トポロジー I 演習
担当 丹下 基生：研究室
(B622) mail([email protected]
）第
19
回（’14年7
月30
日：Keyword· · ·
）完備距離空間、写像空間定義19 コーシー列・・・ 距離空間(X, d)において次の性質を満たす点列(xn)
∀ϵ >0において、ある∃n0∈Nsuch thatn, m≥n0ならば、d(xn, xm)< ϵ 完備・・・ 距離空間Xにおいて、任意のコーシー列が収束するときXを完備距離空間という．
バナッハ空間・・・ ノルム（|| · ||）が与えられている線形空間をノルム空間という．また、この|| · ||が与える距離 が距離空間として完備であるとき、このノルム空間をバナッハ空間という．
一様連続写像・・・任意の実数ϵ >0に対して、ある実数δ >0があり、d(x, y)< δ⇒d(f(x), f(y))< ϵがなりたつ．
等距離同相写像・・・ 距離空間の間の写像f : (X, d) → (X′, d′)が全射かつ任意のx, y ∈ X に対してd(x, y) = d′(f(x), f(y))となるときfを等距離同相写像という．
距離空間の完備化・・・距離空間(X, d)を稠密集合として含む完備距離空間( ˜X,d)˜ で、d˜がdの拡張となっている
ものを(X, d)の完備化という．
問題201 [完備部分集合]
距離空間X = (X, d)の完備な部分集合はXにおいて閉集合であることを示せ．
問題202 [完備距離空間の閉集合]
完備距離空間の閉集合は完備部分集合であることを示せ．
問題203 [supノルム]
C∗(X)を位相空間X上の実数値有界連続関数全体とする．C∗(X)上のsupノルムを
||f||= sup{|f(x)| |x∈X}
として与えると、C∗はノルム空間となる．この空間はバナッハ空間となることを示せ．
問題204 [連続関数列(補題14.11(酒井))]
連続関数列fn : X →R (n∈N)がある正の実数列an >0で、
∑∞ n=1
an <∞ を満たすものに対して、|fn(x)| ≤
an(∀x∈X)となるならば、連続関数
∑∞ n=1
fn:X →Rが(
∑∞
=1
fn)(x) =
∑∞ n=1
fn(x)により定義されることを示せ．
問題205 [完備化（命題14,17(酒井)）]
距離空間(X, dX),(Y, dY)の完備化( ˜X,d˜X),( ˜Y ,d˜Y)に対して、一様連続写像f :X →Y は一様連続写像f˜: ˜X →Y˜ に一意的に拡張されることを示せ．
問題206 [バナッハ空間への等距離埋め込み写像(定理14.15(酒井))]
距離空間X = (X, d)において、点x0∈Xを固定し、各点x∈Xに対して、連続関数φ(x) :X→Rを次のよう に定義する．
φ(x)(y) =d(x, y)−d(x0, y) (≤d(x, x0)) (y∈X)
このとき、φ(x)∈C∗(X)となり、φ(x)は有界であり、φ:X →C∗(X)は等距離写像となることを示せ．すなわ ち、Xはバナッハ空間C∗(X)に等距離に埋め込まれることを示せ．
問題207 [ディニの定理（定理29.2）]
Xをコンパクト空間とする．X 上の実連続関数列(fn|n∈N)と、X 上の実連続関数f について、次の２条件が 成り立てば、関数列fnはf に一様収束する．
1. すべてのx∈X, n∈Nに対してfn(x)≤fn+1(x)である．
2. すべてのx∈Xに対して、
f(x) = lim
n→∞fn(x)
が成り立つ．
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