のグラフの特徴 y = ax

(1)

例題

(1) (2)

解

(1) (2)

のグラフの特徴 y = ax

²

例

１

３

a > 0

次のグラフがア，イのどちらの概形になるか，

それぞれ答えなさい。

y = 3x²

(3) (4)

y = ax

頂点は原点( ， )

のとき，( )に凸

a < 0

のとき，( )に凸２軸は，軸

y = 2x

²

ア

x y

O

x y

O

イ

x y

O

y = − 4x² y = 1

2x² y = − 1

3x² ( )

(2)

１

練習問題１練習問題２

２次関数 y = ax ² のグラフ

(1) (2)

解

(1) (2)

y = 4x²

(3) (4)

ア

x y

O

イ

x y

O

y = −2x² y = 1

5x² y = − 3

4x²

日付( 月日曜日 ) 名前 ( ）

(1) (2)

解

(1) (2)

y = −6x²

(3) (4)

ア

x y

O

イ

x y

O

y = 7x² y = 2

3x² y = − 7

6x²

(3)

例題

(1) (2)

解

(1)

(2)

のグラフの特徴 y = ax

²

+ q

例

y = 3x

²

+ 5

１

３

a > 0

頂点は( ， )

a < 0

２

y = 2 x

²

x y

O

y = ax²^をy ^軸方向に q だけ平行移動した

y = 2 x

²

+ 3

3

もとの２次関数を

y = 3x

² ^{とするとき，}

次の２次関数が y 軸方向にどれだけ平行移動したか。また，その頂点も答えなさい。

y = 3x

²

− 2

軸は，( ) 軸

のとき，( )に凸のとき，( )に凸

(4)

２

２次関数 y = ax ² + q のグラフ

(1) (2)

解

(1)

y = 2 x

²

+ 4

y = 2x

²

− 3

⁽¹⁾ ⁽²⁾

解

(1)

y = − x

²

+ 2

y = − x

²

− 3

(5)

( )

例題

(1) (2)

解

(1)

(2)

のグラフの特徴 y = a(x − p)

²

例

y = 3(x − 5)

²

１

３

a > 0

頂点は( ， )

a < 0

２軸は，軸

y = 2 x

²

x y

O

y = ax²^をx ^軸方向に p だけ平行移動した

y = 2(x − 3)

²

3 y = 3x

次の２次関数が x 軸方向にどれだけ平行移動したか。また，その頂点も答えなさい。

y = 3(x + 2)

²

x = 3

(6)

３

２次関数 y = a(x − p) ² のグラフ

(1) (2)

解

(1)

y = 2(x − 4)

²

y = 2 x

y = 2(x + 1)

² ⁽¹⁾ ⁽²⁾

解

(1)

y = − (x − 1)

²

y = − x

y = − (x + 3)

²

(7)

例題

(1) (2)

解

(1)

(2)

のグラフの特徴 y = a(x − p)

²

+ q

例

y = 3(x − 5)

²

+ 2

y = a(x − p) + q

１

３

a > 0

頂点は( ， )

a < 0

２軸は，

y = 2 x

²

x y

O

y = ax²^を x ^軸方向に p^， y ^軸方向にq

平行移動した

y = 2(x − 3)

²

+ 2

3 y = 3x

移動したか。また，その頂点も答えなさい。

次の２次関数が x，y 軸方向にどれだけ平行

y = 3(x + 2)

²

− 4

2 x = 3

( ) 軸

(8)

２次関数 y = a(x − p) ² のグラフ

(1) (2)

解

(1)

y = 2(x − 1)

²

− 3

y = 2x

移動したか。また，その頂点も答えなさい。

次の２次関数が x，y 軸方向にどれだけ平行

y = 2(x + 4)

²

+ 3

₍₂₎

２次関数

y = 3x

² を次のように平行移動したときの関数の式を求めなさい。

(1) x^軸方向に4^，y^軸方向に2 ^{だけ平行移動} x^軸方向に−2^，y^軸方向に−4 ^{だけ平行移動}

解

(1) (2)

４

(9)

式に x = 0^{を代入して} 求めることができる

例題

(1) (2)

解

(1) (2)

２次関数のグラフの必須アイテム

例

y = (x − 2)

²

+ 1

②

頂点( p ，q )の値

①

y 軸との交点

x y

O

y = 2(x − 3)

²

+ 2

次の２次関数のグラフの概形をかきなさい。

また，その頂点と軸を求めなさい。

y = − 2(x + 1)

²

+ 3

①

3 2

①

20

②

(10)

５

２次関数のグラフの概形

(1) (2)

解

(1) (2)

y = − (x − 2)

²

+ 1

y = − 3(x + 3)

²

+ 2

(1) (2)

解

(1) (2)

y = (x − 3)

²

+ 2

y = (x − 2)

²

− 1

(11)

例題

(1) (2)

解

(1)

平方完成のやり方

y = 2x

²

+ 4x + 1

y = a(x − p)

²

+ q

次の２次式を平方完成させなさい。

y = x

²

− 3x + 1 y = ax

²

+ bx + c

①

② x の係数の半分を準備の係数の逆数を準備 x²

③ ①×② を( ) の中に入れる² y = a(x + )

2

1 a

b

× 2 b 2a

逆数半分

−b² 4a

y = ax ² + bx + c

+c

y = a(x + b 2a)

2+ 4ac −b² 4a

b²

(2)

(12)

(1) (2)

解

(1)

y = − 2x

²

+ 4x + 5

y = x

²

− 5x

(2)

(1) (2)

解

(1)

y = 2 x

²

− 4x + 3

y = x

²

+ 2x

(2)

平方完成

６

(13)

練習問題３練習問題４

(1) (2)

解

(1)

y = − 3x

²

− 9x + 4

y = x²− 1

3 x + 12

(2) (1)

y = 3x

²

+ 6x − 10

(2)

y = − x

²

− 4x − 1

解

(14)

例題２

７ 解

y = 2x

²

− 4x

平方完成応用問題

放物線

y = 2x

²

+ 4x − 1

例題１

解

y = 3x

²

+ 6x − 10

次の２次関数のグラフをかきなさい。また，その頂点と軸を求めなさい。

を平行移動して次の放物線に重ねるには，どのように平行移動すればよいか答えなさい。

(15)

練習問題２

解

y = − x

²

+ 4x − 1

放物線

y = − x

²

− 2x + 5

解

y = − 2x

²

+ 4x + 5

を平行移動して次の放に重ねるには，どのように平行移動すればよいか答えなさい。

練習問題１

物線

(16)

(1)

平行移動

頂点

確認テスト

１

２

３次の２次関数のグラフの概形をかきなさい。

Tー１確認テスト

^日付( 月日曜日 ) 名前 ( ）

ア

x y

O

イ

x y

O (1)

(2)

もとの２次関数をとするとき，次の２次関数が，軸方向にそれだけ平行移動したのか。また，その頂点も答えなさい。

y = 3x

²

x y

y = (x − 2)

²

+ 1

頂点

軸

４次の２次式を平方完成させなさい。

(1)

y = 2x

²

+ 4x + 1

(1)

y = x

²

− 3x + 1

(2) y = − 1 3 x² (1) y = 3x²

(17)

確認テスト

５

y = 3x

²

+ 6x − 10

頂点

軸

(18)

(1)

平行移動

頂点

確認テスト

１

２

確認テスト

ア

x y

O

イ

x y

O

(2) y = 15x² (1) y = −2x²

(1) (2)

もとの２次関数をとするとき，次の２次関数が，軸方向にそれだけ平行移動したのか。また，その頂点も答えなさい。

y = 2x

²

x y

y = − (x − 2)

²

+ 1

頂点

軸

Tー２

(1)

y = 2x

²

− 4x + 3

(1)

y = − x

²

− 4x − 1

(19)

確認テスト

５

平行移動

y = 2x

²

− 4x

放物線

y = 2x

²

+ 4x − 1

を平行移動して次の放物線に重ねるには，どのように平行移動すればよいか答えなさい。

(20)

確認テスト

１

２

確認テスト

ア

x y

O

イ

x y

O

(2) y = − 7 6 x² (1) y = 23 x²

(1) (2)

２次関数を軸方向に，軸方向にだけ平行移動したときの関数の式を求めなさい。

のグラフの特徴 y = ax

解