放射線Ｘ線の磁気的な散乱・回折を用いた起道整列の研究

平成 20 年 3 月

博士論文

放射光 X 線の磁気的な散乱・回折

を用いた軌道整列の研究

=YTiO

₃

の磁気コンプトン散乱・X 線磁気回折実験=

指導教官 伊藤正久教授

群馬大学大学院

工学研究科電子情報工学専攻

05802303

辻 成希

要旨

電子には、電荷・スピン・軌道という 3 つの性質がある。電荷・スピンはそれぞれ、電 荷・磁性の源になるものである。軌道は電子雲の形を表している。現在までに、電荷・ス ピンに関する多くの研究が行われている。一方、電子の軌道に関する研究は、物性との関 連が明確でなかったために、あまり行われてこなかった。しかし近年、電子軌道が物性に おいて、重要なものであることが明らかになってきたため、非常に注目を集めている。そ こで、電子軌道が示す現象である、軌道整列に注目して研究を行うこととした。

測定に用いた試料は、軌道整列物質の強磁性体YTiO3である。YTiO3の結晶構造は GdFeO3 型ペロブスカイト構造、空間群は Pbnm をとる。またこの試料の磁性の源となる電子は、Ti3+ イオンの１つの 3d 電子である。この 1 つの 3d 電子が軌道整列を示している。この軌道整 列現象を観測するため、放射光 X 線を用いる、磁気コンプトン散乱と X 線磁気回折を用い て研究を行った。 磁気コンプトン散乱実験は、高エネルギー加速器研究機構 PF-AR-NE1-A1 で行った。こ の実験で得られる物理量は磁気コンプトンプロファイルである。磁気コンプトンプロファ イルは磁性電子の波動関数に直結した物理量であるため、磁気コンプトンプロファイルを 得ることにより、磁性電子の波動関数を知ることができる。測定は、a 軸[100]、c 軸[001] 方向で行ない、この 2 つの方向で磁気コンプトンプロファイルを得た。この 2 つの方向で 得られた磁気コンプトンプロファイルを、YTiO3のモデル波動関数を用いて計算した磁気コ ンプトンプロファイルと比較検討した結果、ある波動関数（u=0.84）と概ねよい一致を示し ていることがわかった。よって磁気コンプトン散乱実験により、軌道整列現象を観測する ことに成功したといえる。磁気コンプトン散乱実験で軌道整列現象を観測したのは、本研 究が初めてである。 X 線磁気回折実験は、高エネルギー加速器研究機構 PF-BL3C3 で行った。この実験で得ら れる物理量は、磁気形状因子である。また磁気形状因子をスピン成分と軌道成分に分離し て測定することが可能である。スピン成分をスピン磁気形状因子、軌道成分を軌道磁気形 状因子という。スピン磁気形状因子は磁性を持つ電子のスピンの分布、つまり磁性電子の 波動関数に直結した物理量であるため、スピン磁気形状因子を得ることにより、磁性電子 の波動関数を知ることができる。測定は、(h 0 0), (0 0 h), (h 0 h), (2h 0 h), (h 0 3h), (0 6 8)面で 行ない、合計 23 点の逆格子点でのスピン磁気形状因子を得た。この 23 点のスピン磁気形 状因子を、YTiO3のモデル波動関数を用いて計算したスピン磁気形状因子と比較検討した結 果、ある波動関数(u=0.71)を概ねよい一致を示していることがわかった。よって X 線磁気回 折実験で軌道整列現象を観測することに成功したといえる。 また YTiO3は、磁気モーメントの軌道成分である軌道磁気モーメントが凍結していると 考えられている。そこで、磁気コンプトン散乱と X 線磁気回折では、軌道磁気モーメント

を算出することが可能であるため、軌道磁気モーメントの凍結の確認も行った。その結果、 2 つの方法で軌道磁気モーメントの凍結を確認することができた。

目次

第Ⅰ章 序論 5 Ⅰ-1 研究背景 6 Ⅰ-2 磁気コンプトン散乱の研究背景 7 Ⅰ-3 X 線磁気回折の研究背景 7 Ⅰ-4 本研究の目的 8 第Ⅱ章 測定試料（YTiO3） 9 Ⅱ-1 YTiO3の基礎物性 10 Ⅱ-2 磁化測定 12 第Ⅲ章 磁気コンプトン散乱実験 13 Ⅲ-1 コンプトン散乱 14 Ⅲ-2 磁気コンプトン散乱 15 Ⅲ-3 磁気コンプトン散乱実験 24 Ⅲ-3-1 KEK-PF-AR-NE1-A1 24 Ⅲ-3-2 データ処理 28 Ⅲ-4 磁気コンプトン散乱実験結果 31 Ⅲ-4-1 実験結果 31 Ⅲ-4-2 結晶方位異方性 35 Ⅲ-4-3 スピンモーメントの算出 37 Ⅲ-5 理論計算と考察 39 Ⅲ-5-1 磁気コンプトンプロファイルと波動関数の関係 39 Ⅲ-5-2 YTiO3のモデル波動関数 39 Ⅲ-5-3 磁気コンプトンプロファイルの計算 42 第Ⅳ章 X 線磁気回折 53 Ⅳ-1 X 線磁気回折の原理 54 Ⅳ-1-1 X 線磁気回折 54 Ⅳ-1-2 散乱断面積 55 Ⅳ-1-3 LS 分離 58 Ⅳ-2 X 線磁気回折実験 60 Ⅳ-2-1 放射光の偏光 60 Ⅳ-2-1-1 電磁波の偏光 60 Ⅳ-2-1-2 ストークスパラメーター 61 Ⅳ-2-1-3 放射光の偏光 62 Ⅳ-2-2 X 線磁気回折実験配置 63

Ⅳ-2-3 X 線磁気散乱の測定回路 65 Ⅳ-2-4 実験条件 66 Ⅳ-2-5 実験の流れ 67 Ⅳ-2-6 Fe の実験（偏光因子の測定） 68 Ⅳ-3 X 線磁気回折実験結果 70 Ⅳ-3-1 実験結果 70 Ⅳ-3-2 磁気形状因子の算出 74 Ⅳ-4 スピン磁気形状因子の計算と考察 82 Ⅳ-4-1 磁気形状因子と波動関数の関係 82 Ⅳ-4-2 スピン磁気形状因子の計算方法 82 Ⅳ-4-3 スピン磁気形状因子の計算結果 85 Ⅳ-4-4 偏極中性子回折との比較 90 第Ⅴ章 まとめ 92 参考文献 96 謝辞 99

1. 研究背景

現在、電子の軌道 (波動関数) の自由度が電荷、スピンに並ぶ自由度として注目されてい る。軌道自由度とは「縮退した基底状態のもとで電子がどのような軌道をとるかという自 由度」と定義できる。電荷とスピンの自由度が重要とされるのは、マクロな物性の代表で ある電気伝導性と磁性とに直接関係しているからに他ならない。近年、この二つの自由度 を制御するエレクトロニクスである、スピントロニクスの研究開発が盛んに行われている。 それに対して、軌道自由度はその重要性は早くから指摘されていながらも、マクロな物性 への直接的関与が明確でなく、また測定方法が限られていたこともあり、電荷やスピンほ ど多くの研究はなされて来なかった。しかし近年、放射光あるいは中性子を利用して電子 軌道の観測が可能になってきた。また超巨大磁気抵抗効果(CMR)という物理現象は、電子の 軌道状態に密接に関連があることが明らかになっている。 強相関電子系物質は、超巨大磁気抵抗効果や高温超伝導などの現象を示す物質である。 この物質が示す物理現象は、デバイス応用の観点や、電子軌道と密接に関連があるという 観点から、近年非常に注目を集めている。強相関電子系とは、電子相関が顕著に現れ、電 子相関の影響が強くなる系のことである。電子相関の源となる力は、電子間のクーロン力 である。 強相関電子系物質において代表的なものは、ペロブスカイト構造をもつ遷移金属酸化物 である。遷移金属酸化物において、軌道整列という現象が起こることがある。この現象は、 様々な物性に影響を及ぼすことが分かっている 1-3)_{。軌道整列とは、幾つかの占有した所で} の電子軌道が周期性を持って整列する現象である。軌道整列を模式的に示したものを、図 図Ⅰ-1 軌道整列の模式図（YTiO3) 参考文献 3, 4）より引用

Ⅰ-13, 4）_{に示す。図Ⅰ-1 は YTiO3の場合での軌道整列を模式的に示したものである。図Ⅰ-1} に示してある電子軌道は、Ti-3d 電子軌道である。この場合での軌道整列は、4 つ site の Ti-3d 電子軌道が周期構造を持って配列することになる。d 電子系での軌道整列は、超交換相互作 用やヤーン・テラー歪みによって起こる。それに対して、f 電子系では、RKKY 作用によっ

て起こる。また軌道整列現象は、様々な実験6-9)_{によって研究が行われている。}

ペロブスカイト Ti 酸化物（RTiO3 : R = Rare earth）は、軌道整列現象を示す。通常 RTiO3 は反強磁性や常磁性を示す（R = La, Ce, Pr, Nd）10)_{。しかし、R = Y の場合（YTiO3）は、強} 磁性を示す10)_{。これは、YTiO3の Ti}3+_{イオンの t2g状態にある 3d 電子軌道が、反強的に整列} するためだと考えられている。ここで反強的な軌道整列を、図Ⅰ-1 を用いて説明する。図 1-1 の site1 に注目すると、3d 電子軌道が右上がりの分布をしているこがわかる。site2 と site3、 では、左上がりの分布をしている。site4 は site1 と同様に右上がりで分布を示していること がわかる。site1 と site2 の 3d 電子軌道は、それぞれ反対方向に分布している。site3 と site4 でも同様な分布をしている。この様な状態を、反強的な軌道整列と呼ぶ。通常、軌道整列 状態での磁気構造は、反強磁性状態になっている場合が極めて多く、YTiO3は非常に稀な物 性（反強的かつ強磁性）を有する物質であることがわかる。YTiO3の軌道整列の研究は、様々 な理論11-19)_や実験4,5, 20-26)_{で行われている。実験は、NMR}20,21)_{、偏極中性子回折}4, 5)_、共鳴Ｘ 線散乱22,23)_{、軟 X 線円二色性}24)_{などの方法を用いて行われている。共鳴 X 線散乱において} は、軌道整列を観測していないという報告25)_{がなされているが、YTiO3の場合での報告はな} いため、本論文では軌道整列の研究方法の一つとした。 そこで本研究では、磁気コンプトン散乱と X 線磁気回折を用いて YTiO3の軌道整列の観 測を行うことを目的とした。

2. 磁気コンプトン散乱の研究背景

放射光 X 線を用いる磁気コンプトン散乱で得られる物理量は、磁気コンプトンプロファ イルである。磁気コンプトンプロファイルは、磁性を持つ電子に起因した運動量密度分布 を運動量 px, pyで積分したものである。運動量密度分布は、運動量空間における波動関数の 絶対値を自乗したものであるため、磁気コンプトン散乱により、磁性電子の波動関数を知 ることができる。 兵庫県立大学の小泉らにより、磁気コンプトン散乱を用いて、La1-xSrxMnO3の軌道状態の 研究が行われた9)_{。彼らの研究は、La1-xSrxMnO3の軌道整列状態を観測しているわけではな} い。彼らの研究で軌道整列状態を観測できない理由は、La1-xSrxMnO3の軌道整列状態におい て、磁気構造が反強磁性になっており、強磁性状態では軌道が整列しないためである。磁 気コンプトン散乱は、強磁性体を対象にして行われる実験方法であるため、La1-xSrxMnO3 の軌道整列状態を観測することができなかったわけである。しかし、磁気コンプトン散乱 を用いて軌道状態を議論できることを示した彼らの功績は大きい。本研究では、彼らの研

究に倣い磁気コンプトン散乱を用いた YTiO3の軌道整列の観測を行うこととした。磁気コ ンプトン散乱については、Ⅲ章で詳しく解説する。

3. X 線磁気回折の研究背景

青山学院大学の秋光らにより、偏極中性子回折を用いて YTiO3 の軌道整列の研究が行わ れた4, 5)_{。偏極中性子回折で得られる物理量は、磁気形状因子である。磁気形状因子は磁気} モーメントの空間分布を逆格子空間へとフーリエ変換したものである。よって磁気形状因 子を得ることにより、磁気モーメントの空間分布を知ることができる。磁気モーメントの 空間分布と磁性電子の軌道の形状は密接に関係しているので、磁気形状因子は磁性電子の 軌道の形状（磁性電子の波動関数）に強く依存する。つまり磁気形状因子を測定すること により、磁性電子の波動関数を知ることができるのである。偏極中性子回折と同様に、磁 気形状因子を測定する方法がある。それが、放射光 X 線を用いる X 線磁気回折である。X 線磁気回折についてはⅣ章で詳しく解説するが、X 線磁気回折実験は、磁気形状因子をスピ ン成分（S）と軌道成分（L）に分離して測定することが可能である。これを LS 分離と呼ぶ。 そこで本研究では、X 線磁気回折を用いて磁気形状因子を、スピン成分と軌道成分に分離し て測定することにより、YTiO3の軌道整列の観測を行うこととした。

4. 本研究の目的

放射光 X 線を利用する、磁気コンプトンと X 線磁気回折 YTiO3の軌道整列を観測するこ とを目的とした。また YTiO3の軌道磁気モーメントは凍結していると考えられているので、 軌道磁気モーメントの凍結を実験的にはじめて確認することも目的とした。目的をまとめ ると下記のようになる。 ① 磁気コンプトン散乱実験を行い、磁気コンプトンプロファイルを測定する。これにより YTiO3の軌道整列を観測する。また磁気散乱強度の磁気効果を詳細に調べることにより スピンモーメントを実験的に評価し、磁化測定結果とあわせて軌道磁気モーメントを実 験的に評価する。 ② X 線磁気回折実験を行い、スピン磁気形状因子を測定する。これより YTiO3の軌道整列 を観測する。また軌道磁気形状因子を測定することにより、軌道磁気モーメントを直接 的に評価する。

1. YTiO

3

の基礎物性

測定試料には、軌道整列物質の強磁性体 YTiO3を用いた。本試料は東大工学部・十倉研究 室田口氏（現理研）によって Floating zone 法で作成された。またこの試料は東北大学大学院 理学研究科の中尾氏に提供を受けたものである。 YTiO3の結晶構造を図Ⅱ-1 に示す。 Orthorhombic (斜方晶) Pbnm26,27) a=5.316Å、 b=5.679Å、c=7.611Å 図Ⅱ-1 YTiO3の結晶構造 構造 ペロブスカイト構造 磁気的性質 30K 以下で強磁性体 電気的性質 絶縁体 表Ⅱ-1 測定試料

Ti

Y

O

a

軸

c

軸

Site1

Site4

Site3

Site2

ペロブスカイト型 Ti 酸化物 RTiO3は、R = La, Ce, Pr, Nd のときは反強磁性や常磁性を示 すにもかかわらず、R =Y のときのみキュリー温度 Tc=30K の強磁性体となる。その原因と して、反強的な軌道整列により強磁性になると示唆されており、非常に多くの研究がなさ れている。 YTiO3の結晶構造(図Ⅱ-1)は GdFeO3型、空間群は Pbnm をとる26,27)。さらに結晶中の酸素 はヤーン・テラー歪みが生じている。したがって、結晶場は立方対称から正方対称へと対 称性が低下している。ヤーン・テラー歪みにより各 TiO6八面体において Ti-O 間の距離が伸 びた方向を各 TiO6八面体の量子化軸とし、単位胞中の原子座標で (0, 1/2, 0) , (1/2, 0, 0) , (0, 1/2, 1/2), (1/2, 1/2, 0)にある Ti3+イオンをそれぞれ site1∼4 と呼ぶ。このとき t2g軌道は、dyz , dzx が縮退した軌道をとる(図Ⅱ-2)。また YTiO3の Ti サイトは Ti3+ _{イオンになるので、(3d)}1 _の 電子状態をとる。 図Ⅱ-2 YTiO3の結晶場中の 3d 軌道

d

xy

d

yz,

d

zx

2 磁化測定

本研究は試料を磁化させてスピンの向きを同じ方向に揃え、またその方向を 180°反転さ せて実験を行う。そのため本実験では磁化の飽和が非常に重要である。 そこで磁化が飽和する磁場の強さと飽和磁化を調べるために磁化測定を行った。その結 果を図Ⅱ-3 に示す。 図Ⅱ-3 磁化測定結果 この結果、c 軸が磁化容易軸になっており、b 軸が磁化困難軸になっていることが分かる。 磁化困難軸である b 軸方向に磁化を飽和させるためには、およそ 2T 必要なことがわかる。 また飽和磁化はおよそ 0.85 _Bであることがわかった。

-2

-1

0

1

2

-1

0

1

B (T)

M

ag

n

et

ic

M

o

m

en

t

(

B

/T

i

at

o

m

)

a-axis

b-axis

c-axis

1. コンプトン散乱

磁気コンプトン散乱について述べる前に通常のコンプトン散乱について説明する。コン プトン散乱効果は光子と電子の非弾性散乱である。これは 1920 年代初頭に A. H. Compton および P. Debye によって独立に研究が始められた。この現象は光の粒子性を証明する実験 として有名である。図Ⅲ-1 にコンプトン散乱する自由電子と光子の概略図を示す。 コンプトン散乱した X 線のエネルギーをエネルギーと運動量保存則から計算すると

)

cos

1

(

1

)

cos

1

(

1

0₂ 2 0 0 1

mc

E

m

mc

E

E

E

i

p

k

h

(1-1), となる。

E

₁は散乱 X 線のエネルギー、

E

₀は入射 X 線のエネルギー、 は散乱角、

k

は散 乱ベクトル、

p

_iは散乱前の電子の運動量、

p

_fは散乱後の電子の運動量、

m

は電子の静止質 量である。第 1 項は、散乱相手の電子にエネルギーを与えた結果による散乱 X 線のエネル ギーの減少を表している。第 2 項は、電子の運動量

p

が含まれていることからわかるように、 電子が動いているために生ずるドップラー効果を表している。このドップラー効果は、X 線 の散乱ベクトル

k

と

p

₁の内積になっている。すなわち、散乱 X 線は

p

₁の K 軸方向（z 軸） の運動量成分（pz）に比例してドップラー効果を受けると言える。その結果、px，pyがどの ようであれ、pzが等しい電子状態はみな同じドップラー効果を X 線に与え、散乱 X 線は同 じエネルギー

E

₁となる。したがってエネルギー

E

₁の X 線を観測する確率は、電子が pzを 持つ確率に比例、すなわち電子運動量密度

n

(p

)

を pz，pyで積分した量に比例する。この関 係を式であらわすと 図Ⅲ-1 コンプトン散乱概略図

y x z y x z

n

p

p

p

dp

dp

p

J

(

)

(

,

,

)

(1-2), となる。これがコンプトンプロファイルである。本研究ではこれをノーマルコンプトンプ ロファイルと呼ぶ。

2. 磁気コンプトン散乱

28-32) 静止している電子についてはクライン-仁科の式33)_{が有名であり，無偏光 X 線に対する微} 分散乱断面積は， 2 1 2 2 1 2 1 2 2 0

sin

2

1

r

d

d

(2-1)

r

₀：電子の古典半径 θ：散乱角 ：X 線のエネルギー (添え字の 1，2 はそれぞれ入射と散乱を表す｡) で与えられる｡ただし，ここには動いている電子の効果や電子スピンに依存する散乱が表現 されていない。X 線のエネルギーが電子の静止質量エネルギーと比較して小さい時，非相対 論的なハミルトニアンに相対論的補正項を追加して，摂動計算により断面積を求めること ができる｡ 電磁場と電子のハミルトニアンは m-2の項まで考慮して

h

＝c =１とすると（原子単位），

A

p

E

E

A

p

σ

B

σ

A

p

e

i

e

m

e

m

e

e

m

e

m

H

₂ 2

4

2

2

m：電子の質量

p

：電子の運動量ベクトル

A

：電磁場のベクトルポテンシャル ：スカラーポテンシャル (2-2) と表される33)_{。第 4 項は電子スピン(|}

_σ

|＝1)と電磁場の磁場ベクトル

B

との相互作用を，第 5 項はディラック電流と電磁場の電気ベクトル

E

との相互作用を表し，共にディラック方程 式に基づく相対論的補正項である。またゲージとしてローレンツゲージをとれば，

t

A

E

(2-3) となる｡(2-3)を(2-2)に代入し，m-2_{以下の高次項と p×grad Φ から起こるスピン軌道項を簡単} 化のために省略して，

W

V

H

H

₀ (2-4)

e

m

p

m

H

2

2 0 ：電磁場のない時のハミルトニアン (2-5) ₂

σ

A

A

&

2 2 2

4

2

m

e

A

m

e

V

：

A

の 2 次式 (2-6)

A

p

σ

rot

A

m

e

m

e

W

2

：

A

の 1 次式 (2-7) と分割する。ここで，電磁場のベクトルポテンシャル

A

は

.

.

exp

2

1

.

.

exp

2

1

2 2 2 2 1 1 1 1 2 1

i

t

c

c

a

i

t

c

c

a

ε

k

r

ε

k

r

A

_k †_k

ε

：X 線の電場の単位ベクトル

r

：電磁波が電子と行き合った場所

k

：X 線の波数ベクトル(添え字の 1，2 はそれぞれ入射と散乱を表す｡) k

a

：光子の消滅演算子

a

†_k：光子の生成演算子 (2-8) である｡

A

は光子を一つ生成あるいは消滅させるため，散乱現象を考えるとき，生成演算子と消 滅演算子の積

a

†_k

a

_kを持つ項のみが行列要素として残る。そのため，

A

の２次式である

V

は 1 次摂動として，

A

の１次式である

W

は 2 次摂動としてコンプトン散乱に寄与する。

V

の 1 次摂動より電荷による散乱の行列要素は，|

i

>，|

f

> をそれぞれ電子の始状態，終 状態とすると E i f e

d

i

m

e

i

m

e

f

V

r

r

k

ε

ε

A

exp

1

2

2

2 1 2 1 2 2 2

k

k

₁

k

₂ , _{E 1}

E

_{1 2}

E

₂ (2-9) である｡時間に関する積分はインパルス近似の範囲内で δEとしており，E1と E2はそれぞれ 散乱前と散乱後の電子のエネルギーである。 コンプトン散乱では，散乱前の電子の束縛エネルギーよりも光子が電子に与えるエネル ギーが十分に大きいため，終状態が平面波

exp

i

p

f

r

と近似される。そのため，

E i E i f e

m

e

d

i

m

e

V

p

ε

ε

r

r

p

k

ε

ε

2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

1

2

exp

1

2

(2-10)

p

_i

exp

i

p

_i

r

_i

r

d

r

：始状態の運動量表示の波動関数 (2-11)

k

p

_f

p

_i ：運動量保存則 となる。

次に電子スピン

σ

に関する行列要素として E i m

i

m

e

i

t

m

e

f

V

p

ε

ε

σ

A

A

σ

2 1 2 1 1 2 2 2 2

2

4

1

4

(2-12) が得られる｡ また，W の摂動項は n i n m

E

E

i

W

n

n

W

f

W

n

：中間状態 (2-13) の形の 2 次摂動になる。粒子の生成消滅過程は，結果的に k1が消滅して k2が生成している。 しかし，その過程には中間状態を挟むため， (1) E2 k2 (2) E2 k2 Ef Ef E12 E12 En En Ei E1 k1 Ei E1 k1 (1)入射光子 k1が先に消滅して散乱光子 k2が生成する過程 (2)散乱光子 k2が先に生成して入射光子 k1が消滅する過程 というように，この２過程の足し合わせの形で書かれる。この時

ck

，光子のエネルギ ー

h

h

ck

k

であるため， (1) Ei=E1+k1，En=E12 (2) Ei=E1+k1，En=E12+k1+k2 (2-14) となっている。

まず，(1)の時を求める。生成演算子

a

†_kと消滅演算子

a

_kがそれぞれ，前半のブラケット

n

W

f

内と後半のブラケット

n

W

i

内に含まれる。以下の

.

.

exp

2

1

.

.

exp

2

1

2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1

c

c

t

i

ia

c

c

t

i

ia

rot

r

k

ε

k

r

k

ε

k

A

k k † (2-15) より，摂動項は，

i

e

i

a

e

i

a

f

k

E

E

m

e

i k i k r k r k

_ε

k

σ

p

ε

ε

k

σ

p

ε

1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2

2

1

2

1

1

2

1

† (2-16) ここでブラケット内のスピン行列

σ

に依存する項は X 線のエネルギーが電子のエネルギ ーよりも遥かに大きいため，

k

₁

ck

_{1 1}

E

₁

E

₂とする。さらに

p

i

h

とし，|f>を平 面波と近似することで E i

i

m

e

p

ε

k

ε

k

k

ε

ε

k

k

ε

ε

k

k

ε

ε

k

σ

2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2

ˆ

ˆ

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

2

1

kˆ

：X 線の方向の単位ベクトル(添え字の 1,2 は入射と散乱 X 線に対応する｡) (2-17) となる。

同様に(2)の摂動項も

k

₂

ck

_{2 2}

E

₁

E

₂を考慮することにより， E i

i

m

e

p

ε

k

ε

k

k

ε

ε

k

k

ε

ε

k

k

ε

ε

k

σ

2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2

ˆ

ˆ

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

2

1

(2-18) となる。したがって，(1)と(2)の足し合わせを考えると式(2-13)は， E i m

i

m

e

W

p

ε

k

ε

k

k

ε

ε

k

k

ε

ε

k

σ

2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2

ˆ

ˆ

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

4

1

(2-19) となる。

式(2-12)と式(2-19)から電子スピン

σ

に関する行列要素は _{i E} m

m

e

i

W

V

σ

B

p

2 1 2

1

4

(2-20) 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1

ˆ

ˆ

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

1

ε

k

ε

k

k

ε

ε

k

k

ε

ε

k

ε

ε

B

(2-21) と書かれ，遷移確率は E i E i

i

m

m

i

m

e

m

ie

m

e

2 2 4 2 1 3 2 2 1 2 2 1 4 2 2 2 2 2 1 2 2 1

16

1

Im

4

4

1

4

2

1

p

B

σ

ε

ε

B

σ

ε

ε

p

B

σ

ε

ε

(2-22) に比例する｡この第 1 項に比べて第 2 項，第 3 項はそれぞれほぼ

/

m

，

/ m

2だけ小さ いため，第 3 項を無視する｡よって，上式より次に挙げる 3 つのことが理解される｡ Ⅰ．遷移確率は初期状態の電子運動量密度

p

_i 2に比例する｡ Ⅱ．電子スピンによる磁気コンプトン散乱強度は，電荷による散乱強度に比べて約(X 線エ ネルギー/mc2_{)だけ弱い｡} Ⅲ．第2 項が虚数項であるため，この項を観測するためには，すなわち MCP を得るには X 線が円偏光している必要がある｡これは第2 項の行列要素が実数として残るためにεに 虚数を含む必要があるためである。

次にエネルギー保存則と運動量保存則より，散乱後の X 線のエネルギーは

cos

1

1

1

cos

1

1

1 1 1 2

m

m

m

i

p

k

(2-23) となる。ただしインパルス近似のためエネルギー保存則に電子の束縛エネルギーはあらわ に出てこない。第 1 項は静止している電子と散乱した時の X 線のエネルギーで第 2 項は電 子の運動量によるエネルギーシフト(ドップラーシフト)を示している｡ このシフトは散乱ベクトル

k

上への

p

_iの射影成分が同じならば，同じ ₂を与えるため， 2を測定する時の散乱断面積は y x i

dp

dp

m

i

m

e

d

d

d

2 2 1 3 2 2 1 2 1 2 4 2 2

Im

4

4

1

p

ε

ε

B

σ

ε

ε

(2-24) ここで z 軸は散乱ベクトルの方向に取り，

p

_i を _i

p

と書き換えた｡ この運動量に対する 2 重積分量は一電子のコンプトンプロファイルと呼ぶべき量である｡ 実際の観測に掛かるものは多電子系からの散乱強度であるため，そのコンプトンプロファ イルは一電子近似の下で電子数について総和をとり， n i z i n i y x i z

dp

dp

j

p

p

J

1 1 2

p

(2-25) と表す｡

Grotch らの行った準相対論的(ω/m<1)な計算の結果34)は，高次の補正項を省略することによ り， z z z

p

J

p

m

k

k

m

p

J

m

d

d

d

k

k

k

k

k

σ

k

2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2

cos

1

2

1

cos

1

cos

2

cos

1

4

：微細構造定数 (2-26) となる。第 2 項が電子スピンに依存する散乱断面積であり，スピンの向きにより符号が変 わる｡よって，磁化させた強磁性体のスピンに依存する散乱強度は，一電子近似の下で電子 数について和を取るとスピン上向き( )と下向き( )の電子のコンプトンプロファイルの差 を含むことになる。つまりこの量が磁性電子のコンプトンプロファイル(MCP)となる｡ 以上のことより，

n

n

n

(2-27) n i z i n i z i n i y x i z nor

p

dp

dp

j

p

j

p

J

1 1 1 2

p

(2-28) n i z i n i z i n i y x i i z mag

p

dp

dp

j

p

j

p

J

1 1 1 2

p

(2-29) とすると，

J

_nor

p

_z は電荷によるコンプトンプロファイル(ノーマルコンプトンプロファイ ル)，

J

_mag

p

_z は MCP を表す｡

3. 磁気コンプトン散乱実験

磁気コンプトン散乱実験を行うには、 1. 円偏光した X 線が必要。 2. 磁気効果が非常に小さいため強い X 線が必要。 3. インパルス近似を成立させるため硬 X 線が必要。 などの条件を満たす必要がある。以上のような条件を満たす X 線源としてはシンクロトロ ン放射光が有用である。実際には、つくば市にある高エネルギー物理学研究所(KEK)フォト ンファクトリー(PF)の円偏光 X 線ビームライン AR-NE1-A1 で行った。

3-1. KEK-PF-AR-NE1-A1

ビームライン AR-NE1-A1 では TRISTAN の蓄積リング（AR リング）内に楕円多極ウィグ ラー（EMPW）が挿入されており、これより円偏光 X 線を得ている。図Ⅲ-2 に EMPW の図 を示す35, 36)_{。これは螺旋状の磁場が発生するように Nd-Fe-B 系の永久磁石が並べられてい} る。永久磁石の距離を x 方向または y 方向に変え、磁場の分布を変えることで円偏光度を 変えることができる。EMPW から得られた円偏光 X 線は擬 2 次元湾曲型の Si(111)37)_を用い たモノクロメーターで単色化した。モノクロメーターは入射 X 線を試料上に集光させるた めに擬 2 次元に湾曲させてある。図Ⅲ-3 に擬 2 次元湾曲型モノクロメーターSi(111) 37)_を示 す。実際の実験では 60keV（Tm K 吸収端）の X 線を用い、また円偏光度は 0.6 であった。 モノクロメーターによって単色化された X 線は、空気の吸収による減衰や空気散乱によ る back ground の増加を防ぐため、塩化ビニール製の真空ダクトを通る。また X 線は、試料 の前のスリットで試料にのみ照射されるように、ビームサイズを調整する。試料に入射し た X 線は約 160 度の散乱角で散乱する。試料は超伝導磁石に挿入されている。ここで実験 配置図を図Ⅲ-4 に示す。 散乱した X 線は Ge 半導体検出器（SSD）でエネルギースペクトルを測定する。SSD 配置 は図 3-3 で示すようになっている。また SSD は、一素子の計数率に限界があり、約 1×104 cps である。本研究では 13 個の素子からなる SSD で同時に測定を行い、計数率を多くしている。 コンプトンピークにおける運動量分解能は次の様に表される。 2 / 1 2 / 3 1 2

/

)

(

1

)

/

2

(

1

cos

)

(

)

/

1

(

b

p

z

m

b

₁

(

1

cos

)

/

03604

.

137

/

1

m

511

.

0034

(keV) (3-1)

3

.

59

1 keV、コンプトンピークでのエネルギーで 2

0

.

48

keV、

160

としたとき

8

.

0

z

p

a.u.となっている。 SSD で検出されたエネルギースペクトルの信号は pre-amp、linear amp、ADC を経てコン ピューターに入力される。同時に試料に印加する磁場の方向をコンピューター制御し定期 的に磁場の方向を反転させる。また磁場を印加する方向は散乱ベクトルに平行である。ブ ロックダイヤグラムを図Ⅲ-5 に示す。このようにして、試料に磁場を反転しながら印加し 散乱 X 線のスペクトルを測定する。各々のスペクトルを I+, I−として測定する。また 0.85T の磁場を 360 秒毎で反転しながら実験を行う。 図Ⅲ-2 KEK-PF-AR の EMPW の概略図35, 36) 図Ⅲ-3 擬 2 次元湾曲型のモノクロメーターSi(111) 37)

図Ⅲ-4 実験配置図（KEK-PF-AR-NE1-A1） 図Ⅲ-5 磁気コンプトン散乱実験のブロックダイヤグラム(AR-NE-1-A1)

SSD

Pre-amp.

Linear amp.

ADC

Memory board

Computer

Current control

circuit

Superconductive

magnet

写真 1 KEK-PF-AR-NE1-A1 での実験配置

3-2 データ処理

①

SSD エネルギーキャリブレーション

エネルギースペクトルを解析するにあたり、エネルギースペクトルの横軸をチャンネルか らエネルギーに変換する必要がある。これには希土類酸化物の蛍光を利用し、エネルギー スペクトルの各ピークと蛍光のエネルギーを対応させた。実際には、Sm2O3-Nd2O3混合物（粉 末）を試料の周辺に置き、X 線を当てることによって生じる蛍光 X 線を SSD で観測した。 観測したスペクトルを図Ⅲ-6 に示す。表Ⅲ-1 に蛍光スペクトルの各ピークのチャンネルと エネルギーを示す。蛍光のピークのチャンネルとエネルギーはほぼ直線的比例関係にある ので、実際の解析にはこの関係を利用してチャンネルをエネルギーに変換した。表Ⅲ-1 を グラフにすると図Ⅲ-7 の様になる。 図Ⅲ-6 スペクトル測定結果 図Ⅲ-7 チャンネルとエネルギー 蛍光 チャンネル エネルギー(keV) Y Kα 238 14.93keV Y Kβ 268 16.74keV Nd Kα1 608 37.36keV Nd Kβ１ 689 42.22keV elastic 970 59.38keV 表Ⅲ-1 蛍光スペクトルと弾性散乱のエネルギー 0 200 400 600 800 1000 0 0.5 1 105] channel C o u n ts Y k α Y k β N d k α 1 N d k β 1 E la st ic p e a k 0 200 400 600 800 1000 0 20 40 60 channel E n e rg y [ k eV ]

② 散乱角の決定

コンプトン散乱のピークエネルギー _cと弾性散乱のピークエネルギー _eの関係は次式 のようになる。

m

e e c

/

)

cos

1

(

1

m

511

.

0034

keV (3-2) 上式に従って散乱角 を決定した。

③ 磁気コンプトン散乱の散乱断面積

磁気コンプトン散乱効果はエネルギー依存性がある。そこでその影響を補正しなければ ならない。その関係を次式で表す。 mag mag mag

J

C

d

d

d

2 _(3-3) 2は散乱 X 線のエネルギー[keV]であり、以下の式(3-4)で

C

mag

(

2

)

を計算し、補正を行 った。 ₁は入射 X 線のエネルギー[keV]、 は散乱角である。

)}

2

/

sin(

)

1

(cos

cos

)

1

{(cos

}

/

)

/

{(

2 1 2

F

G

Q

C

_mag 2 2 1 2 2 2 1

2

cos

F

2 2 1 2 2 2 1

cos

2

cos

G

0034

.

511

/

)

cos

1

(

2 1 2 1

Q

(3-4)

④ エネルギー軸から運動量軸への変換

横軸をエネルギーから運動量に変換する必要がある。そこで以下の式を用いてエネルギ ーから運動量に変換した38)_。

F

Q

p

_z

137

.

03604

/

2 2 1 2 2 2 1

2

cos

F

Q

_{1 2 1 2}

(

1

cos

)

/

511

.

0034

(3-5)

⑤ 統計精度の向上

磁気コンプトンプロファイルは

p

_z

0

[a.u.] を 中 心 に して 左 右 対 称 で あ る た め に 、

0

z

p

[a.u.]を中心にして折り返し、足し合わせた。

⑥ スピン磁気モーメントによる規格化

磁気コンプトンプロファイルは、運動量空間での磁性電子密度を表わす。よって、各原 子でのスピン磁気モーメントを _spinとすると、次式のように表される。 spin z z mag

p

dp

J

(

)

（3-6） よってグラフの縦軸をこの式を用いて規格化した。全ての実験配置において、飽和磁化 spin=0.85 として規格化を行った。

⑦ 弾性散乱ピークによる規格化

実際に解析する場合には、I+から I−を引く時には弾性散乱ピークによる規格化を行う。つ まり弾性散乱ピーク強度を同じにするのである。その理由は、測定する上でどうしても入 射 X 線の強度が変化してしまうために、I+と I−での弾性散乱ピークが一致しないという問 題があるためである。 本研究で用いたデータは、以上のようなデータ処理を行ったものである。

4. 磁気コンプトン散乱実験結果

測定に用いた試料は YTiO3である。測定した試料の方向は、[100], [001]方向の 3 つの方向 である。つまり、a 軸、c 軸方向である。a 軸の場合では、[100]方向を散乱ベクトルの方向 に平行にして測定する。c 軸の場合でも同様に、散乱ベクトルの方向に, [001]方向を平行に して測定を行う。その様子を図Ⅲ-8 に示す。 図Ⅲ-8 測定方向と散乱ベクトルの関係（測定する試料方向と散乱ベクトルは平行）

4-1. 実験結果

図Ⅲ-9 が a 軸配置で測定された生のデータである。250∼300 チャンネル付近にあるピー クは Y の蛍光 X である。800 チャンネル付近の幅の広いピークがコンプトンピークである。 ドップラーシフトを受けているために、幅の広いピークになっている様子がわかる。970 チ ャンネル付近のピークが弾性散乱ピークである。実際には、図Ⅲ-9 は I+の測定結果である。 磁気コンプトンプロファイルを得るためには、I+から I−を引く必要があるので、I−の測定結 果を図Ⅲ-10 に示す。図Ⅲ-9 と図Ⅲ-10 を比べてもほとんど差がないことがわかる。3-2 章で は触れなかったが、I+から I−を引く時には弾性散乱ピークによる規格化を行う。つまり弾性 散乱ピーク強度を同じにするのである。その理由は、測定する上でどうしても入射 X 線の 強度が変化してしまうために、I+と I−での弾性散乱ピークが一致しないという問題があるた めである。

図Ⅲ-9 a 軸での I+の測定結果 図Ⅲ-10 a 軸での I−の測定結果

0

200

400

600

800

1000

0

1

2

10

7

]

Channel

C

o

u

n

ts

Compton

Elastic

Ykα Ykβ

I+

0

200

400

600

800

1000

0

1

2

10

7

]

Channel

C

o

u

n

ts

Compton

Elastic

Ykα Ykβ

I-規格化や 3-2 章で示した④番までの補正を行った磁気コンプトンプロファイルを図Ⅲ-9 に示す。図Ⅲ-11 は素子 1 つにおける磁気コンプトンプロファイルである。ここでは解析手 順を模式的に示すために素子１つの場合を示した。実際には、13 素子あるので 13 素子を足 し合わせた磁気コンプトンプロファイルを図Ⅲ-12 に示す。 図Ⅲ-11 素子 1 つにおける磁気コンプトンプロファイル 図Ⅲ-12 13 素子を足し合わせた磁気コンプトンプロファイル

-10

0

10

0

2

4

6

[ 10

6

]

p

_z

C

o

u

n

ts

[a.u.]

-10

0

0

10

2

4

6

[ 10

7

]

p

_z

C

o

u

n

ts

[a.u.]

図Ⅲ-11 と図Ⅲ-12 を比較すると図Ⅲ-12 の方が格段に滑らかになっていることがわかる。 これは統計精度が上がった結果である。さらに統計精度を上げるために

p

_z

0

[a.u.]で折り 返し、飽和磁化の値で規格化したものを図Ⅲ-13 に示す。同様のデータ処理を行って得られ た、c 軸での磁気コンプトンプロファイルをそれぞれ図Ⅲ-14 に示す。この 2 つを比べると c 軸方向での磁気コンプトンプロファイルが、a 軸でのプロファイルと異なっていることが わ か る 。 図Ⅲ-13 a 軸での磁気コンプトンプロファイル 図Ⅲ-14 c 軸での磁気コンプトンプロファイル

0

1

2

3

4

5

6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

p

_z

J

m a g

(p

z

)

[

B

/a

.u

.]

[a.u.]

0

1

2

3

4

5

6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

p

z

J

m a g

(p

z

)

[

B

/a

.u

.]

[a.u.]

4-2. スピンモーメントの算出

39-42) 原子の磁気モーメントは、一般に電子スピンモーメント S と軌道磁気モーメント L の合 成 L+2S に比例するが、磁気コンプトン散乱にはそのうち S しか関与しないという特徴があ る 41)_{。よって磁気コンプトン散乱実験によりスピンモーメントを算出することが可能であ} る。スピンモーメントの算出方法を以下に示す。 磁気効果

R

は以下のような(4-5)式で定義される。

J

J

J

J

R

(4-5)

J

と

J

は、磁場を散乱ベクトルに平行（＋）、反平行（−）に印加したときでの、コンプ トン散乱スペクトルの積分強度である。その積分範囲の例を以下の図Ⅲ-15 で示す。赤い線 で示した約 650 チャンネルから約 920 チャンネルの範囲で積分し

J

_{としている。} 図Ⅲ-15 積分範囲の例（YTIO3の場合を用いている） また(4-5)式で定義される磁気効果は以下のような(4-6)式で表すことができる。

)

(

N

A

R

spin (4-6) spinはスピンモーメント、

N

は単位胞あたりの電子数である。

A

は実験環境によって決ま る定数である。(4-6)式より磁気効果

R

が解ればスピンモーメントが得られることが分かる。 しかしここで問題になるのが、

A

の値である。

N

は物質を考えれば分かり、

R

は磁気コン プトン散乱実験をすれば分かる値であるが、

A

の値は分からない。この問題を解決するた めに、標準試料である Fe を用いた磁気コンプトン散乱実験を行った。Fe を用いる理由とし

ては、Fe のスピンモーメントは様々な実験方法によって測定されている。つまり Fe の実験 をすることにより

A

の値を調べるわけである。Fe の実験をすることにより磁気効果 2

10

18

.

1

R

が得られた。また Fe のスピンモーメント _spin

2

.

083

43)_{、原子番号 26 を} 用いることに(4-6)式より、

A

0

.

146

を得た。このようにして得られた

A

を用いることに、 YTiO3のスピンモーメントを得た。 磁気コンプトン散乱実験より a 軸、c 軸の磁気効果はそれぞれ、 3

10

)

01

.

0

45

.

1

(

R

_,

R

(

1

.

46

0

.

01

)

10

3であることがわかった。これにより、a 軸、c 軸のスピンモーメントはそれぞれ 0.84 0.03 _B、0.85 0.03 _Bを得た。また得られた ス ピ ン モ ー メ ン ト は 、 SQUID で の 磁 化 測 定 よ り 得 ら れ た 飽 和 磁 気 モ ー メ ン ト の 値 0.84 0.02 _Bとよく一致している。 磁気モーメントは軌道磁気モーメントとスピン磁気モーメントの和（L＋2S）で表される 物理量であるため、磁気コンプトン散乱より得られたスピン磁気モーメントが、磁化測定 より得られた磁気モーメントとよく一致していることは、軌道磁気モーメントが 0 である ことを意味している。つまり、YTiO3において軌道磁気モーメントの凍結が起きていること を決定的に裏付けている。

4-3 結晶方位異方性

結晶方位により異方性があるか調べるために、異方性のプロファイル

J

_magを次式で定義 する。

)

(

)

(

)

(

_{z mag_A z mag_B z} mag

p

J

p

J

p

J

(4-1) A と B は測定した結晶方位を表している。(4-1)式はある磁気コンプトンプロファイルから 別のある磁気コンプトンプロファイルを引いたものである。つまり異方性を表すプロファ イルになる。ここで、次式で表される異方性のプロファイルについて考える。

)

(

)

(

)

(

_

_{a c z mag_a axis z mag_c axis z}

mag

p

J

p

J

p

J

(4-2) (4-2)式で表される異方性のプロファイルをそれぞれ図Ⅲ-16 に示す。 図Ⅲ-16 b 軸から a 軸の磁気コンプトンプロファイルを引いた異方性プロファイル

0

2

4

6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

p

_z

⊿

J

m a g

(p

z

)[

B

/a

.u

.]

[a.u.]

図Ⅲ-16 を見てみると、

p

_zが 0 a.u.から 2 a.u.の範囲でゼロになっていないことがわかる。 つまり a 軸、c 軸方向には異方性があることを表している。

a 軸、c 軸方向に異方性があるということは、電子雲の形状に異方性があることを表して いる。磁気コンプトンプロファイルは磁性を担う電子のみに依存したプロファイルである ため、YTiO3の 1 つの 3d-t2g電子の波動関数に異方性があることを示している

5. 理論計算と考察

実験で得られた磁気コンプトンプロファイルが、どの様な波動関数によって得られるプ ロファイルなのか調べるために、アトミックモデルの波動関数を用いた計算を行った。

5-1 磁気コンプトンプロファイルと波動関数の関係

磁気コンプトンプロファイルは(2-29)式のように表されるわけだが、この式を別の表現で 表すと、(5-1)式の様に表すことができる。 y x z mag

p

n

n

dp

dp

J

(

)

[

(

p

)

(

p

)]

(5-1)

)

(p

n

は運動量密度である。

,

はそれぞれ電子のアップスピン、ダウンスピンをあらわし ている。また

n

(p

)

は(5-2)のように表される。 2

)

(

)

(

p

p

n

（5-2）

)

(p

は運動量空間における波動関数である。さらに

(p

)

は(5-3)式のように実空間での波 動関数

(r

)

をフーリエ変換したものとして表される。

r

r

p

r

p

(

)

exp(

i

)

d

2

1

)

(

(5-3) (5-1)から(5-3)式により磁気コンプトンプロファイルが波動関数に直結した物理量であるこ とがわかる。

5-2 YTiO

3

のモデル波動関数

YTiO3の磁性を担う電子は Ti3+イオンの 3d-t2g電子 1 つである。この電子は他の理論や実 験により、各 site でのモデル波動関数は次式の様になっていると考えられている。 site 1 1

ud

_yz

vd

_zx (5-1) site 2 2

ud

_yz

vd

_zx (5-2) site 3 3

ud

_yz

vd

_zx (5-3) site 4 4

ud

_yz

vd

_zx (5-4) ここで u とｖは次式の関係を満たすパラメーターになっている。

1

2 2

v

u

(5-5)

dxy,dyz,dzxについて説明する。dxyは xy 平面に電子の軌道が分布する波動関数である。dyz は yz 平面に電子の軌道が分布する波動関数で、dzxは zx 平面に電子の軌道が分布する波動 関数である。d 軌道にはほかにも dx2 -y 2_軌道、dz2_{軌道がある。それらの分布を図Ⅲ-17 に示} す。 図Ⅲ-17 5 つの異なる配位の d 軌道 zx yz

vd

ud

の意味は、dyzと dzxが混成していることを意味する。また u と v でそれら の軌道が含まれる割合を表す。 各 Ti サイトにおける量子化軸の取り方は、Ti-O ボンドの長さが最大になっている所を z 軸とする。x 軸は、O 原子が ac 面から一番遠い Ti-O ボンドとする。x 軸の長さは約 2.08Å で、x 軸,y 軸は約 2.02Åである。各サイトにおける軸の取り方を図Ⅲ-18 に示す。

5-3 磁気コンプトンプロファイルの計算

5-2 で示したモデル波動関数を用いて磁気コンプトンプロファイルの計算を行った。実際 に使用した d 軌道を(5-6), (5-7)式で示す44)_。 2 3 3

(

)

(

)

/

3

sin

sin

sin

R

r

AxyR

r

r

A

d

_{yz d d} (5-6) 2 3 3

(

)

(

)

/

cos

cos

sin

R

r

AzxR

r

r

A

d

_{zx d d} (5-7)

8

15

A

、 2 2 2

z

y

x

r

、xyz は各サイトにおける xyz 座標に対応している。

)

3

/

exp(

30

81

4

)

(

₀ 2 0 2 3 0 3

z

r

a

a

r

z

a

z

r

R

_d eff eff _eff (5-8),

である。ここで、zeffは Ti3+イオンの有効核電荷である。ここでは、文献値 zeff=8.14

46-47）_を 用いた。また a0はボーア半径で、 ₂ 11 2 0 0

5

.

29177

10

4

me

a

h

m (5-9) である。 (5-6), (5-7)式を用いて、(4-1)式で表される磁気コンプトンプロファイルの理論計算を行っ た。磁気コンプトンプロファイルの計算をする際に u と v の値を少しずつ変えていった。ま た実際計算するときには、波動関数の量子化軸と結晶方位軸が異なっているために補正が 必要になる。補正とは座標変換をすることになる。 次に座標変換方法について説明する 45)_{。旧座標（量子化軸）の xyz 軸の直交単位ベク} トルを

i

,

j

,

k

とする。新座標（結晶軸）の XYZ 軸の直交単位ベクトルを

i

,

j

,

k

とする。 ベクトルの組

i

,

j

,

k

は基底ベクトルを構成するので、その組で

i

,

j

,

k

を表すことができる。

k

a

j

a

i

a

i

_{11 12 13}

k

a

j

a

i

a

j

_{21 22 23}

k

a

₃₁

i

a

₃₂

j

a

₃₃

k

(5-10) 行列記号を用いて表すと、

k

j

i

A

k

j

i

a

a

a

a

a

a

a

a

a

k

j

i

33 32 31 23 22 21 13 12 11 (5-11) となる。これを

i

,

j

,

k

を表す式に変換すると

k

j

i

A

k

j

i

a

a

a

a

a

a

a

a

a

k

j

i

T 33 32 31 23 22 21 13 12 11 (5-12) と表される。また T

A

は

A

の転置行列を表している。この式を用いて座標変換を行った。 Site-1 において実際使用した

A

を示す。

19

.

0

18

.

0

96

.

0

83

.

0

55

.

0

09

.

0

52

.

0

82

.

0

26

.

0

A

(5-13) この

A

を用いて T

A

を求めると、次の様になる。

21

.

0

83

.

0

51

.

0

17

.

0

55

.

0

82

.

0

96

.

0

07

.

0

26

.

0

T

A

(5-14) この転置行列を使用して座標変換を実行した。 また SSD の分解能 0.85a.u.を考慮して、ガウシアンブロードニング法(ガウシアン補正)も行 った。この方法は、ある測定点にガウス関数による幅を与える方法である。 上記した座標変換、ガウシアン補正をした波動関数を用いて(5-1)式の計算を行って得ら れた磁気コンプトンプロファイルの計算結果を図Ⅲ-19,20 に示す。また計算は u = 0.71∼0.89 の間で計算を行った。実際の計算で用いた、計算ソフトは Mathematica である。表Ⅲ-2 に作 成した Mathematica のプログラムを示す。

図Ⅲ-19 a 軸の磁気コンプトンプロファイルの計算結果 図Ⅲ-20 c 軸の磁気コンプトンプロファイルの計算結果

0

1

2

3

4

5

6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

[

B

/a

.u

.]

p

_z

J

m

a

g

(p

z

)

[a.u.]

― 0.71

― 0.77

― 0.84

― 0.87

― 0.89

u

0

1

2

3

4

5

6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

[

B

/a

.u

.]

p

_z

J

m

a

g

(p

z

)

[a.u.]

― 0.71

― 0.77

― 0.84

― 0.87

― 0.89

u

表Ⅲ-2 Mathematica プログラム

a 軸での計算結果は、u の値を変えてもあまり変化しないことがわかる。c 軸での結果は、u

の値を変えると

p

_zの小さな場所で大きく変化していることがわかる。u の値を大きくして

いくと、

p

_z

0

での値が大きくなっていく。

次に、実験結果と理論計算の比較を行う。実験結果と理論計算を同じグラフに示したも のを図Ⅲ-21,22 に示す。

図Ⅲ-21 a 軸での実験結果と理論計算 図Ⅲ-22 c 軸での実験結果と理論計算

0

1

2

3

4

5

6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

[

B

/a

.u

.]

p

_z

J

m

a

g

(p

z

)

[a.u.]

― 0.71

― 0.77

― 0.84

― 0.87

― 0.89

u

● 実験

0

1

2

3

4

5

6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

[

B

/a

.u

.]

p

_z

J

m

a

g

(p

z

)

[a.u.]

― 0.71

― 0.77

― 0.84

― 0.87

― 0.89

u

● 実験