トポロジー I 演習

トポロジー I _演習

担当 丹下 基生：研究室

(B622) mail([email protected]）

第

4

⁵

¹²

· · ·

定義4 積位相（product topology）(X,Oλ) (λ∈Λ)を位相空間とする．∏

λ∈Λ

Xλ上の開集合W を

∀x∈W, ∃λ1,· · ·, λn∈Λ,∃Ui; open inXλ_i s.t. x∈pr⁻_λ¹

1(U1)∩ · · · ∩pr⁻_λ¹

n(Un)⊂W とする．すなわち、

S={pr⁻_λ¹(U)|λ∈Λ, U open inXλ} が準開基になる．このような位相を積位相といい、//\\

λ∈ΛOλと表す．（教科書の記号）

問題42 [積空間]

積空間(∏

λ∈Λ

Xλ,//\\

λ∈ΛOλ)の積位相//\\

λ∈ΛOλは射影pr_λ: ∏

λ∈Λ

Xλ→Xλ が連続写像となる∏

λ∈Λ

Xλの位相の中で 最小の位相であることを示せ．

問題43 [問19.3]

(X,O)を位相空間とする．∆ :X →X×Xを対角線写像、すなわち∆(x) = (x, x) (x∈X)とする．∆は位相 空間(X,O)から積空間(X,O)×(X,O)への連続写像であることを示せ．

問題44 [命題8.2(1)（酒井）]

W ⊂X×Y が(x, y)∈X×Y の近傍となるためには、次の条件を満たすことが必要十分である．

∃U ∈Nbd_X(x),∃V ∈Nbd_Y(y) s.tU×V ⊂W

問題45 [命題8.2(2)（酒井）]

X×Y における点列{(xn, yn)}n∈Nが点(x, y)∈X×Y に収束するためにはxn →x(n→ ∞)および、(yn → y) (n→ ∞)となることが必要十分である．

問題46 [命題8.2(3)（酒井）]

射影pr_X:X×Y →X, pr_Y :X×Y →Y は連続な開写像である．

問題47 [命題8.2(4)（酒井）]

位相空間Zからの写像f : Z →X ×Y が（z ∈Z において）連続になるためには、prX◦f とpr_Y ◦f が共に

（z∈Zにおいて）連続となることが必要十分であることである．すなわち、

f :連続(atz∈Z)⇔pr_X◦f,pr_Y ◦f が共に連続(atz∈Z)

問題48 [命題8.2(5)（酒井）]

任意の点x∈X,y∈Y に対して、X×Y の部分空間{x} ×Y, X× {y} はそれぞれY および、Xの同相である．

すなわち、{x} ×Y ≈Y, X× {y} ≈X． 問題49 [問19.7]

可算個の距離空間系((Xn, dn)|n∈N)が与えられ、Onをdnから定まるXnの距離位相とする(n∈N)．このと き、位相空間系((Xn,On)|n∈N)の積空間は距離化可能であることを示せ．

問題50 [閉写像にならない例]

積空間から、因子空間への写像が閉写像にならない例を与えよ．

大学数学を楽しむためにはその3（具体化と抽象化）

「抽象から具体へ、具体から抽象へ．」 抽象→具体

数学で習う概念は抽象化されて定義してあります．それは、例えば線型空間が抽象的に定義されているのは、

微分方程式の解空間や多様体の接空間など状況に因ってその形が違うからです．線型空間という一つにまと められた概念を具体的に扱いたいときは、基底を用いて（普通の、平凡な？）数ベクトル空間にしてから計 算するのです．数ベクトル空間は抽象ベクトル空間のなかで一番扱いやすい存在です．

具体→抽象

逆にいろいろある状況から何か普遍的なものを取り出したいとき、そのための思考法として、抽象化があり ます．多項式全体C[x]は自然に足し算とスカラー倍の性質が定義されますからベクトル空間の構造をもつこ とがわかります．このことは多項式全体がベクトル空間として考えられることを意味します．このように、あ る数学的対象から、ある構造だけ引っ張り出すことを抽象化といいます．抽象化はいろいろな形のものを、あ る側面からのみスポットライトをあてることができます．例として置換、あみだくじ、n点の間の全単射など は、変換という観点からは全て対称群という概念でひとまとめにされます．また、群という概念も、自然に 起こりうる”変換”全体にスポットライトを当てたときに出てきた概念です．抽象化がうまくできれば、形に とらわれず、全ての現象を統一的に見ることができたり見かけ上、見えにくかったことに対して深く掘り下 げることができるようになります．

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