十 1島

￨卜 SCげ 切→

<1+1 1+:

となる。同様にして

^,

＼ ｌ ｌ ノ

十ν

″ ｇ Ｏ ー 一２

／ １

ヽ Ｓ Ｏ Ｃ

＼

︱

′ ノ

＋ν χ ｇ Ｏ ー 一２

／ １

＼ Ｓ Ｏ

＜ Ｃ

一

∞

＜

５ 一２ １

■

跨 ^￨<∞

^,

^{等 ￨<∞}

^,

守 ￨<∞

第

5章

  ^{螺旋 の局所分類}

も確かめられる。ゆえに

,R2＼_{(0,0)}上

んがび 級で有界であるから ,補

題

524よ

りんは_(0,0)∈ ^Rれ を含 むある開集合上 リプシッツ条件 を満たす.

次 に,ん 1を

求めるために(γ,θ

‑10g r)=(R,O)と

し

,(R,○ ‑log R)=

(γ,θ)を考 え る。R=T,○

‑log R=θ

よ り,O=θ

+10g R=θ

+log rを 得 るので,ん ^1(r,θ)=(γ^,θ +10g r)である。ん

1=(gl,g2)と

す る と,

gl(r,θ)=r cOS(θ +10g r)

=r cos θ cos(10g r)一 r sln θ sln(10g r) θ2(r,θ)=r sln(θ +10g r)

=r sln  θ cos(10g r)+r cos  θ Sln(10g r)

とな るので,θl,θ2を

θl(・,ν

)=%COS

θ^2(■,ν

)=ν

 COS

を得 る。ん1の

偏 導 関

１ 一２

１ 一２

 

＼

／ ノ ー ヽ

︑

／

′

⁚

︲ ヽ ヽ   ２

ｎ      ｎ       いＫ

Ｓ         Ｓ        

︐

︐     

´υ      Ｚ      ｏつ

と      一   十     て

封

↓ ０

＞

＞

切   切   上  

  ∞

■∫

   

＜

噛 噛 矧 い

ｆ

■   ｌ ｌ ｌ ｌ

<∞ , ｌ

とな り

,上

と同様 に確 か め られ る。 ゆえに ん1も

(0,0)∈ ^Rれ を含 むあ る 開集合上 リプシ ッツ条件 を満たす。従 つて,ん は リプシ ッツ同相写像芽で ある。

□

5e3 

螺旋の局所的分類の定理

第

5章

_第

1節 1の

最後 で触 れた ように

,2つ

の共通部分 の方 向集合 は^, それぞれの集合 の方向集合の共通部分 とは限 らない。 ここで は

,2つ

の集 合の共通部分 の同相写像 に よる像 の方 向集合が

,い

^つ

,そ

れ ぞれ の同相 写像 による像 の方 向集合 の共通部分 に一致す るか に関す る定理 を述べ る。

定理 ^{5。 3。}

1ん

_{(Rり,0)→ (Rれ,0)の} 同相写像 とし

,硫 ^y⊂

^Rれ を0∈ フ_,1/

を満 たす0∈ ^Rつ での集合芽 とす る。次 の条件 を仮定す る。

警 _￨<∞ ^,1勢 警 _￨<∞

^,

第

5章

 螺旋 の局所分類      66

(1)D(び ^∩y)=D(び_{)∩ D(1/)であ る。}

(2)υ ∩

yは

_{条件(SSP)を満 たす。}

(3)ん(び)は 条件 (SSP)を^満たす。

(4)ん ,ん

1が

リプシッツ条件 を満たす

,す

なわち んは リプシ ッツ同相写 像芽である。

この とき,

D(ん_(び∩

y))='(ん

(び))∩ D(ん (7)) が成 り立つ。

証明

 D(ん

_(び∩y))⊂ _D(ん

(び)),D(ん(y))よ り^, D(ん_(び∩y))⊂ _D(ん

(び))∩ D(ん (7))

が成 り立つ。従 つて^,(ん_(び ∩1/))⊃ D(ん_(び))∩ D(ん(y))を 示す。

任意の α∈^D(ん_(び))∩ ^D(ん(y))を とる。 まず,α ∈D(ん(y))と す る と^,

1lmπ→∞ ‖απ‖となる^{0∈ Rれ} に収東す る点列_{απ}⊂ yが_{存在 す る。次 に}

,

α ∈D(ん_(び))と す る と仮定 _(3)よ り,ん_(び)は 条件

(SSP)を

^{満 たすので,}

o∈ Rれ に収束す る点列_{られ}⊂ びで

‖ん

^(α

れ

)一

ん

_{(bれ)￨￨≪￨￨ん(α}

π

)‖,￨￨ん(ら

れ

)‖

   (531)

となるものが存在する。一方

,{α

π

}⊂

yょ り

,{α

π _}の 部分点列

{α

π′

^}

で

鳳 南 ^=β ∈ズη

とな るものが存在 す る。 式

(531)と

仮定 (4)よ り

￨l 

α π一硫 ‖ ≪

_￨lα

れ‖

^,‖

硫 ‖

が成 り立つ ので

腸 満 =机

南 ^=β ∈ズη

となる。ゆえにβ∈

^D(び)∩

D(y)で ある。仮定

_(1)よ

りβ∈

^D(び

∩y) となる。仮定

_(2)よ

りび∩ yは _条件

_(SSP)を

_{満たすので}

_{0∈ Rれ}

_に収東す

る点列 現′

^}⊂

び∩ yで

‖α 乃 ―

^Cπ

′‖ ≪

_￨lα

れ′‖

^,￨I Cm′

‖       (532)

第

5章

 ^{螺旋 の局所分類}

とな るものが存在 す る。式

(532)と

^仮定 (4)よ り

‖ん

^(α

れ′

^)一

ん

_{(%′)￨￨≪￨￨ん(α%)￨￨,￨￨ん(Cm′})￨￨

が成 り立つので

机出奇 ^=鳳 出満 ^=α

とな る。 ゆ えに α∈D(ん_(び∩y))と _{な る。従 つて}

,

D(ん_(び∩y))⊃ _D(ん

(び))∩ D(ん (7))

となるので

'(ん^(び

∩ y))=D(ん

(び))∩ D(ん(y))が

成 り立つ。

□ 上 の定理 を螺旋 の局所分類 に応用 しよう。α≠ β,α,β ∈p2■_{)と し,} び

=Lα

,y=Lβ^,ん

^=ん

^{sと して定理}

^531を

^{適用 す る。ここでLα (Lβ),んs}

はそれ ぞれ

,第 ^5章

^第

^2節

の最初 に螺旋が誘導 す る同相写像 の箇所 で述 べた

,半

^直線

,同

相写像 を意味す るもの とす る。

定理

531の

仮定 を確 か め よ う。^D(Lα ∩Lβ)=D({0})=φ ^{で あ る。}

R=Lα ^{∩Slと お くと,}

D(五

α

)∩ D(Lβ

)={fb}∩

{Lβ

}=φ

で あ る。 従 つ て ,(Lα ∩Lβ

)=D(Lα

)∩ D(Lβ)で (1)が^{満 た さ れ る。Lα ∩}

Lβ

={0}よ り条件

(SSP)を

満たすので

_(2)が

満たされる。これらのこと

か ら

,定

^理

531の

仮定 _(1),(2)は 常 に満た されて いる。

前節で与えたように,跳 は螺旋に

^{0∈ R2を}

加えたものとする.最初に

■Щ跳

)>1の

^{場合を考える。 #D(跳} )>1と いう仮定は式 (521)を 用い て,あ るα

,β

∈

_[0,27),α

≠βで

^D(んsじ

α

_))∩ ^D(んsCβ_))≠

φが成り立 つことと同値である。一方 ,Lα ∩五β ^={0}よ り

'(ん^s(Lα

∩

Lβ

))='(ん

^s({0}))=φ

とな るので

,定

^理

531の

結論 が成 り立 た ない。従 つて

,定

^理

531の

仮

定

_(3),(4)を

用いて

,非

Щ品

)>1の

^{場合は次の 3種 類に分けることがで}

きる。

(A)ん

sが

リプシ ッツ同相写像で ある とす る。つ ま り

,定

^理

531の

仮定 (4)が満 た されていた とす る と

,定

^理

531よ

り仮定 (3)が満たされ ない。従 つて

,跳

(また は

S)は

条件 (SSP)を^{満 た さない。}

67

第

5章

 螺旋 の局所分類      68

(B)跳

(また は

S)が

条件 (SSP)を満 たす とす る。つ ま り

,定

^理

531の

仮定 (3)が満たされているとす ると

,定

^理

531よ

_{り仮定 (4)が満た}

されない。従 って,ん

sは

リプシ ッツ同相写像で はない。

(C)跳

(または

S)が

条件(SSP)を^{満たさず,ん}

sが

^{リプシッツ写像でない.} 例 ^5。

3.2(1)定

理

531で

見た ように

,対

数螺旋が定義す る同相写像 ん

sは

リプシッツ同相写像であ る。従 って

,対

数螺旋 は(A)の^{タイ プで ある。上} の議論 よ り対数螺旋 は条件(SSP)を満た さない こ とがわか る。

(2)定理

5111で

双曲螺旋 は条件(SSP)を満たす ことを示 した。従 つて^, 双曲螺旋 は(B)の タイ プで あ る。上 の議論 よ り

,双

曲螺旋が定義 す る同 相写像 ん

sは

リプシ ッツ写像で はない ことがわか る。

みЩ跳

)=1の

^{場合を考えると ,こ の条件は ,任 意のα}

^,β

^∈

^{p,2π ),α}

^≠ βに対し ,D(ん

s(五

α

))∩D(ん_s(Lβ

))=φ が成り立つことと同値である。こ

の とき

,跳

(ま た は

S)は

条件 (SSP)を^{満た し},ん

sは

^{リプシ ッツ同相写像} である。 これ を満 たす もの として は

,ア

ル キメデス螺旋 が あ る。

以上 よ り

,次

の局所分類 の表 を得 る。

図の引用 につ いて

図 21,図 29は

_11」

より引用した。

図31は

_[1倒

より引用した。

図34は

_[lqょ

り引用した。

図35は

_[1司

より引用した。

#D(S)=1 #D(S)>1 (#D(S)=∞⁾

Sが

条件(SSP)を ^満たす

Sが

リプシ ッツ同相写像 を誘導す る

アル キメデス螺旋 フェルマー螺旋

Sが

条件 (SSP)を^{満 た さない}

Sが

リプシ ッツ同相写像 を誘導す る ^{対数 螺旋}

Sが

条件 (SSP)を ^{満 たす}

Sが

リプシ ッツ同相 写像 を誘 導 しない 双 曲螺旋

Sが

条件 (SSP)を ^{満た さない}

Sが

リプシ ッツ同相写像 を誘導 しない

人工 的 に例 を 作 る こ とがで き る

69

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soο

ηげ

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ら α ηα

:ν

ι

oc

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ドキュメント内 螺旋の幾何学 (ページ 65-71)