螺旋の幾何学

螺旋の幾何学

兵 庫 教 育 大 学 大 学 院 教 育 内容・ 方 法 開 発 専 攻

M13144B

学 校 教 育 研 究 科 認 識 形 成 系 教 育 コ ー ス 三

宅

彩

香

自然界における様々な生き物の形は

,成

長を規則的 としていな くても

,

結果 として成長の中で数学的な規則性を保持 していることがある。その

規則性は人工的に考えられたものよりも

,数

学的に考察 しやすい規則性

であつた りする。ただ単純に貝の形や

,花

びらの並び方などを眺めてい

るだけでは気づかないが

_,数

_{学的な規則性 という着眼点を持って観察す}

れば

_,違

_{う観点か らの生き物の美 しさに気づ くことができる。そのよう}

なものの一つが本論文で取 り上げる螺旋である。

螺旋は

,自

然界の現象の中に多 く現れているが

,本

論文ではそれだけ

でな く

,数

学的な意味で人工的に創 り出されたものも含む螺旋 とよばれ

るものを取 り扱 う。様々な文献で螺旋の性質や自然界に現れる螺旋の規

則性などが取 り上げられているが

,螺

旋のみを扱つて

,ま

とめて書かれ

ている文献を見つけることができなかった。アルキメデス螺旋に見 られ

るように, 自然界に現れた り

,人

工的に創 られた りしている螺旋につい

ては

_,古

代か ら研究されてはいるものの

,そ

れに特化 している文献がな

いことに筆者は疑間を感じていた。そのことが

,大

学院で螺旋を研究 し

,

修士論文でまとめてみようと思った理由である。

筆者は小学校教員になる予定であり

,算

数・数学を身近なものと結び

つけて理解 し

,指

導する力が必要であると考えている。そのような観点

から

,算

数・数学の身近なものを与える教材 として螺旋の性質について

まとめることを本論文のねらいとした。

以下

,論

文の構成について述べる。

構成 に入 る前に

,本

論文では集合論における基本的な概念や性質につ

いては既知のものとしていることを断っておく。特に,内 田伏一

[」

の前

半で扱 われてい る近傍

,連

続写像

,同

相写像等の概念 は定義 な しに用 い ることにす る。 第1章「平面曲線 の基本的性質」では

,平

面曲線 の基本的な性質 として, 曲線 の特徴や性質

,定

理 について取 り上 げる。平面上の螺旋 は平面曲線 と

して考 え られ るので

,こ

こで扱 われ る道具が後 の章 での螺旋 の解析 に用 い られ る。第 1節で は

,本

論文で主 として扱 う正則平面 曲線 を定義 し

,写

像 のタイ プをその微分 の情報 か ら与 え る逆関数定理

,陰

関数定理 につ いて取 り上 げる。また

,弧

長 とよばれ る曲線 の長 さを定義 してい る。第

2節

では, 単位速度曲線 にお ける単位接ベ ク トル

,単

位法線ベ ク トルを与 え

,こ

れ ら を用 いて曲線 の曲率や 曲率 円

,そ

して フルネの公 式 を与 えてい る。 また, 接触 の定義 を用 いて曲線 にお ける曲率 円の特徴や

,2つ

の曲線 が

1次

_(ま たは

2次

_{)の 接触 をす るための必要十分条件}

_,接

触 の次数 は座標変換で変 わ らない ことを示 してい る。第

3節

では

,ま

ず E G Rees1111を もとに

,平

面の等長変換 に関す る用語や基本 的性質 を復習 している。そ して

,正

格等 長変換 を用 いて

,曲

線 の分類 と曲線論 の基本定理 を述べてい る。次 に

,閉

曲線 の概念か ら卵形線 を取 り上 げ

,卵

形線 の

4頂

点定理 を述べてい る。第

4節

で は

,第

2節

で定義 した単位速度曲線の単位接 ベ ク トル

,単

位法線ベ ク トルの概念 を

,単

位速度曲線 とは限 らない一般 の正則曲線 について も定 義 し

,曲

率 と曲率 円も定義 している。そ して

,後

の章で扱 う一般 の正則曲

線に対する曲率の計算公式を

,」 W Bruce,P J Glblln Fl,J W Rutter[1司 を参考 に述べて い る。 また

,曲

率の導関数か ら螺旋 の定義 を与 えてい る. 第

2章

「対数螺旋」では

,自

然界の現象 に現れ るほ とん どの螺旋が対数 螺旋であることか ら

,古

くか ら多 くの研究がなされてお り

,こ

の章で はそ れ らについて紹介 す る。第

1節

では

,ま

ず

:対

数螺旋 の定義 を述べ

,対

数 螺旋 は等角螺旋 ともよばれ る理 由について考察 し

,後

の グノモ ンで も触 れている対数螺旋 の 自己相似性 について取 り上 げている。そ して

,第

1章 第

4節

で与 えた

,曲

率の導関数か らの螺旋 の定義 を用 いて

,対

数螺旋が螺 旋か どうか を判定 してい る。次 に

,対

数螺旋 の持つ微分幾何学的性質 につ

いて取 り上げ

,自

ら証明を与えた。第 2節 では,D'Arcy Thompson[1劉

で述べ られているグノモンについて取 り上げている。グノモンは対数螺

旋 と関連のある概念で, 自己相似性を通 してその関連性について解説 し

ている。また

,11鋼

の中で扱われている例や考察をまとめるとともに

,対

数螺旋が現実世界に現れ る例 についてもまとめている。

第 3章 「その他の螺旋」では

,対

数螺旋以外の重要な螺旋を取 り上げ

ている。第 1節ではアルキメデス螺旋

,第

2節 では双曲螺旋

,第

3節 では

フェルマー螺旋を取 り上げている。それぞれの節で

,螺

旋の定義を与え

てか ら

,曲

率の導関数か ら螺旋の定義を判定 している。また

,そ

れぞれ

の螺旋に対 して述べ られている性質に関して, 自ら証明を与えた。螺旋

の現れる例があるものについては

,例

も取 り上げている。第 4節 では平

面 曲線 で はないが螺旋 と同 じように渦 を巻 く空間曲線 として

,つ

るまき 線 を取 り上 げてい る。 第

4章

「螺旋 の大域 的性質」で は

,螺

旋 の微分幾何学的性質 とその性 質 を応用 した定理 を述べてい る。第

1節

で は

,螺

旋状 の道路が あ る と仮

定 して

,そ

の道路を車の運転に例えるとどのように考えられるか

,ま

た

その考えを数学的に定式化するとどうなるのかを考察 している。そして

,

メビウス変換によって螺旋は螺旋へ とうつされることを示すために,メ

ビウス変換を構成する基本変換を考察 し

,メ

ビウス変換によって円が円

にうつされることを考えている。第 2節 では

,第

1章第 3節 で示 している

卵形線に対する4頂 点定理定理に

,螺

旋の性質を利用 して

,卵

形線 とは

限らない単純閉曲線に対する4頂 点定理の証明を述べている。

第

5章

「螺旋の局所分類」では

,S Kolb,L Paunescu p],[lq,S Kolke,

L L6 Lol,L Paunescu,M Shlota plの

中で導入された集合芽の接方向

的性質 を用 いて

,螺

旋 の局所分類 を与 えている。第

1節

で は

,ま

ず螺旋 を 局所 的に考 え る上で必要 にな る芽 の概念 を与 え

,方

向集合 の定義 を与 え てい る。例 として対数螺旋

,双

曲螺旋

,ア

ル キメデス螺旋 の方 向集合 に ついて考察 してい る。次 に

,条

件_(SSP)を定義 し

,双

曲螺旋が条件 (SSP) を満たす ことを

,μ

qで

取 り上 げ られてい る間接 的な証明 とは別 に

,直

接 的な証 明を与 えて い る。第

2節

で は

_,螺

旋 の局所分類 を考 え るた めに局 所 的性質 に合 った螺旋 の定義 とリプシ ッツ特性 の定義 を与 えてい る。 そ して

,対

数螺旋 は リプシ ッツ同相写像 を誘導す ることを示 してい る。第3 節で は

,前

節 まで に述べた定義 を用 いて螺旋 の局所分類 の定理 を与 えて い る。 また

,実

際 にそれ ぞれ の螺旋が どの ように分類 され るか を考察 し てい る。 最後 にな りま したが

,本

研 究 を進 め るにあた って

,学

部 時代 に数学科 を卒業 して いない筆者 に

,一

か ら丁寧 に手厚 くご指導頂 いた小池敏 司先 生 に心 よ り感謝 申 し上 げます。多 くの助言 を して いただいた数学 の多 く の素敵 な先生方 に深 く感謝 申 し上 げます。

第

1章

平面曲線 の基本的性質

11

曲線 とは何か

12

曲率 とフルネの公式

13

曲線論の基本定理 と

4頂

点定理

14 -般

の正則 曲線 の曲率 第

2章

対数螺旋

21

対数螺旋

22

グノモ ン 第

3章

その他 の螺旋

31

アル キメデス螺旋

32

双 曲螺旋

33

フエルマー螺旋

34

つ るまき線

,

第

4章

螺旋 の大域的性質

41

螺旋 の微分幾何学的性質

42

螺旋 の性質 の

4頂

点定理への応用 第

5章

螺旋の局所分類

51

螺旋 の接方 向的性質

511

集合芽 の方 向集合

512

_{条件 (SSP)}

52

リプシ ッツ同相写像

53

螺旋 の局所 的分類 の定理 参考文献 ５ ５ ９ ・７ ２︲

23

23 29

36

36 40 42 44 ４８ ４８ ５４   ５６ ５６ ５６ ５９ ６ ． ６５

本章で は平面で の曲線 の基本 的な性質 として

,曲

線 の特徴 や性質

,曲

線 に関す る基本定理 と

4頂

点定理

,曲

線 の曲率 につ いて述べ る。 1。

1

曲線 とは何か

最初 に

,曲

線 の特徴 や性質 を調べ る上での道具 とな る逆関数定理・陰 関数定理 について述べ る。

定理

1。 1。

1(逆

関数定理)(1)点 αを含む数直線の開区間上で定義された

θ∞級関数 ∫

(%)が

∫

′

(α)≠

0を 満たすならば

,∫(α)を

含む区間で定義さ

れた

0∞

_{級関数 θ}

(ν)で g(∫(π

))=Z,∫

(g(ν

))=ν を満たすものがただ一

つ存在する。さらに

,θ

の導関数ノは

1 g′_(ν

)=

∫′

(θ (ν))

定理

1.1.2(陰

関数定理

_)R2の

点

P=(Pl,p2)を

含 む領域

D上

で定義 さ れた θ∞級 関数F(π_l,Z2)が

・ 0=Q轟ば

)≠ 0

を満たしているならば,(Pl∈

R)の

ある近傍 びで定義された σ∞級関数

∫が存在 して

, F(χl,∫

(Zl))=0(″

1/2)∈ 1/

を満たす。さらに点

Pの

十分小さい近傍では,F(χ

lメ

2)=0を

満たす点

(■1,″2)は

π

2=∫

(“1)を

満たすものに限る。

ここでは逆関数定理

,陰

関数定理の証明は省略する。逆関数定理の証

明については松本幸夫 卜],陰 関数定理の証明については野口広

,福

田拓

生 降

]ま

たは卜

]を

参照せよ。

θ∞級 2変数関数

F(χ_,ν)を

用いて

,F(・,ν

)=0と

陰関数で表示されて

いる図形を考える。この図形上の点

(■0,νo)C("o,ν

o)=0を

満たす点

)に

おいて

,

ら

し

ぃ

ν

め

=舒

0ぃ

ν

め

≠

0

が成 り立っているならば

,陰

関数定理

112よ

り, この図形 は

(■0,νo)の

近 くで自己交叉を持たず

,ν

=∫

(″)の

グラフで表すことができる。

開区間 f上 で定義された θ∞級写像 γ 」→

R2,γ_(ι

_)=(γ

l(ι),第(ι))を

滑らかな平面曲線 という。この とき

,変

数

tを

_{曲線 γのパラメータ という。}

定義

1.1.3γ

」→ R2を 曲線 とする。このとき

,任

意の

t∈

Jに 対 し

γ

′

(ι)=(%′(ι),ν

′

(ι))≠ (0,0)

となるとき

,γ

を 」上の正則曲線 という。

本修士論文では主 として滑 らかな正則平面曲線のみを扱 うので

,断

ら

ない限 り

,曲

線 といえば滑 らかな正則平面曲線を表すことにする。

定義

1.1.4γ

_I→

R2を

滑 らかな平面曲線 とする。曲線 γに対するパラ

メータ変換 とは

,次

を満たす θ∞級写像 ι

」→

I(た

だ し

,Jは

開区間

)

のことである。

(1)任 意の 色∈

Jに

対 しι′(鶴)≠

0が

成 り立つ。 (2)tは全射で ある。 この とき,δ(し

)=γ

(ι(υ))に よって定義 された曲線 δ 」→ R2をパ ラメー タ変換tに_{よって γか ら得 られた曲線 とい う。} 逆関数定理

111(1)よ

り

,パ

ラメータ変換 は微分 同相写像

,す

なわち, ιは全単射

,t,「

1は θ∞級であることがわか る。 次 に

,曲

線 の長 さを定義 しよう。曲線 γ(ι)につ いて ιか ら微小 な量 △ι だ け変化 した とき

,対

応 す る曲線 の微小部分 の長 さは γ(ι)と γ(ι 十△(ι)) の距離 lγ(ι 十△ι)一 γ(ι)￨ にお よそ等 しい。 ここで ″(ι),ν(ι)の 変化量 を △

Z=″

_(ι 十 △t)一 ″_{(ι), △ν}=ν_(t十 △t)一 _ν(ι) とお くと, lγ(ι 十 △ι)― γ(ι

)￨=ャ

/(△″

)2+(△

ν)2 とな る。 この区間全体での総和 を とる と

,求

める長 さ とな る。従 つて

,曲

線 の弧長 (長さ)を 次の ように定義す る。 定義 1。

1.5パ

ラメータ表示 された曲線 γ(t)=(″_(ι),ν(ι))(α ≦ι≦ b)の 曲線 の 弧長 を L(γ

_)=ノ

∫

、

_{￨￨(1#)2+(1等}

)2洗

=ノ

∫

ν

/(“

′

_)2+(ν

′

₎₂

₍₁₁₁₎

で定義す る。 命題

1.1.6曲

線 の弧長 は曲線 のパ ラメータ表示の取 り方 によらない。

証明

ι

_降

,司

→ レ

,司

をパラメータ変換 とし

,t=ι

(し)と

する。

△ ι (各 )2+ (各 )2 =ノ

ibγ

(雀

:)2+(後

1)2 Ⅱ

=∫

lγ

(劣

)2+c努

)2

αt, ご鶴

とお く。 合成 関数の微分法則 よ り

,劣 =争

_洗,劣

=窃

_{洗 とな るので},

Ⅱ

=ノ

Iャ

￨￨(害

;:)2+(解

;:)2α

し

=/a〈

((争

)2+(各

)2)(幾

)2

α

υ

も 方 ２                   建 、   ↓ ノ ；ヽ ¨︱ プ       て り 山 一 洸       じ 肛 澪 ﹁ ＼       を の 換 示 ふ ギ 九 〓︲   ・夕変 ・夕表 メ メ ラ ラ ノ   ノ ま リ さ な 長 と の ヽ ︱ ′ ノ

ぬ

而

／ １ ｔ ＼ 十 で の る な ア ﹂ じ 同 Ｌ ｃ

洸 



 

 

ば

﹂

一 訓 な 換 ら 変 よ こ 曲線 □

式

_(111)の

被積分関数は速度ベクトルγ

′

の大きさ

_￨ダ ￨に

等しいから

,

殉

=IbrO口 t ll 1 21

と書き直すことができる。とくにν

=∫

(″)(α

≦χ≦

b)の

グラフはγ

(ι

)=

(t,∫(ι))と

パラメータ表示されるので

,式

(112)は

L(γ

)=Ibvttα

ι とな る。 また

,平

面 の極座標(r,θ)において

rが

θの関数 として

r=γ

(θ)と表 さ れて い る とき

,対

応 す る点の軌跡 は曲線 を表す。 これ を曲線 の極座標表 示 とい う。γ=r(θ)(α ≦ θ≦ b)で 与 え られ る曲線 は γ(θ)=(γ(θ)COS θ,γ(θ)sln θ) とパ ラメー タ表示 され るか ら

,そ

の曲線 の長 さは L(γ

_)=ノ

ib と表 す ことがで きる。 αθ (%)2

1.2

曲率 とフルネの公式

前節で定義 した弧長 を用 いて

,始

点か らの曲線 の長 さをパ ラメー タ と す る と曲線 のパ ラメー タ表示が

,以

下の ように得 られ る. パ ラメー タ表示 された曲線 γ(ι)(α ≦ι≦b)に対 して,

(121)

によつてγ

(ι)の

区間レ

,」

に対応する部分の弧長が与えられる。式

(121)

を微分してγ′≠

0に

注意すれば

,

霧 判 側

￨

←

2の

となる。よつて

,区

間レ

,切

間の曲線γ

(ι)の

弧長を

:と

すると

,s(ι)は

閉区間

レ

,切

から

p,司

への狭義単調増加関数なので

,逆

関数ι

=ι

(s)Ю

,司

→ レ

,切 が存在 す る。逆関数定理

111よ

りこの逆関数 ι(s)も

sで

微分可能で ある か らこれ を用 いて, γ(S)=γ (t(S))(0≦ S≦ 1)

₍₁₂₃₎

のように曲線 を新 しいパ ラメータsで表す ことがで きる。 この sを 曲線 の 弧長パ ラメータ とい う。

1曲

線 は単位速度 曲線 に 命題 1。

2.1弧

長パ ラメータを用 い ることによ り, なる。 証明 曲線 を γ(ι

),弧

長パ ラメータを sと す る。式

(123)を

微分 す る と 合成 関数の微分法則 と式

(122)よ

り, αγ

αγ

αι

_γ′(ι)

γ

(S)=冨

=而

_冨

=再

_で

)￨ (ただ し は

Sで

の微分

,

′ は ιで の微 分 とす る) とな るので _lγ

_(s)￨=1で

あ る こ と

,す

なわ ち弧長 パ ラメー タ曲線 の速 さ (曲線 の速 度 ベ ク トル の大 きさ)は常 に

1で

あ る こ とが わか る。 よつて弧 長パ ラメー タを用 い る こ とに よ り曲線 は単位速度 曲線 とな る。 □

銅

=ItrOい

以下

,曲

線 γに対 してパ ラメータsを 用 いるときは

,断

らない限 り

,弧

長パ ラメー タを用 いてい ることにす る。従 つて

,曲

線 γ(s)は単位速度曲 線で ある。 定義 1。

2.2弧

長 をパ ラメー タ として曲線 γ(s)=(″_(S),ν(S))と表示す る とき,γ(S)にお ける曲線 γの単位接ベク トル を L(S)=γ_(S)=(χ(S),ν

(S)) (124)

と定義す る。 さ らに

,L(s)に

直交 し

,L(s)の

方 向に対 して反 時計周 りに 90° 回転 したベ ク トル

n(S)=(一

_ν

_{(S),"(S)) (125)}

を

,曲

線上 の点 γ(s)にお ける曲線 γの単位法線ベク トル とよぶ。 いまγ(s)=(π(S),ν(S))を弧長パ ラメータによる曲線 のパ ラメータ表示 とす る と

,速

度ベ ク トル γ(s)に ついて γ(S)γ(S)=lγ

(S)12=1 (126)

で ある。 ここで γ γはγとγの内積 を表す。 式

(126)の

両辺 をsで微分 す る と

発は→

71Sll=個

《

⇒

+《

⇒ズ

⇒

=2γ

(s)・ γ(S)

=0

となるので

,加

速度ベク トル γ

(s)は

γ(S)=L(S)に 直行する。 このこと

は

,γ(S)が

単位法線ベクトル

n(s)の

実数倍であることを意味する。以上

より曲線の曲率は次のように定義する

.

定義 1.2.3曲 線 γ

(s)の

曲率を

,加

速度ベクトル

γ(S)=κ(S)ln(S) の比例定数 κ(s)と して定義す る。曲率 はパ ラメータ sの 値 ご とに決 まる値 であ るか らsの関数 と見 なせ るので,κ(s)を曲率関数 とい うこ ともある。

n(S) L(S)=γ_(S) 、∪Vノ

CC 121κ

>0の

とき 図

11曲

率の符号 と曲線 の曲が り具合 121κ

>0の

とき [1lκ <

0の

とき 図

12曲

率の符号 と曲率 円

S)=γ

_(S)

S)=γ

(S) )nC)

=γ

(S)

κ

_O)nO)

[1lκ

<0の

とき ι

_(S)=γ

_(S)

お

nO)

お

TO)

上の定義 よ り

,曲

率 と接ベ ク トルの変化率の間 には関係がある。 この こ とよ り

,曲

率 の符号 の情報か ら曲線 の曲が り具合がわか る。(図 1.1参照) 次 に

,曲

線上 のあ る点の近 くで

,

この曲線 を最 もよ く近似 す る円の概 念を考 える。 定義 1。

2.4曲

線上の点 γ_(s)にお ける曲線の曲率が κ(s)≠ 0と す る。 この ときγ(S)で曲線 に接す る半径 需齢 の円を曲線の進行方向の左側 と右側 に 1つ ずつお くことがで きる。κ

_(s)>0の

ときは曲線 の進行方 向に向かって 左側 の円を,κ

_(s)<0の

ときは右側 の円を曲線 の γ(s)にお ける曲率円 と よぶ。 この とき

,半

_{径 需断 を曲率半径 とよび}

,曲

率円の中心 の位置ベ ク ト,レは

γ

O+鳥

n0

で与 え られ る。 この点 を曲率 中心 とよぶ。_(図

12参

照) 単位接 ベ ク トル と単位 法線 ベ ク トル の導 関数 を も との単位 接 ベ ク トル と単位法線 ベ ク トルで表 す のが フルネ の公 式で あ る。 定理 1.2.5(フル ネ の公 式

_)パ

ラメー タ表 示 され た単位 速 度 曲線 γ

(s)=

(χ(S),ν(S))に つ いて, ι

_(5)=κ

_{(S)n(5), n(S)=―} κ_(S)L(S) が成 り立つ。 証 明 定義

123と

n(s)=(―

ν(S),″(S))よ り γ

(S)=κ

(S)n(S)

=κ

_{(S)(― ν}(5),"(S))

=(―

κ_{(S)ν(S),κ(S)χ(S))} である。 また

,

γ(s)=(∬(S),ν(S))なので (・(S),ν(χ

))=(―

κ(S)ν(5),κ(S)%(S))

(127)

と表せ る。従 つて,ι

_(S)=γ

(S)=(Z(S),ν (S))よ り ι_{(S)=γ(S)=("(S),ν(S))}

=(―

κ_{(S)ν(S),κ(S)Z(S))}

=κ

(S)(―ν(S),″(S)) =κ (S)n(s)

n(S)=(―

_{ν(S),π (S))}

=(―

κ_{(S)χ(S),一 κ}(S)ν(S))

=―

κ(S)(・ (S),ν (S))

=―

κ_(S)ι(S) を得 る。

□ 曲率 中心 の軌跡 を曲線 γの縮 閉線 とよぶ

.こ

れ は γの法線族 の包絡線

として定義される

(F]参

照

)。 定義

1.2.62つ

の曲線 γl(ι)と 能

0)が

点

Pで

1次

の接触 をす る とは

,2

曲線が ともに点

Pを

通 り

,そ

の点 にお ける接線 と進行方 向を共有す るこ とで ある。 この とき

Pを

原点 とし

,進

行方 向に

z軸

,左

向 き法線方 向に ν軸 を とれ ば,γl(ι)お よび 第(Z)は それ ぞれ関数 ν

=∫

(π

),y=θ

(“)の グラフで表 す ことがで き,

即

)=ク

(0)=0,%(0)=傷

(0)=0

が成 り立つ。 さ らに

,一

般 に

多

0=弊

0,,寡

0=弊

0

が成 り立つ とき

,2つ

の曲線 は

Pで

n次

の接触 をす る とい う。 定義

126よ

りπ

>η

≧1に対 し鶴 次の接触 をす るものは η次 の接触 もす る とよんで い ることに注意す る。 定理

1.2.7曲

_{線 γ}(ι)上 の 1点 γ(tO)における曲率円は

,そ

の曲線 に点 γ(ιO) において

2次

の接触 をす る。逆 に点 γ(ιO)で 曲線 に

2次

接触 をす る円は曲 率円に限 る。

証明 γ

(tO)に

おいて

,接

触の定義を用いた座標系

(",ν)に

より

,曲

線を

関数のグラフν=∫

(π)で

表す と

,

∫

(0)=0,

ノ

′

(0)=0

である。

一方

,ν

=∫

(″)の

曲率の式は

,後

に述べる系

143よ

り

,κ

=馘

である

.ゆ

えにκ

(ι

O)=∫

″

(0)と

なる。∫

(")の

χ

=0で

のテイラー展開を

考 え る と,

八

→

=ズ

の

十

六の

″

十

響ノ十

∝

め

=写

ノ

+∝

め

と表す ことがで きる。ただ し,ο ("2)はランダウの記号である。すなわち,

正の定数

Pに

対し

,hmα

→

09=0が

成り

立つとき

,bし)=ο

(τ p)(τ

→①

とか く。 ここで κ

(ι

o)=0の

ときとκ

(ιo)≠

0の ときで場合分 けをする。

(1)κ(ι

o)=0の

とき∫

(″)の

グラフが χ軸 と2次 の接触をすることは同値

なので曲率円は無限大の半径を持つ円

,す

なわちχ軸に限る。

(11)κ(ιo)≠

0の とき

,κ

(to)<0の ときも同様なので κ

(ι

O)>0と

する。曲

線に接する半径 αの円はν=α ―ν乞

2_z2と

かけ

α 〓 ν   ″ ２

_ν′

_α

2_″

2ょ

_りν

₍₀₎₌₀

=写

砺

ヂ

≡

可

戸

よ

り

真の

=0

ν′

=

2∼/α

2_″

2

ノ

=満

よ吻 η

=:

と計算される。ゆえに円 とγが 2次 の接触をするための必要十分条件は

κ

_(ι

_o)=:で

ある。従って

,接

触する円の半径は α

=π

_{齢 と}

一意に定ま

る。 つまり

,円

が曲線 と2次 の接触をするための必要十分条件は曲率円

であることがわかる。

□ 命題

1.2.82つ

の曲線 γl(ι

),第

(Z)が点

Pに

お いて1次 (2次)の 接触 をす るための必要十分条件 は

,能

のパ ラメー タを うま く選 べ ばt=ιO,色

=υ

0

にお い て

η

O=預

り

=二

争

0=難

;

(2次

の

接

触

の

場

合

は

さ

ら

に等渉←

め

=手

渉

←

が成 り立つ ようにで きることで ある。 証明 まず

,必

要性 を示す。

,能

が

P=0(R2の

原点)と して点

Pに

おいて

1次

の接触 簡単 のため γl‐ 接触 の定義 の ときの ように,γ

l(%)=(″

,∫(・)),能(″

)=

を した とす る。 (・ ,θ (χ))と表 す と定義

126よ

り

∫

(0)=g(0),勇 (0)=傷

(0) と表せ る。 この とき 次 に十分性 を示 す.

範

(ι)=("(ι),ν(ι

)),能

(Z)=(■(し),ク(Z))と

おき上 と同様に

,そ

れぞれを

ν=∫

(χ),ν

=θ

(∬)で

表 してお く。ν=∫

(“(t)),夕(し

)=gけ

0))が

成 り

立つから

,合

成関数の微分法則より

,

イ

げ α

ι

ν

′

α

g α

g

α

lじ

ι

タ

ノ

α

χ

=扇

扇

=フ

'扇

=扇

I扇

=フ

なので

０

錦

π

＞   〓

却

綸

リ

＞〓

軌

静

痢

ん

︶

０ ，   〓 一 一   ＞ ＞

０

静

Ｃ

ん

ビ

一 一     〓 の   の   つ

傾

Ｌ

フ

吋

成 で の る な し ｃ

α

一

あ

ヽ 、

い

〃

就司

  ¨

一ノ

げ

蕩

何

扇

綸

_判

ｋ ｒ

ｄ

一

山

淘

扇

α

Ｔ

ｔ ｒ 〓 一 一     〓 〓

々

形

同様 に して

α

2g

発

′

_ク

″一カ″グ

ご

"2

■′3 とか け る。

γ

l(ι

o)=能

(ιo),γl(ι

o)=t(υ

o),(γr(ι

O)=《

(lo))

なので

P=0と

してお くと

(0,ν

(0))=(0,9(0))

ゆえにν

(0)=ク(0) (χ

′

(0),ν

′

(0))=(奎

′

(0),J′

(0))

ゆえに″

′

(0)=力

′

(0),ν

′

(0)=ク

ノ

(0) ((χ

″

(0),ν

″

(0))=(■

ノ

′

(0),ク

〃

(0))

ゆえに

z″

(0)=力

″

(0),ν

″

(0)=ク

″

(0))

となる。以上より

∫

0=θ

O,勇

0=傷

0,(寡

0=弊

0)

とな るので十分性 も成 り立つ。

□ 命題

1.2.9開

集合

D⊂

R2か

らψ

(D)⊂ R2へ

の微分 同相写像 ψが与 え られてい る とす る。 この とき

,D内

の2つ_{の曲線 γ}l(ι)と 能(ι)が

Dの

点

Pで

1次

_{(2次 )の 接触 をす るための必要十分条件 は},71(ι

_)=ψ

O γl(ι)と %(し

)=ψ

O飽

し)が点 ψ

(P)で 1次

(2次 )の 接触 をす ることで あ る。

証明

まず

,十

分性を示す。写像ψをψ

(χ ,ν

)=(ξ

(″ ,ν),η(Z,ν))と

かい

てお く。領域

D内

の曲線 γ

(t)=(χ(t),ν(t))に

対 して

予

(ι

)=ψ

Oγ(ι)=(ξ(χ(ι),ν(ι)),η("(t),ν(ι)))

とお くと

,合

成 関数の微分法則 よ り,

∝

一

釣

＋ 山 一 ＆ ∝ 房 〓

礎

肩

鉤

而

と

フ

窃

=a″

′

十もν

′

=ηω″′

+Ъ

ν′ =携 (新 )

=携

_(%争

十

_%解

)

=:争

(争

)2+荒

害解

+:'弊

十

_弊鰐

_)2+競

_解害十

_%・

_1努

=aノ

2+26ν

z′

ν

′

+aZ〃

十もν

ν

′

2+も

ν

″

==ηωαノ

2+2η

_αγzノ_ν′_+97″∬″+77tJυ_ν′2_十 _ηυν″

め

フ

を得 る。γ

lと

能 が点

Pで

1次 の接触をした とすると

,命

題

128よ

り

γl(lo)=t(Oo)と なる。従つて

_"1(ι

o)=″ ち

(υo),νl(to)=ν

'(Zo)と

なるの

で

,7 71(ι

O)=抒

′

2(υO)を

得 る。よつて

,∼1と

物 はψ(P)で 1次 の接触を

する。

次に必要性を示す。■

(ι

)=ψ

O

γ

l(ι)と %(υ

)=ψ

O能

(し)に

おいて

予

1を

γ

lに

,物

を能 に,ψ をψ

lに

置き換えると

,%=ψ

10ψ

O%=

ψ

10t(0=1,2)よ

り従 う。

2次 の接触についても同様に示される。

□

1.3

曲線論の基本定理 と

4頂

点定理

最初 に

,E G Rees[11を

も とに

,平

面 の等長変換 に関す る用語や基本 的性質 を復 習す る。一般 に距離空間の部分空間上 の等長変換 とは

,距

離 を変 えない上へ の写像 の こ とで ある。平面

R2上

の等長変換 の場合 には, 自動的に上への写像 とな るので

,距

離 を変 えない写像 として定義 され る。

R2上

の等長変換 は平行移動 と直交変換 の合成で表 され るこ とが知 られて い る。 この とき

,直

交変換 を表現す る直交行列 の行列式が正 (負)の とき 等長変換 は

,正

格(変格)と よばれ る。従 つて

,正

格等長変換 は平行移動 と回転 の合成で表 され る変換 と言 つて よい。

定理

1.3.1パ

ラメータの範囲が同 じ単位速度曲線 の正格等長変換 による 分類 は

,曲

率 によって完全 に与 え られ る。 証明 曲線 γlに回転 をほ どこして 物 が得 られた とする。 ここで曲線の接 線 を ″軸

,法

線 を ν軸 とす ると

,回

転 と平行移動 の合成 は,π 軸 とν軸の 向きに影響 を与 えない。 笥 の曲率 円 の に正格等長変換 を施 して得 られ る円を の とす る。定理

127よ

_{りγlの 曲率円 の はγlに 少な くとも}

2次

の接触 を して い る。 よつ て

,命

題

129よ

り円 の は 能 に少な くとも

2次

の接触 を してい ることが わか る。従 つて

,定

理

127よ

_{りの は 能 の曲率円である。} 一方

,回

転 と平行移動で 円の大 きさ と回転方 向は変 わ らないので

,0

との の円の半径 は同じで

,■ ,飽

か らの

,の

上 に誘導 され る向 きは同 じなので

,能

の曲率 は γlの 曲率 と一致す る。

□ 与 え られた曲率 をもつ曲線 は

,存

在すれば一意的であることは定理

131

か らわか る。 ここで

,あ

る滑 らかな関数が与 え られた とき

,そ

の関数 を 曲率 とす る曲線 はいつで も存在 す るのか を考 える。 定理 1.3.2(曲線論の基本定理

)区

間0≦ s≦ Jで 定義 された滑 らか な関 数 κ

_(s)(0≦

S≦ ι_{)に 対 して}

,sを

弧長 としκ_(s)を曲率 とす る平面 曲線 γ(S)(0≦ S≦ ι

)が

存在 す る。 さ らに

,

この ような曲線 は正格等長変換 で 写 り合 うものを除いてただ一つで ある。 証明 定理

131よ

リパ ラメー タの範囲が同 じ単位速度 曲線 の正格等長変 換 による分類 は曲率 によ り与 え られ るので

,一

意性 は明 らかで あ る。 次 に存在性 を示 す。 と:6け}ゴ, α ヽ ｌ ｌ ノ ヽ ︱ ′ ノ υ α υ κ √ 九 ／ １ １ ヽ ｎ Ｓ ヽ ｌ ｊ ノ 鶴 α 鶴 κ √ 九 ／ １ １ ヽ ０ Ｃ ／ １ ｔ ＼ √ 九 〓 Ｓ γ ヽ ︱ ′ ノ ＼ ｌ ｌ ノ Ｚ α し κ √ 九 ／ １ １ ヽ ｎ Ｓ ＼ ︱ ′ ノ υ α 色 κ √ ノ ｏ ／ １ １ ＼ Ｓ Ｏ Ｃ ／ １ １ ＼ 〓

鉤

冨

■ ■ 〓 ヽ ︱ ′ ノ 色 α Ｚ κ ｆ 九 ／ ｆ ｔ ＼ ｎ 十 ＼ ︱ ′ ノ

山

鶴 κ √ 九 ／ １ １ ＼ Ｓ Ｏ Ｃ 〓

鉤

房

ｈ ソ な と とな るのでsは _{γ(s)の 弧長パ ラメー タで あ る。}

また

,lcoSl∬

<00,鈍

_<∬

く

00)は

γ

ι

_(s)で

_{ある。ここで∬κ}

(し )α

Z=θ

(S)と

すると

の

sで

の単 位 接 ベ ク トル Ｓ ｎ Ｓ θ 〓 Ｓ Ｓ       ｎ υ Ｄ   κ   ↑

纂

げ

Ｌ

岬

＜

_ｃ

_。

α

房

 

↑

一 一     一 一   〓

鉤

冨

０

み

願

(*) とな るので_{,θ (s)は γの}

sで

の曲率で あ り

,(*)よ

りこれ は与 え られた関 数 κ_(s)であ る。

□ 1周 して元 に戻 る曲線 を開曲線 とい う。長 さ:の_{閉曲線が γ(s)(0≦ S≦} J) と表示 されてい る とき,「閉曲線 である」 とい う条件 は

,s=0と

s=ι に おいて

rの

任意次数 の導関数が一致 してい ることで あ る。すなわち

ズの

=γ 101,s雪

_Oγ

°

0=s摯

_Oγ

00 C=1,2,3,。

) が成 り立つ ことである。この とき,γ

R→

R2,た ∈zと し,7(s+た ι

_)=γ

(S) と定 め るこ とに よ りγは

R全

体 で定義 された周期 :の滑 らか な関数 に拡 張す るこ とがで きる。 さ らに

,曲

率 κ(s)も

R全

体で定義 された周期 ιの 関数 とみなす ことがで きる。 自分 自身 と交叉 しない閉曲線 を単純閉曲線 とい う。単純 閉曲線上 の任 意の

2点

を結ぶ線分が 曲線 の外部 の点 を含 まない とき

,そ

の曲線 を卵形 線 とい う。例 えば円や楕 円は卵形線で ある。曲率が符号 を変 えない閉曲 線 は卵形線 で あることが知 られてい る。(第

4章

の定理

421参

照) 図

13卵

形線 _図

_14リ

_{ロ形線 でない単純閉曲線}

定義

1.3.3-般

_{に曲線 の曲率 κ(s)が極大値 また は極小値 を とる点 を頂} 点 とい う。 閉曲線 は周期関数 としてみなせ るので

,そ

の1周期 の中に少 な くとも 2つの頂点 を持つ。 また

,周

期関数が1周期 において極大値 を とる個数 と 極小値 を とる個数 は

,そ

れ らが有限個 で あれ ば等 しいか ら

,一

般 に閉曲 線 は偶数個 の頂点 を持つ。 卵形線 について は以下 の定理が成 り立つ。 定理 1。

3.4(卵

形線の

4頂

点定理

)円

でない卵形線 には少な くとも

4個

の 頂点が存在 す る。 証明 背理法 によ り証 明す る。以下

,頂

点が

2個

で あ る と仮定 す る

.閉

曲線 が γ(s)(0≦

S≦

ι_)と 表示 されて い る とす る。

2つ

の頂 点 を γ(0), γ(υ)(0<υ

<:)と

し

,さ

らに曲率 κ(s)は

S=0で

最大値

,s=υ

で最小値 を とる として も一般性 を失わない。す ると

,区

間 Ю,司 で は κ(S)≧ 0と な る。 とくに κ(s)が恒等的 に

0な

らば κ(s)は定数で ある。その ような閉曲 線 は円 とな り仮定 に反 す る。 したが って κ(s)は恒等的 に

0で

はない

.い

ま

,2点

_{γ(0)と γ}(υ)を結ぶ直線 の方程式 を α

z+bν

+c=0(α

,b,Cは定数

) (131)

とお くと

,

この直線 は γ(0)と γ(υ)の間で卵形線 の内部 にな らな けれ ば な らないか ら_{,γ (s)=("(S),ν(S))は}式

_(131)の

直線 で

2分

され

,0≦

s≦

υで一方 の側,υ ≦

s≦

ιで反 対倶1に あ る こ とが わか る。 よつて

α

″

_(S)十 bν

(S)+Cは

2つ

の区間Ю

_,」

とレ

_,司

では異なる符号をとる

.以

上

より

,κ(s)(α

″

(S)+bν

(S)+C)は

0≦ S≦

ι

で符号を変えず

,ま

た恒等的

に

0に

はならないから

,積

分

」

=ガ

tlSll粥

0+頃

→

十

の

お

は 0に な ら な い 。 一 方 ,部 分 積 分 と “ (s)=一 κ_{(S)ν (S),ν (S)=κ (S)π (S),} さ らに κ_{(s),χ (S),ν(S),"(S),ν (S)は 周 期 ιの関数 よ り}, Ｓ α ハ ノ         ０ ズ     お     〓

蜀

 

０

日

_卸

ｍ

¨

Ш

／

ノ

_ｏ

ι

↑

颯

一 √ ノ ｏ ｌ ． 一 一     一 一     〓 Ｊ

とな るので仮定 に矛盾 が生 じた_(上式 の最後 の結果 は曲線 が閉 曲線 で あ る こ とに よる)。 よつて 円で ない卵形線 には少 な くとも

4個

の頂 点が存在 す る。 □ 1。

4 -般

の正則曲線の曲率

パ ラメー タが弧長 とは限 らない

,一

般 の正則平面 曲線 γ 」→

R2に

対 す る単位接 ベ ク トル

,単

位法線 ベ ク トル

,曲

率 を定義 しよう。

定義

1。4。

1区

間 」

=レ

_,切

とし

,Sを

γ

_(α)か

らのγ

_(b)の

弧長関数 とする。

命題

121よ

り。α=γ o「

1=γ

Oι

は

,単

位速度曲線にな り

,そ

の単位

接ベクトルを

1,単

位法線ベク トルを品

,曲

率をたとする。

s∈

_{∬におけるγの単位接ベク トルを}

L(s)=こ_(t(S)),単

位法線ベク ト

ルをn(s)=品

_(t(S)),曲

率をκ

_(s)=え(ι(S))で

定義する。

定義

124と

同様 にγ上の点

sに

_{おける曲率が κ(s)=え}

_(ι(S))≠ 0と

す

ると曲線 γ

(s)に

おける曲率円が定まり

,そ

の半径は 面論 と定義される。

このとき曲率円の曲率中心のベクトルはγ

(s)+召

_翫

n(S)で

与えられる。

また単位速度曲線の ときと同様に

,曲

線 γに対 しても縮閉線の概念が

定義されるし

,η

次の接触の概念 も定義される。

次に

,一

般の正則曲線に対する曲率の計算公式を証明抜きで述べる。証

明については

J W Bruce,P」

Glblln『

_{1,J W Rutter μ制を参照せよ。}

定理

1.4。

2正

則平面曲線 γ

_{(t)=(∬(ι),ν(ι))に}

おける曲率 κ

(ι)は

次の式

を用いて与えられる。

det(γ′_,γ′′₎

lγ

′ 13 ″′_ν〃― "〃ν ′ κ_(ι

₎₌

(″

ノ

2+ν′

2)3 この定理 の系 として以下の計算公式 を得 る。 系

1.4.3グ

ラフ表示 された滑 らかな曲線 ν

=∫

(χ)の 曲率 κ(″)は

κ

O)=←

_+め

_:(ノ

=島

,υ

″

=夕

)

である。

系

1.4.4単

位速度 曲線 γ(s)=(π(S),ν(S))にお ける曲率 κ(s)は κ_{(S)="(S)ν(S)一} ・ (S)ν(S)

である。

系 1.4.5極座標表示された滑 らかな曲線

r(θ_)の

曲率 κ

_(θ)は

κ

(の

=生

嬌

_￨十(筋)2_γ

多

(第)2): で ある。 系

1.4.6複

素平面上の滑 らか な曲線z(ι

)=χ

_{(ι)+Oν(t)の} 曲率 κ_(t)は次 の式 を用 いて与 え られ る。 Om(Z′Z″₎ κ_(ι

_)=―

lz′ 13 ここで曲率 の導 関数か ら螺旋 を定義 しよう。 定義

1.4.7曲

率 の導関数が

0に

な らない曲線 の ことを螺旋 とよぶ

.そ

の うち

,曲

率が単調増加 で あ る曲線 を正の螺旋

,曲

率が単調減少で あ る曲 線 を負の螺旋 とよぶ. 本章 に引 き続 く次 の

2つ

の章で具体的な螺旋 の例 を述べ ることにす る。

第

2章

対数螺旋

対数螺旋 は

,オ

ウムガイな どの巻 き貝の形状や 台風 の渦 の ような 自然 界 の現象 に多 く現れ るこ とが知 られて いる。従 つて

,

この螺旋 は多 くの 科学者 の興味 を引 き

,古

くか ら様 々な研究がなされてい る。第

2章

で は, その対数螺旋 の種 々の性質 とそれ を持つ意味 につ いて述べ る。対数螺旋 の種 々の性質や その意味 について文献 に記載 はあつたが

,そ

の性質 の証 明につ いて は見 当た らなか ったので

,自

分で考 えてつ けておいた。 2。

1

対数螺旋

最初 に定義 を述べ る。 定義 2。 1。

1極

座標 _(Ъθ)を用 いて

r=α

cbθ _(α

>0,b>0)

と表 され る螺旋 を対数螺旋(また は等角螺旋)と よぶ. 12ザ J∫ 図

21対

数螺旋

対数螺旋が等角螺旋 ともよばれ る理 由は

,次

の命題 の性質 による。 命題 2.1。

2対

数螺旋 とその中心か ら伸 ば した半直線がなす角

,す

なわち 対数螺旋 と半直線 との交点 にお ける曲線 の接線 と半直線 のなす角 は一定 である。 証明 定義

211よ

り対数螺旋 は

r=α

cbθ と表せ

,rを

ベ ク トル として考 える と眸(θ)=("(θ),ν(θ))と表せ る。 この とき, ″_(θ

_)=α

θbθ Cos θ_,ν(θ

_)=α

θわθ Sln θ

より‖

_『

(θ)‖=αebθ

となる。

次に〆

(θ)を

考える。〆

(θ

)=C(θ

),ν

′

(θ))と

表せるので

, χ′==α b♂θ COs θ一αcbθ sln θ_{, ν}′=二 αbebθ sln θ―αθ bθ cos θ よ り

‖眸

′

(θ)‖

=ャ

/′ (″

′

(θ))2+(ν

′

(θ))2 _ν _α2′_θbθ _卜 _α2cbθ =α

θ

bθ

yb2+1

となる。ここで

P(θ_)と r′_(θ)の

なす角を口とすると

くのぼ

0)

COS 9=Tttθ

)‖

‖眸

′

(θ)‖ α2be2bθ α2′bθ_へ /′

b2+1

1 √

+1

であ るので

,tan 9=:と

な る。従 つて

,角

′は一定 の値 ψ

=tan 1(:)

を とるので

,対

数螺旋 とその中心か ら伸 ば した半直線が なす角 は一定で ある. □ 命題

2.1.3対

数螺旋 を極 を中心 に拡大 して得 られ る曲線 は

,も

との螺旋 を極 を中心 に回転 した もので ある。

証 明 も との対数 螺旋 を

r=α

θとす る。 この螺旋 を た倍 (ん

>0)す

る と γ

=λ

αθとか ける。b=logα たとお けば α

b=た

と表せ る。 よつて たαθ=αbαθ=αθ+b を得 る。従 つて

,上

の式 は も との対数螺旋 のパ ラメー タを θか ら θ

+bに

取 り替 えた ものな ので

,対

数螺旋 を極 を中心 に拡大 して得 られ る曲線 は, も との螺旋 を極 を中心 に回転 した もので あ る. □ 注意

2.1.4上

の命題 よ り

,対

数螺旋 は 自己相似 性 を持 つて い る。 螺旋 は曲率 の導 関数 を用 いて定義 され るので

,対

数 螺旋 の 曲率 の導関 数 を調 べ る こ とにす る。 命題 2。

1.5対

数螺旋 の 曲率 は 1

くの

=

であり

,曲

率の導関数κ

′

(θ)は

定符号で定義

147の

条件を満たしている。

証明

系

145を

用いるとκ

(θ

)=生

≦土を築狙 ょり対数螺旋の曲率

くの

=

を得 る。 次 に曲率 の導関数 を考 える。上記の曲率の式 を微分 す る と αb、/b2+_lcω

κ

′

(θ)==―

一

て

α

_∼

/′b2_卜 _lebθ )2 b α ∼//b2+lebθ を得 る。 これ は θ

=(一

∞ ,∞)で常 に負で あ る。 よつて 曲率 の導関数 は定 符号 で あ る。 □ 次 に対数 螺旋 の持 つ微 分 幾何 学 的性質 を述べ る。

命題

2.1.6任

意 の対数螺旋 の曲率円の中心の軌跡(縮閉線)は

,対

数螺旋 で ある。 証明 定義

211よ

り対数螺旋 は γ(θ

)=α

θ bθ _{と表せ るので}

,対

_{数螺旋 の} 第

1次

導関数 と第

2次

導関数 はそれぞれ γ′(θ

)=α

bebθ,γ ″ (θ

)=α

b2cbθ と なる。γ(θ)をパ ラメータ表示す るとr(θ

)=(α

θ わθ _{COS θ} ,αθbθ sln θ)とな るの で

,こ

れ を微分 して γ′(θ

)=(α

bCbθ COS θ_αcbθ sln θ,α bebθ sln θ+αθ bθ COS θ₎ を得 る。 よつて￨ノ(θ

)￨=ν

′ α2b2c2bθ _+α2θ2bθ _=αθbθ ν′

b2+1ょ

り

,対

数螺 旋 の単位接 ベ ク トルL(θ_)は L(θ_)=lr′ (θ)￨ =(R

)

α

θ

bθ

∼

/′

b2+1 '

α

θ

bθ

ν

b2+1

=( ) で ある。定義

122,141よ

り対数螺旋 の単位法線ベ ク トルn(θ_)は

く

の

=←

)

で あ る。一 方

,系

145よ

り対数螺旋 の曲率 κ(θ)は α2θ2bθ _+2α2b2c2bθ _+2α2b2cαbθ _α2b2c2bθ κ_(θ

)=

(α2′ bθ _+α2b2c2bθ )3 α2♂bθ

(1+b2)

α

3c3bθ

(1+b2):

1

α

θbθ ャ

/1+b2

で ある。 ここで対数螺旋 の曲率 円の中心のベ ク トル を σ(θ)とす る と,

σ

_O=rO+潟

n0

=(αθbθ

COS θ_{,α ebθ} sln θ

_)+α

θbθ_(―bSln θ一COs θ,b cos θ―sln θ)

=αbcιθ_(―sln θ_,COs θ)

=励

´

θ

いω

+レ

m<θ

+卸

を得 る。 ここで θ

+3を

θと取 り替 えた σ(θ)を δ(θ)と す る と, δ_(θ

_)=α

bC 与ebθ_(cOS θ_,Sln θ₎ とな るので,ケ(θ)を極座標表示す る と F(θ

)=α

bC 等θbθ を得 る。従 つて

,任

意 の対数螺旋 の曲率円の中心 の軌跡 は対数螺旋で あ る。 □ 命題

218を

示 すために

,正

則 曲線 のペダル曲線 を定義す る。 定義 2.1.7γ を 」→

R2へ

の正則 曲線 とす る。γのペグル曲線 とは

Ю

=粽

ば

0州

―刺 州

X刊

00

で与 え られ る曲線で あ る。 lγ(t)ln(ι)￨

図

22ペ

ダル曲線

命題

2.1.8対

数 螺旋 のペ ダル 曲線 も対数螺旋 で あ る。 証 明 定 義

211よ

り対数 螺旋 は

r=α

θbθ _{と表せ る。γ} (θ

)=(・

(θ),ν(θ)) と表 す と,χ(θ

)=α

Cbθ COS θ,ν(θ

)=α

Cbθ Sln θよ り "′ (θ

)=α

bθ bθ cos θ一 αθbθ sln θ_,ν′(θ

)=α

bθ bθ sln θ+αθbθ COS θ γ(ι)

を得 る。 よつて

‖

r′_(θ)￨￨ =α

yb2+lθ

bθ

(211)

となる。

一方

,定

義

217よ

り

,対

数螺旋 γのペダル曲線 δ

(θ)は

Ю

=粽

『

0ズ

の一ズの動

←弓くら くの

である。ここで

,"′(θ)ν(θ)一

“

(θ)グ(θ)と (一

ν

ノ

(t),"(ι))は

それぞれ

χ′_(θ)ν(θ)一 "(θ)ν ′ (θ)=(abθ bθ

COS θ一 αebθ sln θ_{)α ebθ} sln θ ― αCbθ COS θ_{(α ttbθ} sln θ+αcbθ cos θ) =_α 2♂bθ

(212)

(一ν ′ (ι),χ(ι

))=(一

αbebθ sln θ一 αθ bθ

COS θ_{,α bebθ} cos θ一 αθbθ sln θ

)(213)

とな るの で

,式 (211),(212),(213)を

用 い る と δ_(θ

₎₌

α

202+1》

2bθ( α 2♂bθ

)(――αbebθ sln θ一 αcbθ cos θ,α bebθ cos θ― αcbθ Sln θ)

=ら2+1(bSln

θ

tt cos

θ

,一 b cos

θ

+sln

θ

)

=珈

Oα

くθ十¨

い

0

=騰

いい

,岬

の

(た

だし

COS

α

=7≒

7 Slnα =ν

′

b2+1)

となる。○

=θ

+α とお くと

D=辮

い ⑩

=講

師 ¨ を得 る。ス

=論

とお くと

δ

_(O)=ACb°

(COS O,sln O)

とな るので

,

これ を極座標表示す る と

r(O)=ACb°

を得 る。 ゆえに

,対

数螺旋 のペ ダル曲線 も対数螺旋 にな る。 2。

2

グノモン

生物の成長過程の中で対数螺旋が現れることは古 くから知 られている。

実際

,100年

程前に書かれた

,D'Arcy Thompson口

刻には

,そ

れらの関

連について

,グ

ノモンという用語を用いて詳 しく述べ られている。グノ

モンという用語 。概念を最初に導入 したのはアリス トテレスである。

定義

2。

2.1正

方形 に

L字

形の図形を加えて

,そ

の結果 として生じた図形

もまた正方形である。この付け加えられる図形をギリシヤ語でグノモン と

よぶ。

図 2.3:グ ノモ ンの例 上 のア リス トテ レスの定義 をユー クリッ ドは

,全

ての平行 四辺形 を合 ヘロンは任意の図形 に任意 の図形 を む場合 まで拡張 してい る。 さ らに, 加 える と

,元

の図形 に相似 にな るような図形 とグノモ ンを定義 している。 好奇心 をそそ るグノモ ンの図形 の例 は

,他

にも多 くあ る。 例

2.2.22つ

の辺 の比が1:ャの で あ るような長方形 の紙 を作 り

,そ

れ を

2つ

に折 る と相似 な図形 を得 る。 さらに

,4つ

折 り判

,8つ

折 り判 の紙 も 全て相似 な図形 とな る。 この操作 を何回 も続 けた後

,開

いて元 に戻す と, 辺 の比が最小 の1:νつの長方形 に合 同な長方形 が付 け加 え られて相似 な □

長方形 がで きてい る。 同様 に合 同な長方形が付 け加 え られて相似な長方 形が順 にで きてい る。 この とき元 の長方形 に付 け加 え られ る合 同な長方 形が グノモ ンで あ る。 例

2.2.3図

の長方形 スの辺が

1{■

で あ る「黄金分割」の比率

,黄

金 比の とき

,

この長方形 の長辺 を一辺 `と す る正方形 を付 け加 え る と

,元

の 長方形 に相似 な長方形 がで きる。 さ らに

,で

きた長方形 の長辺 を一辺 と す る正方形 を付 け加 える と

,同

様 に元の長方形 に相似 な長方形がで きる。 この操作 は連続 して続 けることがで きる。 この とき

,付

け加 え られ る正 方形が グノモ ンで ある。

μ

]例

222の 図

p]例

223の 図

図

24長

方形 の場合 三角形で は

,1つ

の部分 はいつ も他 の部分 のグノモ ンにな るような もの が存在 す る。 例

2.2.4△

ス

Bθ

で

,∠

σ

B'と

∠スが 同 じにな るよ うに辺

BDを

か く。 その とき

,3と

Dで

区切 られた θ側 の部分 は全体 の △

ABσ

と相似 な三 角形 にな り

,△

ABDは

△Bθ

Dの

グノモ ンであ る。 例

2.2.5三

角形 の中で

,

とて もみ ご とな場合 は

,元

の △

ABθ

の頂角が 36° で

,底

角が それぞれ72° の二等辺三角形 の ときで ある。 この とき

,底

角の1つを

2等

分す ることで

,大

きな二等辺三角形 を2つの二等辺三角形

に再分割 す る と

,そ

の モ ンで あ る。 1つは全体 の図形 と相似で あ り, 他 の もの は グ ノ

B

口

]例

224の

図

pl例

225の 図

図

25三

角形 の場合 注意

2.2.6例

225の

三角形 は

,ピ

タゴラスによつて特 に研究 された。そ の理 由 として

,例 225が ,正

五角形や正十二面体 の ように結果的 に正則 で あるユー クリッ ド幾何学 の象徴で あ り

,正

五角形や神秘 的な 「五亡星」 の ような古代 の数学者 に愛 されてい る図形で あ るので

,多

くの幾何学的 構成 の根源 とみなされてい ることが あげ られ る。 上の

4つ

のグノモ ンの例 の中で

,例 225の

二等辺三角形 の ものを考 え てみ よう。二等辺三角形 に連続 した一連 のグノモ ンを加 える(また は取 り 除 く_)とだんだん大 きい(また は

,だ

んだん小 さい)三角形 に変形 し

,そ

の 全 て は最初 の もの と相似 にな る。従 つて

,一

連 の グノモ ンは 自己相似性 を持 つてい るこ とがわか る。一方

,そ

れ らの全 ての三角形 の頂 点

,ま

た は対応 す る点 は等角螺旋(対数螺旋)の 軌跡の上 にあることが知 られてい る。 この こ とは注意

214と

うま く調和 してい る。 上の二等辺三角形 の例 で

,連

続す る三角形 の θ とス

Bの

中点の

y,D

とBθ の中点の Ⅳ をそれぞれ結ぶ ことによつてで きる中線 を考 えるとき, 螺旋 の極

,ま

たは △ス

Bθ

と△Bσ

Dの

相似の中心 は

,そ

れ らの中線 σν と

DNの

交点で ある。 次 に

,図

26の

ように大 き くなってい く直角二等辺三角形 の例 を考 える。 等角螺旋 は連続 した三角形 の中で対応す る点の軌跡で ある。更 に

,図

27

図

26対

数螺旋 と直角二等辺三角形 の ように

,相

似 な図形 の集 ま りで平面 を敷 き詰 め る とき

,対

応 す る点 を 結ぶ といつで も等角螺旋 を見つ けることがで き

,そ

れ ぞれの等角螺旋 は 相似 の関係 にあ る。いつで もそれ らの連続 した倍数 とな る一連 の等角螺 旋 を見つ けるこ とがで きる。 図

27相

似 な図形 の集 ま りと対数螺旋 最後 に

,生

物学への応用 も考慮 した

,新

しい見方か らグノモ ンの定義 を改良 した ものを文献 μ列 をも とに紹介 しよう

.そ

の とき

,定

点(ま たは 極)か ら始 ま り

,扇

型 のベ ク トルの領域が常 に前 の図形全体 の グノモンに なってい る平面 曲線 は

,等

角螺旋 また は対数螺旋 とよぶ こ とにす る。こ ＼ ヽ ＼ ＼

/

＼ ＼ ＼ 9 ゞ ＼ ＼ / ＼ / ＼ ＼

/

/ ＼ / /

の新 しい考 え方 は

,オ

ウムガイの貝殻 の形態 と関連 す る他 の生物形態 を 解釈 す るために導入す るもので ある。 (1)成長過程が

,連

続 した部分 として

,形

態の中で相似 に形成 され

,等

比 数列的 に拡大 し

,相

似 の中心 に関 して相似 になってい るのな ら

,そ

れ は 等角螺旋 の対応 す る点 を通 つて跡付 け られ る。 (2)等角螺旋が認 め られ る角や貝殻な どの

,全

ての生物 の形態 の成長 の特 性 とは

,そ

れ ぞれ の成長 の連続 す る増加が相似で あ り

,定

点(ま た は極) か ら相似 的 に拡大 し

,元

の ものに相似 的な状態で あ り

,そ

の結果 として 全体 の中で以前か ら存在 す る構造への グノモ ンで ある と定義で きる。 (3)貝殻

,ま

たは角 の螺旋 の外形 の中に

,自

然 また は実際の構造 の成長方 法 と必然 的な関係 を もたないが

,数

学的な偶然 として保持 してい る

,数

えきれない さまざまな他 の グノモ ンの図形 が刻 まれ ることも従 う。 正方形 の グノモ ンは

,任

意 の大 きさの増加 を形成 して もよい。 同 じこ とは ミミガイの貝殻 の グノモ ンにつ いて も正 しい。 しか し

,部

屋 にわ け られたオウムガイや

,図

26の

中の連続 した三角形 の よ り高 い対称性 の中 で は

,成

長 はグノモ ンのひ とつ ひ とつが

,他

の ものの グノモ ン とな りな が ら

_,進

行 的な一連 の グノモ ンによつて進 む。 対数螺旋 (等角螺旋

)の

現れる例 ・ 生物 の成長 アンモナイ ト

,ブ

ロッコリー

,有

子L虫

,羊

の角 な ど多 くの生物 (図

28)

・ 生物 の成長 で はな く

,生

物が力 を加 えた結果 として現れ る例 カメ レオ ンの尾

,象

の鼻な ど ・ 生物 で ないが

,生

物 と同様 の成長 台風 の渦

,銀

河 の星雲 な ど(図 29) ・ 等角螺旋 として現れ る例 夜に光源 に集 まる虫の動 き(図

210)

小学校の教材 としての対数螺旋 対数螺旋 はオ ウムガイな どの巻貝 に現れ るこ とか ら

,臨

海学校 な どの 折 に海辺 の生 き物 を取 り扱 う時間を設 けて対数螺旋 を取 り上 げ ることが で きる。 また

,生

物が力 を加 えた結果 としてカメ レオ ンの尾や象 の鼻な どに現れ るこ とか ら

,動

物園見学 な どの授業 の折 に取 り上 げ るこ とがで きる。

図 2.10:光源 に集 ま る虫の動 き

虫の動 きは

,光

源 に向か つて一定 の角度 を保 ちなが ら進 む 習性 が あ る

,そ

のため

,虫

の動 いた軌跡が等角螺旋 にな る。

第

3章

その他の螺旋

本章で は対数螺旋 以外 の他 の螺旋 につ いて

,そ

れ らが螺旋 の定義 の条 件 を満 た してい るか と

,そ

れ らの持つ性質 について述べ る。第

2章

の対 数螺旋 と同様

,

これ らについての証明 は文献 には見 当た らなか ったので, 自分で考 えてつ けておいた。 3。

1

アルキメデス螺旋

最初 に定 義 を述 べ る。 定義

3.1.1極

座標 _{(Ъθ)を 用 いて} γ

=α

θ―卜

b

_し

>0,b≧

0,θ _{≠ ―} :) と表 され る螺旋 をアル キメデス螺旋 とよぶ。 図

31ア

ル キメデス螺旋 アルキメデス螺旋 は原点 を極 とし

,回

転 す る半直線 を半径 ベ ク トル と す る と

,一

様 に回転 させ る ときに

,半

径 ベ ク トル上 の同点

Pが

一様 の速

度ベ ク トル を持 つて

,原

点か ら動 いて描 く螺旋 と定義 され るので一様螺 旋 とよばれ ることが あ る。 対数螺旋 と同様 に曲率の導関数 を調べ ることにす る。 命題

3.1.2ア

ルキメデス螺旋 の曲率 は κ(θ

)=

(αθ

+b)2+2α

2 ((α

θ

tt b)2+α2)3

であり

,曲

率の導関数 〃

(θ)は (―

∞

,一:),(―:,∞)の

範囲で定符号である

.

証明

系

145を

用いることにより

,対

数螺旋 と同様にアルキメデス螺旋

の曲率

硼

=

を得 る。

次に曲率の導関数を考える。上記の曲率の式を微分すると

くの

=

I十

が切

_b)2+α2)3

け

が響

狐♂

J

-α_(αθ+b)((α θ tt b)2+4α2)

((α

θ

tt b)2+α2)3

を得る。κ′

(θ

)=0と

するとθ

=―

:と

な り

,κ

′

(θ)は

θ

=―

:の 前後で符

号が変化 している。従つて

(一

∞

,一_{:),(一:,∞ )の}

範囲で曲率の導関数は

定符号である。

アル キメデス螺旋 は θ

>一

_:と θ

<―

_{:の 2本}

の枝 を持つ。命題

31

よ り

,そ

れ ぞれの枝が定義

147の

条件 を満 た してい る。 次 にアル キメデス螺旋 の持つ幾何学的性質 を述べ る。 命題 3.1。

3動

径 が

1回

転 して通過 す る図形 の面積 は

,1回

転 目の動径 を 半径 とす る円の面積 の

3分

の

1で

ある。 証明 定義

311よ

リアルキメデス螺旋 はr(θ

)=α

θ

+bで

表 され る。 ここ では上記の式 を ν軸方向にbだけ移動 した式,γ(θ

)=α

θについて調べ る。 □   ２

γ(θ

)=α

θの動径が

1回

転 して通過す る図形 の面積

Sは

とな るので命題 が成 り立 つ。 図 3.2:命題 3.1.3の 図

s==ノ

12π :γ (θ)2αθ

=:ノ

12π

α

2θ 2α

θ

=: ￨:α

2θ3117r =:α 273 である。

1回

転 目の動径 の半径 は θ

=2π

の ときの点 と原点の距離 なので 2απで ある。

Sを

変形 す る と, s=:α 2π 3

=:π

(2απ)2 □

命題

3.1.4動

径が1回転 した点

Pで

引いた接線 と

0に

お ける

OPの

垂線 との交点を の とす る。 この とき

,線

分0の の長 さは

OPを

半径 とす る円 周 の長 さに等 しい。 証明 γ_(θ

_)=α

θよ り χ(θ

)=α

θ COS θ,ν(θ

)=α

θ Sln θ で ある。 これ を微分 す る と ″′(θ

)=α

COS θ―αθ Sln θ,ν ′ (θ

)=α

Sln θ+αθ cos θ を得 る。点

Pに

お ける接線 の傾 き_姜努

=27を

用 いて0の の長 さ 0の

=2π

×

OP

を得 る。 これ は

OPを

半径 とす る円周 に等 しい。 よつて

,命

題 が成 り立 つ 。 □

図

33命

題

314の

図

アルキメデス螺旋に関する命題

313,314に

ついては

,佐

_{々木重夫 卜}

]

と山下純一 Ю

]を

参考にした。

アルキメデス螺旋が用 い られている例 対数螺旋 が 自然 の中に多 く現れ るのに対 し

,ア

ル キメデス螺旋 は人工 的に作 られた もの に現れ る。実際

,ひ

げぜ ん まい

,グ

ラム フォンレコー ドの溝

,蚊

取 り線香 な どに用 い られてい る。 また

,紙

を一定 の厚 さで円 筒 の ものに ま くと現れ る. 小学校 の教材 としてのアルキメデス螺旋 アル キメデス螺旋が現 れてい る蚊取 り線香 は

,

日常で 日にす るものな ので

,

日常生活 に密着 した家庭 科

,生

活科な どの授業で取 り上 げ ること がで きる。

3.2

双曲螺旋

最初 に定義 を述べ る。 定義

3.2.1極

座標 (■θ)を用 いて

γ

=:(α

_{≠0,0<θ ≦∞}

)

と表される螺旋を双曲螺旋 とよぶ。

図 3.4:双曲螺旋