その他の螺旋

第

3章

  その他 の螺旋

図 35フ ェル マー螺旋

を得 る。

次 に曲率 の導関数 を考 える。上記 の曲率の式を微分 す る と

くの

=:    

^{い 刑 +ンが は―シつ}

(θ +:θ^‑1):

̲1(θ ^十:θ

^{1‑:θ 1‑島}

^{θ3)̲3(θ ―:θ}

^{1+:θ 1‑会}

^θ3)

α       (θ ^{+:θ l)'}

1 ‑16θ

‑40θ

1+3θ

₃

32α      (θ ^̲十 _:θ 1)'

1 ‑16θ ^4̲40θ

2+3

32α    θ^:(θ2+̲1)'

を得 る。θ2=xと _{す る と},X>0で ^{分 子 は}

‑16X2̲40X+3=― (16X2+40X‑3)

とな るので16X2+40X‑3=0と してXにつ いて解 くと,X>0よ り χ=  =ギ

で あ る。 この こ とよ り,θ >0であ る こ とか ら

43

θ

=

^ν

/〜偏 ‑5

第

3章

  ^{その他 の螺旋}

を得 る。従 つて

,曲

率の導関数 は θ

=

がわか る.

44

雫 の前後 で符 号 が 変 わ る こ と

□ フェルマー螺旋 もアル キメデス螺旋 と同様,2本_の枝「

=α

^θ:と 7=

―αθ:を_持つ

.い

ずれ も枝 もθ=Va 5の 前後で曲率の導関数 の符号が 変化 す る。図 3.5か らわか るように,θ >ya 5の 範囲で螺旋 が現れ る

と解釈で きる^.

フェルマー螺旋が現れる例

フェルマー螺旋 は

,ひ

まわ りや デイジーの花序 に現れ る。

図 3.6:ひまわ り

小学校 の教材 としてのフェルマー螺旋

フェルマー螺旋 は

,植

物 の花序 によ く現れ るので

,生

活科の中の花 の 観察で, 取 り上 げることがで きる^.

3.4 

つるまき線

ここで

,平

面 の曲線 で はないが螺旋 と同 じように渦 を巻 く空間曲線 を 取 り上 げる。

定義

3.4.1パ

ラメータ表示

γ(ι)=(α ^COSι,α Sin t,bι₎

第

3章

 ^{その他 の螺旋}

図37つるまき線 の図

(ただ しα,bは 同時 に0と な らない定数)で表 され る曲線 をつるまき線 と よぶ。

つ るまき線 も平面曲線 と同様 に曲線 の弧長 を求めることがで きる。

命題 ^3.4。2つるまき線 の弧長sは

s=ι

〜^/Ъ2+ろ2

で ある。

従 つて

,命

^題

^121と

同様 に正則空間曲線 も弧長 によるパ ラメー タ付 け で単位速度 曲線 にな る。上の弧長 を用 いてつ るまき線 を

《 → ^{=いSレ niう}

^0=y′

十 の

と表 す と

,単

位速度 曲線 で ある。

ここで空間曲線 にお ける単位接ベ ク トル と主法線ベ ク トルを定義す る。

定義 ^3.4。3弧長 をパ ラメー タ として曲線 γ(s)=(Z(ι),ν(ι),Z(ι))と 表示 す る とき,γ_(S)にお ける曲線 γの単位接ベク トル を

L(S)=γ_(S)

と定義する。さらに ,L(s)≠ Oの ときι

_(s)に

直交するベクトル

lt(S)

n(S)=

l lb(S)￨

45

第

3章

  ^{その他 の螺旋}       46

を

,曲

線上 の点 γ(s)にお ける曲線 γの主法線ベク トル とよぶ。

次 に

,空

間の単位速度 曲線 の曲率

,従

法線 ベ ク トルを次 の ように定義 す る。

定義 ^3.4。

4κ

(s)=lι (S)￨とお けば,

L(S)=κ(S)n(S)(κ (S)=lγ(S)￨≧ ⁰⁾ が成 り立つ。 この κ_(s)を曲線 γの γ(s)での曲率 とよぶ。

κ

_(s)≠

0の とき ,L(S)=0と な り ,主 法線ベク トルが定義されること に注意 してお く。

定義 3.4.5単 位速度曲線 γ

(s)の

単位接ベク トル t(s)=γ (S),主 法線ベ

クト ル《→

^=紫

れただしκ 。

^{)≠ 0と}

するとき

^,

b(S)⊥ ι(S),n(S), L(S),n(S),b(S)右 ^{手 系}

を満たす唯一の単位ベ ク トル b(s)を 曲線 γの γ(s)での従法線ベク トル と よぶ。

さらに

,空

間曲線 の平面 曲線か らの離れ具合 を示す捩率 を定義 す る。

定義 ^3.4。6曲_{線 γの γ(s)に}お ける捩率 を

7(S)=―

lb(S)n(s) で定義す る。

単位速度化 されたつ るまき線 に対 して

,以

下の命題 が成 り立つ こ とが 容易 に示 され る。

命題

3.4.7単

位速度化 されたつ るまき線 γ(s)の単位接ベ ク トル^L(s)と主 法線ベ ク トル n(s)は

K→

=ズ

→ =:い mimia

nO=器 ≒ ^=歯 ←

^COS:,一

Ы

^n:,0

第

3章

  ^{その他 の螺旋}

であ り

,曲

率 κ_(s)は

個報→ =鼎

である。 そ して

,従

法線 ベ ク トル b(s)は

町 → ^=Ц →× ^nO=歯 ・

:(bdni―^b COS:,α)

47

で あ り

,捩

率7(s)は

7(S)=―

lb(S)×

n(s)=

で あ る。 ただ し,xは 外積 を表 して い る.

定数 で あ る。

b       b c2    α^2̲十 わ²

従 って

,曲

率 と捩 率 は と も に

つるまき線が現れ る例

アサガオのつ るを うま く伸 ばす ことによ り

,つ

るまき線 が現 れ るよう にで きる.

小学校 の教材 としてのつるまき線

つ るまき線 はアサガオのつ るをうま く伸 ばす ことによ り現れ るので

,生

活科の中のアサガオを育て る授業で関連 して取 り上 げることがで きる。

図 3.8:ア サガオ

上記 のアサガオ は筆者がつ るまき線が現れ るよ ガオで ある。

うに栽培を試みたアサ

48

ドキュメント内 螺旋の幾何学 (ページ 43-49)