An Approximation of the Ideal Low-Pass Filter using Lagrangean Even Eilters

265 ラ グ ラ ン ジ ェ偶 フ ィル タ UDC 621. 372. 54 . 018. 4: 621. 317. 7. 018. 1

ラ グ ラ ン ジ ェ偶 フ ィル タ に よ る 理 想 低 域

フ ィル タ の 近 似

論

文

61-C31

正

員

金

台烋(青

山学院大)

正

員

山

脇

寿

彦(青

山学院大)

1.ま え が き 低域 通 過 形 の帯 域制 限 を受 けた時間連 続 信 号 の 値 が,一 定 時間 間 隔 の指 定 され た 標本 時 点 に お け る時 間 離 散信 号 と して与 え られ る こ とが 多 い。 これ らの値 か ら,も との連 続 信 号 に復 元 す る問題 は,信 号 の伝 送 ・ 処理 ・再生 ・計 測 ・制御 な どの 分野 に 関連 す るか ら, 補 間 法 と 結 合 させ て,こ れ まで に 多 く論 じられて き た 。 その 中で 示 され た根 本原 理 の 一 つ で あ る標本 化 定 理(1)は,上 記 の よ うな信 号 を 正確 に復 元す る には,理 想低 域 フィル タが 必要 で あ る ことを 述 べ て い る。 しか し,理 想 低 域 フ ィル タ園 路 は,無 限 大 の遅 延 を 必要 と す るの で 物理 的 には実 行 不 可 能 で あ るか ら,実 際 に は 有限 の遅 延 を 伴 う物理 的 に実 現可 能 な回路 に よ って, この フ ィル タ を近 似 す る こ と にな る。 その た め に多 項 式 によ る補 間 法 の 中で,し ば しば使 用 さ れて いる ラグ ラ ンジ ェの 補 間 法を 応 用 した 回路 が あ り,こ れ らに は 外挿 ある い は 内挿 回 路 が含 まれ て い る(2)嘱)。 しか し, そ こで は標本 時 点 にお け る波 形 接続 の連 続 性 や 回路 の 位相 特 性 な ど につ い て は触 れ られ て い ない 。理 想 低 域 フ ィル タを近 似す る と き,位 相 特性 につ いて の考 察 は 重要 で,特 にパ ル ス信 号 を扱 う回 路 で は周 波 数 と位 相 との 関係 が直 線 で あ る こと が望 まれ る。 そ こで 本 論文 の 目的 は,ラ グ ラ ンジ ェの補間 法 に基 づ いて 導 か れ る"ラ グ ラ ンジ ェの フ ィル タ"の中 で, イ ンパ ル ス 応 答 が偶 関数対 称 とな る"ラ グ ラ ンジ ェ偶 フ ィル タ"に よ つて,理 想低 域 フ ィル タ の近 似回 路 を 雲 現 す る こ とで あ る 。す な わ ち,ラ グ ラ ンジ ェ偶 フィ ル タ で は,イ ンパ ル ス 応 答 の 値 が 一 定 区 間 外 で は 消 滅 す る よ う な 偶 関 数 対 称 で あ り,そ の 位 相 特 性 は 直 線 で あ る 。 第2章 で は,ラ グ ラ ン ジ ェ の フ ィ ル タ の 構 成 に つ い て 述 べ る 。 第3章 で は標 本 時 点 に お け る 接 続 時 に イ ン パ ル ス 応 答 が,高 階 導 関 数 ま で 連 続 に な る よ う な ラ グ ラ ン ジ ェ偶 フ ィ ル タ を 誘 導 し,更 に ラ グ ラ ン ジ ェ の フ ィ ル タ を 構 成 す る と き の 土 台 と な る"ラ グ ラ ン ジ ェ 台 フ ィ ル タ"に つ い て 説 明 す る 。 第4章 で は,こ れ ら の フ ィ ル タ 回 路 の イ ンパ ル ス 応 答,ス テ ップ 応 答 な ら び に 周 波 数 応 答 に つ い て 考 察 す る 。 こ れ ら の フ ィ ル タ は,サ ンプ ル ホ ー ル ド要 素,積 分 器 お よ び 孫 数 器 を 使 用 し て 構 成 さ れ る 。 2.ラ グ ラ ン ジ ェ の フ ィ ル タ 低 域 通 過 形 の 帯 域 制 限 を 受 け た 連 続 信 号 の 値 が,一 定 時 間 間 隔 の 標 本 値 列 と して 与 え ら れ て い る と す る 。 こ れ を 連 続 信 号 に 復 元 す る た め の フ ィ ル タ を 実 現 す る た め に,種 々 の 補 間 法(5)の 中 で 標 本 値 を 直 接 使 用 す る こ と の で き る ラ グ ラ ン ジ ェの 多 項 式 補 間 法 に 基 づ く 回 路 が あ る(2)(3)。 こ れ ら に 関 して 以 後 の 議 論 に必 要 な 結 果 を 初 め に 整 理 し て お こ う。 時 間 軸 上 の 一 定 間 隔 丁 の 標 本 時 点(n-m)T,(n-m+1)T,…,(n-k)T,(n-k+1)T,…nTに お け る 連 続 信 号z(t)の(解+1)燗 の 標 本 値 が 与 え られ て い る と す る 。 こ の(m+1)個 の 標 本 値 を 通 る η 次 多 項 式 に よ っ て,時 間 区間 〔(n-k)T,(η-k+1)T〕 を補 間 す る 回 路 の 伝 達 関 数Hm,k(3)(n,k:整 数,m:非 負 の 整 数)は 次 の よ う に し て 与 え ら れ る(2x3)。 (m +1)個 の 標 本 値{Zn-m,Zn-m+1,･･･,Zn-k,Zn-k+1 ･･･,Zn}を 通 るm次 多 項 式 は

(1)

An Approximation of the Ideal Low-Pass Filter using Lagran gean Even Eilters. By Taikyu Kim, Member & Toshihiko

Yamawaki, Member (Department of Electronic & Electrical Engineering, College of Science & Engineering, Aoyamagakuin University).

金 台然:正 員,青 画学 院大学理工学 部電気電子工学科 山脇寿彦:正 員,青山 学院大学理工学部電気電子工学科

電 気 学 会論 文 誌C 266 た だ し,⊿iZn:Znのi階 後 退差 分 の よ う に 書 け る 。 こ こ で,特 性 関 数.Pj(t)を

(2)

の よ うに定 義 す る と,回 路 へ の入 力 信号zi(t)

(3)

に 対 す る 出 力信 号zo(t)は,(1),(2)式 よ り

(4)

の よ う に 表 す こ と が で き る。 そ こ で,〈3)式 お よ び (4)式 を フ ー リエ 変 換 す る と次 式 が 与 え られ る 。

(5)

た だ し,

(6)

上 記の 二 式を 用 い てHm,k(S)を 導 くと次 のよ うな形 に まと め る ことが で き る。

(7)

上 式 はmとkの 値 の組 合せ 方 によ つて 外 挿,ま た は 内挿機 能 の伝 達 関 数,あ る い は物 理的 に実 現 可能 ま た は不可 能 と 区別 で き るの で,解 を 正 の 整数,kを 1≦k≦mの 整数 と して(3),kTの 時 間 遅 れ要 素e-ksT を導 入 す れば,

(8)

が得 られ る。 このLm(S)は 物 理 的 に 実現 で きて,αm, o≠0の 場 合 が外 挿,αm,o=0の ときが 内 挿 回路 とな る 。 (8)式 を 積 分器 を 開 回路 で 使用 せ ず,更 に遅 延 要 素 を 使 用 しな い よ うに,圏 路構 成 を す る と 園1が 導 か れ る。 図1に お い て サ ンプ ル ホ ー ル ド要 素,積 分 器 お よ び フ ィ ー ドバ ッ ク係 数 βm,i (i=1,2,･･･,m)か ら な る 部 分 は,(8)式 中 の(1-e-sT)m+1を 実 現 す る と こ ろ で(2x3) 表1はLm(5)の 次 数mに 対 す る βm,iの 値 を 示 した もの で あ る 。 図1ラ グ ラ ン ジ ェ の フ ィ ル タ の 回 路 Fig. 1. Lagrangean family filter circuit.

表1  フ ィ ー ド バ ッ ク 係 数βm,iの 例 Table 1. Expmples of feedback constant βm,i.

(8)式 に よ っ て 示 さ れ るLm(s)を図1の よ う に 構 成 し,更 に 表1の よ う な βm,iを 有 す る フ ィ ル タ回 路 を,こ れ か ら は ラ グ ラ ン ジ ェ の フ ィ ル タ(Lagrangean family filters)と 呼 ぶ こ と に しよ う。 な お,図1に お け る 係 数 αm,iの 値 は(5)式 お よ び(6)式 よ り 求 ま る が(3),次 章 の よ う に 実 現 す るLm (s)の 機 能 に 基 づ い て 決 め る こ と もで き る 。 3.ラ グ ラ ン ジ ェ 偶 フ ィ ル タ 理 想 低 域 フ ィル タ の イ ンパ ル ス 応 答 を 表 す 標 本 化 関 数Siac(art/T;)

(9)

は偶 関数 対 称 で あ るか ら,こ れ を近 似す るた め に(8) 式 の 中 で イ ンパ ル ス応 答 が,t=0か ら始 ま る有 限 区間 内 で偶 関数対 称 で,か つ その 区 間外 で は消 滅 す る よ う な回 路 につ いて述 べ よ う。 (8)式 を ラプ ラス逆 変 換 す る と,Lm(s)の イ ンパ ル ス応答lm(t)は 次 式 の よ うに求 め られ る。

(10)

<18> 106巻12号

267 ラ グ ラ ン ジ ェ偶 フ ィル タ

図2Lm,n(S)の イ ン パ ル ス 応 答lm,n( t) Fig. 2. Impulse response of Lm,n(S),lm,n(t).

2 Lm,,o(s)の 係 数 αm,iの 例

Table 2. Examples of constant αm,i for Lm _,o(s).

表3Lm,n(5)の 係 数ρm,iお よ びλn,oの 例 Table 3. Examples of constants ρm,i and λn, q for Lm,n (S). (注)記 入 され て い ない ρm,i,ゴ,λn,gの値は0で あ る 。 上 式 に お い て,+印 は 領 域t-jT≧0に お け る値 の み を と る こ と を 表 し た も の で あ る 。(10)式 を 用 い て イ ンパ ル ス 応 答 が 図3の よ う に 最 大 値 が1と な るt= (m +1)T/2に 関 して 偶 関 数 対 称 と な る 回 路 を 求 め よ う 。 な お 説 明 を 簡 単 に す る た め に,こ の イ ンパ ル ス 応 答 が 図2に お け る 接 続 点jT(j=0,1,･･･,(m+1)/2,…, (m+1))に お い て,関 数 値 の み 連 続(co級)の 鉱o(の とn階 導 関 数 ま で 連 続(Cn級)のlm,n(t)(n=1,2,…) と に 分 け て 説 明 し,更 に こ れ らの フ ィ ル タ の 土 台 と な る 回 路 に つ い て 述 べ る こ と に す る 。 <3・1>Co級 フ ィ ル タCo級 連 続 な イ ンパ ル ス 応 答lm,o(t)が,図2に お け るt=(m+1)T/2で 最 大 値1を と り,t≧(m十1)Tで は 消 滅 す る 偶 関 数 に な る 場 合 に つ い て 調 べ る 。 図2に お い て(m十1)T/2は 整 数 で あ る か ら 解 は 奇 数 を 取 る 。(5)式 お よ び(6)式 を 使 用 し,mが 奇 数 でk=(m+1)/2の 場 合 の αm,iを 求 め る とlm,o(t)を 定 め る こ と が で き る 。 こ の 問 題 に 関 す る 別 解 と し て,Lm(s)の 機 能 に 基 づ い て α婦 の 値 を 決 定 す る こ と もで き る 。 す な わ ち,任 意 の 奇 数 の mに つ い て(10)式 を 展 開 し,こ れ に 図2に 示 さ れ て い る 接 続 点 に お け る 接 続 条 件 を 代 入 して 得 られ る連 立 一 次 方 程 式 を 解 け ば,αm,iを 求 め る こ と が で き る 。 例 え ばm=1の 場 合 のl1,o (t)は 次 の よ う で あ る 。(10)式 をm=1に つ い て 展 開 す る と 次 式 が 得 られ る 。 (11) 上 式 にt=0,Tお よ び2Tに お い て,l1,0 (0)=0,l1 ,o(T)=1お よ びl1,0(2T)=0の 条 件 を 代 入 す る と, α1,FO,α1,1=1と 定 ま る 。 奇 数 のmに つ い て 上 記 の よ う な 操 作 を 実 行 す る と,t=(m+1)T/2で 最 大 値1 を と る 偶 関 数 対 称 なlm,o(t)を 定 め る こ と が で き る 。 こ れ を ラ プ ラ ス 変 換 したLm,o(s)の た め の 係 数 αm,iの 例 をm=1,3,5,7に つ い て表2に 示 した 。 こ れ らの α帽 の 値 は(5)式 お よ び(6)式 を 使 用 して 求 め られ る 値(3)と 一 致 す る 。 <3・2>Cn級 フ ィル タ 図2に 示 さ れ て い る 接 続 点jT(j=0,1,…,(m十1))に お い て,n階 導 関 数 ま で 連 続 な イ ンパ ル ス 応 答lm,n(t)(n=1,2,…)は,係 数 決 定 時 の 自 由 度 を 増 す た め に,(10)式 を 二 つ 結 合 し た 形 の 次 式 を 用 い れ ば 実 現 す る こ と が で き る 。

(12)

こ のlm,n(t)に 関 して,接 続 点 に お い てn階 導 関 数 ま で 連 続 の 条 件 を 適 用 す る と,(11)式 の 場 合 と 同 様 な 操 作 に よ っ て(12)式中 の 係 数 ρm,iお よ びλn,qを 定 め る こ と が で き る 。 こ の よ う に し て 決め た(12)式 の 左 辺 お よ び 右 辺 の ラ プ ラ ス 変 換 を,そ れ ぞ れLm,n(s)お よ びFm(s),Gn(s)と す る 。 そ うす る と,例 え ばn=1,2 お よ び3に つ い て はL3,1(s)=F3(s)+G2(s),L5,2(s)= F5(s)+G4(s),L7,3(s)=F7(s)+G6(s)の よ う に 求 め られ 昭61-12 <19>

電 気学 会 論 文誌C 268

図3L5,2(S)=F5(5)十G4(5)の 回 路 Fig. 3. Circuit _{for L5 ,2(s)=Fs(s)十Ga(s).}

図4m次B-フ ィ ノレタ Fig. 4, B-fi1ter of degree m.

図5.B-フ ィ ル タ の イ ン パ ル ス 応 答bm(t) Fig. 5. Impulse responses of B-filters, bm(t).

る 。 表3は こ の 場 合 の ρm,iお よ び λ鳩 の 値 を 示 した もの で あ る 。 回 路 構 成 例 と して 図3は 乙5.2(S)の 場 合 で あ る。 な お,こ れ ま で に 得 ら れ たco級 フ ィ ル タ お よ び Cn級 フ ィル タ を 総 称 す る と き に は,こ れ らを ラ グ ラ ン ジ ェ の 正 規 フ ィ ル タ,ま た はC-フ ィ ル タ(Lagrangean cardinal filters or C-Klters)と 呼ぶ こ と に しよ う。

<3・3>  台 ブ イ ル タ 図4は 図1に お け る サ ン プ ル ホ ー ル ド要 素,積 分 器 お よ び フ ィ ー ド バ ッ ク 孫 数 βm,iか ら な る 部 分 を 取 り 出 した もの で あ る 。 こ れ ま で に 述 べ て き た フ ィ ル タ は 図4の 回 路 を 土 台 に して 構 成 さ れ て い る 。 そ こ で,図4を ラ グ ラ ン ジ ェ の 台 フ ィ ル タ ま た はB-フ ィ ル タ(Lagrangean base-filter or B-Filter)と 呼 ぶ こ と に し よ う。図1お よ び 図4か ら わ か る よ う に,解 次B一 フ ィ ル タ の 伝 達 関 数Bm(S)は, (8)式 に 偽,FO(露0,1,…,(m-1)),αm,m=1を 代 入 し た 次 式 の よ う な 形 に な る 。

(13)

こ のBm(s)を ラ プ ラ ス 逆 変 換 す る と,そ の イ ンパ ル ス 塔 答bm(t)は 次 式 の よ う に 求 め られ る。

(14)

上 式 に つ いて,(11)式 の場 合 と同様 な操 作 によ って 調 べ て み る と,次 の よ うな こ とを確 認 す る こ とが で き る 。 図5に 示 さ れ て い る 波 形 の よ う に,bm(t)はt= (m +1)T/2に お け る 最 大 値 の 両 側 で 単 調 に 変 化 し, t≧(m+1)Tで は 消 滅 す る よ う な 偶 関 数 対 称 波 形 で あ る 。 更 に 図4に 示 さ れ て い る よ う に,bm(t)は 連 続 し たm個 の 積 分 器 の 出 力 で あ る 。 よ っ てbm(t)は,図 5の 接 続 点jT(j=0,1,…,(m+1))に _{お い て ,(物 一1)} 階 導 関 数 ま で 連 続 で あ る こ と が わ か る 。 な お,(14)式 の 右 辺 は デ ー タ 補 間 な ど で 応 用 さ れ て い る,い わ ゆ る B-ス プ ラ イ ン 関 数(6)で あ る 。 よ って,イ ンパ ル ス 応 答 がm次 。B-スプ ラ イ ン関 数 で あ る よ う な フ ィ ル タ が m次B-フ ィ ル タ で あ る と 言 う こ と もで き る 。   さ て,こ こ で こ れ ま で に 述 べ て き た こ と を ま と め て お こ う 。 ラ グ ラ ン ジ ェ の 補 間 法 に 基 づ く フ ィ ル タ は, 図4に 示 し た β一フ ィル タ を 土 台 に して,図1の よ う に 構 成 さ れ る 。 図1の 係 数 αm,iの 中 で αm,o≠0の 場 合 が 外 挿,αm,o=0の と き が 内 挿 フ ィ ル タ で あ る 。 内 挿 フ ィ ル タ の 中 で イ ンパ ル ス 応 答 が 偶 関 数 対 称 と な る もの が,ラ グ ラ ン ジ ェ偶 フ ィ ル タ(Lagrangean even fi1ter)で あ る 。 こ れ に はC-フ ィ ル タ と.B-フ ィ ル タ と が あ る 。C-フ ィ ル タ で は イ ンパ ル ス 応 答 は,振 動 的 で が 標本 時 点 に 関 して 偶 対 称 で あ る 。B-フ ィル タ で は イ ンパ ル ス応 答 は非 振動 的で,標 本 時点 また は 標 本時 点 の 中間 点 に 関 して 偶対 称 で あ る。 4.応 答 前 章 に お いて得 られ た 偶 フ ィル タに 関 して,イ ンパ ル ス応答 およ び ス テ ップ 応 答 は連 続 シ ミュ レー シ ョン 書 語CSPLを,周 波 数 応答 はFOTRAN言 語 を そ れ ぞ れ 使用 して大 形 計 算 機 に よ って 数 値 計算 した 。計 算 <20> 106巻12号

269 ラ グ ラ ン ジ ェ偶 フ ィ ル タ

図6C-フ ィ ル タ の イ ン パ ル ス 応 答lm, n Fig. 6. Impulse responses of C-filters, lm,n(t).

表4bm(t)の 理 論 値 Table 4. Theoretical values of bm(t).

図7β-フ ィ ル タ の イ ン パ ル ス 応 答bm( t)Fig. 7. Impu1se responsee of B-fi1ters, bm(t)

図8C-フ ィ ル タ の ス テ ッ プ 応 答ym,n( t) Fig. 8, Step resporlses of C-filters, ym,n(t).

図9B-フ ィ ル タ の ス テ ッ プ 応 答ym(t). Fig. 9. Step responses of B-filters, ym(t).

結 果 は 同 じ応 答 を ラ イ ン プ リ ン タ お よ びX-Yプ ロ ッ タ の 両 方 に よ っ て 出 力 し,両 者 を 併 用 し な が ら詳 細 な 点 に つ い て 調 べ た 。 本 章 に 示 し た 応 答 図(図10の 実 際 回 路 の 場 合 は 除 く)はX-Yプ ロ ッ タ に よ る 出 力 を ま と め た も の で あ る 。 図6はC-フ ィ ル タ の イ ンパ ル ス 応 答 で あ る 。 図6 と 数 値 計 算 結 果 と を 調 べ て み る と,次 の よ う な こ と が 言 え る 。co級 フ ィル タ の イ ンパ ル ス 応 答lm,o(t)(m= 3,5,7)は,次 数mが 大 き く な る に つ れ て0≦t≦(m+ 1)丁 内 の 各 小 区 間 に お け るSinc{(πt/T)一(2π+1)π/2} に 次 第 に 接 近 す る 。 更 にCπ 級 フ ィ ル タ の イ ンパ ル ス 応 答lm,n(t)を η=0,1,2お よ び3に つ い て,そ れ ぞ れ を 比 較 して み る 。 そ う す る と 魏 が 同 じ値 の と き,η の値 が 大 き く な る に つ れ て 接 続 点 に お い て は,よ り 滑 ら か に な り 各 小 区 間 で はSinc{(πt/T)一(m+1)π/2}に よ り接 近 して い る 。 図7はB-フ ィ ル タ の イ ンパ ル ス 応 答 島(診)(魏=工 ∼ 7)を 示 し た も の で あ る 。 な おbm(t)に 関 し て,図5 に お け る 最 大 値MM,Oお よ び 各 接 続 点 に お け る 値 Mm1,Mm,2,2,… の 理 論 値 を(14)式 よ り求 め る と 表4の よ う に な る 。 図8はCn級 フ ィル タ(n=0,1,2,3)の ス テ ッ プ応 答 ym,n,(t)(m=3,5,7)で あ る 。 図9はB-フ ィ ル タ の ス テ ップ 応 答ym(t)(m=1∼7)を 示 した も の で あ る 。 な お,3に お け る 誘 導 過 程 か ら もわ か る よ う に,l1,0 (t)=bl(t)で あ る 。 図10は 既 存 の 集 積 回 路 素 子AD 582 KH(サ ンプ ル ホ ー ル ド要 素)お よ びLM 301 AN(線 形 演 算 増 輻 器) を 使用 して 作 製 した 瓦o(s)=B11(s)の イ ンパ ル ス 応 答 お よ び ス テ ッ プ 応 答 を ペ ン オ シ ロ グ ラ フ に よ っ て 記 録 した も の で あ る 。 こ の と き に はT=47msに して あ 昭61-12 <21>

電気 学 会論 文 誌C 270

図10実B1(s)=L1,0(s)の 応 答 Fig. 10. Responses of a real B1(s)=Li _,o(s).

    表5周 波 数 応 答 の 例

Tables 5. Examples of frequency response.

図11C-フ ィ ル タ の 振 幅 特 性Lm,n. Flg. 11. Gain characteristics of C-fi1tefs _{, Lm,n.}

り,理 論 波 形 と 良 く一 致 して い る 。 次 に,伝 達 関 数 五m,。(5)お よ び,Bm(s)に,s=jω を 代 入 し た 周 波 数 応 答Lm,n(jω)お よ び8綿(jω)に つ い て 調 べ る 。 な お,こ こ で は 正 規 化 し てΩ=ωT (rad)と し て い る 。 表5は

(13)

(14)

のLm,n,Bm,φm,nを _{示 した もので ある。} この 中の 乙。Lm,nおよ びBmに つ いて 数値 計 算 した結 果 が,そ れ ぞ れ 図11お よ び図12で あ り,破 線 は理 想 フ ィル タ の場 合 で あ る。 図12に は 参考 にサ ンプ ル ホ ール ド要 素(S-H)の 特 性 も記 入 さ れて い る。 数 値 計算 結 果 に よれ ば,次 のよ うな こ とが欝 え る。 Lm,nい の 値 が1/に な る と きのΩ の値 は,mが1 だ け増 す ご とに約3∼6%増 大 し,同 じmの 値 に 対 して は 理 の値 の 大 きい ほ うが約5%増 大 して い る。 図12.8-フ ィ ル タ の 振 幅 特 性Bm Fig. 12. Gain characteristics of B-filters,  Bm.

ま たΩ=π に お け るLm,nの 値 は,勉 の 値 が1だ け 増 す ご と に 約2∼4%増 大 し,同 じmの 値 に 対 して は η の 値 の 大 き い ほ う が 約15∼16%増 大 して い る 。 更 に 2π<Ω<4π に お け るLm,nの 最 大 値 は 郷 ま た は η の 値 の 増 加 と 共 に 減 少 し,Lm,oで は0.03以 _{下, Lm ,nで} は0.01以 下 で,参 考 の た め に,S-Hで は0.217で あ る 。 な お,表5に 示 さ れ て い るLm,nを 用 い てΩ=π に お け る;そ れ らの 傾 斜 角 を 求 め て み る とL3,o,L3 _,1 で は 約 一37°,L5,o,L5,2で は 約-43°,L7 _{,0,L7,3で は} 約-47.5° で あ り,参 考 と し てS-Hで は 約-22° で あ る 。 こ れ ら の こ と か ら振 幅 特 性Lm _{,nは,mとnの 値 の} 増 加 と 共 に 帯 域 幅 が 広 くな り,Ω=π に お け る 傾 斜 角 も急 し ゅ ん に な っ て,そ し て 側 帯 域 に お け る 減 衰 も 大 <22> 106巻12号

271 ラ グ ラ ン ジ ェ偶 フ ィ ル タ き く,理 想 フ ィル タの 特性 に接近 す る こ とが わか る。 さ て,表5に 示 さ れ て い る よ うに,Lm,n(jΩ)お よ びBm(jΩ)の 位相 角φm,nお よ びφmは,そ れ ぞ れ ρ に比例 して い る。 す な わ ち,こ れ らの フ ィル タ は9に 対 す る位相 角 ψ の変 化 率 に よ っ て 表 さ れ る 群 遅延to=dφ /dΩ が常 に一 定 で あ る。 な お,偶 関 数対 称 な イ ンパ ル ス応 答 を 有 す る フ ィル タ の群 遅 延 は 正確 に一定 で あ るか ら(9),こ の よ うな フ ィル タ は高 周 波数 成 分 を 多 量 に含 む パ ル ス信 号 な ど に対 して,優 れ た特性 を 有 して い る こ とが わ か る。 ラグ ラ ンジ ェ偶 フ ィル タ は こ の よ うな特 性 を具 備 して い るわ けで あ る。

在 来 のButterworth, Chebyshgv, Besse1あ る い は Legendreな ど の フ ィル タ で はtqは 一 定 に はな らな い か ら,あ の変 化 が小 さ くな るよ う工 夫 して 設 計 され て い る(7)-(9)。Gaussフ ィル タ で はtoは 一 定 で あ る が,こ の フ ィル タ を実 現 す る と きに は,級 数 展 開 した 有 限項 に よ って 近 似 す る ので,実 際 に はtqは 変 化 す る(8)(9㌔ 以 上 の よ う に,常 に一 定 の 群 遅 延を 保 持 して い る こ とが ラグ ラ ンジ ェ偶 フ ィル タ の特 徴 の一 つ で あ る。 こ の よ うな フ ィル タ につ いて,そ れ らを 回路 構 成 す るた め の系統 的 な 設 計 法,な らび に それ らの応 答 例 が示 さ れ たの は,著 者 らの知 る限 りで は初 め て で あ る と思 わ れ る。 この よ うな理 由 によ り,在 来 の フィル タ との区 別 の必 要 か ら固有 の性 質 に基 づ い た本 論 文 のよ うな命 名を も提 案す るわ けで あ る。 5.ま と め 理 想 低 域 フ ィル タ の近 似 回 路 の一 つ と して,ラ グ ラ ンジ ェ偶 フ ィル タ につ いて 述 べ た。 この 偶 フ ィル タ に は,イ ンパ ル ス応 答 が 振 動的 なC-フ ィル タ と非 振 動 的 なB-フ ィル タ とが あ る 。C-フ ィル タ の イ ンパ ル ス 応 答 は標 本 時点 に関 して 偶 関 数 対 称 で あ り,B-フ ィ ル タ の イ ンパ ル ス応 答 は,標 本 時点 また は標 本 時 点 の 中 間 点 に 関 し て 偶関 数 薄 称 で あ る。 ま た,B-フ ィ ル タ は ラ グ ラ ン ジ ェ の フ ィ ル タ を 構 成 す る と き の 土 台 と な る フ ィ ル タ で あ り,そ の イ ンパ ル ス 応 答 は.8一 ス プ ラ イ ン 関 数 で あ る 。 C-フ ィ ル タ の 振 幅 特 性 は,フ ィ ル タ の 次 数 の 増 加 お よ び 波 形 接 続 点 に お け る連 続 な 導 関 数 の 階 数 の 増 加 と 共 に,帯 域 幅 は 広 が り,か つ 遮 断 特性 は 急 し ゅん に な り,側 帯 域 で は 減 衰 が よ り火 き く な っ て 理 想 低 域 フ ィ ル タ の 特 性 に 接 近 す る 。 位 相 特 性 は,8お よ び σ フ ィ ル タ と も に直 線 で あ る 。 こ の よ う な フ ィ ル タ に つ い て,系 統 的 な 設計 法 お よ び 応 答 特 性 が 示 さ れ た の は初 め て で あ る と 思 わ れ る 。 こ こ で 示 さ れ た ラ グ ラ ン ジ ェ偶 フ ィ ル タ は,信 号 ま た は デ ー タ の 伝 送 ・処 理 ・再 生,あ る い は 糊 御 系 な ど へ の 汎 用 が 見 込 ま れ る 。 こ の 一 つ と して デ ー タ 処 理 へ 応 用 す る 場 合 に つ い て 検 討 を 行 っ て い る の で,こ れ に つ い て は 改 め て 報 告 した い 。 更 に 係 数 の 値 の 変 動 に 対 す る 応 答 の 変 化 の 程 度,す な わ ち こ こで示 さ れ た フ ィ ル タ の パ ラ メ ー タ 感 度 に 関 す る 議 論 に つ い て も別 に 報 告 し た い 。 (昭 和60年11月20日 受 付,同61年4月23日 再 受 付)       文 献

(1) C. E. Shannon: "Communication the presence of noise", Proc. Inst. Radio Engrs, 37, 10 (1949)

(2) 金 ・野瀬:「高次離散値保持要素」,計灘 自動制御学会論文集, 10, 581 (昭49-10)

(3) 山脇 ・金 ・「サ ンプル値系による理想低域 フィルタの 近似 回 路」,電学論C, 102 179 (昭57-8)

(4) A. E. Darling & T. E. Bullok: "A Unified Method for the Reconstruction of Sampled Data", IEEE Trans. Computer, C-22, 388 (1973) (5) 森口・高田:数 値計算法1(昭33)岩 波書店 (6) 一松 ・伊理・竹内;ス プ ライン関数とそ の応 用(昭57)教 育出版 (7) 電気学会:電 気工学ハン ドブ ック(昭53) (8) 電子通信学会:電 子通信ハ ンドブック(昭48)

(9) A. I. Zverev: Handbook of Filter Synthesis (1967) John Wiley & Sons