幾何学ソフトにおける作図された図形の性質の抽出・導出

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2007 年度修士論文

幾何学ソフトにおける作図された図形の性質の抽出・導出

指導教員 : 筧捷彦教授

早稲田大学理工学研究科情報・ネットワーク専攻学籍番号 :3606U061-3

田村文謙

2008 年 2 月 4 日提出

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第 1 _{章序論}

ここ数年の社会におけるコンピュータの重要性の高まりには目を見張るものがある. それは教育現場においても同様で, 2008年現在,高校において「情報」という科目が必修になり,中学校でも「技術・家庭」の授業の中でコンピュータを扱うようになってから約5年が経過していることからもわかるだろう. 加えて, 従来の教育に対する改革案のひとつとして,積極的にコンピュータを授業の中で用いていこうという動きも盛んになってきている. それは数学教育においても例外ではなく,実際にコンピュータを用いた数学教育カリキュラムの研究は多数なされている

[1][2]. しかし, 今のところコンピュータを用いた学習方法は, 従来の方法にとって

代わるほど効果的なものはあまり提示されていないように思える. むしろ,機械に頼ることによって計算力や思考力の低下を指摘される等,なにかと悪い面ばかりがクローズアップされがちである. 新しいものに対する無責任な批判のように思えるのであるが,それを論破するほどの説得力を今日までに提唱されている方法論が持たないのもまた現実なのであろう.

さて, こと数学教育においてコンピュータを使うことの利点は何であろうか. その一つには,人為的なミスを排除できることにあると思う. 例えば,コンパスを用いて作図をしようとしたときに, 中心の位置や半径の長さがうっかりかわってしまったりすることがあるだろう. そういったミスによって, もし自分の作図が間違っていたとしても, 方法が間違っているのか, ミスによってただ作図を失敗しているのかわからなくなってしまうことも考えられる. コンピュータで手作業と同様の作図ができるのであれば,そのようなミスを犯すことなく純粋に論理的整合性のみを考えることができるようになるはずである. 逆に言えば, コンピュータを用いるのであれば, ミスや誤差が極力(欲を言えば絶対に)出ないようなシステムを作り出さなければならない.

今回は, いま例に挙げたように幾何学の中でも作図に焦点を当て, 幾何学ソフトを用いた学習方法をとることを想定し,研究を行うことにした.

1.1 幾何学ソフトとは

幾何学ソフトとは, コンピュータ上で図形を作図するためのソフトであり, Cin- derellaやCabri-Geometryなどが有名である[3][4]. 作図ソフトと呼ばれることもある. 教育支援ソフトとしての側面を持ち合わせているはずだが, 特定の作図を所

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定のアイコンをクリックするだけで描くことができてしまったり,本来作図ではできるはずのない操作ができてしまったりする. そのため, 便利である反面, 本当の意味での作図を学ぶのには向いていないものとなってしまっているものが多い.

1.2 初等幾何における作図

一般的に初等幾何における作図では,定規とコンパスのみを使って図形を描く.

定規は, 2点を通る直線や線分を描くことと線分を延長することに用いることができる. 作図する際, 定規は長さを測ることはできないものとする.

一方コンパスは, 与えられた中心と半径の円を描くことと与えられた線分の長さを移すことに用いることができる. つまり, 具体的な長さは不明でも, 等しい長さの線分は描くことができる.

1.3 中学校で扱う平面幾何の作図

今回の研究対象となるものがどのような範囲のものなのか説明しておく. 今回の研究では中学校において扱う作図問題に対象を限定する. 現行の学習指導要領によれば, 「角の二等分線, 線分の垂直二等分線, 垂線などの基本的な作図の方法を理解し, それを利用することができること」とある[5]. 加えて教科書には, 平行線, 円の接線および三角形の作図が記載されている[6][7]. 三角形については二等辺三角形等,ある特徴を持った図形の作図も含まれている.

また, 中学校で平面幾何の作図を扱う段階で, 描かれた図形の性質について議論をする際, それまで知っている知識から証明できるものに限ることとする. なぜなら,今回の研究では教師から与えられた問題を生徒が解く際に, 正しい図形が作図できているかどうかを判定することを想定しているので,問題で要求された性質を持つ図形が,生徒がそれまでに知っている範囲の知識だけで描かれるのかどうかを議論をする必要がある. 学習指導要領によれば, 中学校で平面幾何の作図は1年次に扱うものである.

1年次の図形の学習については次のように記されている.

基本的な図形を見通しをもって作図する能力を伸ばすとともに，平面図形についての理解を深める.

• 線対称，点対称の意味を理解するとともに，対称性に着目して平面図形についての直観的な見方や考え方を深めること.

• 角の二等分線，線分の垂直二等分線，垂線などの基本的な作図の方法を理解し，それを利用することができること.

また, 1年次に学習した作図に関しての証明が2年次で取り扱われている. 2年次の図形の学習については次のように記されている.

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(1)観察，操作や実験を通して，基本的な平面図形の性質を見いだし，

平行線の性質を基にしてそれらを確かめることができるようにする.

• 平行線や角の性質を理解し，それに基づいて図形の性質を確かめることができること.

• 平行線の性質や三角形の角についての性質を基にして，多角形の角についての性質が見いだせることを知ること.

(2)平面図形の性質を三角形の合同条件などを基にして確かめ，論理的に考察する能力を養う.

• 証明の意義と方法について理解すること.

• 三角形の合同条件を理解し，それに基づいて三角形や平行四辺形の性質を論理的に確かめることができること.

• 円周角と中心角の関係を観察や実験などを通して見いだし，それが論理的に確かめられることを知ること.

従って, 今回の研究では, 1年次までに学習する図形や図形の性質について, 2年次までに学習する知識を用いて証明ができるかどうかを議論する. 例えば相似や三平方の定理等3年次以降に扱う知識については,取り扱わないこととする[5].

1.4 研究目的

今回の研究は, 中学校で扱う平面幾何の作図問題について, 幾何学ソフトを用いて学習することを想定し, 教師から与えられた問題を生徒がこなすにあたって, 正しい作図ができているかどうかを自動的に判定できるようにすることを目標としたものである. 正しい作図ができているかどうかを判定するとは, 要求に沿った図形が描かれているかどうかを判定することである. 例えば,ある角に対して二等分線を引くといった場合,一連の動作,つまり作図によって描かれた線分がその角を二等分する線になっている, と判定することができれば,正しい作図ができているといえる.

ところで,一般的な幾何学ソフトにおいて,幾何図形は座標の計算のみで扱われる. これは, コンピュータ上で処理をしやすいためであるが, 座標の計算で図形を扱うことには大きな問題点が2つある. 1つは,計算誤差が生じることである. これは,座標の計算をしている以上避けられないものであり,計算過程において誤差が生じてしまえば, コンピュータを用いる利点の一つを失うことになる. もう1つは, 幾何学の本質から離れてしまうことである. 人間が幾何について考えるときには, 描かれている図形の性質を捉えようとするのであって,座標を計算して考えているわけではない. 例えば垂直二等分線の作図を行った場合, 人間はなぜ2点の中点を

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タが座標を計算して幾何を扱った場合にはそれはわからない. もし幾何学ソフトでも描かれた図形の性質を扱うことができるなら,平面幾何を本質的に捕らえることが従来の幾何学ソフトよりも可能なのではないか, と考えられる.

そこで, この2つの問題点を解消するため, 作図された図形に対して, 性質を論理的に扱うアルゴリズムを提案することを目的とした.

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第 2 _{章初等平面幾何}

アルゴリズムを提案するにあたって, 今回の研究の題材となっている初等平面幾何がどのような論理体系になっているかを説明する. 初等幾何の論理体系は, ユークリッドの「原論」で述べられているものを原型として, 19世紀に入ってヒルベルトが初等幾何基礎論として体系化した. 今回はその中でも, 平面幾何におけるもののみを抜粋して説明する[8].

平面幾何を構成する要素は点と直線であり, これらは未定義に扱うものとする.

いま,点と直線をある相互関係において考え,これらの関係を「の上にある」,「間」,

「合同」, 「平行」,および「連続」などの言葉で表す. これらの関係は幾何学の公理によって説明される. 幾何学の公理は, 「結合公理」, 「順序公理」, 「合同公理」,「平行線公理」, および「連続公理」の5個の群に分けられる. なお,今後点と直線に関して表記が違うものは原則異なるものであるとする. 例えば点A, Bと表した場合A, Bは異なる2点である.

2.1 結合公理

この公理は, 点と直線の間に結合関係を与えるもので, 次のように表される.

公理 2.1.1. 2点A, Bに対し, A, Bのそれぞれと結合する1本の直線aが存在する.また, そのような直線は1つより多くはない.

「A, Bと結合するa」は別の言い方をすれば「aはA, B を通る」, 「aはA, B を結ぶ」,「A, Bはaの上にある」,「A, Bはaの点である」および「A, Bはa上の点である」となる.

公理 2.1.2. 1つの直線上には少なくとも2つの異なる点をがあり, そうでない点

が少なくとも3点ある.

この公理から, 次のことがいえる.

定理 2.1.1. 平面上の2直線は1点を共有するか, 共有点がないかのどちらかである.

Proof. この2直線が異なる2点以上の点を共有すると仮定すると, 公理2.1.1に矛

盾する. よって, 平面上の2直線は1点を共有するか, 共有点がないかのどちらか

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2.2 順序公理

線型の順序公理について述べる前に「間」について定義をする.

定義 2.2.1. 1つの直線上の点について「間」という言葉を用いる. 例えば, A, B

間とはある1つの直線上にA, Bがあることを示し, その直線上のAからB, ないしBからAを表す.

公理 2.2.1. 点と直線に関して次のことがいえる.

• 点Bが点A, C間にあるならば, A, B, Cは1直線上の異なる3点であって, このときBはCとAの間にもある.

• 2点A, Cに対して直線AC上に少なくとも1点Bがあって, CはA, Bの間にある.

• 1直線上の任意の3点のうち, 高々1つだけが他の2つの間にある.

ここで線分を定義しておきたい.

定義 2.2.2. 1つの直線上の2点A, Bの組を線分といい, ABまたはBAで表す. A, B間にある点は線分AB上の点, または線分ABの内部にあるという. A, B間にない点は線分ABの外部にあるという. また, A, Bは線分ABの端点であるという.

公理 2.2.2. 1直線上にない点3点A, B, Cと, A, B, Cのいずれも通らない直線a を考える. もしaが線分ABの1点を通るなら, aは必ず線分ACの1点か線分BC の1点を通る.

このことから, どの直線も平面内でこの直線上にない点を2つの領域に分けることがいえる.

定義 2.2.3. 任意の点Aに対し, 別の点A’との線分AA’が直線a上の点を含まないならば, AとA’は平面内でaの同じ側にあるという. さらに別の点Bとの線分 ABがaの点を含むなら, AとBは平面内でaの異なる側にあるという.

さらに次のことも定義する.

定義 2.2.4. 点A, A’, O, Bは直線a上の4点で, OはAとBの間にあるが, Aと A’の間にはないものとする. このとき, A, A’はa上でOの同じ側にあるといい, A, Bはa上でOの異なる側にあるという. また, Oの同じ側にあるすべての点を, Oから出る半直線という.

つまり, 直線の各点はその直線を2つの半直線に分けるといえる. この節の終わりに, 多角形の定義をしておく.

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定義 2.2.5. 任意の点A, B, C, …, X, Y, Zに対し, AとZが一致するとき, 線分

AB, BC, …, YZ, ZAの組を多角形といい, 多角形ABC…XYZと表す. 線分AB,

BC, …, YZ, ZAは多角形の辺といい, 点A, B, C, …, X, Y, Zは多角形の頂点という. 頂点が3, 4, …, n個の多角形を三角形, 四角形, …, n角形という. さらに, 多角形の頂点が相異なり, どの頂点も辺の上になく, かつ任意の2辺に共有点がないとき, この多角形は単一であるという.

以後, 特に断りがなければ多角形は原則単一であるとする. また, 三角形ABC は4ABCと省略して表記する.

2.3 _合同公理

まずは線分についての合同とはなにか述べる.

公理 2.3.1. 直線a上の2点A, Bに対して, 同一直線上, もしくは別の直線a⁰上の点A⁰について, 常に1点B⁰を選んで, 線分ABと線分A⁰B⁰が合同であるようにできる. このことを記号でAB ≡A⁰B⁰と表す.

線分は定義2.2.2より, ただ2点の組として定義されているので, AB ≡ A⁰B⁰, AB ≡B⁰A⁰,BA ≡A⁰B⁰およびBA ≡B⁰A⁰はすべて同じ意味である.

公理 2.3.2. 線分A⁰B⁰と線分A⁰⁰B⁰⁰が同じ線分ABに合同であるならば, 線分A⁰B⁰ と線分A⁰⁰B⁰⁰は合同である.

このことから, 線分は自身に合同であり, 対称性と推移性を持つことがわかる.

つまりAB ≡AB, AB ≡A⁰B⁰ならばA⁰B⁰ ≡ AB, AB ≡ A⁰B⁰かつA⁰B⁰ ≡A⁰⁰B⁰⁰ ならばAB ≡A⁰⁰B⁰⁰である. さらに,加法性も公理として含まれる.

公理 2.3.3. ABとBCを直線a上の共通点のない2つの線分とし, 同様にA’B’

とB’C’を直線a’上の共通点のない2つの線分とする. このとき, AB ≡ A⁰B⁰, BC ≡B⁰C⁰ならば, AC ≡A⁰C⁰である.

ここで, 角について定義をしたい.

定義 2.3.1. ある点Oから出る2つの半直線h, kが相異なる直線に含まれるもの

とする. このとき, h, kの組を角といい, ∠(h, k)または∠(k, h)と表す. h, kは角の辺といい, Oは角の頂点という.

この定義について補足をする.半直線h, kを含む直線を¯h,k¯とする. h, kは点O とあわせて平面の残りの点を2つの領域に分けることがわかる. すなわち, ¯kに対してhと同じ側にあり, ¯hに関してkと同じ側にあるすべての点を∠(h, k)の内部にあるといい,他のすべての点を角の外にあるということにすれば,∠(h, k)は平角や優角を除くこととなる. 具体的にいうと, この定義に従えば角とは180°未満のものを表す,ということである.

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角の合同については次のことを公理とする.

公理 2.3.4. ∠(h, k)と直線aについて, h⁰をa上の点O⁰から出る半直線とする. このとき, aの定まった側が与えられているならば, 半直線k’がただ1つ存在して,

∠(h, k)は∠(h⁰, k⁰)に合同であり, ∠(h⁰, k⁰)のすべての内点はaの与えられた側にある. このことを記号で∠(h, k) ≡∠(h⁰, k⁰)と表す. また, ∠(h, k) ≡∠(h, k)は常に成り立つ.

簡単に言うと,任意の角は与えられた半直線に沿って,与えられた側に一意に移すことができる,ということである. 角についても,定義に従えば∠(h, k)≡∠(h⁰, k⁰),

∠(h, k) ≡∠(k⁰, h⁰), ∠(k, h) ≡ ∠(h⁰, k⁰)および∠(k, h) ≡ ∠(k⁰, h⁰)はすべて同じ意味である. また, 頂点Bと両辺上の点A, Cがある角は, ∠ABCないし∠Bで表す.

公理 2.3.5. 2つの三角形ABCと三角形A⁰B⁰C⁰について, AB ≡A⁰B⁰, AC ≡A⁰C⁰ および∠BAC ≡ ∠B⁰A⁰C⁰が成立すれば, ∠ABC ≡ ∠A⁰B⁰C⁰ および∠ACB ≡

∠A⁰C⁰B⁰も常に成立する.

このことから線分移動の一意性も導かれる. もしも線分ABが点A’から出る半直線上で,B⁰までとB⁰⁰までとの2通りに移されたと仮定する. このとき直線A⁰B⁰ の外に点Cをとり,A⁰B⁰ ≡A⁰B⁰⁰,A⁰C⁰ ≡A⁰C⁰および∠B⁰A⁰C⁰ ≡∠B⁰A⁰C⁰をつくると, ∠A⁰C⁰B⁰ ≡ ∠A⁰C⁰B⁰⁰となる. これは角移動の一意性と矛盾するので, B⁰と B⁰⁰は同一であるといえる.

公理についての説明を終えたところで, 角について次のことを定義しておく.

定義 2.3.2. 2つの角が頂点と1つの辺とを共有し, その共有辺でない辺が1つの

直線を作るとき, この両角を補角という. ある角が補角と合同であるならば, その角を直角という. 2つの角が頂点を共有し, その辺がそれぞれ1つの直線を作るとき, この両角を対頂角という.

また, 次の定理も公理から導き出せる.

定理 2.3.1. 三角形の2辺が合同ならば, これらの辺に対する角は合同である. す

なわち, 二等辺三角形の底角は等しい.

Proof. 4ABCについてAB ≡ACとすると,公理2.3.4と公理2.3.5より AB ≡AC, CA≡BA,∠BAC ≡∠CAB ⇒∠ABC ≡ACB となるので,二等辺三角形の底角が等しいことが示された.

三角形の合同を定義する.

定義 2.3.3. 次の合同がすべて満たされているとき, 三角形ABCと三角形A’B’C’

は合同であるといい, 4ABC ≡ 4A⁰B⁰C⁰とも表す.

AB ≡A⁰B⁰, AC≡A⁰C⁰, BC ≡B⁰C⁰,

∠A≡∠A⁰, ∠B ≡∠B⁰, ∠C ≡∠C⁰,

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まずは三角形の第1合同定理,いわゆる二辺夾角から証明する.

定理 2.3.2. 次のことが成り立てば4ABCと4A⁰B⁰C⁰は合同である.

AB ≡A⁰B⁰, AC ≡A⁰C⁰,∠A≡∠A⁰

Proof. 公理2.3.5より, ∠B ≡ ∠B⁰,∠C ≡ ∠C⁰が成立するので, BC ≡ B⁰C⁰ を示せばよい. BC 6≡ B⁰C⁰ と仮定し, B’C’上にD’をとってBC ≡ B⁰D⁰ とすると, 4ABC, 4ABDに対して公理2.3.5を適用すれば, ∠BAC ≡∠B⁰A⁰D⁰となる. すると, ∠BACが∠B⁰A⁰C⁰にも∠B⁰A⁰D⁰にも合同であることになり, 角移動の一意性と矛盾する. よってBC ≡B⁰C⁰が示せたので, 4ABCと4A⁰B⁰C⁰は合同である.

続いて三角形の第2合同定理,いわゆる二角夾辺を証明する.

定理 2.3.3. 次のことが成り立てば4ABCと4A⁰B⁰C⁰は合同である.

AB ≡A⁰B⁰,∠A≡∠A⁰,∠B ≡∠B⁰

Proof. 定理2.3.2と同様にして, BC 6≡B⁰C⁰, AC 6≡A⁰C⁰と仮定すると矛盾するので, BC ≡ B⁰C⁰, AC ≡ A⁰C⁰が示せる. よって, 公理2.3.5より∠C ≡ ∠C⁰もいえるので, 4ABCと4A⁰B⁰C⁰は合同である.

三角形の第3合同定理, いわゆる三辺合同を示す前にいくつかの定理を証明していきたい.

定理 2.3.4. ∠ABC, ∠A⁰B⁰C⁰が合同ならば, それぞれの補角∠CBD, ∠C⁰B⁰D⁰も合同である.

Proof. 点A⁰, C⁰およびD⁰をB⁰を通る辺上に選んで, AB ≡A⁰B⁰,CB ≡C⁰B⁰およびDB ≡D⁰B⁰となるようにする. すると, 4ABCと4A⁰B⁰C⁰は合同であるので, AC ≡A⁰C⁰,∠BAC∠B⁰A⁰C⁰となる. また,公理2.3.3よりAD≡A⁰D⁰となるので, 4CADと4C⁰A⁰D⁰は合同である. よって, CD ≡C⁰D⁰, ∠ADC ≡∠A⁰D⁰C⁰となる. ゆえに, 4BCDと4B⁰C⁰D⁰を考えれば, 公理2.3.5より∠CBD ≡ ∠C⁰B⁰D⁰ となる.

定理 2.3.5. 対頂角∠AOB, ∠CODは合同である.

Proof. 点A, OおよびCと点B, OおよびDをそれぞれ同一直線上に選ぶ. 公理

2.3.4より,∠BOC ≡∠COBであるので, 定理2.3.4より∠AOB ≡∠CODがいえる.

定理 2.3.6. h, k, lおよびh’, k’, l’を点OおよびO’から出る3個の半直線とし, h,

kおよびh’, k’はそれぞれlおよびl’に関して同時に同じ側であるか, 同時に異なる

側にあるかであるとする. このとき, ∠(h, l)≡ ∠(h⁰, l⁰), ∠(k, l) ≡ ∠(k⁰, l⁰)が満たされていれば, ∠(h, k)≡∠(h⁰, k⁰)も成り立つ. つまり, 角は加法性を持つ.

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Proof. h, kがlに関して同じ側,h⁰, k⁰がl⁰と同じ側にある場合を証明する. 今hが

∠(k, l)内にあると仮定する. 辺k, k⁰, lおよびl⁰上にそれぞれ点K, K⁰, LおよびL⁰ をOK ≡ O⁰K⁰, OL ≡ O⁰L⁰になるように選ぶと, 定義よりhは線分KLを1点 H で切る. そこで, H⁰をh⁰ 上でOH ≡ OH⁰ に決める. すると, 定理2.3.2から 4OLH ≡ 4O⁰L⁰H⁰, 4OLK ≡ 4O⁰L⁰K⁰となるので,

4OLH ≡ 4O⁰L⁰H⁰ ⇒ LH ≡L⁰H⁰, ∠OLH ≡∠O⁰L⁰H⁰

4OLK ≡ 4O⁰L⁰K⁰ ⇒ LK ≡L⁰K⁰, ∠OLK ≡∠O⁰L⁰K⁰, ∠OKL≡∠O⁰K⁰L⁰ が得られる. 公理2.3.4より, ∠OLH ≡ ∠O⁰L⁰H⁰, ∠OLK ≡ ∠O⁰L⁰K⁰ならば, H⁰ がL⁰K⁰上にあることがいえる. よって,

LH ≡L⁰H⁰, LK ≡L⁰K⁰ ⇒HK ≡H⁰K⁰

となる. このことから, 4OKH ≡ 4O⁰K⁰H⁰となるので, ∠KOH ≡ ∠K⁰O⁰H⁰が導き出せる.

h, kがlに関して異なる側, h⁰, k⁰ がl⁰ と異なる側にある場合に関しては, 定理

2.3.4を用いれば同じ側にある場合に帰着されるので自明である. よって,

∠(h, l)≡∠(h⁰, l⁰),∠(k, l)≡∠(k⁰, l⁰)⇒∠(h, k)≡∠(h⁰, k⁰) が示された.

定理2.3.7. 任意の2つの角について,∠(h, k)≡∠(h⁰, k⁰)とする. 半直線lが∠(h, k) の頂点から出て, その角の内部を通る半直線出るとすれば, ∠(h⁰, k⁰)の頂点から出て個の角の内部を通る半直線l’がただ1つ存在して

∠(h, l)≡∠(h⁰, l⁰),∠(l, k)≡∠(l⁰, k⁰) となる.

Proof. 定理2.3.6の証明における, 半直線k, h, lおよびk⁰, h⁰, l⁰がこの定理における半直線h, l, kおよびh⁰, l⁰, k⁰に相当すると考えれば, 定理2.3.6と同様にして導き出せる.

定理 2.3.8. 直線ABの異なる側にある2点C, Dに対し, AC ≡ AD, BC ≡ BD ならば, ∠ABC ≡∠ABDである.

Proof. 定理2.3.1より, ∠ACD ≡ ∠ADC, ∠BCD ≡ ∠BDCである. ゆえに, 定理2.3.6から∠ACB ≡ ∠ADBといえる. よって, AC ≡ AD, BC ≡ BDおよび

∠ACB ≡∠ADBから公理2.3.5より∠ABC ≡∠ABDである.

それでは,三角形の第3合同条件を示そう.

定理 2.3.9. 4ABC,4A⁰B⁰C⁰の対応辺がそれぞれ合同ならばこれらの三角形は合同である.

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Proof. ∠BAC をA⁰ のところで半直線A⁰C⁰ に関してB⁰ と同じ側にある辺上に A⁰B₀ ≡ AB となる点B₀ を選び, 他の辺上にB⁰⁰ をA⁰B⁰ ≡ AB のように選ぶ.

定理2.3.2より, BC ≡B0C⁰, BC ≡ B⁰⁰C⁰が示せる. よって, 仮定の合同とあわせると公理2.3.2より

A⁰B⁰⁰ ≡A⁰B₀, B⁰⁰C⁰ ≡B₀C⁰, A⁰B⁰⁰ ≡A⁰B⁰, B⁰⁰C⁰ ≡B⁰C⁰

が得られる. ところで, 定理2.3.8は, 4A⁰B⁰⁰C⁰ と4A⁰B₀C⁰ にも, 4A⁰B⁰⁰C⁰ と 4A⁰B⁰C⁰にも当てはまるので,

∠B⁰⁰A⁰C⁰ ≡∠B0A⁰C⁰,∠B⁰⁰A⁰C⁰ ≡∠B⁰A⁰C⁰

が成り立つ. 公理2.3.4によれば,任意の角は一意的に移動することができるので, 半直線A⁰B₀と半直線A⁰B⁰は一致する. したがって,∠BACと合同でA⁰C⁰の該当する側に移された角は∠B⁰A⁰Cである. よって定理2.3.2より4ABC ≡ 4A⁰B⁰C⁰ が示された.

これより,角合同の対称性を示すことができる.

定理 2.3.10. 半直線h, k, h⁰, k⁰, h⁰⁰およびk⁰⁰について次のことが成り立つ.

∠(h⁰, k⁰)≡∠(h, k),∠(h⁰⁰, k⁰⁰)≡∠(h, k)⇒∠(h⁰, k⁰)≡∠(h⁰⁰, k⁰⁰)

Proof. 3個の与えられた角の頂点をO⁰, O⁰⁰およびOとする.各角の辺上にそれぞれ点A⁰, A⁰⁰およびAをO⁰A⁰ ≡OA, O⁰⁰A⁰⁰ ≡OAとなるようにとる. 同様に他の辺上に点B⁰, B⁰⁰およびBをO⁰B⁰ ≡ OB, O⁰⁰B⁰⁰ ≡ OB となるようにとる. すると, 定理2.3.2より三角形の合同からA⁰B⁰ ≡AB, A⁰⁰B⁰⁰≡ABが示される. そこで, 公理 2.3.2によって4A⁰B⁰O⁰と4A⁰⁰B⁰⁰O⁰⁰とは3辺がそれぞれ一致するので, 定理2.3.9 より, ∠(h⁰, k⁰)≡∠(h⁰⁰, k⁰⁰)が成立する.

これにより, 角の大小が比較できる.

定理 2.3.11. 任意の角として∠(h, k),∠(h⁰, l⁰)が与えられているとし, ∠(h, k)を h⁰のl⁰側へ移したとき, ∠(h⁰, l⁰)の内部の半直線k⁰が得られるとする. このとき,

∠(h⁰, l⁰)をhのk側に移せば∠(h, k)の外部の半直線lが得られる. この逆も成立する.

Proof. lが∠(h, k)の内部にあると仮定する. ∠(h, k)≡ ∠(h⁰, k⁰)であるので, 定理 2.3.7より内部の半直線lに対して∠(h⁰, k⁰)の内部に半直線l⁰⁰が存在し, ∠(h, l) ≡

∠(h⁰, l⁰⁰)が成り立つ. 仮定により,∠(h, l)≡∠(h⁰, l⁰)も成り立つが, l⁰とl⁰⁰異なってなければならないので, これは公理2.3.4に反する. 従ってl⁰は一意的に存在する.

逆も同様に証明される.

∠(h, k)の移動で,∠(h⁰, l⁰)の内部に半直線k⁰ができたとき,∠(h, k)は∠(h⁰, l⁰)より小さいといい,∠(h, k)<∠(h⁰, l⁰)と表す. 逆に,∠(h, k)の移動で,∠(h⁰, l⁰)の外部

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に半直線k⁰ができたとき,∠(h, k)は∠(h⁰, l⁰)より大きいといい, ∠(h, k)>∠(h⁰, l⁰) と表す.

2つの角α, βについてはα > βかつβ < α, α=βおよびα < βかつβ > αの3つのうちどれか1つだけが成り立つ.

角の大きさの比較は推移的である. すなわち3個の仮定

α > βかつβ > γ, α > βかつβ=γ, α=βかつβ > γ

のうち各1つからα > γとなる. 線分についても一意性が示されているので, 線分の大小を比較することもできる.

定理 2.3.12. 全ての直角は互いに合同である.

Proof. 直角は定義により補角と合同になる角である. いま∠(h, l),∠(k, l)を補角とし,∠(h⁰, l⁰),∠(k⁰, l⁰)も補角とする. このとき,∠(h, l)≡∠(k, l),∠(h⁰, l⁰)≡∠(k⁰, l⁰) であるとする. ∠(h⁰, l⁰)6≡∠(h⁰, l⁰)と仮定すると,∠(h⁰, l⁰)をhのl側に移せば, lと異なる半直線l⁰⁰ができる. するとl⁰⁰は∠(h, l)の内部にあるか∠(k, l)の内部にあるかである. もし, l⁰⁰が∠(h, l)の内部にあれば,

∠(h, l⁰⁰)<∠(h, l),∠(h, l)≡∠(k, l),∠(k, l)<∠(k, l⁰⁰)

となり, 大小関係の推移性によって∠(h, l⁰⁰) < ∠(k, l⁰⁰)となる. 一方, 仮定と定理 2.3.4から

∠(h, l⁰⁰)≡∠(h⁰, l⁰),∠(h⁰, l⁰)≡∠(k⁰, l⁰),∠(k⁰, l⁰)<∠(k, l⁰⁰)

が成り立ち, ∠(h, l⁰⁰)≡∠(k, l⁰⁰)となるので矛盾する. l⁰がβの内部にある場合にもまったく同様の矛盾が生じるので, l⁰はlに一致する.

角度について定義を少し追加する.

定義 2.3.4. 自身の補角より大きい角, すなわち直角より大きい角を鈍角という.

自身の補角より小さい角, すなわち直角より小さい角を鋭角という.

定義 2.3.5. 4ABCに属する角, つまり∠ABC,∠BCA,∠CABを内角といい, それらの補角を外角という.

外角については次の重要な定理を証明したい.

定理 2.3.13. 三角形のひとつの外角は, それに接していない内角のどれよりも大

きい.

Proof. ∠CADを4ABCの外角とし,DはAD ≡CBとなるように選ぶ. ∠CAD≡

∠ACBと仮定すると, AC ≡CAなので公理2.3.5より∠ACD≡∠CABが成り立

つ. 定理2.3.4と定理2.3.10とから∠ACDは∠ACBの補角に合同となることにな

(16)

る. すると, 公理2.3.4よりDは直線CB上にあることになり公理2.1.1に矛盾する. よって, ∠CAD6≡∠ACBが成り立つ.

次に, ∠CAD <∠ACBと仮定する. このとき∠CADをCのところでCAのB 側に移すと,∠ACBの内部を通る半直線ができて,これは線分ABと1点B⁰で交わることになる. すると,4AB⁰Cで∠CADが∠ACB⁰と合同になるが,これは先ほどの議論に矛盾する. よって,∠CAD <∠ACBともならないので,∠CAD >∠ACB となることが示された. 同様にして, ∠CADの対頂角が∠ABCよりも大きいことがわかるので, 対頂角の合同と角の大小関係の推移性から∠CAD > ∠ABCとなる. 以上より, 外角が接していない内角よりも大きいことが示された.

これにより, 次の2つのことが示される.

定理 2.3.14. どの三角形においても大きい辺に対する角は小さい辺に対する角よ

り大きい.

Proof. 4ABCにおいて,AB > BCとし,BC =BDとなるようなDをAB上にとる. このとき, ∠ACB >∠CABが示せればよい. 4BCDは二等辺三角形であるから, ∠BDC ≡∠BCDとなる. CDは∠ACBの内部にあるので∠ACB >∠BCD となる. また,外角定理より∠BDC >∠CABがいえるので, 角の大小関係の推移性から∠ACB >∠CABがいえる.

定理 2.3.15. 2つの等しい内角を持つ三角形は二等辺三角形である.

Proof. 4ABC について, ∠ABC ≡ ∠ACB, AB 6≡ ACとする. 定理2.3.14より, AB 6≡ACならば,∠ABC >∠ACBか∠ABC <∠ACBのどちらかが成り立つことになるので矛盾する. よって, AB ≡ACとなる.

また, 外角定理から定理2.3.3の補充定理が得られる.

補題 2.3.1. 次のことが成り立てば4ABCと4A⁰B⁰C⁰は合同である.

AB ≡A⁰B⁰,∠A≡∠A⁰,∠C ≡∠C⁰

Proof. 4ABC をAB,∠CAB がA⁰B⁰,∠C⁰A⁰B⁰ に重なるように移し, C がC⁰⁰に移ったとする. このとき, 仮定より∠ACB ≡ ∠A⁰C⁰B⁰ となるが, 外角定理より

∠A⁰C⁰⁰B⁰ <∠A⁰C⁰B⁰となり,矛盾する. よって,C⁰とC⁰⁰は一致することがわかるので, 4ABCと4A⁰B⁰C⁰は合同である.

さらに, 線分と角は2等分できることも外角定理から言える.

定理 2.3.16. どの線分も2等分できる.

Proof. 与えられた線分AB を1辺としてその両端A, Bで辺の反対側に等しい角

α を作り, これらの角の他の1辺上に等しい線分AC ≡ BD をとる. つまり,

∠BAC,∠ABD はαである. C, DはAB の反対側にあるから, 線分CDは直線 AB と1点Eで交わる. EがAまたはB と一致すると仮定すると, 外角定理より

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にあると仮定すれば, 外角定理より, ∠ABD > ∠AED >∠BACとなるので矛盾.

AがB, E の間にあると仮定しても同様に矛盾するので, EがA, Bの間にあるといえる. 従って, 対頂角の合同より∠AEC > ∠BEDとなるので, 補題2.3.1より 4AEC ≡ 4BEDとなる. よって, AE ≡EBとなり, Eが線分ABを2等分していることがわかった.

定理 2.3.17. どの角も2等分できる.

Proof. ∠Aに対し,AB ≡ACとなるような点B, Cをとる. つまり4ABCは二等辺三角形であるとする. このとき,∠B ≡∠Cとなる. 定理2.3.16より, BCは2等分できるので, BD ≡ DCとなる点Dをとると, 仮定より∠DAB ≡ ∠DACといえる. つまり, ∠Aが2等分されていることがわかった.

2.4 _{平行線公理}

平行線公理とは次のことをいう.

公理 2.4.1. aを任意の直線とし, Aをa外の1点とすれば, aとAとで決まる平面内に, Aを通ってaと交わらない直線bがたかだか1つ存在する. このときbをA を通るaへの平行線といい, a//bと表す.

つまり, 2直線a, bが第3の直線cと交わらないならば, a, bは交わらない, ということである. ここで, 同位角, 錯角について定義をする.

定義 2.4.1. hは点Oから出る半直線, k, k⁰は点O⁰から出る異なる半直線とし, k, k⁰は同一直線上にあるものとする. さらにO, O⁰を通る直線をlとし, lに対しh, k は同じ側, h, k⁰は異なる側にあるものとする. このとき∠(h, l)に対し, ∠(k, l)を同位角, ∠(k⁰, l)を錯角という.

平行線公理から次のことが示せる.

定理 2.4.1. 2つの平行線が第3の直線で切られるならば, 同位角および錯角は合

同である. 逆に, 同位角あるいは錯角が合同ならば, 2直線は平行である.

Proof. 点, 半直線の名前は定義2.4.1のものを用いるものとする. hを含む直線と,

k, k⁰を含む直線が平行であるとする. このとき,∠(h, l)をlに対してkの側に移せば, 半直線h⁰ができる. ∠(h⁰, l)>∠(k, l)にせよ, ∠(h⁰, l) <∠(k, l)にせよ, h⁰がk とO⁰で交わることになってしまうので,仮定と矛盾する. 従って, 同位角は等しいことがいえる. ところで,∠(k, l)と∠(k⁰, l)は対頂角であるので, 錯角も等しいことがわかる. 同様の議論により逆も成立する.

定理 2.4.2. 三角形の内角はあわせて2直角になる.

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Proof. 4ABCに対し, Cを通りABに平行な直線aを与える. このとき, ∠A,∠B のaに対する錯角を∠A⁰,∠B⁰とすれば,∠A⁰,∠Cおよび∠B⁰はあわせて平角,つまり2直角になる. よって示された.

ここで, 円, 円の接線, 接点についても定義しておく.

定義 2.4.2. 点Oに対して, 線分OAが互いに合同になるような点Aの全体を円と

いい, Oを円の中心, OAを円の半径という.

定義 2.4.3. 円と直線とがただ1つの共通点を持つとき, その直線を円の接線とい

い, 共通点を接点という.

円の接線,接点については次の定理が示せる.

定理 2.4.3. 円の中心O,接線上の円と接していない任意の点Aと接点Bについて,

∠ABOは直角である.

Proof. ∠ABOが直角よりも小さい角αとする. 定理2.4.2より, 円上の点B⁰について, αを底角にもちOB =OB⁰となる二等辺三角形OBB⁰を作ることができる.

つまり,∠ABO=∠B⁰BOとなり,B⁰は接線上にあることになってしまう. よって, 接線が円と2つの交点を持つことになってしまい題意に矛盾する. ∠ABOが直角よりも大きい角である場合にも,その補角が直角よりも小さくなるので, これも同様に題意に反する. よって, ∠ABOは直角である, といえる.

2.5 連続公理

最後に連続公理について紹介をする.

公理 2.5.1. ABとCDが任意の線分のとき, 直線AB上に点列A₁, A₂,…, A_n−1およびA_nが存在して, 線分AA₁, A₁A₂,…, A_n−2A_n−1およびA_n−1A_nはすべてCDと合同であり, かつBはAとA_nの間にある.

この公理については, 作図とは直接関係がないので詳しい話は割愛する. なぜ関係がないかは, 3章で説明する。

(19)

第 3 _{章抽出・導出}

単純に初等幾何の定理の証明を人間がしようと思うならば,ヒルベルトが平面幾何基礎論で述べた公理と定義からすべて証明できるはずである. しかし,それは人間が公理と定義に従って恣意的に証明をするからできるのであって,幾何学ソフト上でも同じことができるかといわれると,不可能である可能性がある. 具体例を挙げると, ある円において長さの等しい弦に対し, 円周角はすべて等しいことは補助線を用いないと証明できない. 今の幾何学ソフトでは補助線を認識する能力を持ち合わせていないので, 円周角はすべて等しいことは作図された図形の性質だけでは証明できない.

ただし, すべてがヒルベルトの公理と定義だけでは導出できないわけではない.

例えば, 二等辺三角形の底角が等しいことは, 4ABCについてAB = ACとわかれば,4ABCと4ACBについて三辺合同の条件より4ABC ≡ 4ACBといえる.

よって, 対応する角が等しいので, ∠ABC =∠ACBとわかる. この証明は, 描かれている図に対する性質以外を用いていない. つまり, コンピュータが証明することもできると思われる.

このことから, 幾何学ソフト上で人間と同等に証明を行うには,ヒルベルトの公理と定義の一部と,そこから証明できるいくつか定理を公理とみなした公理系が必要になるのではないだろうか. 3章では, コンピュータが作図された図形が要求された性質を持つことを証明するためには, 何が必要なのかを説明していく.

3.1 _{概念の定義}

今回研究の題材となっているのは, 「作図問題を解くにあたって, 幾何学ソフト上で作図された図形の性質の導出をすること」であるが, そもそも「作図」, 「作図された図形」, 「作図問題」, 「抽出」および「導出」とは何を指し示しているのか. それぞれの定義をまずしなければならない.

定義 3.1.1. 「作図」とは, 図形を新たに描き加えるための手段を表したものであ

る. 単に「作図」と呼ぶこともあるが, 強調して「作図方法」と呼ぶこともある.

これに対し, 問題に対する作図方法の解答, つまり解答となる図形を描くまでの作図方法の集合を「作図列」と呼ぶ.

今回の研究において作図は, 点, 線分および円を描くことに加え, 場合によっては線分または円が交点を持つように描くことであり, これをアルゴリズムに対する

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入力とする. このとき, 作図の結果として得られた図形を「作図された図形」という. なお出力は, 図形の情報や図形の性質である.

ただ単に目の前に与えられた図形との違いは, 図形を描くまでの経緯, つまり途中経過の有無にある. この途中経過は, 作図がなされるごとに記録される.

定義 3.1.2. 与えられた前提条件に対し, 要求された性質を持つ図形を描く過程を

問う問題を「作図問題」という. また, 作図問題において, あらかじめ与えられている図形の情報や性質を「前提条件」という. 「作図問題を解く」とは, 与えられた前提条件から要求された性質の図形を描くにあたって, 作図方法を答えるものである.

定義 3.1.3. 幾何学ソフト上で, 前提条件として与えられた情報や, 作図方法から

情報を得ることを「抽出」という. 例えば, コンパスで描かれた図形であればそれは円である. 今回の研究では, 「点が存在すること」,「円が存在すること」,「線分が存在すること」,「点が線分・円上にあること」,「 2点がある直線に対し同じ側にあること」,「角が存在すること」および「三角形が存在すること」を情報として得る際には「抽出」という言葉を使う.

定義 3.1.4. 抽出された図形や図形の情報に対して, 公理系に従って論理的に性質

を与えることを「導出」という. 「導出」は, 図形そのものの性質を与える場合だけでなく, 2つ以上の図形の関係を表す場合にも, この言葉を用いる. 例えば, ある角が直角であることや, ある2つの線分が合同であること等の情報を得ることを表すには「導出」という.

なお,特に断りがない限り,「作図問題」とは1.3で述べた範囲の,中学校で扱う平面幾何の作図問題のことであるとする. 抽出・導出される図形や図形の性質についても1.3で述べた範囲に限定するものとする.

3.2 _方針

幾何学ソフト上で, 作図問題の解が得られていることを証明する動作のことを

「検証」と呼ぶことにする. 今回の研究では, 1.3で述べたように生徒が知りうる知識だけから要求された図形が描くことができるかどうかを検証することを目的としているので, 検証のプロセスにおいて扱う公理, 定義, および定理は中学の1, 2 年次までに知りうるものに限定する. 扱う公理, 定義, および定理の具体的な説明については, 3.3で後述する.

作図問題において, 与えられた前提条件から要求された性質を持つ図形が描かれているかどうかを検証する方法を次のように提案する. 新たに作図が行われるごとに,できた図形から情報を抽出し,そこから性質を導出していく. その過程で, 目的の性質が得られているかどうか判定する. 目的の性質が得られていれば,その作

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図列は正解であると判断できる. そうでなければ,その作図方法はまだ途中段階であるか, あるいは間違っていると判断できる.

つまり, 抽出された図形の情報と, それについて論理的に導出された性質をもって, 正しい作図列が解答できているかどうかを検証する. そこで今回は, 抽出されたことがらについて, 「2つの線分が合同」, 「2つの角が合同」「2つの線分が平行」,「角が直角」および「2つの三角形が合同」という性質を導出していけば,どんな作図問題に関しても検証が可能である, と予想する.

3.3 公理系

2章で説明をした初等幾何学の公理と定義をベースとして,公理系を定める. 公理系を定めるにあたって, ヒルベルトの平面幾何基礎論とは別に,初等幾何定理の大量生産[9]も参考にした. なお, この節以降,特別に次の表記を用いることにする.

• A◇X…点AはX(直線, 線分, 円)上にある

• hO, ABi…中心O,半径ABの円

• [A, B |CD]…2点AとBは,直線CDについて同じ側にある

• ¬(X)…X(図形や図形の性質)が抽出・導出されていない

• ∠R…直角

3.3.1 線分

線分について, 次のことを導出できるものとする.

• AB =AB(自身に等しい)

• AB =BA(順序を変えても等しい)

• AB =CD ⇒CD =AB(対称律)

• AB =CD, CD =EF ⇒AB =EF(推移律)

• B◇AC, E◇DF, AB =DE, BC =EF ⇒AC =DF(加法)

• B◇AC, E◇DF, AB =DE, AC =DF ⇒BC =EF(減法)

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3.3.2 角

角について, 次のことを導出できるものとする.

• ∠ABC =∠ABC(自身に等しい)

• ∠ABC =∠CBA(順序を変えても等しい)

• ∠ABC =∠DEF ⇒∠DEF =∠ABC(対称律)

• ∠ABC =∠DEF,∠DEF =∠GHI ⇒∠ABC =∠GHI(推移律)

• ∠ABC =∠EF G,∠CBD=∠GF H ⇒∠ABD=∠EF H(加法)

• ∠ABC =∠EF G,∠ABD=∠EF H ⇒∠CBD=∠GF H(減法)

• A◇BC, E◇F G,∠BAD=∠F EH ⇒∠CAD=∠GEH(補角合同)

• ∠ABC, D◇AB ⇒∠ABC =∠DBC(内側の点Dに対する移動)

• ∠ABC, A◇DB,[A, D|BC]⇒∠ABC =∠DBC(外側の点Dに対する移動 )

3.3.3 三角形

三角形について, 次のことを導出できるものとする.

• 4ABC≡4ABC(自身に合同)

• 4ABC≡4DEF ⇒AB =DE, BC =EF, CA=F D,∠ABC =∠DEF,∠BCA=

∠EF D,∠CAB =∠F DE(対応する辺と角が等しい)

• ∠ABC =∠DEF,∠BCA =∠EF D ⇒∠CAB =∠F DE(三角形の2角が等しければ残り1つも等しい)

• ¬(A◇BC),¬(B◇CA),¬(C◇AB),¬(D◇EF),¬(E◇F D),¬(F◇DE), AB = DE, BC =EF, CA=F D ⇒ 4ABC≡4DEF(三辺合同)

• AB =DE, BC =EF,∠ABC =∠DEF ⇒ 4ABC≡4DEF(二辺夾角)

• AB =DE,∠CAB = ∠F DE,∠ABC =∠DEF ⇒ 4ABC≡4DEF(二角夾辺)

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3.3.4 円

円について, 次のことを導出できるものとする.

• A◇hB, CDi ⇒AB =CD(半径はどれも等しい)

• A◇hE, F Gi, B◇hE, F Gi, C◇hE, F Gi, D◇hE, F Gi ⇒∠CAD=∠CBD,∠BAD=

∠BCD,∠BAC = ∠BDC,∠DBA = ∠DCA,∠ABC = ADC,∠ACB =

∠ADB(円周角はどれも等しい)

3.3.5 平行

平行について, 次のことを導出できるものとする.

• AB//CD,(B◇DE)∨(D◇BE),¬([A, D | BC])⇒ ∠ABE = ∠CDE(同位角の合同)

• AB//CD,¬([A, D|BC])⇒∠ABC =∠BCD(錯角の合同)

• ∠ABE =∠CDE,(B◇DE)∨(D◇BE),¬([A, D | BC])⇒ AB//CD(平 行の導出1)

• ∠ABC =∠BCD,¬([A, D|BC])⇒AB//CD(平行の導出2)

• AB//CD ⇒BA//CD(順序を変えても平行)

• AB//CD ⇒CD//AB(対称律)

• AB//CD, CD//EF ⇒AB//EF(推移律)

• AB//CD, B◇AE ⇒AE//CD(平行線の延長)

• AB//CD, E◇AB ⇒AE//CD(平行線の短縮)

3.3.6 直角

直角について, 次のことを導出できるものとする.

• A◇BC,∠BAD =∠CAD⇒∠BAD =∠R,∠CAD=∠R(補角同士が等しければ直角)

• A◇hB, CDi, E◇hB, CDi, F ◇hB, CDi, B◇EF ⇒ ∠EAF = ∠R(直径を弦とする円周角は直角)

• A◇hE, F Gi, B◇hE, F Gi, C◇hE, F Gi,∠ABC =∠R,∠BCD=∠CAB ⇒

∠ACD=∠R(直角三角形の直角以外の角の和は直角)

幾何学ソフトにおける作図された図形 の性質の抽出・導出

2007 年度修士論文