「図形の調べ方」

第２学年 数学科学習指導案

指導者 〇〇 〇〇 １ 単 元 「図形の調べ方」 ２ 指導観 ○ 私たちの身の回りには，様々な図形が存在している。それらの具体物を数学の対象とし，「形」「大きさ」 「位置関係」という観点で考察することで，平面図形についての概念や性質についての理解を深めることが できる。また，直観的な見方や考え方，および，数学的な推論の方法によって考察する過程において養われ る論理的な見方や考え方は，数学の学習において重要な役割を果たす。 本単元のねらいは，基本的な平面図形の性質を見いだし，平行線の性質を基にしてそれらを確かめられる ことができるようにしたり，図形の合同について理解し図形についての見方を深めるとともに，図形の性質 を三角形の合同条件などを基にして確かめ，論理的に考察し表現する能力を養ったりすることである。学習 内容としては，対頂角，同位角，錯角，平行線の性質，平行線になる条件，三角形の内角・外角の性質，多 角形の内角・外角の和，三角形の合同条件証明とその仕組みなどがある。このような学習を通して，具体的 な図形の性質を論理的に筋道を立てて，正しい推論を行って調べることができるようになるとともに，その 推論の過程を正しく表現することができるようになる。このような面から，本単元を学習させることは意義 深い。 ○ 生徒は，小学校において，物の形について観察を通して，基本的な図をかいたり，作ったり，それを用い て平面を敷き詰めたりすることを学習している。中学校の第1 学年においては，図形の対称性や作図を学習 している。また，空間における直線や平面の位置関係を知り，空間図形を直線や平面図形の運動によって構 成されているものととらえたり，平面上に表現したりすることを通して，図形に関する概念を豊かにしてき ている。本学級の生徒は，単純な計算や，同じ解法のパターンで解くことのできる問題については意欲的に 取り組むが，自分で数量関係や規則を見いだしたり，自分の考えを修正して正解を得るまで粘り強く取り組 んだりするような活動には，あまり意欲的に取り組む姿は見られない。事前調査では，図形の学習が好きだ と答えた生徒は◯％であった。好きな理由は，「計算がない」「作図がある」等で，嫌いな理由は，「作図が 面倒くさい」「覚えるのが嫌」「空間図形が分からない」等であった。したがって，図形の学習をただ単に「知 識の暗記」や「数と式や関数の領域でない学習」ととらえていると考えられる。よって，様々な見方や考え 方ができ，自分の考えの良さや価値を味わうことができるような学習に取り組ませる。 ○ 指導にあたっては，まず，導入問題において図形の性質についての予想や疑問をもたせ，単元の学習の目 的を意識させるとともに，証明の必要性を感じさせる。既習の内容や証明した図形の性質を基にして，条件 の変更を考えることで，さらに図形に対する見方や考え方を深め，自分にとって新たな内容を見いださせて いくようにする。 そのためにまず，錯視が起こる図から，調べて確かめること，即ち証明の必要性について考えさせる。次 に，多角形の内角の和や外角の和について調べさせる。ここでは，「三角形の内角の和は１８０°である」 ということから，「三角形でなかったら？」「内角でなかったら？」のように条件を変更して考えさせる。そ の際，様々な補助線を引かせることで，視点を変えた見方や考え方をすることを意識させる。さらに，三角 形の合同条件を考えさせる。ここでは，どのような条件がそろえば合同な三角形を作ることができるのかと いうことを実際に体験させる。最後に，三角形の合同条件を使った証明に取り組ませる。ここでは，証明の 必要性と意味及びその方法について理解させる。その際，はじめは根拠を明らかにして伝えあう活動を通し て，推論の過程を自分の言葉で他者に分かりやすく表現することを大切にさせる。その後，言葉や用語，記 号に慣れさせながら，漸次，推論の過程を正確に，しかも分かり易く表現できるようにさせる。また，単元 を通して養ってきた図形に対する見方や考え方を，証明を通して確かめさせ，自分の考えの良さを味わわせ る。 ３ 目 標 ○ 平行線の性質，三角形の角についての性質，三角形の合同条件などに関心をもち，それらを活用して新た な図形の性質を見いだしたり証明したりしようとする。【関心・意欲・態度】 ○ 平行線の性質，三角形の角についての性質，三角形の合同条件などを活用しながら，新たな図形の性質を見 いだしたり，数学的な推論の方法を用いて論理的に考察したりすることができる。【見方や考え方】 ○ 平行線の性質，三角形の角についての性質，三角形の合同条件などを，数学の用語や記号を用いて簡潔に表 現することができる。【技能】 ○ 平行線の性質，三角形の角についての性質，三角形の合同条件，図形の証明の必要性と意味及びその方法な どを理解することができる。【知識・理解】

４ 計 画(15 時間） 関：関心・意欲・態度 考：見方や考え方 技：技能 知：知識・理解 次 時 学習活動・内容 ねらいと具体的な支援 観点別評価規準 一 つ か む ２ １ 錯視の図をつくるなどの活動 を通して，図形に親しみをも ち，平行であることや図形の合 同を示す方法について，関心 を高める。 ・ 対頂角の性質 ・ 平行線と同位角の関係 ・ 平行線と錯角の関係 ○ 実際に角度を求めたり，作図をしたりさせる ことで，対頂角が等しいことや，同位角・錯角 と平行の関係を確認させる。 関：対頂角は等しいなど 直観的にわかることが らを，筋道を立てて説 明しようとしている。 知：対頂角，同位角，錯 角の意味を理解し，対 頂角の性質，平行線 の性質について理解 している。 二 さ ぐ る １ ３ ３ ２ 平行線の性質や平行線にな る条件をもとに，新たな性質を 見いだす。 ・ 三角形の内角の和 ・ 三角形の 1 つの外角は，そ のとなりにない 2 つの内角の 和である。 ・ 角の分類，三角形の分類 ３ 多角形の内角の和の求め方 を説明することを通して，内角 の和の多様な求め方の理解を 深める。 ・ 四角形の内角の和 ・ 多角形の内角の和 ・ 多角形の外角の和 ４ 三角形の決定条件をもとにし て，合同な三角形をかくのに必 要な条件を見いだす。 ・ 合同な図形の性質 ・ 三角形の合同条件 ○ 合同な三角形を敷き詰めた図などを使うこ とで，三角形の内角の和が 180°であること を，同位角・錯角を使って証明させる。また， 三角形の 1 つの外角は，そのとなりにない 2 つの内角の和であることを理解させる。 ○ 対角線によって多角形を三角形に分け，そ の個数と頂点の数との間にある関係を考察さ せることで，多角形の内角の和は三角形の数 に帰着できることを理解させる。 ○ 多角形の外角の和を、各頂点の(内角＋外 角)の和から内角の和をひくことで求めること ができることを理解させる。 ○ 合同な図形の性質から，実際に合同な三角 形を書かせることで条件を見いださせる。 技：三角形の内角・外角 を求めたり，多角形の 内角の和・外角の和な どを工夫して求めたり することができる。 考：多角形の内角の和， 外角の和を帰納的， 演繹的に導くことがで きる。 知：合同な図形の性質 や三角形の合同条件 の意味とその必要性 を理解している。 三 深 め る ２ ２ ５ 与えられた条件のもとで図を かき，そこから新たな図形の性 質を見いだす活動を通して，仮 定と結論の理解を深め，仮定か ら結論を導く方法の見通しをも つ。 ・ 証明の意味と必要性 ・ 仮定と結論の意味 ・ 証明しくみ ６ 合同条件を使って簡単な図 形の性質を証明する。 ・ 証明の根拠となることがら ○ 仮定と結論について理解させ，証明すべき ことと証明に利用するものを確認させること で，証明の手順を理解させる。 ○ 等しい辺や角を調べさせ，その理由につい て確認していくことを繰り返させることで，合同 条件を使った証明の仕方を確認させる。 知：証明の意味と必要 性，仮定，結論，証明 の筋道について理 解している。 技：仮定や結論などを記 号を用いて的確に表 すことができる。 関：三角形の合同条件を 使って，簡単な図形 の性質を進んで証明 しようとする。 考：合同条件を使って証 明の手順を明らかに することができる。 四 生 か す ２ ７ 単元を通した学び直しを行う。 ・ コース別学習（補充/発展） ○ 評価テストにより，コースを自分で選択さ せ，取り組ませる。 知：単元の学習内容を十 分に身につけることが できる。 三角形の内角・外角の性質について理解 し，多角形の内角の和や外角の和を求める ことができるようにする。 三角形の決定条件をもとにして，合同な 三角形をかくために必要な条件を見いだ すことができるようにする。 証明の意味と仮定から結論を導く証明のし くみについて理解することができるようにす る。 合同な図形の性質や三角形の合同条件 について理解し，三角形の合同条件を利用 することができるようにする。 既習の内容の学び直しを行い，学習内容 を十分に理解することができるようにする。 本 時 ２ － ３ 観察，操作や実験を通して，対頂角の 性質，平行線の性質，平行線になる条件に ついて理解することができるようにする。

５ 本 時 平成◯年◯月◯日（◯） 第◯校時 ２年〇組教室において （１） 本時の指導観 本時は，多角形の角の２時間目である。前時までに生徒は，内角と外角，三角形の内角の和は１８０°,四角形の 内角の和を補助線を活用して様々な方法で求めることを学習している。そこで本時では，ｎ角形の内角の和を求め る活動を通して，図形に対する見方や考え方を育てることをねらいとしている。 そのためにまず，本時のめあてを確認させる。ここでは，前時に学習した「三角形の内角の和は何度でしょう」か ら，「三角形でなかったら？」と問うことで，角の数を自分で変更して考えようという意識を持たせる。次に，五角形， 六角形，・・・の場合の内角の和を求めさせる。ここでは，前時の四角形の場合を想起させ，三角形の内角の和や補 助線を利用することに気付かせる。さらに，内角の和の求め方を一般化させる。ここでは，二十角形の内角の和を 考えさせることで，分けられる三角形の個数の規則性に着目させ，一般化への手掛かりとさせる。その際，小集団 での対話活動を通して，分けられる三角形の個数の規則性について交流させる。最後に，本時の学習内容の定着 と振り返りを行わせる。その際，多角形を三角形に分ける他の方法についても考えさせることで，本時の帰納的に 考え一般化する考え方を生かして，さらに図形に対する多様な見方・考え方ができるようにさせる。 （２） 主 眼 ○ 五角形，六角形，・・・の内角の和を求めることを通して，三角形の個数に着目すればよいことに気付き，その個 数を帰納的に類推することで，多角形の内角の和の求め方を見いだすことができる。 (３) 評価の観点・方法 評価の観点 観点 段階 方法 多角形の内角の和の求め方を見いだすことができる 見方・考え方 深める プリント分析，発言チェック （4） 準備 ①学習プリント ②黒板に掲示用の三角形・四角形 ③表 （5） 展開 段 階 学習活動・内容 生徒の反応 （自分事の問い） 具体的な支援 配 時 形 態 つ か む さ ぐ る 深 め る 生 か す １．問題を把握し，めあてを確認する。 (1) 前時を想起する。 ・三角形の内角の和 →四角形の内角の和 (2) 本時のめあてを確認する。 ２．角の数を変更し，それぞれの多角 形の内角の和を求める。 (1) 角の数を変更する。 ・五角形，六角形，七角形，・・・ (2) 内角の和を求める。 ・三角形の内角の和の利用 ３．内角の和の求め方を一般化する。 (1) 二十角形の内角の和について考 える。 (2) 三角形の個数を推測する。 (3) 小集団で三角形の個数の求め方 についての考えを交流する。 ・帰納的な考え方 ・（三角形の個数）＝（角の数）－２ (4) 一般化する。 ・１８０°(ｎ－２) ４．本時の学習を振り返る。 (1)練習問題に取り組む (2)多様な三角形の分け方を考える。 (3)本時の学習を振り返る。 ・多角形の内角の和の求め方 ○ 三角形でなかったらとし て四角形の場合を考えた んだったな。 ○ 五角形や六角形の場合 はどうなるのだろう。 ○ 四角形の内角の和はど うやって求めたんだっけ。 〇 補助線で三角形に分け ればいいんだな。 ○ 二十角形をかいてみよ う・・・あれ、かけないぞ。 補助線で三角形に分ける ことができないぞ。 ○ 三角形の数はどのように したら求められるのだろ う。 ○ 規則性がないかなあ。 ○ あっ、そんなところに着 目すればいいんだ。 ○ ｎ角形の場合の内角の 和はどのようにしたら求め ることができるのだろう。 〇 こんな三角形の分け方 をした場合は、ｎ角形の内 角の和の求め方はどうな るのだろう。 ○ 「三角形でなかったら」の 問いかけから，「四角形」を 考えたことを想起させる。 ○ 更に「四角形でなかった ら」と問いかけ，角の数を 自分で変更し，主体的に考 えるように意識させる。 ○ 三角形に分け、その個数 が分かれば内角の和を求 めることができることや三 角形の個数の規則性に気 付かせるため、ひとつの頂 点から補助線をひく方法で 考えさせる。 ○ 実際に図をかき辛い二十 角形を考えさせることで、 抽象化させる。 ○ 小集団で交流させること で、三角形の個数の規則 性への気付きを促す。 〇 表を使わせることで、帰 納的に類推させる。 ○ ｎ角形の場合を考えさせ ることで、一般化させる。 〇 他の三角形の分け方を 考えさせることで、見方・考 え方を広げさせる。 5 10 10 5 5 10 5 一 斉 個 個 小 集 団 一 斉 個 めあて：多角形の内角の和の求め方を考えよう。