦点距離はそれぞれ – 7.581 mm 、 170.49 mm と求まった。この焦点距離の値を用いて、エクスパンダーを設計し直した。設計図を図 5.5 に、理論計算の結果を図 5.6 に示す。

図 5.4 凹レンズと凸レンズの焦点距離のみをフィッティングパラメーターとして、実測値と一致

するように予想地を変化させた。アライメントによる誤差が少ないと考えられる y 方向の測定に対

してフィッティングしてある。

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図 5.5 に基づきビームエクスパンダーを組み直し、エクスパンダー通過後のスポットサイズを測定した結果を図 5.7 に示す。

図 5.5 再設計したビームエクスパンダー。焦点距離の値はカタログスペックを記載してある。

図 5.6 再設計したビームエクスパンダーの理論計算の結果。修正前のエクスパンダーとほぼ同じビーム径となるように設計した。

図 5.7 再設計したビームエクスパンダーを通過した後のスポットサイズ。再設計する前と同様

で、スポットサイズの値が予想される値よりも小さい。

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再設計するまえの測定結果との比較を図 5.8 に示す。

図 5.7 に示したように、焦点距離を修正することでレンズの厚みを考慮したことにするという試みは上手く行かなかった。この結果から、厚みを無視した近似の影響は、単に焦点距離を変化させるようなものではないことが伺える。

焦点距離の波長依存性についても考えておく。図 4.4 で示したエクスパンダーの設計で用いた焦点距離の値は、各製品の設計波長でのカタログ値であり、本実験で使った 810 nm のレーザー光に対する焦点距離とは多少なりとも異なる。レンズの波長ごとの焦点距離は、セルマイヤーの分散式からレンズの屈折率を計算し、焦点距離の定義式に屈折率を代入することで得られる。分散式の計算に必要な実験定数は、レンズを購入した各社のウェブサイトで公開されていたものを用いた。ちなみに、実験で使用した凹レンズは Thorlabs 社の LC2969、凸レンズはシグマ光機製の SLB-60-170P である。焦点距離の計算結果は、凹レンズの焦点距離が – 6.15 mm 、凸レンズの焦点距離が 172.80 mm となった。ここで求めた焦点距離の値を用いた場合のスポットサイズの予想値と、図 5.1 で示した測定結果とを比較したグラフを図 5.9 に示す。

図 5.8 ２つのビームエクスパンダーの比較。再設計によりスポットサイズが約 0.3 mm 大きくな

ったが、期待したほどは変化しなかった。

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図 5.9 と図 5.1 を比べると、焦点距離の波長依存性を考慮することで、実測値との一致がむしろ悪くなったことがわかる。このことから、他の要因の影響の方が大きいことが伺える。ただし、セルマイヤーの分散式は正確な値を与えるものではないことに注意したい。

図 5.9 焦点距離の波長依存性を考慮した場合の予想値と、実際に測定された値との比較。

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第６章議論

５章で設計、構築したビームエクスパンダーは予想通りの結果を出さなかった。しかしながら、予想とはずれていても、エクスパンダーの本来の目的は達成されている可能性もある。この章では、現状のエクスパンダーで実験が可能かを議論する。

6.1 強度分布の条件

現時点でのビームエクスパンダーは図 5.12 の状態にあり、エクスパンド後のスポットサイズの実測値は図 5.14 で示した通りである。この実測値に対するフィッティングから、エクスパンド後のビームウェストの大きさと位置を求めた。フィッティングの様子を図 6.1 に示す。

フィッティング結果より、ビームウェストの大きさは 1073.7 μm 、ウェストの位置はエクスパンダーを構成する凸レンズより 21.3 m 下流側と求まった。このとき、ウェストサイズの２倍の値であるビーム直径は、スリット幅の 40 μm に対して 53.7 倍の大きさとなる。スリットによって切り取られる強度分布を図 6.2 に示す。

図 6.1 実測値に対するフィッティングの様子。アライメントによる誤差が小さいと考えられる y 方向の測定値に対してフィッティングした。

図 6.2 幅 40 μm のスリット上で実現すると予想されるレーザー光の強度分布。レーザーは最低次のガウスモードと仮定し、ガウス関数の係数は 1 とした。右の図は、左の図を拡大したものである。

フィッティング

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図 6.2 に示した強度分布における最小値と最大値の差の、最小値に対する比は 0.07 %である。(2.8)で示したように、理想的な条件では 𝑃𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡 ⩾ 0.072 であるが、強度分布の差

が𝑃𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡 に及ぼす影響は 0.001 のオーダーだと考えられる。よって、ウェストの大きさが

設計段階での予想値より幾分小さくなったが、ほぼ一定の強度分布を得るという目的は達成できていると見做しても良さそうである。

6.2 位相分布の条件

まず、ビームウェストの位置にスリットを設置可能かどうか検討する。上で述べたように、ウェストの位置はエクスパンダーを構成する凸レンズより 21.3 m 後方にある。本実験での光学系は除震台の上に構築されており、最大で 165 cm の直線距離を確保できる状態にある。ミラーでレーザー光を反射することで 21.3 m の経路を除震台上に作成する場合、ミラーで 13 回反射させることになる。このような光学系の概略図を図 6.3 に示す。

図 6.3 のような光学系を構築すれば、ビームウェストの位置にスリットを設置することは不可能ではない。しかし、使用する光学素子の数が増えるほどに、光学系は不安定になってしまう。そのため、図 6.3 で示した方法は現実的でないと思われる。

今度は、ビームウェストの位置にスリットを設置することはやめて、図 5.12 のエクスパンダーの設計図通りに、エクスパンダーを構成する凸レンズより後方 177.1 mm の位置にスリットを設置した場合を考える。このとき、スリット上で実現すると予想される状態の位相について、ビーム中心の位相との差θをプロットしたものを図 6.4 に示す。

図 6.3 エクスパンダー通過後の

レーザー光をミラーで何度も反射

させて距離を稼ぎ、ウェスト位置

にスリットを設置する光学系の概

略図。

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図 6.4 に示したように、スリット上での位相差は最大でも 2×10^－7π 程度である。位相

差が 𝑃_{𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡} に与える影響を sinθ程度だと考えると、その大きさは sinθ～10^－6 のオーダ

ーと見積もれる。よって、位相差は存在するが、ほぼ位相が一定の状態であり、(2.3)式の破れを測定するのに必要な条件が満たされている可能性は高いと思われる。

図 6.4 ビームの中心の位相に対する、中心から距離 r 離れた位置での位相の進みを表している。縦軸

は π を単位とする。

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第７章まとめと今後の展望

これまでに、重ね合わせ状態を作るための光学系の設計方法の考案と、ビームエクスパンダーの設計および構築を行った。エクスパンダー通過後のビームプロファイルが、設計段階での予想と異なるこという測定結果になったが、現状のエクスパンダーでも実験に必要な条件は満たしている可能性が高いことがわかった。時間が許せば、エクスパンダーの性能向上を試みたいと思う。

今後の展望としては、エクスパンダーの是非を決定した後、位置状態 |𝐿⟩ の作成に取り掛かる予定である。しかし、今回のエクスパンダーの経験から、薄肉レンズを仮定した近似計算では正確さが十分ではないという心配がある。この近似を用いた場合、今後レンズでフーリエ変換や像転送を行うときに問題が生じる可能性が考えられる。そこで、まずはレンズの厚みを考慮した計算方法について調べたいと考えている。

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謝辞

論文作成に当たり、この場を借りて感謝を示したいと思います。指導教員である高橋徹先生と飯沼昌隆先生には大変お世話になりました。特に、飯沼先生には実験装置の扱い方から理論の話まで、卒業研究期間を通して多くのことを指導していただき、大変感謝しています。また、お二人の先生を通じて最先端の研究の一端を知ることができ、そのことは研究を続ける上での励みとなりました。研究室の先輩である石川さん、宮園さん、渡壁さん、野口さんにも多くの面で支えてもらい、本当に感謝しています。同期の松山君、荒本君には卒業研究意外の面でも頼らせてもらいました。ありがとう。また、ホフマン先生を中心とした量子光学物性研究室の方々には理論的な知見を与えてもらい、この経験は大学院に進んでからも大いに役立ちそうで、感謝しています。最後に、大学で学ぶ機会を喜んで与えてくれている両親に、心からの感謝を示したいと思います。ありがとうございました。

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参考文献

[1] H. F. Hofmann, Phys. Rev. A vol. 96, 010101( R ), 2017

[2] Amnon Yariv 光エレクトロニクス基礎編原書５版丸善株式会社(2000) [3] 中島洋 Excel でできる光学設計第３版アドコム・メディア株式会社(2015) [4] Joseph W. Goodman フーリエ光学第３版森北出版株式会社(2012)

光子の伝播のパラドックス実証のための実験的検討

平成 29 年度

卒業論文