Microsoft PowerPoint - 基礎IV演習1-8.pptx

地球惑星科学基礎V演習

第3回

瀬⼾雄介

http://pmsl.planet.sci.kobe-u.ac.jp/~seto

鏡映 (鏡⾯)

並進を伴わないもの

対称⼼ (点対称)

Center of symmetry, Inversion center mirror

表記: 1

(one bar)

表記: m

(mirror)

鏡映 対称⼼

4回回転

6回回転

N回回転: 軸の周りに 360/N ° 回転して図形を不変に保つ操作 並進を伴わないもの

4回回反

2回回反 (=鏡映)

N回回反: 軸の周りに 360/N ° 回転したあと対称⼼を中⼼に反転し て図形を不変に保つ操作 並進を伴わないもの

表記: 1, 2, 3, …

対称⼼ 鏡映 (m)

4

2

並進を伴わないもの

× 3

2 × 4

= 6

= 4

× 1

= 4 × m

= 4 × m

= 4 × 1

平⾏移動の結果、元の図形と区別できなくなる 並進を伴うもの

表記: P, A, B, C, F, I, R

単純な軸⽅向 への平⾏移動 センタリングを伴う平⾏移動 単位格⼦ 単位格⼦の軸

結晶には、必ずいずれかのタイプの格⼦並進が存在する

41らせん 62回らせん 2/6 周期 1周期 1周期 1/4 周期 N _M らせん: 軸の周りに 360/N ° 回転したあと、軸⽅向にM/N周期だけ平⾏移動し て図形を不変に保つ操作 並進を伴うもの

表記: 2

₁

, 3

₁

, 3

₂

, …

1周期 1/2周期 鏡映したあとある⽅向に1/n周期平⾏移動して図形を不変に保つ操作 並進を伴うもの

表記: a, b, c, n, e, d

・⾯の⽅向 ・平⾏移動の⽅向 ・平⾏移動の距離 によって使い分ける

⾏列との関係

cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 回転 (Z軸) 対称⼼ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 鏡映 (XY平⾯) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 回反 (Z軸) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1

並進を伴わない対称操作

並進を伴なう対称操作

(アフィン変換)

格⼦並進 (Z軸⽅向) 1 0 0 1/2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1/2 1 映進(XY平⾯, X軸⽅向) らせん(2回, Z軸⽅向) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1/2 0 0 0 1 1 1/2 1 固定 並進を伴わな い対称操作 並進成分 _移動後の xyz成分

組み合わせると無限に広がる 物体の対称性を表現できる 空間群 (Space group)

様々な対称操作

•

並進を伴わないもの

–

回転

–

回反

–

対称⼼ (= 1回回反)

–

鏡映 (= 2回回反)

•

並進を伴うもの

–

格⼦並進(平⾏移動)

–

映進 (鏡映+平⾏移動)

–

らせん (回転+平⾏移動)

組み合わせると有限の⼤ きさの物体の対称性を表 現することができる 点群 (Point group) 点群・空間群によって対称 要素の組み合わせ⽅を整 理・分類することができる

対称要素の組み合わせ⽅

2回軸 2回軸 ・・・いつまで繰り返して も元に戻らない 2回軸 2回軸 特別な⾓度で対称要素を組み合わ せると、元の位置に戻る 任意の⾓度 直⾓

組み合わせ⽅なんて無限にあるような気がするが…

対称要素をうまく組み合わせると、点の集合は“閉じた”関係になる

対称要素の組み合わせ⽅

回転/回反軸を、特別な⾓度で交差させると、

図形が元に戻るような操作の集合となる

⇒このような操作の集合は 点群 (Point

group)と呼ばれ、”群”としての性質

を持つ

1)結合法則

Gの任意の元a, b, cに対して(a ⊗ b) ⊗ c＝a ⊗(b ⊗ c)となる

集合Gの任意の元に関して

・算法⊗が定義され、

・任意⼆つの元を演算した結果は

集合Gに含まれ(a ⊗ b ∈ G )、

・さらに次の3法則を満たすときG

は群であるという．

群とは

_集合G

a

b

c

d

_h

f

⊗

ただし、演算の⽅向を変えても結果が同じ[=可換]とは限らない eは「なにもしない」元である eの逆元はかならずe, aの逆元がaになることもある 元 2) 単位元の存在 Gに元eがあって，Gの任意の元aに対しa⊗e＝e⊗a＝aとなる。eをGの単位 元(unit element)という． 3) 逆元の存在 Gの任意の元aに対しある元aʼがGにあって，a⊗aʼ＝aʼ⊗a＝eとなる． aʼをaの逆元といい，ふつうa-1_と書く．

群の例

その1

算法を加算(⾜し算)としたときのすべての整数を元とする集合G

2) 単位元は 0

n,m,lを任意の整数とすると･･･

1) (n + m) + l = n + (m + l)

3) n の逆元は -n

整数は⾜し算に 関して群である

算法を乗算 (掛け算)としたときのすべての整数を元とする集合G

2) 単位元は 1

n,m,lを任意の整数とすると･･･

1) (n * m) * l = n * (m * l)

3) n の逆元は 1/n (駄⽬)

整数は乗算に関 しては群ではな い

群の例

その2

世の中には次の6つのタイプの⼈間がいるとする。 ・癒し系 ・不思議系 ・威圧系 ・地味系 ・派⼿系 ・普通系 2) 単位元の存在: 普通系 1) 結合則 例; (癒し + 威圧) + 地味 = 派⼿ + 地味 = 普通 癒し + (威圧 + 地味) = 癒し + 癒し = 普通 3) 逆元の存在: 普通系、癒し系、不思議系の逆元はそれ⾃⾝、 派⼿系と地味系は互いに逆元 6タイプの⼈間は婚姻 に関して群である これらのタイプが結婚して出来る⼦供のタイプは以下のとおり。 普通 癒し 不思議 威圧 派⼿ 地味 普通 普通 癒し 不思議 威圧 派⼿ 地味 癒し 癒し 普通 地味 派⼿ 威圧 不思議 不思議 不思議 派⼿ 普通 地味 癒し 威圧 威圧 威圧 地味 派⼿ 普通 不思議 癒し 派⼿ 派⼿ 不思議 威圧 癒し 地味 普通 地味 地味 威圧 癒し 不思議 普通 派⼿ 群とはなにか 年上 年下

群の例

その2

普通 癒し 不思議 威圧 派⼿ 地味 普通 普通 癒し 不思議 威圧 派⼿ 地味 癒し 癒し 普通 地味 派⼿ 威圧 不思議 不思議 不思議 派⼿ 普通 地味 癒し 威圧 威圧 威圧 地味 派⼿ 普通 不思議 癒し 派⼿ 派⼿ 不思議 威圧 癒し 地味 普通 地味 地味 威圧 癒し 不思議 普通 派⼿ E A B C D F E E A B C D F A A E F D C B B B D E F A C C C F D E B A D D B C A F E F F C A B E D 普通 派⼿ 地味 普通 普通 派⼿ 地味 派⼿ 派⼿ 地味 普通 地味 地味 普通 派⼿ 以下の3つのタイプしかいない集団を考えると・・・ ・普通系 ・地味系 ・派⼿ E D F E E D F D D F E F F E D 普通 癒し 不思議 威圧 派⼿ 地味 普通 普通 癒し 不思議 威圧 派⼿ 地味 癒し 癒し 普通 地味 派⼿ 威圧 不思議 不思議 不思議 派⼿ 普通 地味 癒し 威圧 威圧 威圧 地味 派⼿ 普通 不思議 癒し 派⼿ 派⼿ 不思議 威圧 癒し 地味 普通 地味 地味 威圧 癒し 不思議 普通 派⼿ E A B C D F E E A B C D F A A E F D C B B B D E F A C C C F D E B A D D B C A F E F F C A B E D ⇒ 群を構成している︕ 次の4つのタイプしかいない集団を考えると・・・ ・普通系 ・癒し系 ・不思議系 ・威圧系 普通 癒し 不思議 威圧 普通 普通 癒し 不思議 威圧 癒し 癒し 普通 地味 派⼿ 不思議 不思議 派⼿ 普通 地味 威圧 威圧 地味 派⼿ 普通 E A B C E E A B C A A E F D B B D E F C C F D E ⇒ 群は成⽴しない ・ある群の中から、いくつか選び出した元が群としての性質をも つことがある ・このように選び出した集合を元の群に対して部分群という 群とはなにか

点群の例

E C₉₀ C₁₈₀ C₂₇₀ E E C₉₀ C₁₈₀ C₂₇₀ C₉₀ C₉₀ C₁₈₀ C₂₇₀ E C₁₈₀ C₁₈₀ C₂₇₀ E C₉₀ C₂₇₀ C₂₇₀ E C₉₀ C₁₈₀ 4回回転軸 (C90, C180, C270)

4回回転軸を⼀つだけもつ物体を

不変に保つ対称操作は

・0°回転 (E)

・90 °回転 (C

₉₀

)

・180°回転 (C

₁₈₀

)

・270°回転 (C

₂₇₀

)

の四つがある。

この4つの元からなるの集合は ・結合則 ・単位元の存在 ・逆元の存在 を満たす (群の性質を持っている)

並進と両⽴する回転軸

6回回転 2, 3, 4, 6回回転があっても平⾏移動によって空間 を埋め尽くすことができる (並進と両⽴する) 3回回転 2回回転 4回回転 2回回転 回転や回反の種類は無限にある。でも結晶の場合は、どうだろうか︖ 結晶には、かならず格⼦並進(単位格⼦)が存在する – 2次元: 平⾏四辺形 – 3次元: 平⾏六⾯体 a b c α β γ a b γ 2本の軸(a,b)と軸間⾓度(γ)で定義さ れる 3本の軸(a, b, c)と軸間⾓度(α, β, γ) で定義される 隙間ができてしまう 5回回転をもつような図形で空間を 埋め尽くそうとすると… 同様に、7回以上の回転も隙間が出きてしまう

並進と両⽴する回転軸

格⼦点 格⼦点 並進を満たすn回回転(nは正の整数)があったとき、 360/n 格⼦点 360/n 格⼦点 並進の⻑さ: a a (1 – 2 cos [360/n] ) 平⾏ a (1 – 2 cos [360/n] ) = m a m: 整数 1 – 2 cos [360/n] = m 2 cos [360/n] = 1 - m この式を満たす n は 1, 2, 3, 4, 6 のみである f(n) = cos [360/n] f(1) = 1 f(2) = -1 f(3) = -½ f(4) = 0 f(5) = 0.309… f(6) = ½ f(7) = 0.623…

並進と両⽴する対称要素

・並進と両⽴しうるのは 1, 2, 3, 4, 6回軸のみである ・同様の理由で、 回反: 1, 2, 3, 4, 6 らせん: 2₁, 3₁, 3₂, 4₁, 4₂, 4₃, 6₁, 6₂, 6₃, 6₄, 6₅ 映進: a, b, c, e (軸の⽅向に1/2並進) n (対⾓線の⽅向に1/2並進) d (対⾓線の⽅向に1/4並進) が、並進と両⽴しうる 上記の • 回転 • 回反 を組み合わせたもの

結晶族点群

格⼦並進(必須)を含み、上記の ・回転 ・回反 ・らせん ・映進 を組み合わせたもの

空間群

注)点群: 並進と両⽴しないものも含め た回転/回反の組み合わせ

単位格⼦の形状

2回軸 3次元の結晶には 必ず3つの独⽴な並進ベクトルが存在する もし、2回軸を持つ結晶があったとして、⼆回回転軸と直 ⾏しない並進ベクトルが存在した場合、、、 かならず、2回軸と⼀致する⽅向に並進ベクトルを 作ることが出来てしまう 任意の⾓度 直⾓ ということは、残りの2本の並進ベクトルは2回軸 と直交する⽅向に存在しなければならない 並進ベクトル 90° 90° b a c 2回軸を含む結晶は、 ・2回軸に平⾏な軸を1つ ・2回軸に直交する軸を2つ 選ぶことが可能である。 このような、対称要素の種類によって単位格⼦の形 状を分類したものを「結晶系 (晶系)」という。 並進ベクトル

⼀つの軸が他の2軸 と直交する

単斜晶系

三斜晶系

3辺が独⽴の⻑さをも ち、各軸が直交しない 90° b a c

7つの結晶系

その①

底⾯が正⽅形の直⽅体

正⽅晶系

斜⽅晶系

3辺が独⽴の⻑さをもつ直⽅体 90° 90° a b c a b c 1あるいは-1がひとつ 2あるいは-2がひとつ 2あるいは-2が 三つ 4あるいは-4が ひとつ

6あるいは-6が最低ひとつ

三⽅晶系

六⽅晶系

底⾯が60°と120°のひし形の直⾓柱 60° 120° 90° 3あるいは-3が最低ひとつ 60° 120° 90° 底⾯が60°と120°のひし形の直⾓柱 a b c a b c 3あるいは-3が最低四つ 各辺の⻑さが等 しい⽴⽅体 90°

⽴⽅晶系

a b c

7つの結晶系

その②

ブラベー格⼦とは

2回軸を含む結晶(単斜晶系)は、 2回軸 直⾓ 最初から、2回軸に平⾏な軸を1つ、 直交する軸を2つあるとき 2回軸 2回軸 2回軸 2回軸と斜交する軸が1つ(以上) ある場合 ・2回軸に平⾏な軸を1つ ・2回軸に直交する軸を2つ 選ぶことが可能である。  単純単斜格⼦  底⼼単斜格⼦

単純格⼦と複合格⼦

単純格⼦

⾯⼼格⼦ 側⼼格⼦ or 底⼼格⼦ 体⼼格⼦ 最⼩体積の単位格⼦ (=基本単位格⼦)

複合格⼦

対称要素を反映す る形状を保持した 結果、最⼩体積で はなくなってし まった単位格⼦

記号: P

記号: A,B,C 記号: I 記号: F

結晶系とブラベー格⼦の関係

結晶系 必須の対称要素 ブラベー格⼦ 単位格⼦の形状 三斜晶系 (triclinic) なし 三斜格⼦ (aP ) a ≠ b, b ≠ c, c ≠ a かつ α ≠ 90°, β ≠ 90°, γ ≠ 90° 単斜晶系(monoclinic) ⼀つの 2回回転 or 2回 回反(鏡映) 単純単斜格⼦ (mP ) 底⼼単斜格⼦ (mC ) second setting:a ≠ b, b ≠ c, c ≠ a かつ α = 90°, β ≠ 90°, γ = 90° 斜⽅晶系(orthorhombic) 互いに直交する三つの 2回転 or 2回回反(鏡映) 単純斜⽅格⼦ (oP )体⼼斜⽅格⼦ (oI ) 底⼼斜⽅格⼦ (oC ) ⾯⼼斜⽅格⼦ (oF ) a ≠ b, b ≠ c, c ≠ a かつ α = β = γ = 90° 正⽅晶系(tetragonal) ⼀つの 4回回転 or 4回回反 単純正⽅格⼦ (tP )体⼼正⽅格⼦ (tI ) かつ α = β = γ = 90°a = b, b ≠ c 三⽅晶系(trigonal) ⼀つの 3回回転 or 3回回反 (3・i) 三⽅格⼦ (hP ) 稜⾯格⼦ (hR ) hexagonal setting:a = b, b ≠ cかつ α = β = 90° かつ γ = 120° rhombohedral setting: a = b = cかつ α = β = γ 六⽅晶系(hexagonal) ⼀つの 6回回転 or 6回回反 (3/m) 六⽅格⼦ (hP ) a = b, b ≠ c かつ α = β = 90° かつ γ = 120° ⽴⽅晶系 (cubic) 四つの 3回回転 単純⽴⽅格⼦ (cP )体⼼⽴⽅格⼦ (cI ) ⾯⼼⽴⽅格⼦ (cF ) a = b = cかつ α = β = γ = 90°

⽤語の整理

•

結晶系

– 3次元では7種類の結晶系がある – 結晶系とは、必須の対称要素よって分類される単位格⼦形状の種類

•

ブラベー格⼦

– 3次元では14種類のブラベー格⼦がある – ブラベー格⼦とは、なるべく⼩さい体積で、軸の⻑さの和が最も⼩さく、結晶の もつ対称要素と格⼦の形状を⼀致させた単位格⼦のこと

•

単位格⼦の形状の表現

– 通常3辺の⻑さをa, b, c 軸間の⾓度をα, β, γであらわす

•

格⼦並進の種類

– 単純格⼦ (primitive lattice, P) – 体⼼格⼦ (body-centered lattice, I) » 単位格⼦の中⼼に格⼦点が存在

– 底⼼格⼦ (base-centered lattice: A,B,C)

» A: b軸とc軸が作る⾯の中⼼に格⼦点が存在 » B: c軸とa軸が作る⾯の中⼼に格⼦点が存在 » C: a軸とb軸が作る⾯の中⼼に格⼦点が存在 – ⾯⼼格⼦ (face-centered lattice, F) » すべての側⾯の中⼼に格⼦点が存在する – 稜⾯格⼦ (rhombohedral lattice, R) [三⽅格⼦の場合のみ] » ⻑い体対⾓線の⽅向に1/3ずつずらした点に格⼦点が存在 a b c α β γ