のグラフの特徴 y = ax

例題

(1) (2)

解

(1) (2)

のグラフの特徴 y = ax

例

１

３

a > 0

次のグラフがア，イのどちらの概形になるか， 

それぞれ答えなさい。

y = 3x²

(3) (4)

(3) (4)

y = ax

頂点は原点(  ，  )

のとき，(   )に凸

a < 0

y = 2x

y = − 2x

ア

x y

O

x y

O

イ

x y

O

y = − 4x² y = 1

2x² y = − 1

3x²

y = 3x

下に凸なので， ア

y =

4x

上に凸なので， イ

y = 1 2x²

a > 0

下に凸なので， ア

y = − 1 3x² a < 0

上に凸なので， イ

0 0

(   )

y

下

上

１

練習問題１ 練習問題２

２次関数  y = ax ² のグラフ

(1) (2)

解

(1) (2)

次のグラフがア，イのどちらの概形になるか， 

それぞれ答えなさい。

y = 4x²

(3) (4)

(3) (4)

ア

x y

O

イ

x y

O

y = −2x² y = 1

5x² y = − 3

4x²

y = 4x

下に凸なので， ア

y =

2x

上に凸なので， イ

y = 1 5x²

a > 0

y = − 3 4x² a < 0

イ

日付(        月         日        曜日  )   名前 (       ）

(1) (2)

解

(1) (2)

次のグラフがア，イのどちらの概形になるか， 

それぞれ答えなさい。

y = −6x²

(3) (4)

(3) (4)

ア

x y

O

イ

x y

O

y = 7x² y = 2

3x² y = − 7

6x²

y =

6x

上に凸なので， イ

y = 7x

下に凸なので， ア

y = 2 3x²

a > 0

下に凸なので， ア

y = − 7 6x² a < 0

上に凸なので， イ

例題

(1) (2)

解

(1)

(2)

のグラフの特徴 y = ax

+ q

例

y = 3x

+ 5

１

３

a > 0

頂点は(  ，  )

a < 0

２

y = 2 x

x y

O

y = 3x

 ^軸方向に

q だけ平行移動した

y = 2 x

+ 3

3

もとの２次関数を

y = 3x

次の２次関数が y 軸方向にどれだけ平行移 動したか。また，その頂点も答えなさい。

y = 3x

− 2

y = 3x

+ 5

5

頂点は， (0, 5)

y = 3x

 ^軸方向に y = 3x

2

−

2

頂点は， (0,

2)

x y

O

y = 3x² y = 3x²+ 5 5

x y

O

y = 3x² y = 3x²−2

−2

0 q

軸は，(   )

y

のとき，(   )に凸 のとき，(   )に凸

下

上

２

練習問題１ 練習問題２

２次関数  y = ax ² + q のグラフ

(1) (2)

解

(1)

(2)

y = 2 x

+ 4

y = 2x

 ^軸方向に

もとの２次関数を

y = 2x

次の２次関数が y 軸方向にどれだけ平行移 動したか。また，その頂点も答えなさい。

y = 2x

− 3

y = 2 x

+ 4

4

頂点は， (0, 4)

y = 2x

 ^軸方向に

−3

頂点は， (0,

3)

x y

O

y = 2x² y = 2x²+ 4 4

x y

O

y = 2x² y = 2x²−3

−3

(1) (2)

解

(1)

(2)

y = − x

+ 2

y =

x

 ^軸方向に

もとの２次関数を

y = − x

次の２次関数が y 軸方向にどれだけ平行移 動したか。また，その頂点も答えなさい。

y = − x

− 3

y =

x

+ 2

2

頂点は， (0, 2)

y =

x

 ^軸方向に y =

x

3

−

3

頂点は， (0,

3)

x y

O

y =−x² y =−x²+ 2 2

x y

O −3y =−x²

y =−x²−3 日付(        月         日        曜日  )   名前 (       ）

(    )

例題

(1) (2)

解

(1)

(2)

のグラフの特徴 y = a(x − p)

例

y = 3(x − 5)

１

３

a > 0

頂点は(   ，  )

a < 0

２ 軸は，

x = p

y = 2 x

x y

O

y = 3x

 ^軸方向に

p だけ平行移動した

y = 2(x − 3)

3

もとの２次関数を

y = 3x

次の２次関数が x 軸方向にどれだけ平行移 動したか。また，その頂点も答えなさい。

y = 3(x + 2)

y = 3(x

5)

5

頂点は， (5, 0)

y = 3x

 ^軸方向に y = 3(x + 2)

−

2

頂点は， (− 2, 0)

x y

O

y = 3x² y = 3(x −5)² 5

−2 x

y

O

y = 3x² y = 3(x + 2)²

x = 3

p 0

のとき，(   )に凸 のとき，(   )に凸

下

上

３

練習問題１ 練習問題２

２次関数  y = a(x − p) ² のグラフ

(1) (2)

解

(1)

(2)

y = 2(x − 4)

y = 2x

 ^軸方向に

もとの２次関数を

y = 2 x

次の２次関数が x 軸方向にどれだけ平行移 動したか。また，その頂点も答えなさい。

y = 2(x + 1)

y = 2(x

4)

4

頂点は， (4, 0)

y = 2x

 ^軸方向に y = 2(x + 1)

−

1

頂点は， (− 1, 0)

x y

O

y = 2x² y = 2(x −4)² 4

−1 x

y

O

y = 2x² y = 2(x+ 1)²

(1) (2)

解

(1)

(2)

y = − (x − 1)

y =

x

 ^軸方向に

もとの２次関数を

y = − x

次の２次関数が x 軸方向にどれだけ平行移 動したか。また，その頂点も答えなさい。

y = − (x + 3)

y =

(x

1)

1

頂点は， (1, 0)

y =

x

 ^軸方向に y =

(x + 3)

−

3

頂点は， (− 3, 0)

x y

O

y =−x² y =−(x−1)² 1

−3 x

y

O

日付(        月         日        曜日  )   名前 (       ）

例題

(1) (2)

解

(1)

(2)

のグラフの特徴 y = a(x − p)

+ q

例

y = 3(x − 5)

+ 2

y = a(x − p) + q

１

３

a > 0

頂点は(   ，  )

a < 0

２ 軸は，

y = 2 x

x y

O

y = 3x

 ^軸方向に

x ^軸方向に p^， y ^軸方向にq

平行移動した

y = 2(x − 3)

+ 2

3

もとの２次関数を

y = 3x

移動したか。また，その頂点も答えなさい。

次の２次関数が x，y 軸方向にどれだけ平行

y = 3(x + 2)

− 4

y = 3(x

5)

+ 2 5

頂点は， (5, 2)

y = 3x

y = 3(x + 2)

4 2

y

 ^軸方向に 2

x

 ^軸方向に 2

頂点は， (2,

4)

 ^軸方向に

4 x = 3

p q

(    )

x = p

のとき，(   )に凸 のとき，(   )に凸

下

上

練習問題１ 練習問題２

２次関数  y = a(x − p) ² のグラフ

(1) (2)

解

(1)

(2)

y = 2(x − 1)

− 3

y = 2x

 ^軸方向に

もとの２次関数を

y = 2x

移動したか。また，その頂点も答えなさい。

次の２次関数が x，y 軸方向にどれだけ平行

y = 2(x + 4)

+ 3

y = 2(x

1)

3 1

頂点は， (1,

3)

y = 2x

y = 2(x + 4)

+ 3

y

 ^軸方向に

x

 ^軸方向に

4

頂点は， (− 4, 3)

 ^軸方向に 3

(2)

２次関数

y = 3x

(1) x ^軸方向に 4^，y ^軸方向に 2 ^{だけ平行移動} x ^軸方向に −2^，y ^軸方向に −4 ^{だけ平行移動}

解

(1)

y = 3x

y = 3(x )

y = ax

y = a(x

p)

+ q

x

 軸方向に 

 軸方向に 

y = 3(x

4)

+ 2

(2)

y = 3x

y = 3(x )

y = 3(x + 2)

4

日付(        月         日        曜日  )   名前 (       ）

４

O x y

式に x = 0^{を代入して} 求めることができる

例題

(1) (2)

解

(1) (2)

２次関数のグラフの必須アイテム

例

y = (x − 2)

+ 1

②

頂点( p ，q )の値

①

y 軸との交点

x y

O

y = 2(x − 3)

+ 2

次の２次関数のグラフの概形をかきなさい。 

また，その頂点と軸を求めなさい。

y = − 2(x + 1)

+ 3

①

3 2

①

①

20

②

y = (x

2)

+ 1

(2, 1)

x = 2

O x

y

2 1

5

y =

2(x + 1)

+ 3

(− 1, 3)

x =

1

−1 3

５

練習問題１ 練習問題２

２次関数のグラフの概形

(1) (2)

解

(1) (2)

y = − (x − 2)

+ 1

次の２次関数のグラフの概形をかきなさい。 

また，その頂点と軸を求めなさい。

y = − 3(x + 3)

+ 2

y =

(x

2)

+ 1

(2, 1)

x = 2

O x

y

2 1

−3

y =

3(x + 3)

+ 2

(− 3, 2)

x =

3

(1) (2)

解

(1) (2)

y = (x − 3)

+ 2

次の２次関数のグラフの概形をかきなさい。 

また，その頂点と軸を求めなさい。

y = (x − 2)

− 1

y = (x

3)

+ 2

(3, 2)

x = 3

O x

y

3 2 11

y = (x

2)

1

(2,

1)

x = 2

O x

y

2

−1 5

O x

y

−3 2

−25

日付(        月         日        曜日  )   名前 (       ）

例題

(1) (2)

解

(1)

平方完成のやり方

y = 2x

+ 4x + 1

y = a(x − p)

+ q

y = x

− 3x + 1 y = ax

+ bx + c

y = 2x

+ 4x + 1

y = 2(x + ) 1

− 2 y = 2(x + 1)

− 1

①

② x の係数の半分を準備 の係数の逆数を準備 x²

③ ①×② を(    )  の中に入れる²

y = a

x +

2

1 a

b

× 2 b 2a

逆数 半分

−b² 4a

y = ax ² + bx + c

+c

y = a

x + b 2a

2

+ 4 ac

b

4a

 を引いて定数項 (   )と計算する b²

4a

c

④

1 2 2

+1

逆数 × 半分

(2)

y = x

3x + 1 y =

x

3

2

3 2

2

y

=

3 2

2−

5 4

+1

−9 4 + 11

=− 9 4 + 4

4

=− 5 4

練習問題１ 練習問題２

(1) (2)

解

(1)

y = − 2x

+ 4x + 5

次の２次式を平方完成させなさい。

y = x

− 5x

y = − 2x

+ 4x + 5

−1 2 ×2

逆数 半分

(2)

(1) (2)

解

(1)

y = 2 x

− 4x + 3

次の２次式を平方完成させなさい。

y = x

+ 2x

y = 2 x

− 4x + 3

y = 2(x − 1 )

− 2 y = 2(x − 1)

+ 1

1 2 −2

+3

逆数 × 半分

(2)

y = − 2(x − 1 +2 )

y = − 2(x − 1)

+ 7

+5

日付(        月         日        曜日  )   名前 (       ）

平方完成

６

y = x

+ 6x

y = (x + ) 3

^{− 3}

y = (x + 3)

− 9

y = x² −5x y = (x − )

5 2

2 −(5 2)

2

y = (x − 5 2)

2− 25 4

練習問題３ 練習問題４

(1) (2)

y = − x

− 4x − 1

y = − (x + ) 2 +2

− 1 y = − (x + 2)

+ 3

(1) (2)

解

(1)

y = − 3x

− 9x + 4

次の２次式を平方完成させなさい。

y = x²− 1

3 x + 12

(2) (1)

y = 3x

+ 6x − 10

次の２次式を平方完成させなさい。

y = − x

− 4x − 1

解

y = 3x

+ 6x − 10

1 3×3

逆数 半分

y = 3(x +1 )

− 3 y = 3(x + 1)

− 13

−10

y = − 3x

− 9x + 4

−1 3 −9

× 2

逆数 半分

y = −3(x ) + 3 2

2 + 27 4 +4 y = −3(x + 32)

2+ 434

y = x²− 1

3x + 12 y = (x − )

1 2

6 −(1 6)

2+ 1 2 y = (x− 1

6)

2+ 1736

− 1 36 + 1

2

= − 1 36 + 1836

= 17

例題２

７

解

y = 2x

− 4x

平方完成 応用問題

放物線

y = 2x

+ 4x − 1

日付(        月         日        曜日  )   名前 (       ）

例題１

解

y = 3x

+ 6x − 10

次の２次関数のグラフをかきなさい。また，その  頂点と軸を求めなさい。

y = 3x

+ 6x − 10

= 3(x + 1)

− 13

x

y

−1

−13 よって，

頂点は，

(1, − 2)

軸は，

x = − 1

を平行移動して次の放物線 に重ねるには，どのように平行 移動すればよいか答えなさい。

y = 2 x

− 4x

= 2(x − 1)

− 2

y = 2 x

+ 4x − 1

= 2(x + 1)

− 3

頂点は，

(− 1, − 13)

(− 1, − 3)

頂点は，

よって，

x 軸方向に

− 2

− 1

− 2

− 1

練習問題２

解

y = − x

+ 4x − 1

放物線

y = − x

− 2x + 5

解

y = − 2x

+ 4x + 5

次の２次関数のグラフをかきなさい。また，その  頂点と軸を求めなさい。

y = − 2x

+ 4x + 5

= − 2(x − 1)

+ 7

よって，

頂点は，

(2, 3)

軸は，

x = 1

を平行移動して次の放 に重ねるには，どのよう に平行移動すればよいか答えなさい。

y = − x

+ 4x − 1

= − (x − 2)

+ 3

y = − x

− 2x + 5

= − (x + 1)

+ 6

頂点は，

(1, 7)

(− 1, 6)

頂点は，

よって，

x 軸方向に

− 3

3

練習問題１

O

x

y

1 7

物線

(1)

(2)

平行移動

頂点

平行移動

頂点

確認テスト

次のグラフがア，イのどちらの概形になるか， 

それぞれ答えなさい。

１

２

３ 次の２次関数のグラフの概形をかきなさい。 

また，その頂点と軸を求めなさい。

Tー１ 確認テスト

ア

x y

O

イ

x y

O (1)

(2)

ア イ

(1)

y = 3x

+ 5

(2)

y = 3(x − 5)

+ 2

もとの２次関数を   と するとき，次の２次関数が    ，  軸方向にそれだけ平行移 動したのか。また，その頂点 も答えなさい。

y = 3x

x y

(0, 5)

 ^{軸方向に 軸方向に} 5 0

(5, 2)

 ^{軸方向に 軸方向に} 2 5

y = (x − 2)

+ 1

(2, 1)

= 2

O x

y

2 1

5

頂点

軸

４ 次の２次式を平方完成させなさい。

(1) (2) (1)

(2)

y = 2x

+ 4x + 1

y = x

− 3x + 1

2−1

y =(x − 3 2)

2− 5 4

(2) y = − 1 3 x² (1) y = 3x²

確認テスト

次の２次関数のグラフをかきなさい。また，その  頂点と軸を求めなさい。

５

y = 3x

+ 6x − 10 y = 3x

+ 6x − 10

= 3(x + 1)

− 13

O

x

y

−1

−13

x = − 1 (− 1, − 13)

頂点

軸

(1)

(2)

平行移動

頂点

平行移動

頂点

確認テスト

次のグラフがア，イのどちらの概形になるか， 

それぞれ答えなさい。

１

２

３ 次の２次関数のグラフの概形をかきなさい。 

また，その頂点と軸を求めなさい。

確認テスト

ア

x y

O

イ

x y

O

(2) y = 15x² (1) y = −2x²

(1) (2)

イ ア

(1)

y = 2(x − 4)

(2)

y = 2(x + 4)

+ 3

もとの２次関数を   と するとき，次の２次関数が    ，  軸方向にそれだけ平行移 動したのか。また，その頂点 も答えなさい。

y = 2x

x y

(4, 0)

 ^{軸方向に 軸方向に} 0 4

(− 4, 3)

 ^{軸方向に 軸方向に}

3

y = − (x − 2)

+ 1

(2, 1)

= 2

頂点

軸

Tー２

O x

y

2 1

−3

４ 次の２次式を平方完成させなさい。

(1) (2) (1)

(2)

y = 2x

− 4x + 3

y = − x

− 4x − 1

2+ 1 y = −(x + 2)²+ 3

確認テスト

５

平行移動

y = 2x

− 4x

放物線

y = 2x

+ 4x − 1

(1, − 2)

を平行移動して次の放物線 に重ねるには，どのように平行 移動すればよいか答えなさい。

y = 2 x

− 4x

= 2(x − 1)

− 2

y = 2 x

+ 4x − 1

= 2(x + 1)

− 3

頂点は， ^頂点は，

(− 1, − 3)

よって，

x 軸方向に

− 2

y 軸方向に

− 1

− 2

−1

y^x

 ^{軸方向に 軸方向に}

2 1

確認テスト

次のグラフがア，イのどちらの概形になるか， 

それぞれ答えなさい。

１

２

３ 次の２次関数のグラフの概形をかきなさい。 

また，その頂点と軸を求めなさい。

確認テスト

ア

x y

O

イ

x y

O

(2) y = − 7 6 x² (1) y = 23 x²

(1) (2)

ア イ

２次関数   を   軸方向に  ，  軸方向に    だけ平行移動したときの関数の式を求めなさい。

y = 3x

x 4 y 2

y = − 3(x + 3)

+ 2

(− 3, 2)

=

3

頂点

軸

４ 次の２次式を平方完成させなさい。

(1) (2) (1)

(2)

y = − 3x

− 9x + 4 y = x

− 1

3 x + 1 2

y =−3(x + 32) 2+ 434

y =(x − 1 6)

2+ 17 36

Tー３

y = 3x

y = 3(x )

y = 3(x

4)

+ 2

y

= 3(x

4)

+ 2

O x

y

−3 2

−25

確認テスト

次の２次関数のグラフをかきなさい。また，その  頂点と軸を求めなさい。

５

y = − 2x

+ 4x + 5

x = 1 (1, 7)

頂点

軸

y = − 2x

+ 4x + 5

= − 2(x − 1)

+ 7

O

x

y

1

7