九州大学学術情報リポジトリ

(1)

九州大学学術情報リポジトリ

Kyushu University Institutional Repository

フラクタル構造を持つ超格子ポテンシャルに入射するGraphene中の電子の輸送問題

小川名, 太一

http://hdl.handle.net/2324/4475168

出版情報：九州大学, 2020, 博士（理学）, 課程博士バージョン：

権利関係：

(2)

令和 2 ^年度博士論文

フラクタル構造をもつ

超格子ポテンシャルに入射する

Graphene ^{中の電子の輸送問題}

九州大学大学院総合理工学府量子プロセス理工学専攻

学籍番号 3ES18005Y

小川名太一

指導教員

坂口英継准教授

令和 2 ^年 12 ^月 20 ^日

(3)

図目次

1.1 1次元上で構成されるフラクタル構造 . . . 2

1.2 スピン―格子緩和における直接過程とRaman過程の模式図 . . . 4

1.3 ヘムタンパク質のESRにおけるスピン―格子緩和過程の実験結果と異常次元の解析 . . . 5

1.4 2次元パーコレーションネットワークにおけるfracton励起 . . . 9

1.5 原子配列を表す２つの近似モデルの概略図 . . . 10

1.6 2次元平面上のSierpinski triangle型格子 . . . 10

1.7 世代10におけるSierpinski triangle型格子のエネルギー状態密度. . . 12

1.8 世代10におけるSierpinski triangle型格子のエネルギー状態密度の拡大図 . . . 13

1.9 Trace mapによるFibonacci型格子の許されるエネルギー範囲とその写像 . . . 14

1.10 液体状態から急冷したAl-Mn合金の電子線回折パターン . . . 15

1.11 Cantor型格子における臨界状態の波動関数 . . . 16

1.12 Menger spongeの概略図とTakedaらの実験結果 . . . 17

1.13 FDTD法によるMenger sponge内に局在した電磁波の計算結果 . . . 18

1.14 SenaらによるFibonacci型ポテンシャル中の電子のエネルギー及び透過率 . . . 19

2.1 区間内に存在する任意形状のポテンシャルに入射する波動関数と透過する波動関数の概略図 . 23 2.2 Grapheneの実格子と逆格子. . . 26

2.3 Grapheneのバンド構造 . . . 29

2.4 異なる媒質に入射するGraphene中の波動関数の位相の変化. . . 32

2.5 エネルギーEを持つGraphene中の電子が入射角θで入射する波動関数の屈折率 . . . 32

2.6 階段型ポテンシャル障壁の概略図 . . . 33

2.7 Graphene中に構築された障壁ポテンシャルの概略図. . . 36

2.8 障壁ポテンシャルを透過するGraphene中の電子の透過率。 . . . 38

2.9 N重ポテンシャルの概略図 . . . 39

2.10 N重ポテンシャル障壁を透過するGraphene中の電子の透過率 . . . 41

3.1 3進Cantor集合の模式図 . . . 44

3.2 3進Smith-Volterra Cantor集合の模式図 . . . 45

3.3 (2N−1)進Smith-Volterra Cantor集合の模式図 . . . 45

3.4 3-adic CSPの概略図. . . 47

3.5 入射エネルギ―Eと入射角θに対する3-adic CSPの透過率 . . . 50

3.6 入射角を固定した場合における入射エネルギーEに対する3-adic CSPの透過率 . . . 51

(6)

3.7 スケール関数Λ3,2(E)の振る舞い . . . 54

3.8 スケール関数Λ3,2(E)の自己相似性 . . . 55

3.9 q= 0,1,2におけるΘq(3,2, m)の振る舞い . . . 56

3.10 (a, N) = (3,2)におけるqに対するrqの振る舞い . . . 56

3.11 q= 0,1,2における一般化次元の振る舞い. . . 58

3.12 (a, N) = (3,2)におけるf −αスペクトル . . . 58

3.13 (2N−1)-adic SVCSPの概略図. . . 59

3.14 a= 4, N= 2における入射エネルギ―Eと入射角θに対する(2N−1)-adic SVCSPの透過率 62 3.15 a= 4, N= 2における入射角を固定した場合における入射エネルギーEに対する(2N−1)- adic SVCSPの透過率 . . . 63

3.16 a= 4, N= 3における入射エネルギ―Eと入射角θに対する(2N−1)-adic SVCSPの透過率 64 3.17 a= 4, N= 3における入射角を固定した場合における入射エネルギーEに対する(2N−1)- adic SVCSPの透過率 . . . 65

3.18 一般化されたスケール関数Λa,N(E)の振る舞い . . . 68

3.19 一般化されたスケール関数Λa,N(E)の自己相似性。 . . . 68

3.20 q= 0,1,2におけるΘq(a, N, m)の振る舞い . . . 69

3.21 (a, N) = (4,2),(4,3)におけるqに対するrqの振る舞い . . . 70

3.22 (a, N) = (4,2),(4,3)におけるq= 0,1,2の場合の一般化次元の振る舞い . . . 71

3.23 (a, N) = (4,2),(4,3)におけるf−αスペクトルの比較 . . . 71

3.24 磁場が印加された障壁ポテンシャルの概略図 . . . 73

3.25 磁場が印加されたa= 3, N= 2における入射エネルギ―Eと入射角θに対する(2N−1)-adic SVCSPの透過率 . . . 75

3.26 磁場が印加されたa= 3, N = 2における入射角を固定した場合における入射エネルギーE に対する(2N−1)-adic SVCSPの透過率 . . . 76

3.31 磁場を変化させた場合におけるa= 3, N = 2, θ= 0に対する(2N−1)-adic SVCSPの透過率 81 3.32 磁場を変化させた場合におけるa= 4, N = 2, θ= 0に対する(2N−1)-adic SVCSPの透過率 82 3.33 磁場を変化させた場合におけるa= 4, N = 3, θ= 0に対する(2N−1)-adic SVCSPの透過率 83 3.34 外部磁場を印加した場合における(2N −1)-adic SVCSPを透過するGraphene中の粒子のコンダクタンス. . . 86

A.1 規則的な自己相似フラクタルの例 . . . 90

A.2 自己Aﬃneフラクタルの例 . . . 91

(7)

A.3 地図の縮尺を変えた時の国境線の様子 . . . 91

A.4 フラクタル次元の計算の模式図 . . . 95

A.5 一般化次元の計算の模式図. . . 97

B.1 Tn(x), Un(x)の概略図 . . . 100

B.2 Laue関数の振る舞い. . . 103

(8)

概要

フラクタル構造とは構造の全体とその一部分とが相似である構造を指す。このような構造を持つ系の物性は、周期系やバルクに見られるものとは異なることが知られており、波動関数の局在や透過特性の特異な振舞いなどが報告されている。これらの特性を理解するために、量子系では超格子ポテンシャルを、光学系では光学薄膜をフラクタル構造にした場合における系の解析が行われてきた。近年では、Graphene中にフラクタル構造を有した超格子ポテンシャルにおける系の解析が行われている。GrapheneはGaAsなどの半導体超格子の系には見られない伝導・輸送特性を持つことから、それらの特性とフラクタル構造を持つことによって現れる特性とが混ざり合った新奇な伝導・輸送特性の発見が期待されている。Grapheneにおける透過特性の解析は主に数値計算によって行われており、理論的に解析を行う試みは行われていなかった。

本研究では、Graphene中に構築されたフラクタル構造を持つ超格子ポテンシャルに入射する電子の輸送問題について考察した。フラクタル構造にはCantor構造と呼ばれる、線分を3等分してその真ん中を取り除くという操作を繰り返して作られる構造を採用した。このような構造を持つ超格子ポテンシャルに入射する場合の透過率は転送行列法を用いることによって厳密に表され、透過率にコサインの有限乗積項が現れることが分かった。Cantor構造を分割数と分割スケールについて一般化した場合においても透過率を厳密に表すことができ、その場合には第2種Chebyshev多項式の有限乗積項が現れることが分かった。これらを解析することによって、エネルギーに対する透過率のプロファイルに自己相似な振動パターンを確認することができ、そ

れらはMultifractal性を持つことが数値計算によって示された。又、ポテンシャル中に磁場を印加した場合に

おいても透過率は厳密に表されることができることが分かった。この透過率を基に系のコンダクタンスを数値計算したところ、磁場の大きさが強くなるに伴ってフラクタル構造に由来する振動パターンが確認できることが分かった。

(9)

第 1 ^章

序論

1.1 ^{本研究の目的}

フラクタル構造とは構造の全体と一部分とが相似である構造のことを指す。このような構造を持つ量子系は周期的な系とは異なり、波動関数が部分的に強く局在することや[1–15, 18–28]、透過率に特徴的なパターンが

現れる[29–56, 71–75]などの特異な性質が現れる。これらの特性はランダムな系であるタンパク質の物性や金

属バルク内の希薄不純物によって生じるAnderson局在、アモルファスや準結晶などの物性の理解につながることから、多くの研究者によって理論的な研究がおこなわれてきた。

フラクタル構造は自然界に普遍的に存在する構造である[83, 84, 99]。特に決定論的フラクタル構造と呼ばれる、構造を特徴づける最小単位を基に一定の生成規則によって作られるようなものは、ランダムな系と比較してフラクタル構造に特有な性質が明確に現れる為、多くの研究がおこなわれてきた[18–56, 71–75]。代表的な例はSierspinski CarpetやMenger Spongeなど2次元や3次元上で構築されるものが多い。その中でも構築が簡単かつフラクタル構造特有の性質が陽に現れるCantor型とFibonacci型という2種類の構造が理論的研究の対象として用いられている。

両者に共通する特徴は、いずれも特定の生成規則(generator)に則って作られることである。フラクタル構造を形作るために生成規則を適用した回数nを世代と呼び、世代数が多いほどフラクタル構造特有の性質が強くなる。一方で両者の違いは生成規則の違いであり、Cantor型構造が要素を分割して作られるのに対して

Fibonacci型構造は要素を付け加えることで作られる。

(a) (b)

図1.1 1次元上で構成されるフラクタル構造。(a) Cantor^型構造。(b) Fibonacci^型構造。

図1.1(a)は3進Cantor集合を基にして作った構造である。この構造は、単位要素を3等分し、得られた3

つの要素の真ん中を取り除くという操作を再帰的に繰り返すことによって作られる。Cantor型構造はその生

(10)

成規則より、世代が上昇するにつれてCantor型構造を構成する要素が短くなる特徴がある。この構造は生成規則が数学的に容易である為、Cantor型構造を持つポテンシャル障壁の透過率や電子状態の数値計算は盛んにおこなわれてきた[4, 6, 23, 29–56, 72–75]。しかし、実験系では世代数の増加に伴い要素が短くなるため系の再現が容易でなく、後述するFibonacci型構造と比べて盛んには行われていない。

一方で図1.1(b)はFibonacci数列を基に作られた構造であり、2つの要素A、Bを必要とする。この構造は、第0世代をA、第1世代はBと定義し、第2世代以降はその2つ前の世代、1つ前の世代という順に並べることで作られる。すると第2世代はAB、第3世代はBAB、第4世代はABBABとなる。Fibonacci型構造は世代数の上昇に伴い、全体の要素が長くなる特徴がある。この構造は世代数によって要素数が規則的でないため数学的に記述することが難しく、Cantor型構造と比べて計算は容易ではない。しかし、世代数を増加させるには要素を増やせば良いだけなので実験系での再現は容易である。又、Fibonacci型構造は自然界で比較的よく現れ、物性においては準結晶と呼ばれる並進対称性を持たないが高い秩序性を持つ物質群でこの構造が確認されている。その為、実験系ではFibonacci型構造の研究が盛んに行われている[18–22, 24–28, 71]。

自己相似構造を持つ系の研究は量子系や光学系で多くの研究が行われてきたが、近年はGraphene中にフラクタル構造を構築した場合の系の特性が注目されている [71–75, 88]。Graphene中の電子の系は、Klein

tunneling [57–59]や後方散乱の消失[60, 61]など通常の量子系とは異なる相対論的な特性を持つことが知ら

れている。その為、Grapheneの持つ相対論的な特性とフラクタル構造を付与することによって生まれる性質が混ざりあうことで生じる新たな伝導・輸送特性が期待されている。しかしながら、これらの研究のほとんどにおいて対象とされてきた構造はもっぱら図1.1(a)及び(b)であった。これは1次元上で構築されるような決定論的フラクタル構造が数えるほどしかないことに起因する。その為に、例えばフラクタル構造を特徴づけるフラクタル次元と透過率との間をある関係を調べるものは少なかった。又、フラクタル構造の複雑さから研究手法は数値計算が主流であり、フラクタル構造と透過率との間にある関係を理論的に解析する試みも少なかった。透過率はその構造に大きく依存する為、自己相似構造と透過率との間にある関係を明白にするには、

透過率の厳密解を理論的に導出すること、そしてフラクタル次元と透過率との間にある関係を導くことが必要である。故に、本研究ではCantor型超格子ポテンシャルに入射するGraphene中の電子の輸送問題を考え、

透過率の厳密解を理論的に導出することとした。

(11)

1.2 ^研究背景

この節では自己相似構造(以後フラクタル構造と呼ぶ)をもつ系に現れる特性について、それらの研究の推移と共に概説する。第1項目ではランダムなフラクタル構造を持つ系の振動とfractonについて概説する。この内容は今回の研究と直接関連するものではない。しかし、フラクタル構造を持つ物性について研究されたきっかけは、ランダムな系をフラクタルの考え方を用いて体系的に理解しようとしたことから始まっているので、これらの研究の推移を知ることは十分に意義がある。第2項目では決定論的フラクタル構造を持つ系の振動と透過率について概説する。フラクタル構造を持つ系の透過率についての研究は1980年代の準結晶の発

見と2000年代のMenger Sponge内の電磁波の強い局在という2つの実験的な発見をきっかけとして盛り上

がっていった。これらの発見に対して先人たちが行ってきた研究の推移を概観する。又、最近のフラクタル構造を持つ量子系及び光学系での研究についても簡単に触れる。最後に第3項目として、Graphene中にフラクタル構造を構築した系における研究について述べる。Graphene中の電子はSchr¨odinger方程式に従う系とは異なる特性が報告されており、Graphene特有の特性とフラクタル構造特有の特性とが混ざり合ったような新奇な伝導・輸送特性の発見が期待されている。これらについて、既に行われた研究を確認するとともに、自身の研究の位置づけを行う。

1.2.1 ランダムなフラクタル構造を持つ系の振動と fracton

Manderbrotによりフラクタル概念が広まって以降、物性の分野ではイジングモデルなどのランダムな系や

高分子、タンパク質の振動などの複雑な系に応用してそれらを体系的に理解しようとする試みがなされていた。特に、フラクタル構造をもつ系の物性の研究は1980年代に盛んにおこなわれることになった[1–3]。

1980年に、StapletonらのグループはFe³⁺を含むタンパク質に対してESR(電子スピン共鳴)を行い、そのスピン―格子緩和^*1における緩和時間に異常な温度依存性が存在することを発見した [2]。スピン―格子緩和は温度により2つの緩和過程が存在する。一つ目はphononの生成消滅が起こらない直接過程、2つ目は

phononの生成消滅によりスピンの反転が伴うRaman過程である。Raman過程において、ω1の振動エネル

ギーを持つphononは消滅し、ℏ(ω2−ω1) =gµBH を満たすような振動エネルギーω2が生成される。この

(a) (b)

図1.2 (a)スピン―格子緩和における直接過程。(b)スピン―格子緩和におけるRaman過程。

時、振動エネルギーの状態密度がρ(ω)∝ω^p というべき乗則を満たすと仮定すると、Raman過程の緩和率

*1外場磁場のかかった状態で熱平衡状態にあるスピン系において、磁場の向きを変えずその大きさを急に変えた場合に磁化に起こる緩和過程。

(12)

1/T1Rは次のように近似される。

1 T_1R ∝

Z ωmax

0

ρ²(ω)ω⁴f(ℏω/k_BT)dω∝ kBT

ℏ

5+2p

F_4+2p(Θ/T). (1.1)

ここでω_maxは振動エネルギーの最大値であり、f(z) =e^z/(e^z−1)²である。又、Θ =ℏω_max/k_B であり、

F_4+2p(Θ/T)はT ≪Θならば定数、T ≫ΘならばF_4+2p(Θ/T) ∝T⁻^(3+2p)となる関数である。Raman 過程はT ≪ Θの場合に相当する。3次元の固体の場合はp = 2である為、式(1.1)は高温側ではT² に、

Raman緩和の生じる低温側ではT⁹に比例する。Stapletonらはアジ化ミオグロビン(MbN3)、フェリシトクロムc^*2(CC)、そしてシトクロムp-450^*3(CP450)の3つのタンパク質について緩和率を測定した。その結果として緩和率は温度に対するべき乗則Tⁿが成り立ち、CCはn= 6.34±0.06、MbN3はn= 6.29±0.08、そしてCP450はn= 6.27±0.06であることが分かった。これらの実験結果は図1.3(a)に示されている。

(a) (b)

図1.3 (a) ESR^によるFe³⁺のスピン―格子緩和過程の実験結果。(b)^半径R^{内に存在する}α^炭素の数 (2≤N≤85)^{。いずれも}[2]^{より引用。}

彼らはこの理由がタンパク質のフラクタル構造に起因するものと考え、次のような考察を行うことで、振動エネルギー密度がρ(ω)∝ω^0.65^±^0.04であることを突き止めた。質量M である同一なN 個の要素が等方的かつ均等に結合された弾性体を考える。ここで、簡単のために要素の体積は1として考える。これがフラクタル構造を有するならば、その長さLは個数N に対してべき乗則L^d ∝N が成り立つ。ここでdは系のフラクタル次元である。この弾性体を微小量ϵだけ体積を減少させる、つまりN(1−ϵ)にさせるような変形を考える。すると、各要素が変化した長さは∆L=Lϵ/d、弾性エネルギーはN cϵ²/2と表せる。ここでc は弾性体の各要素の有効弾性率である。この変形がξ方向に直線的に行われるとき、その弾性エネルギーは

*2酸化還元機能を持つヘム鉄を含むヘムタンパク質の一種で生物の好気呼吸に関わる。

*3特定の酸化還元酵素群に属する酵素の総称。肝臓における解毒作用やステロイドホルモンの再合成、脂肪酸の代謝など生物の正常活動に必要な様々な反応に関与している。

(13)

M ω²ξ²/2と表せる。簡単のために周期境界条件を課すと各要素の変化は等しくξ上にて行われる、つまり ξ²∝N(∆L)²∝N L²ϵ²である。故に2通りの弾性エネルギーの表記から次の関係が成り立つ。

ω∝(c/M)^1/2L⁻¹∝(c/M)^1/2N⁻^1/d. (1.2) 個数N を含めたωの変化を考えることで、状態密度を次のように推定できる。この議論における弾性体の体積は、体積1の要素がN 個存在するのでN であり、個数と体積は同列のものとして扱っている。体積N の弾性体が、体積N/mの要素をm個連結して作られているならば、境界条件の小さな変化は状態密度を摂動させない。つまり、ρN(ω) =mρ_N/m(ω)が成り立つ。ここでρN(ω)は弾性体全体の状態密度を、ρ_N/m(ω) は弾性体を構成する体積N/mの状態密度を表す。又、基準振動数がmに関してω/m^αで変化するならば、

スケーリング理論よりスケーリング定数αを用いてρN/m(ω) =m⁻^αρN(ω/m^α)と表せる。これらより次の式が導かれる。

ρ_N(ω) =m⁻^α+1ρ_N(ω/m^α). (1.3)

ここで、m⁻^αは振動エネルギーのスケーリングの際に生じる状態間のエネルギー間隔の減少に対応する。式 (1.3)を用いれば、ρ(ω) ∝ω^p よりp =α⁻¹−1を得る。さらに式(1.2)よりα= d⁻¹である。以上より p=d−1であり、状態密度はフラクタル次元dを用いて次のように表される。

ρ(ω)∝ω^d⁻¹. (1.4)

式(1.4)はd= 1,2,3である場合それぞれω⁰, ω¹, ω²となり、1次元や2次元電子などのバルクの状態密度の結果をも包括する一般的な表式となっている。この結果よりStapletonらは式(1.1)の低温における標識と比較することでp= 0.65±0.04を得た。又、p=d−1であることを用いればこれらのタンパク質のフラクタ

ル次元はd= 1.65±0.04であり、ほとんど5/3に近いことも示された。この値は自己回避型ランダムウォー

ク^*4の軌跡のフラクタル次元とほぼ同じである。タンパク質を表すモデルとして排除体積鎖がよく用いられるが、その拡散は自己回避型ランダムウォークになる為、得られたdの値は非常に理にかなっている。この議論は、ランダムな系のダイナミクスがその系における拡散現象によるというde Gennesの議論に基づいている[3]。これらの理論を実験的に確認するために250 KにおけるミオグロビンのX線データを解析し、ミオグロビンの任意の起点から半径R内のα炭素^*5の数を数えた。得られたデータをフィッティングしたものが図 1.3(b)である。データに対する近似直線としてd= 1,2,1.67のものが引かれているが、d= 1,2の場合は明らかにデータの近似直線として不適切である。これはd= 1.67の近似直線が妥当であることに加えて、タンパク質がフラクタル次元5/3のフラクタル構造であることが確認できる。

S. AlexanderとR. OrbachはStapletonらによる式(1.4)の解析について、系のフラクタル構造しか考慮されていないことを指摘し、状態密度にフラクタル構造に由来する振動の効果があると考えた[1]。彼らは系の拡散を支配するマスター方程式を用いて状態密度を議論した。マスター方程式は確率によって支配されている系の時間変化を記述するもので、1次元拡散の場合次のように表される。

dPj

dt =Wj,j−1(Pj−1−Pj) +Wj,j+1(Pj+1−Pj). (1.5) ここで右辺第一項はサイトjからサイトj−1に移動する粒子の存在確率を、第2項はサイトjからサイト j+ 1に移動する粒子の存在確率を表す。式(1.5)は1次元ばねの連成振動の方程式、

M_jdu_j

dt =K_j,j₋₁(u_j₋₁−u_j) +K_j,j+1(u_j+1−u_j), (1.6)

*4ランダムウォークにおいて、その軌跡が交差しないもの。高分子における排除体積鎖のモデルとして用いられる。

*5官能基と隣接した1番目の炭素

(14)

と同じアナロジーを持つ。ここでMj, ujはそれぞれサイトjにおける質量と変位、Kj,kは隣り合うサイト j, k間をつなぐばねのばね定数である。この時、Pj(t)の自己相関関数P˜0は式(1.6)のグリーン関数と同値になる[6]。故に系のエネルギーϵに対する状態密度は次のように表される[1, 4]。

N(ϵ) =−1

π⟨P˜0(−ϵ+i0⁺)⟩. (1.7)

ここで、P˜0はP0(t)のϵに関するLaplace変換である。系の拡散に異常拡散のようなフラクタル構造由来の効果があることを考慮すれば、拡散の平均二乗変異⟨r²(t)⟩^{は拡散を表す指標}δ¯を用いて⟨r²(t)⟩ ∝t^2/(2+¯^δ) と書ける [5]。又、この時の系全体の拡散長V(t)は系のフラクタル構造の影響を受ける。故に系のフラクタル次元d¯を用いて V(t) ∝ ⟨r²(t)⟩^d/2^¯ と書ける。拡散長の逆数は典型的な系の確率 P0 を表すので

⟨P0(t)⟩ ∝1/V(t)∝t⁻^d/(2+¯^¯ ^δ)となる。これをLaplace変換することで次の式を得る。

N(ϵ)∝ϵ^d/(2+¯^¯ ^δ)⁻¹. (1.8)

これを振動数に直すことで、振動モード数N(ε)はエネルギーεに対して、

N(ω)∝ω^d^¯^¯⁻¹, (1.9)

であることが彼らの研究によって示された。ここでd¯¯= 2 ¯d/(2 + ¯δ)はfracton次元と呼ばれる。又、d¯は異常次元、δ¯は拡散を支配する指数である。彼らは一次元鎖、Sierpinski triangle、そしてパーコレーションネットワーク^*6という３つの具体的な系でfracton次元を計算した。特にパーコレーションネットワークについて、

そのfracton次元は空間次元に依らずd¯¯= 4/3であることを示した。

式(1.9)の振動数の依存性はDebye理論によるバルクの場合と比べて極端に異なる。そこで量子系におけ

る振動をphononとみなすように、フラクタル構造を持つ量子系の振動をfractonと命名し、fractonが励起

することでフラクタル構造を持つ量子系の振動が生じると考えた。fractonが励起するための振動波長λεにはλε∝ε⁻^1/(2+¯^δ)というスケーリング則が成り立つ。これを振動数で表すとλω∝ω⁻^2/(2+¯^δ)となる。ここで系のフラクタル構造の特徴的長さがLである時、λε≲L、であるならば系はfractonとして振舞う。一方で振動波長がLよりも長い場合はphononとして振舞い、フラクタル構造に特徴的な振動にはならない。両者は適当な振動数でクロスオーバーされ、

εc.o.≈ω_c.o.² ≳L⁻^(2+¯^δ), (1.10) 程度でスケーリングされる。ここで添え字のc.o.はphononとfractonがちょうどクロスオーバーする場所でのエネルギー及び振動数である。

この議論によって、fractonが励起するエネルギースケールではどのようなダイナミクスが生じるのかに興味がもたれた。先ず、fractonの励起による振動モードは空間的に局在することがRammalとToulouseによって間接的に示された[7]。彼らは格子上をランダムウォークする粒子におけるNステップ目での特定のサイトを訪れる平均値S(N)が任意の次元dに関して、

S(N) =











(8N/π)^1/2+· · · (d= 1)

πN/lnN (d= 2)

cN +c^′N²⁻^d/2+c^′′+· · · (d >2, d̸= 4) cN +c^′lnN+· · · (d= 4)

, (1.11)

*6ランダム系に結合された格子が臨界値付近でクラスターを作り、それが拡散し浸透していくようなモデル

(15)

であるというMontrollとWeissらの議論[8]に着目した。RammalとToulouseはこれに基づいて格子がフラクタル構造を持つ場合を考察し、SN がfracton次元d¯¯に対して、

SN ∼

( N^d/2^¯^¯ d <¯¯ 2 N d >¯¯ 2

, (1.12)

であることを指摘した。又、P. B. AllenはMontrollとWeissの議論と量子力学的に局在している電子の運動にアナロジーがあることを指摘[9]し、電子の局在長とランダムウォークのステップ数に対応関係があることを受けて、コンダクタンスの局在性を議論した。P. W. Andersonらは1次元、2次元及び3次元における系の長さLとコンダクタンスgに関するスケーリング関数、

β(g) = dlng

dlnL, (1.13)

について議論した[10]。彼らは系がフラクタル構造を有し、尚且つLが十分大きいならば式(1.12)はフラクタル次元d¯とfracton次元d¯¯を用いて、

β_L= d¯

¯¯

d( ¯d¯−2), (1.14)

となることを示した。又、式(1.12)と(1.14)からコンダクタンスがLについてのべき乗則、

g(L)∼L^β^L, (1.15)

も成り立つことを示した。これはβLの正負によって系の振る舞いが大きく変わり、正ならば系は伝導的であるが、負では伝導的でない。つまり、局在的になる。このことよりβLが負になるd <¯¯ 2ならば、振動モードは空間的に局在すると考えられた。

fractonによる振動モードの局在についての議論がRammalらの議論に続いて活発になった。E.- Wohlman

やS. Alexanderらはfractonの局在波動関数は次のような形、

ϕfr∝e⁻^(r/Λ(ω))^dϕ, (1.16)

であると仮定した[11, 12]。ここでΛ(ω)はfractonの局在長を表し、dϕは局在の強さを表すパラメーターとなっている。dϕがfracton励起を特徴づけることから、多くの研究者がその指数の値を求めた。例えば、理論的にはLevyとSouillardはパラメーターがdϕ = ¯d/d¯¯であるとし、d= 2におけるランダムな系において dϕ= 1.42であるとした[13]。このようなdϕ>1である局在状態は「超局在状態」と呼ばれる。又、Harisと

Aharonyは平均化されたfracton励起のパラメーターがdϕ = 1、つまり指数関数的に減衰することを指摘し

た[14]。他にも、Van der Puttenらはカーボンブラックポリマー複合体の伝導率の測定値からdϕの値を推定しており、実験的にdϕ= 1.94±0.06と導電率µ= 2.0±0.2という結果を得ている[15]。これ等の議論は

fracton励起による波動関数が局在点を中心とした空間的対称性があることを前提としていた。しかし、数値

計算によって計算されたfracton励起した波動関数は対称性を持たないことがK. YakuboとT. Nakayama によって明らかになった[16]。彼らは図1.4のように2次元パーコレーションネットワークにおけるfracton 波動関数を数値計算で視覚的に確認した。図1.4(b)よりfracton波動関数は特定の個所で強く局在しており、

その中心から遠いところで空間的に対象でないことが確認された。ここで波動関数が強く局在している部分をコアと名付けている。彼らはこの理由を臨界濃度におけるパーコレーションクラスターの相関長が無限に長いためであると説明している。又、これらのfracton波動関数の集合平均を考え平均的な局在パターンの評価を行ったところdϕ= 2.3±0.1であり、LevyやHarris、Aharonyらの理論とは大きく異なることが分かった。

(16)

(a) (b)

図1.4 (a)^{臨界濃度における}2次元パーコレーション上に励起されたω= 0.01^のfracton^{モードのパ} ターン。(b) (a)の線分A及びBに沿った断面図。[17]

理論ではパーコレーションクラスターにおけるfracton波動関数の伝搬は、ある点から任意の点における波動関数の伝搬が2点間の最短経路にのみ依存すると仮定していた。しかし、この仮定は相関長が発散するために正しくなく、⟨ϕfr(r)⟩ ̸=ϕfr(⟨r⟩)である。今回の計算においては波動関数のコア部分のdϕを求めたことになり、波動関数の裾も加味すれば今回の結果と異なると考えられている。

1.2.2 決定論的フラクタル構造を持つ系の振動と透過率

決定論的フラクタル構造とは、最小単位と呼ばれる構造を形作る最小のパターンが存在し、一定の生成規則によって生成されるようなものをいう。このような構造を持つ系は周期系やランダムな系とは異なるフラクタル構造特有の性質が陽に現れる為、フラクタル構造を持つ系のモデルケースとして1980年代以降に多くの研究がおこなわれてきた。

1983年にE. DomanyらはS. Alexanderらの研究[1]を受けて、フラクタル格子上におけるSchr¨odinger 方程式の電子状態を議論した [18]。彼らは先ず原子配置を表すような格子モデルについて、強結合近似モデ

ルとS. Alexanderの提案したWireモデルの間の共通点について述べている。強結合近似モデルはTight

Bindingモデルとも呼ばれ、電子のバンド計算に使われるモデルである。これは系の波動関数を各原子の場所

に位置する孤立原子に対する波動関数を重ね合わせたものとして考え、次のように表される。

Eψ₀=−X

j

t_jψ_j. (1.17)

ここで添え字のj= 1,2,· · · , lは原子配置を表す格子のサイトの番号であり、t_jはj番目のサイトに移動した際に生じるhopping energyである。一方で、S. Alexanderが提案したWireモデルは格子間を始端x_j = 0、終端x_j =aの鎖でつながれているとし、その鎖それぞれに座標軸x_jを設定するものである。鎖上での波動関数は通常のSchr¨odinger方程式、

∂²

∂x²ψj(x) =−2mEψj(x), (1.18)

で表される。ここで、波動関数がψj=ψ+j(x)e^qx+ψ₋j(x)e⁻^qx, q=√

2mEで表され、ψj(0) =ψ0, ψj(a) =

(17)

ψjであるとする。この時、連続の条件∂/∂xP

jψj(x) = 0から次の方程式を得る。

Xl j=1

(ψ0cos (qa)−ψj) = 0. (1.19)

式(1.18)は式(1.17)のような強結合近似モデルにおいて境界条件を課した時に現れ、２つのモデルは本質的

に同じ物理を表す。これらのモデルの関係は次の関係式で結びつけられる。

lcos (qa) =−E

t. (1.20)

式(1.20)の左辺はS. AlexanderのWireモデルにおけるエネルギーを表し、右辺は強結合近似モデルにおけ

るエネルギーを表す。ここで簡単のためにhopping energyは一定tj=tとしている。

(a) (b)

図1.5 (a)^{強結合近似モデル。}(b) S. Alexander^のWire^モデル。

彼らは図1.6のようなSierpinski triangleと呼ばれる構造をしたフラクタル格子を強結合近似で記述し、次

のハミルトニアン、

H=X

i

ui|i⟩⟨i| −X

⟨ij⟩

(tij|i⟩⟨j|+tji|j⟩⟨i|), (1.21) に対するSchr¨odinger方程式H|i⟩=E|i⟩を考えた。ここで添え字のi, jは強結合近似による原子のサイト

図1.6 ^世代n^における2^{次元平面上の}Sierpinski triangle^型格子。(a)n= 0^。(b)n= 1^。(c)n= 2^。[18]

を表し、uiはサイトi上に電子が存在するときに生じるOn-sinte energy、tij, tjiはそれぞれサイトiから j、jからiに電子が移動した際に生じるエネルギーの減少を表すhopping energyである。世代nにおける格子の作り方は次のようにおこなわれた。先ず、n= 1の格子は図1.6(b)のようにn= 0の格子に新たな三角形が生成されるようにサイトを付け加えることで作られる。n= 2の格子はn= 1の格子に図1.6(c)のようにサイトを付け加えていくことで作られる。n= 2における格子はn= 1の格子が3つ組み合わさってでき

(18)

ている。よってn= 1をSierpinsk triangle型格子の基本三角形として考える。この操作を繰り返すことで n= 3,4,· · · の場合の格子が作られる。このような生成規則に基づくハミルトニアンは次の手順で計算された。先ず、Hilbelt空間に存在する格子が1番と2番という副格子に分割されるとする。この時、波動関数|ψ⟩ を1番及び2番の副格子上に射影したものはそれぞれ|ψ1⟩,|ψ2⟩^{と表される。}|ψ1⟩,|ψ2⟩^{を基底関数としたと} き、ハミルトニアンは次のように表される。

H |ψ1⟩

|ψ₂⟩

!

= H11 H12

H₂₁ H₂₂

! |ψ1⟩

|ψ₂⟩

!

=E |ψ1⟩

|ψ₂⟩

!

, (1.22)

ハミルトニアンの行列要素は、例えば、H11ならば副格子1番から副格子1番間への移動を表し、H12ならば副格子1番から副格子2番への移動を表す。又、E^{は強結合近似の時に}E =E、wireモデルの場合にE= 0 である。式(1.22)より、次の関係式を得る。

|ψ₂⟩= (E −H₂₂)⁻¹H₂₁|ψ₁⟩. (1.23) これより、次のような|ψ1⟩に関する有効ハミルトニアンを得る。

Heﬀ|ψ₁⟩= [H₁₁+H₁₂(E −H₂₂)⁻¹H₂₁]|ψ₁⟩=E|ψ₁⟩. (1.24) Sierpinski triangleにおける式(1.24)の表式を得るには図1.6の基本三角形上の最近接ホッピングに関する 6×6正方行列を考える必要がある。ここで添え字i, j = 1,2,3について(H11)ij = 0,(H12)ij = (H22)ij =

−1 +δij とする。この時、図1.6の格子上の波動関数を有効ハミルトニアンに作用させると、式(1.21)に波動関数を作用させたときと同じ形の式、

E|i⟩=u_i|i⟩ −t X4 j=1

|j⟩, (1.25)

を得る。ここで、この式の左辺は世代nのエネルギーを表し、右辺は世代n−1のサイトによる寄与を表す。

又、添え字のjはサイトiの４つの最近接サイトを表し、On-site energyとhopping energyはパラメーター ϵ=E/tを用いてそれぞれ次のように表される。

u_i=u^′= 4tϵ

(ϵ+ 2)(ϵ−1), t_ij =t_ji=t^′= 2−ϵ

(ϵ+ 2)(ϵ−1)t. (1.26) ところで、世代nではOn-siteエネルギーはu= 0であるにもかからわず世代n−1では一定値をとっている。そこで、世代nとn−1で式の形式を同じにするために、新たなエネルギーパラメーターϵ^′を次のように定める。

ϵ^′= E−u^′

t^′ . (1.27)

これは世代n−1におけるエネルギーの表式を表し、式(1.25)に代入することで世代n−1におけるOn-site energyは見かけ上消滅する。ところで、式(1.26)より、

ϵ^′=−ϵ(ϵ+ 3), (1.28)

であるが、これは世代nとn−1とのエネルギー関係を結びつける。故にϵ→ϵ_n, ϵ^′→ϵ_n₋₁とすれば、次のような世代に関する再帰関係が成り立つ。

ϵn =−3±√

9−4ϵn−1

2 . (1.29)

(19)

ここで、式(1.26)より、エネルギーはϵ＝−2,+1,+2の場合に有効ハミルトニアンのhopping energyが消滅してしまうため、それらのエネルギーでは成り立たない。このような再帰関係は波動関数においても成り立つ。ここで図1.6(b)の上向き三角形(下部分)に対するサイト1,2,3と1^′,2^′,3^′上の波動関数の間には次のような関係が成り立つ。

ψ_i′ = 1 (ϵ+ 2)(ϵ−1)

X3 j=1

[ϵ−(ϵ+ 2)δ_ij]ψ_j. (1.30)

彼らは再帰関係(1.29)から状態密度を計算した。式(1.29)は線型代数の言葉で言えば、世代n−1のエネルギーから世代nのエネルギーを2つ生成する写像であり、世代0(図1.6(b))におけるエネルギーの値が決定されるならば世代nのエネルギーは逐次的に求まる。強結合近似におけるエネルギー分散関係は、格子間隔a の2次元正方格子ならば次のように表される。

ϵ≡E

t =−4 coska. (1.31)

ここで、簡単のためOn-site energyはui = 0、hopping energyはtij =tji=tとしている。彼らは2次元上にフラクタル格子を構成したことから、先ずエネルギー領域−4< ϵ <4内の状態数を計算した。世代nにおけるϵのエネルギーを持つ状態数をN(ϵ)としたとき、その個数は以下の法則に従う。

(1) 任意の世代nに対してNn(−4) = 1。 (2) Nn(2) = 3ⁿ。

(3) N_n(1) = 3ⁿ⁻¹+ 1。 (4) N_n(−2) =δ(n,1)。

(5) N_n(ϵ) =N_n₋₁(ϵ^′)。但しϵ^′=−ϵ(ϵ+ 3)

ここでδ(n,1)について、n= 0の場合にδ(n,1) = 1となる。又、ϵ=−2,+1,+2については式(1.29)が成り立たないので、全体のエネルギー状態数との収支関係によって求めている。これらの法則によって、世代10 の場合に計算されたものが図1.7である。この結果において特筆すべきなのは状態密度に自己相似な構造が

図1.7 ^世代10^におけるSierpinski triangle型格子のエネルギー状態密度。図中の2^(k)^は式(1.29)^の反復をk^{回行った時の}ϵ= 2^{の状態。世代}0^{におけるエネルギーは}∆ϵ= 0.01^{刻みで計算している。}[18]

(20)

図1.8 ^世代10^におけるSierpinski triangle型格子のエネルギー状態密度の拡大図。(a)ϵ=−3.25^付近。(b)ϵ=−3.85^付近。(c)ϵ=−3.97^付近。(d)ϵ=−3.994^付近。[18]

現れていることである。彼らは図1.7の4カ所を拡大して、図1.8のようなϵ=−3.25,−3.85,−3.97,−3.994 付近の状態密度の振る舞いを確認したが、いずれも図1.7で見られたパターンと相似であることが確認できる。

同年、M. Kohmoto、L. P. KadanoffそしてC. Tangは強結合近似型のSchrödinger方程式について画期的な考察を行った[19]。彼らは先ず、次のような強結合近似下におけるサイトjに対するポテンシャルV(jϕ) を含んだSchrödinger方程式を考えた。

ψn+1+ψn−1+ [V(jφ)−E]ψn = 0. (1.32) ここで、φは2つの互いに素である素数p, qを用いてφ=p/qで表される。式(1.32)は線型であるので、次のような振幅ベクトルΨn= (ψn, ψn−1)^T と転送行列M(j)を用いて次のように書き替えられる。

M(nφ)Ψ_n=Ψ_n+1, (1.33)

M(j) = E−V(t) −1

1 0

!

. (1.34)

ここでM(j)はjで周期1である単位行列式を持つ実数値行列である。又、転送行列が次のようなk周期性

M^(k)(nφ)Ψn =Ψn+k, (1.35)

を持つ場合、次のような分解が可能である。

M^(k¹^+k²⁾(j) =M^(k¹⁾(j+k₂φ)M^(k²⁾(j). (1.36) ここでM⁽¹⁾=M である。φが有理数であるならばqφ=pは整数であるので、M^(k)(j)はjで周期1となり、M^ql(j) = [M^q(j)]^lである。故に、許されるエネルギー|Tr(M(t))|/2は1より小さく、k→ ∞^で有界

(21)

である。これは、任意の周期系におけるエネルギー分散関係は転送行列Mのトレースを求める問題に帰着できるということである。

M. Kohmotoらはこの方法を用いて次のような1次元Fibonacci数列型ポテンシャルの場合にどうなるか

を考察した。

V(j) =

( V0 −ω < j≤ −ω³

V1 −ω³< j≤ω² . (1.37)

ここでω = (√

5−1)/2は黄金比^*7である。Fibonacci数列とは次のような生成規則に基づいて作られる数列である。先ず、2種類の要素A,Bを用いて第0世代をA、第1世代をBと定義する。この時次の世代2は第 0世代、第1世代という順番に並べたもので定義する。つまりABである。第3世代以降も同様にして、2つ前の世代、1つ前の世代という順番に並べた要素で定義する。作られた数列は第7世代まで表すと次のようになる。

A, B, AB, BAB, ABBAB, BABABBAB, ABBABBABABBAB,· · ·

このような構造を持つポテンシャル(1.37)における転送行列は、その生成規則より次の関係が成り立つ。

Ml+1=Ml−1Ml. (1.38)

ここで添え字はFibonacci数列の世代を表し、M₁ =M(0), M₀ =M(−ω³)である。式(1.38)におけるトレースの変化を考える。この時xl= Tr(Ml)/2という変数を導入すると、各世代の転送行列のトレースは

xl+1= 2xlxl−1−xl−2, (1.39)

という3次元のダイナミカルマップで表される。ここで初期値はx₁= (E−V₁)/2, x₀= (E−V₀)/2, x₋₁= 1

(a) (b)

図1.9 (a)^式(1.40)^{で表される}I= 0.2^の場合の3次元力学系のトレースの軌跡。(b)^世代n^における Fibonacci型格子の許されるエネルギー範囲。[19, 20]

である。この再帰関係に基づいた式(1.39)はtrace mapと呼ばれる。この方法の画期的な点は、エネルギーを求めるという量子力学の固有値問題が3次元の力学系を解くという古典力学の問題に帰着されることである。このトレースのダイナミクスは、xl→x, xl−1→y, xl−2→zとすれば

I=x²+y²+z²−2xyz−1, (1.40)

*7貴金属比の一つであり、1 : (1 +√

5)/2 = (√

5−1)/2 : 1の比。Fibonacci数列の隣り合う2項の比は黄金比に収束する。

(22)

という空間上で観測される[20]。ここでIはポテンシャルにより決定される不変量であり、I=|V1−V0|^で与えられる。これを3次元空間上で表したものが図1.9(a)である。又、このトレースの結果をもとに世代ごとの許容されるエネルギー範囲を描写したのが図1.9(b)である。これより、Fibonacci型格子のエネルギー範囲は世代が上昇するにつれてCantor集合のように振舞う。

この発表の後に、D. ShechtmanとI. Blechは液体状態から急冷したAl-Mn合金の奇妙な電子回折実験の結果を発表した[21]。結晶に電子線回折を行って得られる回折パターンはδ関数的な回折スポットの集合であ

図1.10 液体状態から急冷したAl-Mn合金の電子線回折パターン。[21]

る。基本的な結晶の回折スポットは2回、3回、4回、6回の回転対称性しか許されないが、彼らは図1.10のような5回の回転対称性を実験で確認した。このような回折像を示す結晶群は今日では準結晶と呼ばれ、発

見者のD. Shechtmanは2011年にノーベル化学賞を受賞している。準結晶の特徴として、結晶構造に対称性

こそないものの、高い空間的秩序を持つことである。このような構造はR. Penroseが提唱したPenrose tile 型パターン[22]に原子を修飾したものとして理解されている。Penrose tileはFibonacci数列を2次元に拡張したものとして考えられている。その為、この新奇な物質の物性を研究するためにCantor型やFibonacci 型の原子配列を持つ系の波動関数や透過率がM. Kohmotoの手法を用いて研究された[23–27]。Kohmotoは Trace mapの手法を用いてCantor型及びFibonacci型格子における波動関数の局在を議論した[23, 26]。その波動関数は図1.11のように特定のエネルギーで空間上にべき級数的に強く局在することが知られており、

臨界状態と呼ばれている。又、M. Holzerは準結晶の構造であるFibonacci型格子やPenrose tile型の格子に対する考察を行い、Cantor型と同じような波動関数の空間的な強い局在を確認した[24]。A. H. MacDonald とG. C. AersはTrace mapの手法を用いてFibonacci型格子に波動関数が入射した時の透過率[25]を、A.

ChakrabartiらはGreen関数を用いてFibonacci型格子の状態密度を計算した[27]。他にも、P. Tongは要素が3つ存在するFibonacci型格子について考察した[28]。

Kohmotoらによって自己相似構造を持つ系の解析手法は確立されたものの、その同年に発見された準結晶

のインパクトがすさまじく、1990年代は自己相似構造を持つ系の研究は次第に下火となっていった。しかし幾人かの研究者は自己相似構造を持つ量子系についての考察を行っていた[29–35]。W. D. HeissらはCantor 集合的に配置されたδ関数障壁における系のエネルギー準位を計算した [29]。F. Craciunらは圧電セラミック素子とレジンをCantor集合的に並べたものに電圧を印加しPhonon-Fractonクロスオーバーが現れるかを

(23)

(a) (b) (c)

図1.11 Cantor型格子における臨界状態の波動関数。(a)E= 0^。(b)E= 2.8339565^。(c)E= 2.83302389^。[23]

実験的に確かめた[30]。K. A. MakarovとV. V. Konotopらはそれぞれ独立して、Cantor構造を持つポテンシャル障壁の系を数学的に考察した[31, 32]。2グループに共通する結果として、反射係数及び透過係数にコサインの無限乗積Q

j=1cos (qL/3^j)が存在することを指摘している。M. D. NoskovらはCantor構造の一般化を行い、世代と共にポテンシャル障壁が増加し最終的にδ関数となるようなポテンシャルに対する系を考察し、透過率にLaue関数の有限乗積が現れることを述べている[33]。X. R. WangはSierpinski triangle 型格子に磁場を印加した場合の波動関数の局在性や局在長の乱れについて指摘している[34, 35]。又、N. L.

Chuprikovは透過率の自己相似性について指摘している [36]。他にも、F. Chiadiniらは屈折率の異なる材料を並べたフォトニッククリスタルに自己相似構造を持たせた場合の透過率について議論している[37]。フォトニッククリスタルを伝搬する電磁波の動力学は電信方程式によって支配されるが、Schr¨odinger方程式と同じ波動方程式であるため、その振る舞いにはアナロジーがある。

再び自己相似構造を持つ系に関心が高まったのはM. W. Takedaらによる3次元Menger Spongeへの電磁波の入射の実験である。Takedaらは図1.12(a)のようなMenger Spongeと呼ばれる自己相似構造を持った立体に電磁波を入射した場合の振る舞いを観察した[38]。Menger Spongeとは図1.12(a)のような立方体で、立方体の縦、横、高さを3等分し、立方体の各面が図1.12(b)のようなSierspinski Carpetになるように立方体の中心部分を取り除くことで作られる。Menger Spongeの特徴として、そのフラクタル次元はD_f = ln 20/ln 3 である。Takedaらはこの図形をCADプログラム（Toyota Keram Co.、Think Design Version 8.0）を使用して設計した後、エポキシ樹脂（D-Mec Ltd.、SCR-730）をステレオリソグラフィー^*8（D-Mec Ltd.、

SCS-300P）と呼ばれるラピッドプロトタイピング法を用いて作成した。その寸法は27 mm×27 mm×27 mm

であり、複素誘電率^*9の実数と虚数部はそれぞれ2.8と0.2である。この立体を図1.12(c)のような、ネットワークアナライザー（Agilent Technology、HP-8720B）と500 Ωの特性インピーダンスを持つ2つのモノポールアンテナで測定した。この実験結果における電磁波の透過率は図1.12(d)に示されている。この結果で注目すべきなのは、世代n= 3における電磁波の透過率が振動数12.8 GHzで約31 dB程度の大きな減衰が現れ、13.0 GHz付近で約7 dB程度の減衰が現れることである。又、世代n= 2においても12.8 GHzで

約15 dB程度の大きな減衰が確認された。このような透過率の減衰は世代n= 0,1の場合には見られないこ

とから、Menger Spongeのフラクタル構造由来の局在が生じていることが分かる。その局在性を見るために

*8光造形法とも呼ばれる。光硬化樹脂に光を照射して樹脂形成を行い立体物を形成する。

*9誘電率をϵr=ϵ^′_r−iϵ^′_rという複素量で表した形式。実部は外部電場から誘電体へのエネルギーの蓄積量を表し、虚部は外部電場に対する誘電体のエネルギー消費を表す。

九州大学学術情報リポジトリ