Tokyo University of Science Tokyo Unlversrty of Solenoe
数 学
的 思
考 力
を
高
め
る
創
造
的
教
材
第3
集 （そ の1
） 目0
ま じ め ひこ 次1
，定
点
から
曲
線
ま
で
の
距
離
2
，0N
−OFF
ゲ
ーム
3
，紙
折
り
捌
ペ ー ジ47
48
〜51
52
〜59
60
〜65
教 材 …探i
検
の会
野 木 倉 田 駒 鈴熊
吉 誠（筑 波 大 学 附属 駒場
中
・高 等 学 校）
清夫 （筑 波大 学 附属 駒 場中
・高等 学 校 ） 啓 之 （筑 波 大 学 附属 駒場 中 ・高等 学 校 ） 昌裕 （筑 波 大 学 附 属駒場 中 ・高等学校）こま じ め るこ （
1
） 研 究の 目的授 業 中の生 徒の
質
問の中に 、 面 白い数 学が潜ん で い る こ と がある。 教 師が授 業 の 準 備をす る際
に生 ず る素朴 な疑 問の 中に、 興 味深い数
学 を見出す こ とが あ る。 しか し、 日常の忙 しさの中でそ れ らの質問 や疑問 を忘れ て しま うこ と も多 い 。そこ で 、 こ の よ う な数学の教材につ い て の 情 報交 換や
検
討を行
うこ とを 目的と した 「教材
探検
の会」 を1994
年 度に作 り、 現 在 も活動
を続けて い る。現行の
指導
要 領で重 点が 置 か れ た もの の1
つ に、 数 学 的な見 方や考え方の 良 さ を 認 識 し、 そ れ らを 活 用する態度 を 育て るこ とがある。 こ のた め に は指 導 法の 工 夫とと もに、 適 切な 教材を取り上げるこ とも大切 な こ と で あろう。 その ような教
材はすで に数 多
く知られて い る が、 ま だ 必ず
し も十 分で は ない し、 又優
れ た教材 はい くつ あっ て も多 す ぎる こと は ないで あ ろう。そこ で、 （少 な く と も我 々 に とづ て） 新 しく多種 多 様な教 材 を 開 発してい くこ とが
本研
究のね らい で ある。 又 これ を通して 、我々 自身が、 数学的 な 見方や考え 方の 良さ を認 識 し、 そ れ ら を積 極 的に活用する態度を身
につ け るこ と も、 も う1
つ のね らい で あ る。 （2
） 研究の 方法教材は 、 例 え ば 次の 様な もの を 取 り上 げ る。
・中 学 高
校
の生 徒が、 興 味 関心 を持つ 教材
・中 学 高 校の生徒 が 、 理 解 で きる教 材
・発 展、 特 殊 化、 一般 化がで き る よ う な教 材
・次の
段
階 （高 校、 大 学 ）に つ な が るよ う な 教材・数 学的 な 良 さ 、美 しさ が わか る教 材
・数 学 的 な考 え方 を必要
ζ
す る教材・操
作
、活
動を伴 う教 材 ・コ ン ピュ ー タ等 の教 具 を活用 する教材 な ど取 り扱 う範囲は、 必ず しも現行カ リ キ ュ ラ ム に 捕 らわ れ る こ と な く、 自由に検 討 する。 ま た、 発展 ・特殊 化 ・一般 化を考え た り 、 場 面設 定や表 現 等、 生
徒
が取 り組み易い形 につ い て も検 討す る。 （3
） 研 究の経 過第
1
，2
年次 で は 、 次の教 材 に つ い て 報告 し た。 円柱の穴 あ けは ばた き 曲線
色 鉛 筆の パ ッ キ ン グ
リーグ戦の 順 位 表 ラ ン ダム ウオー ク
ランダムドットバターン
紙の バ ラキ リ
・
積
み木
の 舅断
三角 形の キ ュ ウ 心
極 地 探 検
今 年度 も様 々 な分 野の 教 材につ い て検 討 した が 、
「第
3
集 （そ の1
）」で は そ の 内の3
つ の 教 材に つ い て 報告
す る。な お、
取
り上 げた各教 材は、 そ れ を全て そ のま ま生 徒 に与え る こ と は考えて い な い。 生 徒の 実 態に応 じて 、適 宜取 捨 選択 ・修正 し て提示 すべ きで あ る と考えて い る。 一47
一 一Tokyo University of Science Tokyo Unlverslty of Solenoe
点
か ら
曲
線
ま
で の
距
離
Sine
カー プ がで き るモ デル と して 、 点の往復運 動，円柱の切 断 面の展 開 図が知ら れて い る。1
年
次 「円柱の穴 開け 」で もSine
カープが得
られ た。 こ こ で は、 もうひ とつ の モデル を紹 介 する。1
．課
題
円周上に沢山の人が 立 っ てい る。 そのな かの ある人か ら、 円周上に並 ん だ 人 ま での距離が ど んな関係に あるか を調べ て み よ う。 右の図の ように、 角 θを変数と し て、 その距離
PQ
＝L
は θ の どんな関数で表せ るだろ うか。 円の半径は、1
とす る。o
・Q
P
［解 答］PO
を結び 、 円0
との 交点をR
とする と、RP
＝2
． ∠RQP
・・90
° よ り 、 接弦 定理か ら ∠PRQ
＝ θ0
° ≦θ＜90D
の と き、L
＝PQ
；RPSin
θ＝2Sin
θ90
°≦ θ ≦180
° の と き、L
＝PQ
＝RPSin
（180
° 一 θ）＝2Sin
θ ［参考］RQ
・＝21Cos
θ1
2
．課
題
の発
展 、 一 般 化 一1
が に る A 点P
を半径1
の 円の中と し、OP
＝t
とする。 右 図のように、角
θを定める とき、PQ
＝L
は θ の関 数でどのよ うに表せ るカ ［解 答 ］∠
XPO
＝ ＝90
°とする 。良 △
OPQ
におい て、 余弦
定理 を適
用す
る と、LZ
＝12
十t2
−2
・レt
・Cos
（α 十90
° ） 一方、Sln
α ＝LSin
θ一t
よっ て、
L2
＝1z
十tz
−2
・1
・t
・Cos
（α十90
° ）＝1z
十t2
十2
・1
・t
・Sin
α・＝
12
十t2
十2
・1
・t
・（LSin
θ一t
）L2
−2tSin
θ ・L
十tz
−1
＝0
ゆえに、L
＝tSine
± ゾ ｛tZSin2
θ一（
t2
−1
）｝
x
こ こ で、 ’
L
＝tSin
θ一！ ｛t
2Sin2e
一（t2
−1
）｝は、Q
のP
に関 して反対 側の点Q
’までの 距離
PQ
’ で ある。特
に 、t
＝1
の と き、
L
＝Sin
θ ＋f
（Sin2
θ）；2Sin
θ また、t
＝O
．5
の と きL
＝0
，5Sin
θ＋ ザ（0
．25Sin2
θ＋0
．75
） こ の グラ フは、 下のよ うになる。 こ ら は囲
の結果
で ある。 一 匕2
点が に る A 点P
を半径1
の円の外とし、OP
＝t
とす る 。難
灘
鵬
謹
曩
一［
解
答 ］． ∠
XPO
；90
° とする。一般化
1
と同様に して・X
L2
−2tSin
θ ・L
十t2
−1
＝0
ゆえに、L
＝tSin
θ±f
｛tZSin2
θ一（t2
−1
）｝ こ こで、L
；tSin
θ一ザ
｛t
zSin2e
一（t2
−1
）｝
は 、線
分PQ
と円との交 点をQ
’ とする と き、PQt
の長さである。 − 特 に 、t
＝1
．5
の と きは 、L
＝1
．5Sin
θ十 馬厂
（2
．25SinZ
θ 一L25
）
であり、 このグラフ は下図の よ うになる。 一49
一 一Tokyo University of Science Tokyo Unlverslty of Solenoe
【発 展
1
】 （定点と直線との距離 ） 原 点P
と定直線g
：y
＝ a （a ＞0
）とがある 。直線 g
上の任意
の点
をQ
とす る と き、 θを右
図 の ように定め る とき、PQ
＝L
を θの関数
で表
し て み よ う。撫
磯
【発展2
】 （放 物線と の距 定点P
と放物
線y
＝ ax こ の とき、 放 物線上の任 θ を定め る と き、PQ
＝ ［解］ x ＝：LCos
θ ，y
＝LS
LSin
θ＝ a （LCos
θ） よ っ て、 aCos2 θ ・L2
−Sin
θ・L
十b
＝O
Sin
θ十4
−（SinZ
θ一4abCos2
θ）L
＝2aCos2
θ 特に、L
＝ a ＝1
，b
＝0
の とき 、Sin
θ十N厂（
Sin2
θ）Sin
θTan
θ
2Cos2
θCos2
θCos
θこ の ときの グラ フ は、右 図の よ うにな る。
霧
ー
量 1 ー ー 1 ー ー篭
「 ー ‘ …ー
4ー
黒 − ー 蝿 葦 ・f ， 結飜
驪
覊
【発展3
】
（
楕
円 との距離） 定 点P
（0
，0
）と楕円x2 ／b2
＋ （y −b
）2／ a2 ＝1
（a ＞0
，b
＞0
）が ある 。 こ の と き、 楕円 上の任 意の点をQ
と し、 右 図の ように θを定め る と き、PQ
＝L
を θの 関数
で表して み よう。 ［解］X2 十
y2
＝ a2y
＝ ・ a −LSIn
θ， x ・＝ aLCos θ／b
よ り 、（
1
−LSin
θ／ a ）2十 （LCos
θ／b
）2＝1
L
＝ a2 特に 、 a ＝1
，L
＝1
こ の グラ フは、 a2Sin2 θ一b2Cos2
θ 特に、 a ；1
，b
＝1
の ときは、1
L
＝ r！ 一 （−Cos2
θ） こ の グラフ は 、右図の ように な る。 【発展4
】 （双 曲線との 距離） 定点P
と双 曲線x2 ／a2 −ye
／b2
＝ −1
（a ＞0
，b
＞0
）があ こ の とき 、双 曲 線 上の任 意 の点 をQ
とし、右 図の よ うに θ を定め る と き、PQ
＝L
を θの 関数で表 し て み よう 。 ［解］ x ＝LCos
θ， y ＝LSin
θ よ り、 （LCos
θ）2／ a2 − （LSin
θ）2／b2
＝ −1
aZb2L2
＝3
．授業
への
活
用
△
h 簡 胆 ’ 曜韈
騨鱇
灘 隅 湘 騨 嚇 〜 一灘
難
蠅 ．靉
攤懣
． ，羅
纏
撮 叢 謹 “−、 ： F も ゜ ・ 牧・ ．鬟
蠻
飜
・ 「、． レ ” 宀匿 ． 署 ， 1 賦
繁
難蕪
黙
聽
畳（
D
分 野・ 中学
3
年 円と円周角，課題学 習高
校数 学
1
・「三角
比」 ，数学ll
「三角 関数」 ，数 学cr
い ろ い ろ な 曲線」（
2
）
留 意点 ・中学で の 指導では、三角 関数を用いずにど ん な曲線になるか を予 想 させ るのが よい。・高校で の指導で もいきな り極座 標は さ け、 身近な概 念の み で計算に入 り、 そ の発展
と し て極座標を 理解さ せ る一歩と し て の教
材
に適
して い る と考え る。・正弦定 理、 余弦 定 理の応 用 問 題 と して の扱い も可能で ある。 一
51
一 一Tokyo University of Science Tokyo Unlversrty of Solenoe
ON
−OFF
ゲ
ーム
1
．課
題
図の ように並んだ ボタンを， すべ てOFF
にす るに は， ど う した らよい か ？ た だ し，1
個のボタ ンを押すと， そのボタ ン，お よび上下左 右のボタン のON
，OFF
が切り かわる。 ○ ○ ○ ○○
○ ○ ○ ○【
解
説と解答】
もち ろ ん最 初は， ボ タン はすべ て
ON
である とする 。押 した ボ タン の上下 左右のすべ て に， ボタンが ない 場合 もある。 その ような場合 は， 図 ．、t
に示すように， その部分 を
無
視 して考えれ ば よい。葺
〉 ○0
000
●
00
● ●
0
毎
○
○
→ ● ● ○○ ○ ○ →
●
○
○○
○
○●
○ ○
○ ○ ○
000
図
1
図
2
こ の，すべ て
OFF
の状
態か ら始 めるゲ ーム を ，我々 は，LIGHTS
OUT
・ON
−OFF
ゲ ーム（以下，略 して
ON
−OFF
ゲームと呼 ぶこ と に し た。 「
ON
−OFF
ゲーム の定 理」鹽
］
：ボ タン を押す順序は，無関 係である ！図
3
，4
に示すよ うに， ボタン を押 す順序は，無関係である こ とがわ か る。こ れは， 各ボ タ ン の
ON
，OFF
が ，切りかわる回数だ け で決
まる ， と い うこ と か らわ かるだろ う。1
回2
回0
0
0
0
●
○
●
●
○
○
命
0
→や
一● ● → ○ ○ ●○
0
0
0
●
○
●●
○ 図
3
1
回2
回○
○ ○● ○
○
● ●
○
命
○ ○ → ● 一◆
・○ →○
○ ◎O
O
O
●
○
○
●
●
○ 図
4
國
：各 ボタンを押す 回 数 は，0
回 か1
回で考 えれ ば よい ！図
5
に 示 す よ うに，同じボタン を，2
回押す と，1
回 も押さない こ と と 同 じであり，3
回押す と，1
回だ け押 した こ と と同 じ にな る か らで ある。 ○ ● ○ 銅 ● ● ●0
● ○ →000
胴 ○命
○ ○ ○0
5
→ 図 ○ ● ○ 徊 ●命
●O
●O
→ ○ ○ ○ ○φ
0
000
圃
；各 ボタ ン を押 す か 押 さない か、だ け を考え れ ばよい ！（定 理1
， 定 理2
か ら） 定 理3
か ら、 例 え ば， 図6
の ように1 各 ボタン を押し た場 合に1
， 押さない場 合に0
と し て，各ボタン をO
，1
で表 現 した 図 で考え ればよ い こ とが わか る。 以下， こ の よ うな図を，ON
−OFF
図と呼ぶ こ と に しよう。 こ こ まで は，一般のLIGHTS
ON
−OFF
図01
∩ り6
110
図101
OUT
ゲ ーム にも適
用で きる定理である。甌
］
：各
ボ タンのON
，OFF
の 切 りかわる回数は ，すべ て奇数であ る ！ 各ボ タ ンを，ON
か らOFF
にするこ と を考 え れ ば ， す ぐにわ かるだろう。1
1
0
こ こで， 例 えば， 図
7
のようなON
−0
1
1
0FF
図で表
され る もの につ い て， ボタン1
0
0
の切 り かわる回数を考えて み よう。図
7
例え ば中央のボ タン の場 合， 切 りかわる の は， 自分 自身，お よび上 下左 右の
5
つ の ボ タ ンのうち ，1
で表され た ボタ ンの数の合計だ か ら，1
十1
十1
＝3
とな る。 これ は奇 数 なの で， こ のボ タンはOFF
に な るわけ だ。一方，中央下 の ボ タンの場 合は， 同様に考えて，
1
十1
二2
と な る。 これは偶 数なので， このボ タンはON
になる わ けだ。3
＝1
十 〇 ⊥01
十 ⊥国
o
了
10
了
〜 央 中2
＝1
010T
1
11
働
〜10
⊥ 下 央 中 図8
同
様
に して， 各 ボタ ンの切り かわる回数 を調べ る と t 図9
のよ うになる。 他にも， 偶数 にな るボタンがある こ とが わか る だ ろ う。 すな わ ち， い ！だか ら， これは求め る
解
で は ない 。 ワ 臼 9】1
9
332
図2h61
このON
−OFF
図の場 合， 残念な が らすべ ての ボタン は，OFF
にならなで は，い よ いよ ，こ こまで に述べ た定 理 ，特に定 理
4
を用い て，課題を解
決す る。し か し， 定 理
4
か ら， す ぐに解が 見つ かるわ けで はない 。 定理4
を み たすよ うなON
−OFF
図 を， 見つ ける しか ない の で ある。 試行錯誤の末，図IO
の解
が見つ か っ た ！どのボタン も， 切りかわ る回数が奇数になっ てい る のが ，図
11
か ら確認で き るだ ろ う。101
解010
ー ム01
各 ボ タ ンの 切 り かわ る回数 図10
しか し，図10
以外に解は ない のだ ろうか ？ − つ ∪ −3
11
33
1
図11
実は、 これ し か解はない こ とが今後分 か り、 図10
が課 題の解であ る。 一53
一 一Tokyo University of Science Tokyo Unlverslty of Solenoe
解を見つ け るア ル ゴ リズム
ボタン を，列 単位で考 えたと きに，例え ば， 図
12
の よ うな第1
列に対
して，第2
列は， 定理4
に あては めて考
え る と，1
つ に定 まる の である。例え ば ，
第
2
列の ボタ ンD
が どうな るか を考えて み よう。 も し， ボタンD
が1
とす る と， ボ タ ンA
の切 りか わ る回数は2
とな り，偶 数になっ て しまう。 これ は定 理4
に反 す るの で，ボ タ ンD
は，0
でな けれ な ならない こ とがわ か る。同
様
に して， ボタ ンE
は， ボタ ンB
の切りかわる回数が奇数になる ように 定め，ボタンF
は， ボタンC
の切りか わ る回数 が奇 数に な る よ うに定 め れ ば よい。 結果 は， 図13
の通 りで あ る。まっ た く同
様
に し て，第
1
列，第2
列か ら，第3
列が定まるこ と になる。例えば， ボタ ン
G
は， ボタ ンD
の切 り かわる回数を考 えれば よ い。 結果は， 図14
の 通りである。こ こまで で， 第
1
，2
列の ボタン は， 切 り か わ る 回数がすべ て奇数に な る 。 あ とは，第3
列 が ど うかだ が …。 実 際に調べ てみ る と， ボタンG
，H
は0
， ボタン1
は1
とな る。 ボ タンG
，H
が偶 数になる の で，残念 なが らこれは解で はなか っ た ！第
1
列
第
2
列 A1 → DO BO E cO F 第1
列 AlBOcO 図12
第
2
列 DO → EO → F1 図13
第1
列第
2
列 AI DO BO EO cO Fl → → → 第3
列 GOHOlO 図14
第
1
歹1
亅第
2
歹1
亅第
3
歹1
亅 AI DO GO BO EO HO cO F1 10 図15
そこで，第1
列 を変えて ， 同 じよ うに 考え れば よい わ けで ある。第
1
列 は，全
部で次の8
通 り （対称性 を考える と，6
通り） ある の で，それら につ い てすべ て調べ れ ばよ いわけだ。 実 際に調べ て み た結果 t 解は，前に見 つ け た図17
の よ うな もの1
つ だ け で あ る こ とが確 認できた ！ （0
）（
D
（
2
）（
3
）（
4
）（
5
）（
6
）（
7
）111
∩ V11101
ー ム01
0016
7
11
。 剛 。 − 。 躑101
010
100
000
2
． 課 題 の発
展
と 一般
化
【発 展1
】3
×4
を え る次は， ボタン の 数が，
3
×3
で は な く， 図18
の よ うな3x4
の場 合 を考えて み よ う。 こ こ で も，3x3
で考 え たの と 同 じ よ う なア ル ゴ リズムで ，解
を見っ け れ ば よい。 式で 表して みよ う。OOO8
000
図 ○○
○ ○ ○ ○図
19
の ような3
つ の列があるとき，第
n 列が ，第n −2
， n −1
列か ら，定ま るの であっ た。 例 え ばA
。の場 合，A
，−iの切 り かわ る 回数が， 奇数になるようにすれ ばよ い。A
，．iの切 りか わ る回数は，（
An
．2十A
。−t十B
。−1）十An
であり， これ が奇数
にな れ ば よい の で，A
。は，A
。−z＋A
。−1＋B
。−iが偶
数な ら ば，1
A
。．2＋An
．1＋B
，．tが奇数
な らば ，0
と定めれ ば よい わけ だ。 よっ て，An
はA
，≡An
−2＋A
，．．i ＋B
。−1＋1
（mod2
） で表され るこ と が わ か る だろう。B
。，C
。につ い て も同様
であ る。 ま とめて表せ ば， 次の ように なる。An
≡A
働一2十A
。−1 十Bn
−1十1
n −2
列A
。−2B
。−2C
。−2A
。−z （mod2 ）B
。ヨB
。−2十B
。一1十An
−1十C
，−i十1
（
mod2 ）Cn
≡ …Cn
＿2十Cn
．．1十Bn
＿：十1
また は， n ＝2
の とき も， 図21
の よう に，第0
列 を考 えて，Ae
＝b
。＝Co
＝0
とすれ ば ， 成 り立つ ことがわ かる。さ て，
の ように表現 したとき， 最後の 列 が ，すべ て奇 数になるか ど うかの判断は どうすればよい だろ うか。 実は，最後の 列を第n 列と したとき， 図
22
の ように，第n ＋1
列を考 え，An
＋ 1ニB
。 ＋i＝C
。＋i＝0
とな れ ば， 第r1列は， すべ て奇数にな る1
（mod2 ）0
列0
0
0
ロ の ロ 醐ABC
nA
→ → → → 列 洞婁
黙
． 即 …1
列2
列A1
→A2
B
， →Bz
CL
→C2
図21
列1
十 〇 〇 〇 n 酬鋭
驫
列 1111
『 『 臣 一ABC
n さて， これ まで の結 果を用い て，実 際に，3
×4
の 場 合を調べ て み よう 。 第1
列のすべ て の場 合を調べ，第5
列がすべ て0
にな る もの を見つ け る。0
列OOOOOO
）@
Ol
（@
（1
列2
列@4
列 「 σ 一 一i
− 一 一一i
「0
一100
！ Ll − iL ＿＿
＿ ＿＿ ＿ ＿ ＿ 11 一 〇 〇01
凾 《U
Ii
「1
01
一110
5 列Tokyo University of Science Tokyo Unlverslty of Solenoe
000000000000000000
の紛
の
9
の の （（
（
（ （ （ ［001
一110
一 〇 〇1
一101
｝011
一111
｝「
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「 ー −」
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− 「11
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1
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」0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
図23
「
ll
づ
ーヨ
ー1
」llI
−「
ーi
「
1
」
「001
一 〇 〇 − 一 〇11
一 〇 〇 〇 一100
一111
一101100011010001000
→ 解 上の結 果か ら，解は（7
）の場 合1
つ だ けで あるこ と が わ か っ た ！ 【一般化1
】
3
× n をえる
今度は， さらに 拡張 して ，
3Xn
（n ＝1
，2
， …）
の 場 合 を 考 えて み よ う 。 こ こで も，3
×4
の 場 合 と同 じよ うに考えればよ い 。 第1
列のすべ て の場 合につ い て，ある列がすべ て0
にな る まで調べ た結
果 が ， 次の通り である 。 （0
） （1
） （2
）（
3
）
（4
）石
一iO
！』
」
000
→ n ＝5
，6
→ n ＝2
→ n ＝1
→ n ＝2
→ n ＝2
（
5
） （6
）（
7
）
100
000
「
i
」
［000
一図
24
の結
果か ら， まず，n ＝
1
（（2
）の場 合） ，n ＝
3
（（
5
）の場 合），n ＝
5
（（0
） ，（7
）の場 合）， こ こで， きる点に注意する。 で は， 図24
→ n ＝3
→ n ；2
→ n ＝4
，5
n が次の1
〜6
の場 合に解があるこ とがわか る 。 n ・＝2
（（
1
）
，（
3
）
，（
4
），（6
）
の場 合） n ニ4
（（7
）の場 合）n
＝6
（（0
）の場合
） （0
）を第6
列 まで， （7
）を， 第5
列 まで （図24
の点線の枠まで）考える こ ともで n ≧7
の場合はど うだろう か ？ 図Z4
一で， すべ て が0
になる列 まで で は なく， 意味が あ る。例 え ば，
（
1
）
の場 合で，第
5
列 以降を さら に続 け て 調べ て行 くと， 図25
のよ うになる 。 よ く み る と，第4
列 ，第5
列は， （3
）の場 合 と同 じに なっ てい るこ と がわか るだ ろ う。これ は， （
1
）
の 第4
列が ， さ らに， こ の先を続け る と， その 次の列 まで 表示 し た が， 実は これに は （1
） （3
）rr
−ol
O
「i
−10
…
lO
ololl
llO
…
Lo
＿」」
oLo
＿ ＿o
」
o
… 図25
（3
）の 第1
列 と一致 してい るか らで ある。 （3
）の第4
列は， （4
）の 第1
列 と 同 じなの で，第7
，8
列 は ，（
4
）
の場合と同じに なる。 ま た ，（4
）の 第4
列は， （6
）の第1
列 と 同 じなの で， 第10
，ll
列 は， （6
）
の場 合と同 じ になる。 （1
） （3
） （4
） （6
） （1
）「
i
− r−olO
「
1
−ilO
「b
一互
10
「
b
一で
10
「
「 了）
1
10
01011
11010
010
【1
11010
01
…Lg
＿210Lo
＿⊃
」
oLi
＿』
」
oLi
＿Al
o
Lp
」
」
−
1
列4
列7
列10
列13
列 図26
そ し て， （
6
）の第4
列 は，（1
）の第1
列 と 同 じなの で，第
13
，14
列は，（
D
の場 合と同 じになる。 以下は， 同 じこ．とが繰り返 され るだ けである。 （1
）→ （3
）→ （4
）→ （6
）一
図27
上では， 第
1
列 が（1
）の場
合を調べ たが ，第1
列が（3
）や （4
）， （6
）で あっ ても， 同 じよう な繰
り返 しにな るこ とは，容易にわかるだろう。 さ らに，他の （0
）， （2
）， （5
）， （7
）の場合につ い て も， 同様に 調べ る と ， や は り周期 的 に 繰り返され ること が わ かる。 そ れ らは， 次の ア 〜 ウの ように まと め られる 。 ア． （1
→ （3
） → （4
） → （6
）イ・
（
ve
） ＿9
（）ウ・
（
7
） →魑
一57
一 一Tokyo University of Science Tokyo Unlverslty of Solenoe
で は，そ れ ぞ れ の場合， n がい くつ の ときに解がある の か。 そ れ は， すべ て が
0
になる列を区切りと して， そこ までの n を調べ れ ば よい 。 例 えば、ア の場 合 ， 図28
の ように区切っ て考えて， ア． n ＝2
，5
，8
，ll
，14
， … の場 合に，解がある ことが わ か るだ ろう。4000
ニコ nOO −
100
1000
ヨロ 且
011
011
000
8
ココ n10028 図
001
000
5
ココ n110
I10
000
2
ニコ nOO1
100
ア で，第
1
列 を， （3
）， （4
）， （6
）に して も， 同 じ結果が得
られ る。 同様に，イ． ウ の場合 も調べ る と，次の通 りである。 イ． ウ． n ＝1
，5
，7
，ll
，13
， … n ＝3
，5
，9
，U
，15
，…5
，11
，17
，23
，29
， … n ＝ ：6
，12
，18
，24
，30
， …4
，10
，16
，22
，28
， … n ニ5
，11
，17
，23
，29
， … （第
1
列を（2
）とす る） （第1
列を（5
）とす る） （第1
列 を （0
）とす る） （第1
列を（7
）とす る） ア〜 ウ の結果を な が めてみ よ う 。 まず， イの 結果か ら， n が奇数の場合に は，すべ て解が あ るこ とが わ か る 。次に， ア の結 果か ら，
2
，8
，14
，20
，26
， ウ の結 果か ら，4
，10
，16
，22
，28
，6
，12
，18
，24t
30
， の とき解 が ある の で， 結局偶数の場 合 も， すべ て解 が あるこ とがわ か る。 す な わ ち，3
× n（n ＝
1
，2
，3
， …） の場 合は， すべ て解があ るこ と がわか っ た1
（た だ し，解は複 数あ る場 合 もある。 ） 【一般 化2
】
4Xn
をえ る 解の見つ け方 は ， これ まで と まっ た く同 じで ある。
第
1
列と して， 考え られ るもの は，46
通 り である。 （対称 性を考えれ ば，10
通 り である。 ）4Xn
の場合もすべ ての n につ い て，解がある こ とが わかっ た ！ 特に， n ＝4
， すな わ ち4
×4
の 場合の解は ， 回転した り，裏 返した り した もの を同 じ と考え れば， 次の5
つ であ る。k
は， 押 した ボ タンの数 を表す。0010
00014
＝1000k 0100
001
ー ハ 0 ＝0011LK
1000
1000
0101
8
0010
；k
1101
1100
0000
11110
1
＝1001k
11111
111012
1101
＝0111
、 K1011
【一般化3
】5
× n を え るk
の 最小値は4
図29
さ らに拡張
して，5
× n の場 合を考えてみ よう 。 第1
列 ；考え られ るndL
Lr・ ’∵”・’．’32
通 りすべ て の n で，
5
× n の解
はある こ とが わ か っ た ！ 特に，本章
課題
を考
え るきっ か け と なっ た n ニ5
， す な わ ち ，5x5
の解は， 図30
のよ うに，1
つ だ け しかない こ ともわかっ た。 この とき，押すボ タン の数は，k
＝15
であ る。 手 ごわいわ けであ る。10110
・ ⊥011110
6x6
の解111111
111111
⊥k
＝28
01111
∩U1011
∩ ｝ − ⊥00011
11
∩ ）11
11100
01110
10110
図30
3
． 授 業 へ の 活 用 （D
分野 中学2
年 数の表現 （2
進法），課題学習 高校 数 学A
「数列 」 （漸 化式） （2
）留 意 点 ・ひ とりゲーム を楽しみ な がら、解析す る に はど うすればよ い か を指 導する。 ・い きなりLIGHTS
OUT
ゲ ーム5
×5
を解析 するの は難しい 。 で は 、 どう考 える か。 特殊化 し て、
3x3
，3
×4
， … と考えて い くとこ ろ が数 学 の手 法であ る事 を学 習させ る と よ い。・
2
つ の 図を示 して、 どめ
ボタ ンを押したのか を発見 させ る と い う論理 学習に も適し て い る。 一59
一 一Tokyo University of Science Tokyo Unlverslty of Solenoe
紙折
り
数
列
1
．課
題
図の よ うに， 順 に紙を折るこ とを5
回繰 り返 した後，下か ら番
号 を ふっ て ひ ら く と， 数の並び は ど うなる か ？操
h
｛
⇒ …智
εふ｝8
・
⇒
貨
く入〜く 【解説と解答 】 紙の折 り方は，常に右半 分 が左 半分に重な る ようにす る。また番号は，
「下か ら
k
枚 目」の紙の と き，k
とか く。 した が っ て，紙 をひ らい た と き， 番 号は表と裏に書かれ る こ と もあるが， すべ て表に書 かれ た もの と し て 考える。 例え ば ，2
回折り の場 合， 紙 をひ ら くと次の 図1
の ようにな る。3
匚
＝
＝ ＝ri
量
＝
＝ ：＝
＝ ユ
図1
一
まず は， 実 際に 紙 を折 っ て， どの ように数が並ぶ かを 調べ てみ よ う。 紙を折っ たときの 様子と， ひ らい たときの数の並び は，次の 図2
， 図3
の 通り で あ る。1
回2
回3
回4
回？
−
1
…
詠
図2
実際に 折っ てみ る と，
4
回まで は容易に調べ る こ と は で きるが，5
回 以上はな か なか大 変である。 そ こで，4
回 まで の結果か ら， この先が どうな るかを調べ る。 次の 図3
の数列か ら，次の こ とに気が付 く。1
回匚 ＝ ＝ ＝ 〔 ：＝ ＝
：
匚
＝
＝ ＝ 互 ＝ ＝＝＝コ
2
回匚＝ ：匸：＝：匚 ＝ 丕＝ ＝匚 ＝ 一
：＝ コ
3
回［
＝
〔
匚
一
＝
＝
互 コ
4
回1
16
9
8
5 12 13
4
3 14
11
6 7
10
15
2
図3
そこで我々 は， この数の並 び を，匯
翻
と名付ける ことに し た。 紙 折 り 数 列｛
Un
（k
）｝ の性
質
n 回折 っ た と きの左か らk
番目の数 （第
k
項）を，U
。（k
）
と表
す。 （ア） の と の の は一定で る 例え ば，3
回折 り の場合，図
4
の ように， その和
は9
となる。 ｛U
，（k
）｝1
8
〕 和9
1i
23
十1
岡 〕U
1
9
悶 十 34
2
図1
9
師 十 32
7
2
〕9
1123
十1
一般に， n 回折 り の場 合 ，その和は2n
＋1
である。 すな わ ち，U
。（2k
−1
）十Un
（2k
） ＝＝2n
十1
（
k
＝ ＝i
，2
，一・，2m
−1 ） （イ） のElleiia
（図5
参照） のは
さら に
1
回っ た
ム の そ れ ぞ れ左下
右
の
に
｛
U3
（k
）｝1
4
3
2
！
1
丶
〃
xx
｛
U
，（k
）
｝1
口
口
4
3
口
口
2
図5
すな わ ち，U
。（4k
−3
）ニU
。−i（2k
−1
） ，Un
（4k
） ＝U
。一二（
2k
） ゆ ） い 4 ＼“
鱆わ
臨
急
日
1
鯨
一の
、越
O
ら
・髄
齢
U
（ア），
（
イ）
の結果を合わ せ る と，次の よ うに数 列 ｛U
。 （k
）｝にっ い て の漸化
式 ができる。所
轗熱鷯
給
一D
〔n ≧
2
，k
；1
，2
，3
，…，2n
−2 〕畠こ の漸
化
式 を用いれば ，紙折
り数 列を 次々 と求 める こ とができ るだ ろ う。 課題の数 列は、 n ＝5
の場合で あ り 、 そ の数 列 ｛U5
（k
）｝は， 次の ように求 ま る。1
，32
，17
，16
，9
，24
，25
，8
，5
，28
，21
，12
，13
，20
，29
，4
．3
，30
，19
，14
，11
，22
，27
，6
，7
，26
，23
，10
，15
，18
，31
，2
（答） 一
61
一 一Tokyo University of Science Tokyo Unlverslty of Solenoe
2
． 課 題 の 発 展 【発展1
】 （ア）， （イ）以外にも， 次に挙
げる よ うな様々 な性質が 発 見できる。 （ウ）いつ も， 初 項は1
，末 項は2
で ある。 （エ）真
ん『中
の2
項は ，4
，3
の順に並ぶ。す な わ ち，
U
。（
2
””r ） ＝ ＝4
，U
。（2
”‘1 ＋1
）＝3
（オ）第2
項と第
3
項，第
6
項と第7
項，第10
項と第11
項， …の 和は一定であ る。 す な わ ち，U
。 （4k
−2
）＋U
、 （4k
−1
）＝312
”“i＋1
（カ）奇
数番
目の項は奇
数で あり，偶 数番 目の項 は偶
数である。 【発展2
】
左と右
そ れ ぞ れ につ いての
の
の並び （図
6
参照 ） 並べ方を変え てみ る ： ノ回1
，2
2
回1
，4
，3
，2
3
回1
，8
，5
，4
，3
，6
，7
，2
4L
回1
，16
，9
，8
，5
，12
，15
，4
，3
，〈左半分〉
〈右半分〉
：
：
（左）1
慢
〔
韓 ：
：
（右， 図6
すな わ ち ， 次の漸化 式を
作
る こ とがで きる。（
Un
（2k
−1
）＝2U
。−1（2k
−1
）−1
U
。（
2k
）
＝
2U
．−1（2k
） （k
＝1
，2
，3
，…，2n
冒3）（
Un
（
2
”−i 十2k
−1
）
＝2Un
−i（2k
−1
）十1
U
。 （2n
『1 十2k
）＝
2Un
− 1（
2k
）−2
（k
・1
，2
，31
…，2n
宦2）14
，ll
，6
，7
，10
，15
，2
〔
豪
1
〔
鱒
｝
1
〔
憂
・ 【発展3
】左直竝
斷
（図7
参照） −1
、1
〔1
8
5
4
3
6
72
〜
一
図7
次の式が 成 り立っ 。
（
U
。 （2k
−1
U
。（
2k
））
：
呂
：
8
：
‡
1
搾
1
｛
舛
）1
−1
〔
k
＝L
，2
，3
、 ・一 ，2n
−1 ）【
発
展4
】 の つ いてもり立つ （図
8
参照 ）1
8
5
4
i
図8
一
1
−3
6
7
2
〕 十t
（
Un
（2n
一且 ＋2k
＋
U
・（2n
＋1
− （2k
−D
）
＋ ．・1
【発展5
】
左と
U
。 （2n
−1 十2k
）
＝
Un
（
2R
十1
−2k
）−1
（
k
＝1
，2
，3
，…，2n
−2 ｝’
を左か ら
1
に差が
2
に な っ てい る （図9
参 照） 、8r
r
互
矯
， −2
｝
、 一 ＋2
−
＋2
＿ ノ 丶 図9
（
器
：
蠍
∫
D
：
器
1
賜
＋2
｛
k
＝1
，2
，3
，・・ 、
2
ロー2 ）【
発
展6
】逆
ISIyCll2E
：2ttb
これ まで に， 紙 折り
数
列に つ い て様々 な性質が見っ か っ たが， まだ他に も面白
い 性質が逆操作との間に面 白い 関係が発見され たの である。 あっ た ！
こ こ で，逆 操
作
と は次の通 りで ある。 図10
の ように，あらか じめ紙を2n
等分 し て ， 左 か ら1
，2
，3
，…，2n
と番号 をふ る。 次 に， 紙 をn 回折
っ たときに，下か ら番号 が ど の ように並 ぶ かを考え るわ けである。 ・ 一 ・ の牲
3
’ 、 −1
…
ヨ
a n 。3
の場 合…
t− ”s
？
12345678
峯
図10
一63
一 一Tokyo University of Science Tokyo Unlverslty of Solenoe
具体的に，逆操 作の 数列を調べ て書き並べ ると，次の よ うに な る。
1
回1
，2
Z
回1
，4
，3
，2
3
回1
，8
，5
，4
，3
，6
，7
，2
≠
回1
，16
，9
，8
，5
，12
，a
4
，3
，14
，ll
，6
，7
，10
，15
，2
何と， 紙折 り数 列とそ っ くり同 じ である11
す な わ ち， 逆操 作でで きる数 列 を
匯醜
と呼
ぶ ことにすれば ，甌
硬
］
＝翻
というこ と で ある。 これは， 何故だ ろうか ？そ こで，
2
つ の数列の 作り方を， もう 一度比べ て み よ う 。例えば
3
回折りの 場合， 紙折り数列の と き は，1
回紙をひ ら くごと に， ま た逆 紙折り数 列の ときは，1
回紙を折るごと に、 そ れ ぞ れ数字の動 き を みて み る と，図ll
の よ うに な る。 紙 折 り数列2
ワ ‘2
駐 魯t
衿34
！ P タ7
密 ， ， ワ冒 こ丶
夕 6釜
牛 3 竃 ー丶
97
‘5
チ き 21 逆 紙折り数 列外
lza
34
・旨67
｝8
千含
昌 Qgl 図ll
3
ζク
Z
4
‘ ＆ 112
ク63
千 タ3
ーこの
2
っ の数字の動き をよく見る と，実は全く同 じ動きを してい る こ とが わか るだろう。 だ か らT当
然数字
の並び も等し くな るわ けで ある。 逆 紙折 り数列の性質逆紙折り数列が， 紙折り数 列 と 同 じであ るこ とはわ か っ た が ，逆紙 折り数 列にっ い て， もう少し い ろ い ろ調べ てみ よ う。
n 回折り の逆 紙折 り数列を， ｛
Rn
（k
）｝と表 すこ とにす る。こ の とき，紙折 り数列に対し て，逆 操作で で きる と い うこ とか らt 図
18
の ように，U
。（
k
）
＝ mR
，（
田）
＝k
が 成 り立っ ことが わ かる。‡
圃 ：・ ・ 乳1
⇔
図12
R
，C
”）
＝k
こ こで，紙折 り数列 に対 して， 始 めに 作 っ た漸化 式 を も う一度 思い 出し て み よ う。
