unmixed な２部グラフの トーリックイデアルの特徴

unmixed

早稲田大学基幹理工学術院 修士課程２年 

5111A0427

諏訪健太  指導教員名 楫元 平成

25

2

4

1 Introduction

現在グラフ理論のいろいろな性質は

,

.

,

今回はこれらのことを用いてトーリックイデアルの生成元の次数に注目し

, unmixed

.

,

Koszul

「

unmixed

Koszul

て２次か３次の２項式である」

という予想が立っている

.

Koszul

,

この論文の流れは次のとおりである

.

,

.

では

unmixed

３章では,グラフから派生する代数的な道具としてトーリックイデアルを導入し, さらにここではトーリックイデアルの普遍グレブナー基底の性質を述べる

.

４章では,トーリックイデアルを使って

unmixed

2

この章では,後章に必要なグラフ理論の諸定義を与える.まずグラフの定義を与え た後

,

unmixed

.

Definition 2.1

G

V = { P

,

}

{{ P

, P

}| P

, P

∈ V, i ̸ = j }

E

G = (V, E)

, V

, E

. Definition 2.2

G

2

V

V = V

∪ V

, V

∩ V

= ϕ

, G

, V

, V

例

2.3

.

V = { x

, x

, x

} ∪ { y

, y

, y

}

E = { x

, y

} , { x

, y

} , { x

, y

} , { x

, y

} , { x

, y

}

以下ではグラフ内に孤立点（辺が結ばれていない点）やループ（始点と終点が同 じであるような辺）はないグラフのみを扱うことにする

.

次に

unmixed

から派生するものである

.

, unmixed

Definition 2.4

G

, C ⊂ V

,

G

{ P

, P

}

∈ C

P

∈ C

C

, C

.

Definition 2.5

G

unmixed

.

例

2.6

2.3

1

x

, y

, x

C

このグラフは,実はどの極小被覆を取っても必ず ３点のみを含むつまり

unmixed

.

以下のグラフについては,下図のような２つの極小被覆が考えられるが,それぞれ の極小被覆の点の数が異なるため

, unmixed

.

注意

[1]

, unmixed

分かっている.また, unmixedな２部グラフの点集合

V = V

∪ V

, V

= { x

,

, x

} , V

= { y

,

}

, V

=

n

.

3

この章では,グラフから作られるトーリックイデアルの作り方や,その諸定理を 述べる

.

,

P roposition3.8

.

,

, [2]

V = { P

,

} ,

E = { e

,

, e

} , e

= { P

1

, P

2

} (1 ≤ e

, e

≤ n)

Def inition3.1 k

,

], k[e

,

]

n

,

π

,

      π

: k[e

,

] −→ k[P

,

]

e

−→ P

1・

P

2

と定義する.この写像πの核を

G

= I

ここで,どのような多項式が写像πの核に入るのかを見るために例を示す.

例

3.2 G = (V, E), V = { x

, x

, x

} ∪ { y

, y

, y

} , E = { e

,

, e

}

π : k[e

,

, e

] −→ k[x

, x

, x

, y

, y

, y

]

π(e

e

− e

e

) = x

y

· x

y

− x

y

· x

y

= 0

, e

e

− e

e

∈ I

.

このように

,

,

f =

e

−

e

π(f) = 0(f ∈ I

)

トーリックイデアルの生成元は特徴的で,例えば以下のような性質を持つことが分 かっている

.

Proposition 3.3

I

２項式（ちょうど２個の単項式を含むような多項式）全体から生成される

.

証明 

[2]4.2.8

Definition 3.4

I

f = u − v(u, v

, f

g = u

− v

u

| u

v

| v

次に

,

.

Def inition3.5

I

G = { g

,

, g

}

, ⟨ LT (g

),

, LT (g

) ⟩ = ⟨ LT (I ) ⟩

(g

),

(g

)

,

⟨ LT (I) ⟩

I

.

Def inition3.6

I ∈ k[x

,

]

I

.

普遍グレブナー基底については,以下の命題たちによって存在が保証される.

P roposition3.7

I ∈ k[x

,

]

証明

[3]

5.2.9

普遍グレブナー基底の簡単な作り方としては

,

[3,

5.2.8]

この普遍グレブナー基底と,トーリックイデアルの生成元である原始的な２項式全 体には次のような関係がある.

Proposition 3.8 I

レブナー基底と一致する

.

証明 グラフが２部グラフであることと,グラフ内に奇サイクルを含まないこと は同値条件であるため

, I

,

2

[2]

7.1.15

(i), 7.1.12

(ii)

[2]

7.1.13

.

次章では,具体的に

unmixed

4 unmixed

この章では, unmixedな２部グラフのトーリックイデアルと,そうでない２部グ ラフのトーリックイデアルの普遍グレブナー基底を比べる

.unmixed

[2]

,

.

.

,

.

例

4.1 4

4

unmixed

2

このグラフのトーリックイデアルには

2

2

8

3

2

4

例

4.2 5

5

unmixed

2

このグラフのトーリックイデアルには

2

2

30

,

3

2

60

このように

,

unmixed

2

2

3

2

それでは

, unmixed

.

, unmixed

2

については普遍グレブナー基底の次数が

2

3

4

例

4.3 5

5

unmixed

2

このグラフのトーリックイデアルには

2

2

8

3

2

8

4

2

4

.

この段階だけを見ると,普遍グレブナ基底の次数でうまく特徴づけられているよ うに見えるが

, unmixed

,

2

3

2

だけでは

unmixed

分かる.

●長さ

4

6

1

●

2

これらの例から

, unmixed

5

2

例

4.4 unmixed

正十角形があり,これが

5

2

.

しかし,この例についてはグラフに「Koszul性」という性質を付け加えると,以下 の命題により反例から外すことが出来る.

Def inition4.5

Koszul

数

2

2

.

2

P roposition4.6 2

Koszul

6

証明

[2]

8.2.1

例

4.4

,

Kozsul

.

unmixed

Koszul

このように, unmixedであって

4

n

.

,

unmixed

Koszul

2

3

2

参考文献

[1] J.Herzog, T.Hibi, H.Ohshugi.Unmixed Bipartite Graphs And Subrattices of the Boolean Lattices, Joumal of Algebraic Combinatorics 30(2009) p415〜420.

[2]

,

,

2003

.

[3] JST CREST

,

,

2010

.