は参考文献，“高木隆司， 「力学

.

プリント中の

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¡

佐本

はテキスト，“佐川，本間， 「力学」(シュプリンがー)”を示します。

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高木

は参考文献，“高木隆司， 「力学

¤

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¡

高木

は参考文献，“高木隆司， 「力学

¤

£

¡

戸田

は参考文献，“戸田盛和， 「力学」(岩波)”を示します。

オフィスアワー： 火曜の昼休みと

講時

url: http://www.math.ryukoku.ac.jp/ iida/lecture/lecture.html

1 仕事とエネルギー (1 次元 )

¤

£

¡

佐本

£

¡

戸田

§

¥

高木

ここでは

軸上を動く質点の運動を考える。質点の質量を

での質点の位置を

で質点に働 く力

成分) を

とする。運動方程式

成分) は

md²x(t)

dt² =Fx(t) (1.1)

となる。

【注】物体の運動を記述するとき，その大きさが無視できる場合，その物体を 質点

と呼ぶ。

£

¡

¢

佐本

¨

§

¥

戸田

¨

§

¥

高木

【注】運動方程式

md² dt²



 x(t) y(t) z(t)



=



 Fx(t) F_y(t) Fz(t)



 (1.2)

で，y(t) = 0

の場合を考えている。

簡単な力に対しては，運動方程式の解を式で表すことができる。

・ 調和振動

：フックの法則に従う復元力がはたらく質点の運動

¤

£

¡

¢

佐本 図

¤

£

¡

¢

戸田 図

x

は，ばねの自然長からの伸び

の場合)，

または縮み

の場合) を表す。

ばねの一端を固定し，他端に質量

の物体をつないで摩擦のない水 平な面上に置く。ばねの伸び

が小さい時は，ばねによる力の 大きさはばねの伸び

に比例する

の法則)。

ばねの力がちょうど

になるときの物体の位置

を 原点とし，ばねの伸びる向きを

軸の正の向きにとる。ばねの力

は

軸に平行であり

Fx(t) =−kx(t) ¨

§

¥

佐本

¨

§

¥

戸田

¨

§

¥

高木

となる。k は ばね定数 と呼ばれるばねに固有の正の定数である。

ばねの力のように，物体をつりあいの位置

に引き戻そうと する力を 復元力 と呼ぶ。運動方程式

は

d²x(t)

dt² =−ω²x(t), ω=

√k m

¨

§

¥

佐本

¨

§

¥

戸田

となる。ω を 角振動数 と呼ぶ。

力学.2

.

【問】t

での初期条件

x(0) =x₀, dx(t) dt

¯¯¯¯

t=0

=v₀ (2.1)

を満たす運動方程式

の解を求めなさい。(

¯¯¯¯

t=0

は

dt

に

を代入するという意味。)

【答】

x(t) =x₀cos(ωt) +v₀

ω sin(ωt). ¨

§

¥

佐本

§

¥

戸田

§

¥

高木

【問】調和振動で次の量

E= m 2

(dx(t) dt

)2

+k

2x(t)² ¨

§

¥

戸田

が 保存する

ことを示しなさい。ここで，

K(t) =m

2vx(t)², vx(t) =dx(t) dt

¨

§

¥

佐本

¨

§

¥

戸田

¨

§

¥

高木

は時刻

の， 運動エネルギー ，

2x(t)² ¨

§

¥

佐本

¨

§

¥

戸田

¨

§

¥

高木

は，時刻

の，ばねの力による 位置エネルギー または ポテンシャルエネルギー と呼ばれる。

また， ，E

は 力学的エネルギー と呼ばれる。力学的エネルギーが運動の過程で一定になることを，

力学的エネルギーが保存する という。

【答】

(2.3)

に

を代入すると

2

(−x0ωsin(ωt) +v0cos(ωt) )2

+k 2

(

x0cos(ωt) +v₀ ω sin(ωt)

)2

= m 2 v²₀+k

2x²₀ (2.6)

となり，E

一定 であることがわかる。

実は，力学的エネルギーが保存することは，運動方程式の解

を使わなくても，運動方程式

だけから示 すことができる：運動エネルギーの時間変化は

dK(t) dt = m

2 d

dtvx(t)²=mvx(t)dvx(t)

dt =−kvx(t)x(t) (2.7)

となる。最後の等式で運動方程式

を用いた。一方，位置エネルギーの時間変化は

dt = k 2

d

dtx(t)²=kx(t)dx(t)

dt =kx(t)vx(t) (2.8)

なので，

dt =−dU(t) dt

より

d dt

(

K(t) +U(t) )

= 0 (2.9)

が得られる。この式は

の

に対する変化率が常に

が一定であることを意味

する。

力学.3

.

【問】

初期条件

を満たす物体が

軸上のどの範囲を運動するかを求めなさい。

【答】力学的エネルギー保存則を書き換えると

2x(t)²= m

2v_x(t)² (3.1)

となるが，この式の右辺は負にならないので，

E−k

2x(t)²≥0 (3.2)

より

−

√2E

k ≤x(t)≤

√2E

k (3.3)

という不等式が運動の過程で常に成り立っている。初期条件より

2x²₀

なので，この物体は

√

x²₀+ v₀² ω²

から

√ x²₀+ v₀²

ω²

の範囲を運動することがわかる。

x 0 v =

x 0 v =

vx =

ᦨᄢ

a=

√ x²₀+ v²₀

ω²

¤

£

¡

佐本 図

¤

£

¡

戸田 図

解

をは次の形，

x(t) = x₀cos(ωt) +v₀

ω sin(ωt) =asin(ωt+δ) (3.4)

a =

√

x²₀+v₀²/ω², sin(δ) =x0

a , cos(δ) = v0

aω, (3.5)

に書き換えることができるので，確かに物体が

の領域を全て運動することがわかる。

【注】一般には，力学的エネルギー保存則から得られる不等式

を満たす領域の全てを物体が運動するとは限 らない:

(物体が運動する領域)⊂(力学的エネルギー保存則から得られる領域). (3.6)

しかし，この場合は

からわかるように物体は領域

を全て運動する。

力学的エネルギーは他の運動でも保存する。

・ 自由落下

§

¥

佐本

§

¥

高木

重力のみが働く落下運動を考える。x 軸を鉛直上向きにとると，運動方程式は

dt² =−mg (4.1)

となる。g は重力加速度の大きさを表す。重力による位置エネルギーを

U =mgx ¨

§

¥

高木

¨

§

¥

戸田

とすると，力学的エネルギー

E=K+U =m

2v_x(t)²+mgx(t) (4.3)

が保存する。

【問】力学的エネルギー

が保存することを，運動方程式

から示しなさい。

【答】運動エネルギーの時間変化は

dt =m 2

d

dtvx(t)²=mvx(t)dvx(t)

dt =−mgvx(t) (4.4)

となる。最後の等式で運動方程式

を用いた。一方，位置エネルギーの時間変化は

dt =mgd

dtx(t) =mgvx(t) (4.5)

なので，

dt =−dU(t) dt

より

d dt

(

K(t) +U(t) )

= 0 (4.6)

が得られる。この式は

が一定であることを意味する。

【問】位置

から，初速度の大きさ

で質量

の物体を鉛直上向きに投げ上げた。物体の到達する最大の 高さを求めなさい。

【答】物体は

m

2 vx(t)²=E−mgx(t) (4.7)

が非負の範囲を運動する。初期条件より力学的エネルギーは

2v²₀ (4.8)

なので，物体の運動する範囲は

m

2v₀²−mgx(t)≥0 (4.9)

となる。従って，物体の到達する最高点

は

xm= v²₀

2g (4.10)

となる。

運動エネルギーの形は常に

2v_x²

だが，位置エネルギーの形は働く力によって異なる。

1

次元の運動における位置エネルギー

物体に働く力

成分) が，物体の位置

の関数である場合，つまり

Fx(t) =Fx(x(t)) (5.1)

である場合，位置エネルギー

を，等式

−dU(x)

dx =Fx(x) ¨

§

¥

佐本

¨

§

¥

高木

¨

§

¥

戸田

を満たす関数とする。このとき，力学的エネルギー

は保存する：

m

2vx(t)²+U(x(t)) =

時間に依らず一定

§

¥

佐本

¨

§

¥

戸田

U(x)

は 力のポテンシャル とも呼ばれる。

【問】1 次元の運動の力学的エネルギー保存則

を，位置エネルギーの定義

と運動方程式

から示し なさい。

【答】運動エネルギーの時間変化は

dt = m 2

d

dtv_x(t)²=mv_x(t)dv_x(t)

dt =v_x(t)F_x(x(t)) (5.4)

となる。最後の等式では，運動方程式

と力が

を通して時刻

に依存すること

を用いた。一方，位置 エネルギーの時間変化は

dU(x(t))

dt = dU(x) dx

¯¯¯¯

x=x(t)

dx(t)

dt =−F_x(x(t))v_x(t) (5.5)

となる。最後の等式で，(5.2) を用いた。

dt =−dU(t) dt

より

dt (

K(t) +U(t) )

= 0 (5.6)

が得られる。この式は

が一定であることを意味する。

U(x)

は

の積分

U(x) =−

∫ x x₀

F_x(x⁰)dx⁰ ¨

§

¥

佐本

§

¥

戸田

によって得られる。ただし，(5.7) では

となるように位置エネルギーの基準点を選んだ。

【注】U

に定数を加えても

を満たすので，位置エネルギーには定数だけの不定性がある。

【問】位置

の物体に働く力

成分) が

Fx(x) =−4x³+ 4x (5.8)

となる場合の，力のポテンシャル

を求めなさい。ただし，x

を位置エネルギーの基準点

とする。

【答】(5.7) より

U(x) =

∫ x 1

(

4(x⁰)³−4x⁰ )

dx⁰ =[

(x⁰)⁴−2(x⁰)²]x⁰=x

x0=1 =x⁴−2x²+ 1. (6.1)

【問】

x

軸上を力

を受けて運動する質量

の物体を 考える。時刻

での初期条件が

x(0) = 1, vx(0) =v0 (6.2)

である場合，物体は

軸上のどの範囲を運動する かを答えなさい。

-2 -1 1 2

1 2

1 E>

1 E<

x ( )

U x

A B

C D E F

【答】

力学的エネルギー

E= m

2 v²₀+U(1) = m

2v₀² (6.3)

が保存するので，任意の時刻

で

m

2vx(t)²+U(x(t)) =E (6.4)

が成り立つ。

運動エネルギーは負にならないので，物体が運動できるのは，不等式

U(x)≤E (6.5)

を満たす領域となる。

(6.5)

で決まる領域の端点では運動エネルギーが

となり，物体は折り返す。この位

置は

U(x) =E (6.6)

より求めることができる;

x⁴−2x²+ 1 = (x²−1)²=E (6.7)

より，E >

の場合は

x=±

√ 1 +√

E (6.8)

となる

の場合は

√ 1 +√

E , ±

√ 1−√

E (6.9)

となる

E= m

2v²₀>1

の場合

√ 1 +√

E≤x≤

√ 1 +√

E (6.10)

E= m

2v²₀<1

の場合

√ 1−√

E≤x≤

√ 1 +√

E (6.11)

となる。

【注】E

2v₀²<1

の場合に，点

と点

の間の領域は，不等式

を満たし，エネルギー的には運動が可 能。しかし，出発点

から

の領域に到達するには点

と点

の間の領域を通らなければならな いので，実際にはこの領域には物体は到達できない。

【注】力は

が減少する向きにはたらく。

力学的エネルギーが保存しない場合の例

【問】力のポテンシャル

から導かれる力

に加えて，速度の大きさに比例する空気抵抗

¨

§

¥

佐本

¨

§

¥

高木

¨

§

¥

戸田

が働く場合に，力学的エネルギー

2vx(t)²+U(x(t))

が減少することを示しなさい。b は物体の形によって 決まる正の定数である。

【答】運動方程式は

mdv_x(t)

dt =Fx(x(t))−bvx(t) (7.2)

となる。力学的エネルギーの時間変化を計算する：

dE

dt = m 2

d

dtvx(t)²+dU(x(t))

dt =mvx(t)dvx(t)

dt + dU(x) dx

¯¯¯¯

x=x(t)

=vx(t) (

Fx(x(t))−bvx(t)

)−Fx(x(t))vx(t)

= −bvx(t)². (7.3)

従って，物体が運動している限り

【問】x 軸上の位置

を速度

成分)

で運動している物体にはたらく力

成分) が

Fx=−4x³+ 4x−bvx (7.4)

であるとする。時刻

での初期条件が

x(0) = 1, v_x(0) =v₀

ただし，

2v₀²<1 (7.5)

である場合，時間か十分経過した後の物体の位置

t→∞x(t)

を求めなさい。

【答】時刻

の力学的エネルギーを

とする。

E(t)−U(x(t)) = m

2v_x(t)²≥0 (7.6)

より，時刻

で物体は領域

U(x(t))≤E(t) (7.7)

の中に存在することがわかる。t とともに

は減少するので，物体の存在できる領域の範囲は狭まり，物体は 位置エネルギー

が極小となる位置に近づいていく。E(0)

より，時刻

で物体の運動できる領域内 に

の極小は１つしかないので，x

であることがわかる。尚，E(0)

の場合は，時刻

で物体の 運動できる領域内に

の極小が２つ

あるので，時間の経過とともに物体がどちらの極小に近づくか はエネルギーの考察だけからはわからない。

(参考)空気抵抗や摩擦力が働く場合には，力学的エネルギーは保存しないが，熱エネルギーまで含めて考えると

エネルギー保存則が成り立っている。

§

¥

佐本

¨

§

¥

高木

力学.8

.

@ Ay

Az

A×@ By

Bz

A=@ AzBx−AxBz

Ax By−AyBx

A

2 仕事とエネルギー (3 次元 )

¨

§

¥

佐本

¤

£

¡

戸田

¨

§

¥

高木

質量

の質点の運動方程式は

md² dt²



 x(t) y(t) z(t)



=



 Fx(t) F_y(t) Fz(t)



 (8.1)

となる。

Fx(t), Fy(t), Fz(t) )

は時刻

に物体にはたらく力を表す。

3

次元の運動における位置エネルギー

位置

にある物体にはたらく力が物体の位置の関数である場合，つまり

F(t) =~ F~(~r(t)) (8.2)

である場合を考える。３つの関数

が１つの関数

から次式

Fx(~r) =−∂U(~r)

∂x , Fy(~r) =−∂U(~r)

∂y , Fz(~r) =−∂U(~r)

∂z

¨

§

¥

佐本

¨

§

¥

高木

¨

§

¥

戸田

によって導かれるとき，U

を位置エネルギーあるいは力のポテンシャルと呼び，力学的エネルギー

E=m

2|~v(t)|²+U(~r(t)) (8.4)

は保存する。(運動の過程で一定の値をとる。) 関係式

を満たす

が存在するような力を 保存力 と呼ぶ。

【注】ベクトルの形をした微分演算子

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z )

を用いると，(8.3) は次のように書ける：

F~(~r) =−∇~U(~r). (8.5)

∇~U(~r)

は

の勾配

と呼ばれ，gradU

とも書かれる。

【注】力

が位置

の関数であっても，いつでも保存力になるわけではない。

位置

の関数である力

が保存力である

ための必要十分条件は

∂Fx(~r)

∂y =∂Fy(~r)

∂x , ∂Fy(~r)

∂z =∂Fz(~r)

∂y , ∂Fz(~r)

∂x =∂Fx(~r)

∂z

¨

§

¥

佐本

である。

【注】

を用いると，条件

は

∇ ×~ F~(~r) =~0 (8.7)

と書ける。

は

の回転

と呼ばれ，rot

とも書かれる。

【問】位置の関数である力が

F(~~ r) = α

r³ ~r (8.8)

であるとき，力のポテンシャルを求めなさい。ただし，α は定数，r

である。

【答】(8.3) を積分する。まず，

∂x =−αx

r³

を

について積分する：

U =−α

∫ x

r³dx . (9.1)

積分変数を

から

x²+y²+z²)1/2

に変換しよう。

∂r

∂x = ∂

∂x

(x²+y²+z²)1/2

= ds^1/2 ds

¯¯¯¯

s=x²+y²+z²

∂(x²+y²+z²)

∂x =

(1 2

) s^−1/2¯¯

¯¯s=x²+y²+z²

2x=x

r (9.2)

より，

U =−α

∫ x r³

1

∂r

∂x

dr=−α

∫

r⁻²dr=αr⁻¹+C1(y, z) (9.3)

が得られる。ここで，C

は

の積分に対する積分定数なので，y や

の関数である可能性がある。次に，上 式を

∂y =−αy

r³

の左辺に代入する：

∂U

∂y =α∂r⁻¹

∂y +∂C1(y, z)

∂y =−αr⁻²∂r

∂y+∂C1(y, z)

∂y =−αy

r³ +∂C1(y, z)

∂y . (9.4)

ここで，

∂y = y

r

を用いた。これより，C

が満たすべき条件

∂C1(y, z)

∂y = 0 (9.5)

が得られる。この式を

について積分して

C1(y, z) =

∫

0dy=C2(z) (9.6)

が得られる。C

は

の積分に対する積分定数なので，z の関数である可能性がある。さらに，得られた結果

を

∂z =−αz

r³

の左辺に代入すると

∂U

∂z =α∂r⁻¹

∂z +∂C2(z)

∂z =−αr⁻²∂r

∂z +∂C2(z)

∂z =−αz

r³ +∂C2(z)

∂z (9.7)

となる。ここで，

∂z = z

r

を用いた。従って

∂z = 0，つまりC2

は定数になることがわかる。以上より，力

のポテンシャルは

U(~r) =α

r +C (9.8)

となる．(C は定数。)

(参考) α=−Gm1m2

の場合，(8.8) は，原点に固定された質量

の物体が，位置

にある質量

の物体に及ぼす 重力

万有引力

を表す。G は 万有引力定数 で以下の値を持つ：

G= 6.67· · · ×10⁻¹¹m³/(s²kg).

¨

§

¥

佐本

¨

§

¥

高木

¨

§

¥

戸田

また，α

4πε0

の場合，(8.8) は，原点に固定された電荷

を持つ物体が，位置

にある電荷

を持つ物体に及ぼ す クーロン力 を表す。ε

は 真空の誘電率 で以下の値を持つ：

ε0= 8.85· · · ×10⁻¹²kg⁻¹m⁻³s². (9.10)

【注】中心力

§

¥

佐本

¨

§

¥

高木

¨

§

¥

戸田

位置の関数である力が

F(~~ r) =f(r) ~r

r, r=(

x²+y²+z²)1/2

(10.1)

で与えられるとき，力は常に原点

の方向を向いている。このような力を 中心力 と呼ぶ。力のポテ ンシャルは

U(r) =−g(r),

ただし

は

dr =f(r)

を満たす関数

となる。

【問】

§

¥

佐本

以下に与えられる力が保存力かどうかを判定しなさい。また，保存力の場合は力のポテンシャルを求めなさい。

(1) F~(~r) = (

ayz , azx , axy )

, a

は定数

(2) F~(~r) = (

ky ,−kx ,0 )

, k

は定数

【答】

(1)

∇ ×~ F(~~ r) =

(∂(axy)

∂y −∂(azx)

∂z , ∂(ayz)

∂z −∂(axy)

∂x , ∂(azx)

∂x −∂(ayz)

∂y )

= (ax−ax , ay−ay , az−az) =~0 (10.5)

となるので，この力は保存力である。

次に，力のポテンシャルを求める。まず，

∂x =−ayz

を

について積分する：

U =−a

∫

yzdx=−axyz+C1(y, z) (10.6)

が得られる。ここで，C

は

の積分に対する積分定数なので，y や

の関数である可能性がある。次 に，上式を

∂y =−azx

の左辺に代入する：

∂U

∂y =−ayz+∂C1(y, z)

∂y . (10.7)

これより，C

が満たすべき条件

∂C1(y, z)

∂y = 0 (10.8)

が得られる。この式を

について積分して

∫

0 dy=C2(z) (10.9)

が得られる。C

は

の積分に対する積分定数なので，z の関数である可能性がある。さらに，得られた 結果

を

∂z =−axy

の左辺に代入すると

∂U

∂z =−axy+∂C₂(z)

∂z (11.1)

より，

∂z = 0，つまりC₂

は定数になることがわかる。以上より，力のポテンシャルは

U(~r) =−axyz+C (11.2)

となる．(C は定数。)

∇ ×~ F~(~r) = (∂0

∂y −∂(−kx)

∂z , ∂(ky)

∂z −∂0

∂x, ∂(−kx)

∂x −∂(ky)

∂y )

= (0, 0, −2k)6=~0 (11.3)

となるので，この力は保存力ではない。

保存力ではないので，力のポテンシャルは存在しないが，無理に

と同じように積分してみる。まず，

∂U

∂x =−ky

を

について積分する：

U =−k

∫

ydx=−kxy+C₁(y, z) (11.4)

が得られる。次に，上式を

∂y =kx

の左辺に代入する：

∂U

∂y =−kx+∂C1(y, z)

∂y . (11.5)

これより，C

が満たすべき条件は

∂C1(y, z)

∂y = 2kx (11.6)

となるが，C

は

と

の関数なので，この等式を満たすことはできない。従って，

となる

は確かに存在しない。

保存力のはたらく物体の力学的エネルギーが一定になることは

次元の運動と同様に示すことができる：

dK(t)

dt = d

dt m

2|~v(t)|²=m~v(t)·d~v(t)

dt =~v(t)·F~(~r(t)) =−~v(t)·∇~U(~r)|~r=~r(t) (11.7) dU(~r(t))

dt = ∇~U(~r)|~r=~r(t)· d~r(t)

dt (11.8)

より，

dt (

K(t) +U(t) )

= 0

となることがわかる。

質点が保存力を受けて運動する場合，力学的エネルギー

2|~v(t)|²+U(~r(t)) (11.9)

は保存する。(運動の過程で値が一定となる。)

運動エネルギーは負にならないので，保存力のはたらく，質点が運動できるのは，不等式

U(~r)≤E (12.1)

を満たす領域の内部となる。ただし，E は質点の持つ力学的エネルギーである。