98 京都大学（理系）前期日程 問題
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１ 解答解説のページへ
直角三角形に半径U の円が内接していて三角形の 辺の長さの和と円の直径と の和がとなっている。このとき以下の問いに答えよ。
この三角形の斜辺の長さをUで表せ。
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２ 解答解説のページへ
I [ [とおく。
Qは以上の自然数である自然数Dに対してI D はQの倍数になっている とする。このときI D とIDQのうち少なくとも一方はQの倍数であ ることを示せ。
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３ 解答解説のページへ
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４ 解答解説のページへ
D Pは自然数で D は定数とする。[\ 平面上の点 D Pを頂点とし原点と点 D を通る放物線を考える。この放物線と [ 軸で囲まれる領域の面積を6P この領域の内部および境界線上にある格子点の数を/Pとする。このとき極限値
OLP P
P P
/ 6
of
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５ 解答解説のページへ
袋の中に青色赤色白色の形の同じ玉がそれぞれ 個ずつ入っている。各色の 個の玉にはそれぞれ の番号がついている。これら個の玉をよくかきま ぜて袋から同時に 個の玉を取り出す。取り出した 個のうちに同色のものが他 になく同番号のものも他にない玉の個数を得点とする。たとえば青 番赤 番白番を取り出したときの得点はで青番赤番赤番を取り出した ときの得点はである。このとき以下の問いに答えよ。
得点が Q となるような取り出し方の数を$ Q とするとき $ $
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６ 解答解説のページへ
Dを＜ ＜D を満たす定数として曲線\ ORJ[ D と[軸と直線[
[ で囲まれる図形を [ 軸のまわりに回転して得られる立体の体積を9 D とす る。
9 D を求めよ。
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１ 問題のページへ
q& とし %& D &$ E $% Fとおくと
D U E U Fから D E F U ………①
条件より D E F U …………②
②−①より FU
よって F U…………③
③を②に代入すると D E …………④
△$%&の面積を6とし④と相加平均と相乗平均の関係から
6 DE≦ D E
等号はD Eすなわち④よりD E のとき成立する。
このときF D E ③より U
となり与えられた条件をみ
たす。これより6の最大値はである。
［解 説］
これまで多くの大学でたびたび出題されてきた直角三角形の内接円に関する問題で す。なおは④からE Dとして 6 を D だけの 次関数として表しその最大 値を求めるという方法でも構いません。
$
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２ 問題のページへ
I D D N Q（Nは自然数）………①とおくと
IDQ DQ D D Q Q
①より IDQ N Q D Q Q ………②
LNが偶数（N O O ≧）のとき
①より I D O Q O Qとなり I D はQの倍数となる。
LL Nが奇数（N O O≧ ）のとき
②より IDQ O Q D Q Q
O Q D Q QQ
O D Q Q
ここで①よりDは奇数なのでDも奇数となり D
は整数となる。
また条件よりQ≧からQ≧ となる。
するとO D Q
は整数である。
よって IDQはQの倍数となる。
LLLより I D とIDQの少なくとも一方はQの倍数となる。
題意成立を数学的帰納法によって証明する。
LQ のとき
I D D Nとすると D N で成立。
I D D Nとすると D N で成立。
I D D Nとすると D N で成立。
LL Q Pのとき
IDP DP NP P（NPは自然数）となる自然数DPが存在すると仮定。
より IDPとIDP Pの少なくとも一方はPの倍数となるので DP DPまたはDP DP Pとすると題意が成立する。
LLLより I DQ がQの倍数となるような自然数DQが存在する。
［解 説］
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３ 問題のページへ
2$ D 2% E 2& Fとする。
＜ ＜S ＜ ＜T ＜ ＜U ＜ ＜V として
23 SD 24 TD T E 25 U E UF
26 VFとおく。
ここで四角形3456が平行四辺形より 34 65
T S D T E U E U V F
D E Fが次独立より
T S かつ T UかつU V
よって S T U V ………①
このとき平行四辺形3456のつの対角線の交点を7とすると 7は35の中点よ り①を用いて
27 23 25 SD S E SF ………②
$&2%の中点をそれぞれ01とすると 20 D F 21 E………③
②③より
27 S D F S E S 20 S21 ＜ ＜S から7は線分01上にある。
［解 説］
証明の方針に迷いが生じることはない頻出問題のつです。完答が要求される設問 です。
2
$ & 3
4 5 6
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４ 問題のページへ
放物線の方程式を\ I [ とすると
原点と点 D を通ることより
I [ N[ [ Dとおける。
頂点が D Pなので P I D から
N P
D
となる。
よって I [ P
D [ [ D
すると6 P
D [ [ D G[ DP D DP
P
³
D
また [ N ≦ ≦N D上の格子点の個数を1Nとおくと
>
@
1N I N （
> @
[ は[の整数部分を表す）I N ＜1N≦I N
/P 1N
N D
¦
から I N /^
I N`
N D P N D
¦
¦
＜ ≦I N P
D N DN
N D N D
¦
¦
^
`
P
D D D D D D D
P
D
D D D D P D D
D
^
I N`
N D
¦
P D D D D
P D D
D DP
/ 6
P D D
D D DP P P
＜ ≦ より
D D
D 6/
D D D D DP P P ＜ ≦
はさみうちの原理から OLPP P P
/
6 D D D
of
［解 説］
ガウス記号を用いて処理すると明快に解を書くことができます。もっとも本問で はP が無限大の状態を考えるわけですから 1N I N としてもその誤差はせ
いぜいDですので積もらない塵のようなものです。
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５ 問題のページへ
取り出した個の玉について異な る色の種類数と異なる番号の個数お よび得点との関係をまとめると右表 のようになる。
L得点が点となるとき
色すべてを取り出ししかもつの番号をすべて取り出す場合より
$
LL 得点が点となるとき
この場合は存在しないので $ LLL 得点が点となるとき
色で番号 種類のときは番号の組合せが 通りでそれぞれの場合に対して 色の対応が×＝通りずつある。よって×＝通りとなる。
色で番号種類のときも同様にして通りとなる。 合わせて $ u
LY 得点が点となるとき
個の玉を取り出すすべての場合の数は & 通りなのでLLLLLLより
$
得点の期待値はより
u u u u
［解 説］
確率の問題では考えていることを整理するために表が役に立ちます。表を書く とミスが少なくなってきます。なお の$ の値は次のようにすれば直接的に 導くことができます。色数 番号数の場合は 通り。色数 番号数 の場合も
通り。また色数番号数の場合は色の選び方が通り番号の選び方が通り
それぞれの場合に対して色と番号の対応が×＝通りずつとなりよって××
＝通り。以上より $ となります。
色の数
番号の数
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9 D
³
S ORJ[ D G[
³
S DD ORJ W GW
（[ D W とおく）
®
>
@
¯ ½¾¿
³
S W W DD W W WGW
D D
ORJ ORJ
S
^
ORJ ORJ>
ORJ@
`
D D D D W W W DD
S
^
D ORJD D ORJD`
^
`
S D ORJD D ORJD 9 DS I D とおいて
c
I D ORJ D ORJ D ORJ D ORJ D
ORJD ORJD
ORJD ORJD
ORJD ORJ D ORJD ORJ D
＜ ＜D より ORJD＜ ORJD＞なので ORJD ORJ D＜
ここで ORJD ORJ D＞とすると DD＞
D D ＞ からD＜
I D の増減は右表のようになり
D のときI D は最小
すなわち9 D は最小となる。
このとき D D より
9 S
^
ORJ ORJ`
^
`
S ORJ ORJ
ここで
より ORJ ORJ なので
9 S
^
ORJ ORJ`
^
`
S ORJ
［解 説］
とも丁寧に計算していけば完答できる問題です。の結論はあまりきれい な形ではありませんが の計算のためにそのままにしておきました。なお の方 は上のようにまとめないといけないでしょう。
0
\
[
D …… ……
c
I D − ＋
