=る

LD(ス )={tα ∈

_{Rれ lα}

∈

D(■_),ι

≧

^0}

をo∈ Rれ での スの実接錐 とい う。

例 ^5。

1.6(1)

ス

_{={(″,ν)∈} lR2 1 

χ ^2=ν

³⁾

の方 向集合 を考 え る。_(z2,銑)∈ ス → _(0,0)∈ R2と

=る

。ただ し,(″2,銑)

は原点に十分近いものとする。このとき

,″

2=土 プ

(tyz>0)よ

り

(χ2,銑)  (上

げ

^,銑)

‖

^(・

。

,銑 )‖

‖

(土

ブ

^,ν2)‖

(土ブ^,銑) プグ十ν子

(土

f,1) ν L+1

となる。従って

,(zz,銑_)∈ A→ _(0,0)∈ R2と

すると

靱 ① 辮 刊

となるので,方 向集合

_{D(ス )は}

'(■

)={(0,1)}で ある。

(2)

ス

={(・,ν)∈ ^lR2 1″ >0,ν >0}

の方向集合 を考 える。直線 ν

=α

″_(α

>0)と

ス との共通部分上で_(o,o)∈

R2に近づ く点列 を考 えれ ば,

(%,αZ)

=(1,α

)∈ _sl

yχ

2+α

2″2

第

5章

 ^{螺旋 の局所分類}

は

D

_)の元 で あ る こ とが わか る。 ゆえに^,

{(",ν )∈

Sl l">0,ν >0}⊂

D(■₎

である。次に

,ν

=″

^2と

スとの共通部分上で

_(o,o)∈

R2に 近づく点列を とれば

,(1,0)∈ D _)で

あることがわかる。同様にして

_(0,1)∈

Dに

_)で

ある。従つて

,(■

)={(″

^,ν)∈

メ

_IZ≧ 0,ν

≧ ^0}で ある。

螺旋の原点での方向集合についても考えてみよう。

例 ^5。

1.7(1)対

数 螺旋 と双 曲螺旋

γ

=∝

^″ _{しψ≠吻 または} ,r=:し ≠の

の方 向集合 を考 え る。原点を始点 とす るどの半直線 を とって も

,原

点の い くらで も近 くで螺旋 と無限に交差す る点列 を とれ るので

,D(ス

)=Sl

である。

(2)アルキメデス螺旋

r=bθ

_(b≠ 0)

の方向集合を考える。γ

(θ

)=(χ

(θ),ν(θ))と

表す と

,z(θ

)=bθ

 ^COS 

θ

,

ν

(θ

)=bθ

 ^Sln 

θより

"′(θ)=b COS  ^{θ ― bθ cos θ},ν^′(θ)=bSln  ^{θ 十 ろθ COS θ} を得 る

.こ

こで θ

=0と

^{す る と}

χ ′

(0)=b≠

^0,ν

′ (0)=0

を得 る

.従

^つて,

58

0,0) lbl

=(ギ

≒,0)

と な る の ｀ で

^D(ス

_)={(音 ,0)}で あ る 。

上の考察か らわか るように

,D(ス

)は 常に閉集合であ る。

集合の集合演算 に関す る基本 的性質 も与 えてお く。

(Z′(0),ν′

(0))

∈Sl

ここで

,方

向

第

5章

 螺旋 の局所分類

命題 ^5。

1.8硫 y⊂ _R2を

_{0∈ τ ∩}7であ るよ うな o∈

R2で

の集合 芽 とす る。 この とき次 が成 り立 つ。

(1)'(び

)=D(び

⁾

(2)D(υ ^∪

1/)=D(び

_)∪

D(y)

(3),(び ^∩

y)⊆

_D(び

)∩

D(y)

5。1.2 

_条

r卜 (SSP)

この小節で は

,集

合芽の接方 向性質 の一つである条件

(SSP)(Sequence

Selectlon Property)を定義す る。

定義 ^5。

1.9ス

を0∈ Иで あるようなo∈ ^Rれでの集合芽 とす る。スが条件

(SSP)を

^{満 たす とは,}

1職

だ櫛∈

^{D )}

となる

0∈ Rれ

に収東する任意の点列

_{α

_m}に 対し

,

￨lα

れ―ら れ

￨￨≪￨l 

α π‖

^,￨￨わ

れ‖

となる点列

_{ら

れ

}⊂

スが存在するときにいう。ここで‖″π‖≪

￨￨‰

‖と

は

^1lmm→

∞憶斜

^=0を

意味している。

例 ^5。

1.10ス

を γ

=α

^θbθ_(α >0,b>0)で 定 義 され る対 数 螺 旋 とす る。

0∈

R2は

θ→

̲∞

とした ときの ス の極 限で あ る。 ゆ え に o∈ И で あ る.

αを0≦ α

<2π

とな る任 意 の角 とし,z軸 と∠α となす 0∈

R2を

通 る半 直線 を ιαとす る。ス∩ ια上 に 0∈ R2に_{近 づ く点列{bれ}}を ^{その極 座標 が}

rm=α

ebθれ

, θπ

=α

^‑2π鶴

となるようにとる。このとき D({鴫 })=(COS  α

_,Sln 

α

_)で

ある。次に

,ι

α 上に

0∈

R2に 近づく点列{%}を

^cπ

が

bmと

臨

+1の

中点となるようにと る。つまり‖ cm ll=中 となるようにとる。作り方より,D({cm})=

(COS 

α

_,Sln 

α

_)な

ので

D({bπ})='({%})で

^{ある。よって}

αθθη

■ α^cθπ+1

59

宇

^ll・

♂ り

‖

^Cm‖=

第

5章

  螺旋 の局所分類

であり

,{bれ},{%)は

^直線」 α上にあるので

^,

‖

^bπ

―

Cm‖  l rm―

‖ら

^21‖

‖

^bπ ll    lЪ ^I

̲1 2α^{θθπ ― αcθπ}

(1+e2π

)￨

2αθθれ 11̲θ ^‑2π l

2 l̲c‑27r

2

となり,正 の定数になる。従つて ,ス ∩ι αは条件

(SSP)を

満たさない。

論文μ ^qに 双曲螺旋は条件

_(SSP)を

満たすことが触れられているが ,後 述の定理531を 用いる間接的な証明が与えられている。ここでは

_1lqと

は異なる ,そ の直接的な証明を与える

.

定理 ^5。

1.11双

曲螺旋 は条件 (SSP)を^{満 たす。}

証明 スを

r=号 _(α >0,0<θ <∞

)で 定義される双曲螺旋 とする。

0∈

R2は θ→ 十∞ の ときスの極限である。ゆえに

o∈

Иである。αを

0≦

α<2π となる任意の角 とし

,"軸

^{と∠αをなす}

^{o∈ R2を}

通る半直線

を

Jα

とする。ス∩

^Jα

上にγ

=:と

^なる点

^blを

とる。

0∈

R2を 中心に半 径‖

^bl‖

の閉円板を ,と すると ,ス ∩

^Jα

∩Dは 可算集合である。従って ス∩ι α∩Dを

{わ

れ

}(鶴

∈

^N),

‖

bl‖ >‖ b2‖

>  >‖

bπ

‖ >

とな るように表せ る。 この とき

,各

鶴 ∈

Nに

対 し

γ π

^{=‖ bπ}

‖

^=―_α+2πα

ドキュメント内 螺旋の幾何学 (ページ 58-61)