トポロジー I 演習

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トポロジー I _演習

担当丹下基生：研究室

(B622) mail([email protected]）

第

13

回^（’14^年

⁷

^月

⁷

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コンパクト距離空間）

定義13 ルベーグ数・・・距離空間(X, d)において、X の開被覆Aに対して、直径がδより小さいXの部分集合は常にAに属するある開集合に包まれるとき、このような正の実数δをAのルベーグ数という．

問題149 [2点集合]

2点集合{a, b}上の位相{∅,{a},{a, b}}は弧状連結であることを示せ．

問題150 [4点集合http://motochans.blogspot.jp/2014/07/blog-post.htmlを参照]

4点集合{a, b, c, d}上のT0空間の同相類を全て求めよ．

問題151 [n点集合]

n点集合上の位相空間Xを考える．Xが連結であることと弧状連結であることは同値であることを示せ．

問題152 [定理25.6の一部]

局所連結空間の連結成分は開かつ閉であることを示せ．

問題153 [演習10.1(酒井)と問25.4]

任意の2点がある連結部分集合に含まれるような位相空間は連結であることを示せ．これを用いてR²から高々可算個の点の補集合は連結集合であることを示せ．

問題154 [P.112系]

有限部分被覆を持たない閉被覆をもつコンパクト集合の例を与えよ．

問題155 [演習13.1(酒井)]

全有界距離空間は有界かつ可分であることを示せ．またどんな部分距離空間も全有界であることを示せ．

問題156 [演習13.2(酒井)]

距離空間において次が同値であることを示せ．

1. (X, d)はコンパクトである．

2. (X, d)は全有界かつXの任意の開被覆Uはルベーグ数をもつ．

問題157 [定理24.1]

局所コンパクトハウスドルフ空間はコンパクトな近傍全体は基本近傍基となることを示せ．すなわち、各点xの任意の近傍は点xのコンパクト近傍を包む．

問題158 [ユークリッド距離空間と有理数]

R上のユークリッド距離位相Odに、有理数を付け加えた位相O=Od∪Qを考える．このときOは距離空間になることを示せ．

大学数学を楽しむためにはその13（持続力）

「続けること」

若いころ、小さいころに日々やっていたり、考えていたようなことは、生涯の仕事とどこかで繋がっていることが多い．大抵の人には特別素晴らしい才能が備わっていることはまれであるから、好きなことや毎日続けても苦にならないようなことが一つでもあれば、それはある意味才能と思ってもよい．それは自分一人では気づけないところも多く、何となく選択した将来が結局昔やっていたことだったりすることが多い．なので、

苦手なことを克服するより、得意なことをのばしていくことを考えた方がいい．そのようなことが見つけられなければ、日々自分がしていることを注意深く観察するだけでよい．難しいことはそれに気付いたときに、

それを社会のなかでどう生かしていくかということである．そのことが、将来何にも繋がらないと思ったとしても日々やっている活動はかならずどこかで繋がっていく．形は変わるかもしれないが．例えば、数学を必死にやって数学者にならなくても、必死になって努力した数学は一体どのように活かされたのか？またそのような数学者はどう作られたのか、追うことはもしかしたら面白い仕事になるかもしれない．そして少なくとも何かを必死でやったという記憶だけは残しておくべきである．

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