トポロジー I 演習

トポロジー I _演習

担当 丹下 基生：研究室

(B622) mail([email protected]）

第

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定義8 連続関数で分離可能 部分集合A, B⊂Xが関数で分離可能とは、その2つの部分集合に対してある連続 関数f :X→Rがあって、f(A) ={0}であり、f(B) ={1}となることをいう．

分離公理2 T₂1

2: 完全ハウスドルフ（ウリゾーン空間）相異なる2点が閉近傍で分離可能．完全ハウスドルフ: 相異なる2点 が連続関数で分離可能T₃¹

2: 完全正則空間（チコノフ空間）連続関数で任意の点と任意の閉集合が分離できる T5: 全部分正規空間（completely regular 遺伝的正規）全ての部分集合が正規空間となる正規空間．もしくは

separatedな集合が開集合で分離可能

完全正規空間（perfectly normal, perfectly T4）．任意の閉集合F に対して連続写像f : X → I が存在して、

F =f⁻¹(0)となる．もしくは任意の閉集合がG_δ集合

商写像(quotient map)全射f :X →Y がU ∈ OY ⇔f⁻¹(U)∈ OX となるとき、f を商写像という．

問題86 [連続写像]

位相空間の写像f : (X,O)→(X^′,O^′)において以下が同値であることを示せ．

(1) ∀U^′ ∈ O^′に対して、f⁻¹(U)∈ Oであること

(2) 任意のx∈Xと任意のf(x)の近傍N^′ ∈NbdX^′(f(x))に対して、あるxの近傍N ∈NbdX(x)が存在して、

f(N)⊂N^′がなりたつ．

ここで、NbdZ(p)は位相空間Zの点pでの近傍全体とする．

問題87 [相対位相]

位相空間(X,O)の部分集合A⊂Xの相対位相は、埋め込み写像i:A→X が連続となる位相のうちで最小の位 相であることを示せ．

問題88 [演習11.1（酒井)]

ハウスドルフ空間Xにおいて収束する点列の極限は一意に決まることを示せ．

問題89 [演習11.3(酒井)]

T_i(i= 2,3)とする．Tiは部分空間で保たれる（遺伝的である）ことを示せ．

問題90 [演習11.3(酒井)]

T₂1

2 は部分空間で保たれる（遺伝的である）ことを示せ．

問題91 [演習11.3(酒井)]

Ti(i= 2,3)とする．Tiは積空間で保たれることを示せ．

問題92 [演習11.3(酒井)]

T₂1

2 は積空間で保たれることを示せ．

問題93 [演習11.4(酒井)]

T4空間は閉部分集合にたいして保たれる（弱遺伝的である）ことを示せ．

大学数学を楽しむためにはその8（創造力）

「オリジナリティを生かすには」

オリジナリティを発揮するということはかなり難しいことである．ピタゴラスが数学という学問を開いたと すれば2500年余りこの地球上で数学を考えている人はいる．その人たちを差し置いて新しい数学を作ったり 考えたりすることはほとんど無理である．なので今日、オリジナルと言われるもは、”オリジナルに見える”

ことなのである．つまり、応用、もしくは適用ということである．ある分野で使われ、開発された手法をそ れを知らない他の分野に適用させるのである．このようなことは厳密な意味で新しいのではなく、適用のさ せ方が新しいということになる．知っていることを知られてない方向に転換させているのである．数学にお いては、スキーム論を構築することで、代数幾何学の手法を数論に応用させたり、また科学の分野ではオワ ンクラゲの発光メカニズムを用いて医療や生物科学の分野に応用したりしている．違った視点を持つことは 十分オリジナリティのある仕事に結びつけることができる。

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