線形代数 I ・演習問題ヒント

線形代数 I ^{・演習問題ヒント}

(2020^年度版)

はじめに

 この資料はホームページ掲載の演習問題  

 http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/%7Eshinkato/senkeidaisuu1 2020.pdf

のヒント集です。

 この演習問題は長年にわたって出題して来たレポートまたは試

験問題のほとんど全てを集めたものなので、かなりたくさん類題

が並んでいます。この問題を利用して学習したい人は、全ての問

題に解答する必要は全くありません。どれとどれが同じタイプ

で、どれとどれが違うタイプか、見極めながら問題を選んで解答

してみて下さい。

ただし、式が似ているからと言って同じタイプ

とは限りません。そこは注意が必要です。

 この演習問題の中で、特に重要もしくは典型的と思われる問題 については、講義ノートでも取り上げ、その解き方や解答につい て解説しますが、残りの問題にについては、解答例は公開しない 方針をとっています。

 実際、皆さんがこれから大学で取り組む研究課題や、世の中に 出て直面する問題には解答例はありません。そう言った課題に直 面した時、自分の出した解答がその過程も含めて正しいと言える かどうか、問題を様々な角度から眺めて自ら検証して行く工夫を する必要があります。

 その練習台として、講義のオプションであるこれらの演習問題 を活用してほしいと言うのが、解答例を公開しない理由です。

たとえば、一旦解けたら、次に他の解法を考えてみるとか…。

その方が、類題をたくさんこなすより、余程効果的です。

 と言っても、ほとんどの問題は、教科書

^{今回指定のものとは限}

りません

またはインターネット上の解説頁に出ているような例 題の類題なので、それらを参考にすれば解答できると思います。

また、難しめの問題には既にヒントをつけてありますが、今回は

WebClass

による遠隔講義と言うことで、通常の講義の際やその後

の休憩時間、或いはオフィスアワーなどでの皆さんからのご質問 に対応する代わりとして、もう少しだけ、解答のヒントをあらか じめご提供しておこうと思います。

 なお、講義ノートの方にも書きましたように、演習問題に関す

る質問も、掲示板で受け付けます。

教科書との対応  

演習問題の項目 教科書 行列の演算

行列式

逆行列

連立方程式１

空間ベクトル

空間ベクトル＋連立方程式

行列の演算

 行列の演算自体は、規則を覚えてしまえば、後は足し算、引き

算、掛け算を実行するだけですから、わざわざ練習問題にするの

も気が引けます。そこで同じ計算練習をするにしても、意味のあ

る計算をしてもらおうと思いました。

１ 正方行列

^{行と列の数が同じ行列}

の中でも、特に重要な行列

として、対称行列

^教科書

^頁参照

^{と交代行列}

^教科書

^頁参照

があります。実は任意の

正方行列は対称行列と交代行列の和として表せるので、この分解

を具体的に公式を用いて求めてみましょうと言う問題です。

２ 一般の

行列は、自分自身との積が考えられるとは限り ませんが、正方行列の場合には、何回でも繰り返しかけることが できます。これが行列のべき乗です。

 一般に正方行列

^の２乗

を計算することは難しくありませ んが、任意の自然数

^に対して

^乗

を求めることは、必ずし も容易ではありません。ここで出題した行列は、何回かかけてみ れば、周期性がある

同じ行列が繰り返し現れる

^{または少なくと}

も規則性が読み取れるものばかりです。とにかく

^{乗まで計算し}

てみて、予想を立てましょう。後は数学的帰納法を用いて、その

予想が正しいことが示せれば完璧です。

 ちなみに、正方行列の

乗を求めることは、連立漸化式から複 数の数列の一般項を同時に求めるのと同じことです。たとえば連 立漸化式









x_k+1 = a₁₁x_k + a₁₂y_k y_k+1 = a₂₁x_k + a₂₂y_k

は、

A =







a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂





 , x_k =







x_k y_k







とおくことにより

と表せます。等比数列の一般化で

あることは一目瞭然で、一般項を表す公式は

^です。

３

〜３

 今度は行列の平方根を求める問題です。実数の場合に は正の数は常に

個の平方根を持ち、負の数も複素数まで範囲を 拡げて考えれば、やはり

個の平方根を持ちました。

 しかし正方行列の場合には、一般には平方根を持つとは限りま せんし、持つときも個数は

^{個とは限りません。}

 うまい解き方が思いつかないときは、とりあえずは、たとえば

2

^{次の場合なら}

A =







a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂







または







a b c d







とおいて、

^を、その

個の成分に関する連立方程式と考

え、解いてみましょう。

 ちなみに

乗の予想が立てにくい一般の正方行列についても、

後期に線形代数

^{で学ぶ対角化}

^教科書

^参照

^{及びその一般化}

であるジョルダンの標準形を用いると、

^{乗の一般項を求めるこ}

とができます。

 また、これらを使えば平方根も全て求めることができますし、

平方根を持つ

^持たない

ための必要十分条件を求めることもでき

ます。

連立方程式１

 教科書の順番に合わせて、演習問題

^{から先にコメントし}

ます。

７ ただの３元連立方程式で、加減法、代入法などを用いてただ 解くだけなら、皆さんにとっては簡単なことです。折角、線形代 数を学んでいるのですから、逆行列または行列式を用いるクラー メルの公式

^{教科書ではクラメル、}

^頁参照

^{を使って解きましょ}

うと言う問題にしています。でも、もちろん掃き出し法

^本質的に

は加減法ですが…

の練習にも、利用してもらって構わない訳

です。

空間ベクトル＋連立方程式  さらに飛んで

^です。

16

^これは

“Ax = b”

^の一般解

^の特殊解

^の一般解

の練習問題です。講義ノートでは、２元連立方程式が式１本に なってしまった場合に例をとり、お話しましたが、文字通り１ラ ンク上げて、３元連立方程式で式２本の場合です。行列表示した とき、階数は

^のままで

には落ちない問題になっていますか ら、どの小問も、解全体の集合は

^次元空間

^内の

^枚の平面

の交わりとして得られる直線です。

(1)

^非斉次

^{つまりそのままの}

方程式の特殊解を、何でもよいの で一つ見つけて下さい。そのためには、

^{のどれか一つに}

を代入して、残りの変数について解くのが手っ取り早いでしょう。

(2)

^斉次

^{つまり右辺を全て}

^に替えた

方程式の一般解を求める ために、その方向ベクトルを求めて下さい。

^{枚の平面のどちら}

とも直交するのが注意点です。

 後で学ぶ外積

^教科書

^頁参照

を使うと便利なのですが、知 らなくても求めるのは難しくありません。

(3)

^{公式に従って、}

の答を代入するだけです。

逆行列

６

〜６

 とりあえず、基本変形を使って求めてみて下さい。

(4)(5)

は成分が分数で、一見面倒そうに見えますが、結果を見れ

ば、その理由が納得してもらえるはずです。

 この問題は、余因子行列を用いた逆行列の公式

^教科書

^頁参

照

を学んだ後で、もう一度試してみて下さい。

行列式

４ 教科書

で扱った置換を互換の積で表す基本問題で、レ ポート課題第３回でも符号の問題として出題しました。

５

〜５

 ３次の行列式はサラスの方法

^教科書

^頁参照

^、４次

以上の行列式は基本変形によって、それぞれ求めてみて下さい。

^は６

^{の関連問題です。}

は４次交代行列の行列式を求める教科書

^頁の問

と同じ問題で、答はある２次式の２乗になります。

 ５

は３次交代行列の固有値を求める問題で、詳しくは後期に

学びます

^教科書

^参照

^。

空間ベクトル

 ３次元ベクトルに関する問題をいろいろ集めてあります。ここ ではベクトル

^の長さを

^ではなく

^{で表していることに注}

意して下さい。なお ８

と

は後期の内容ですので、飛ばして 下さい。

８

〜８

 空間内の直線や平面を、ベクトルを用いて表す問題で す。与えられた条件

何と何が垂直とか平行とか

^{を、ベクトルの}

内積や外積を用いた等式によって表します

^教科書

^・

^参照

^。

９ 定義に戻って確かめてみて下さい。

10_a

^〜

 与えられた条件を満たす回転を表す直交行列を外積を 利用して求める問題です。問

^{が最大のヒント。}

12

 定義に戻って直接計算してみて下さい。

13_a

^〜

 外積の基本的な性質を確認する問題です。定義に戻っ

て「左辺−右辺」を計算し、 「０」になることを確かめればよいだ

けですが、幾何学的

^図形的

意味を用いた別証明ができると、よ

り一層理解が深まります。