2010年11月08日(月) 13:00-14：30 S2Y 平成22年度 工V系(社会環境工学科) 第5回 平成22年度 工V系(社会環境工学科) 第5回 電磁気学Ⅰ 天野 浩 項目 電界と電束密度、ガウスの発散定理とガウスの法則の積分形と微分形 デ 電気力線 使 方を タ ます ＊ファラデーの電気力線の使い方をマスターします。 ＊電界と電束密度を定義します。 ガウスの発散定理を用いて ガウスの法則の積分形から微分形を ＊ガウスの発散定理を用いて、ガウスの法則の積分形から微分形を 導出します。 ＊ガウスの法則を用いて 様々な問題を解析します ＊ガウスの法則を用いて、様々な問題を解析します。 ファラデーと電気力線 電気力線の性質 電気力線の性質 １．電気力線の各点での接線はその点での電界 の向き の向き。 ２．電気力線の始点は正電荷，終点は負電荷， または無限遠 または無限遠。 ３．電気力線の本数の密度（本/m2）は電界の強 さ｜E｜に比例する さ｜E｜に比例する。 ４．正電荷q からは（q /ε）本の電気力線が発生 する (は誘電率 ) Michael Faraday, 1791-1867、UK する。(は誘電率。) ５．ある閉曲面の表面を通過する電気力線の本 数は その閉曲面の内側に含まれる電気量に ウィキペディアより 数は、その閉曲面の内側に含まれる電気量に 比例する。 ６ 電荷のないところで途切れたり二つ以上の電 ６．電荷のないところで途切れたり二つ以上の電 気力線が交わることはない。
ファラディの電気力線 ― ＋ 誘電率 ＋
Q
Q
＊電荷Q から， 本の電気力線が出ると考える。 ＊プラスの電荷から電気力線が出て，マイナスの電荷は電気力線を 吸い込む。 ファラディの電気力線 誘電率 誘電率 ― ＋＋ ＊異種電荷では 電気力線をもとに戻そうという引力が発生する ＊異種電荷では，電気力線をもとに戻そうという引力が発生する。ファラディの電気力線 誘電率 誘電率 ― ー 同種電荷では 電気力線をもとに戻そうという斥力が発生する ＊同種電荷では，電気力線をもとに戻そうという斥力が発生する。 ファラディの電気力線 誘電率 電荷Qを中心とした半径rの球の表面の 電気力線の本数の密度は 誘電率
1
Q
Q
電気力線の本数の密度は 2 24
4
r
Q
r
Q
― rr 半径rの球の表面積は4r2であることを思い出そう！電気力線のある場=電界 電界E ＋q 電界E F=＋q×E ＋q +qの電荷にF[N]=q[C]×Eという力が働く場を電界Eと定義する。 F ＋q E q 電荷 [ ] q[ ] う 働 場を電界 定義す 。 従って、電界の単位：［N/C］ 電荷Qが距離rの位置に作る電界の大きさEは
1
Q
]
/
/
[
4
1
2N
C
V
m
Q
E
4
r
2 こちらの単位の方がよく 使われる。 誘電率と電界ベクトルと電束密度ベクトル 誘電率と比誘電率 ＊誘電率ε [Ｆ/ｍ] は電荷の溜め易さを表す。[ ] ＊比誘電率εrとは、その材料の誘電率の真空の誘電率ε0 [F/m] に対 する割合。 = 0 光速cと真空の誘電率透磁率 r0 ＊ε0 = 8.85418782×10−12 F/m 1 c 光速cと真空の誘電率透磁率 電束密度 (電気力線の束の密度という意味。) ＊電気力線を「何本か」を束ねたもの 0 0 ＊電気力線を「何本か」を束ねたもの。 ＊1[C]の電荷からは１本の電束が放射されていると定義。 →q[C]の電荷からはq本の電束が放射されている →q[C]の電荷からはq本の電束が放射されている。 ＊電束密度D [Ｃ/㎡] とは、単位面積あたりの電気力線の本数というこ とになり 電界との関係を式で書くと ＊電束密度と電界の関係D
E
とになり、電界との関係を式で書くと、ガウスの法則 (1837)・・・電荷と電界の関係を表した式 積分形 積分形
E
d
S
Q
k,
D
d
S
Q
k
k S k S
E
d
S
dV
D
d
S
dV
ある閉曲面領域内に電荷が存在すると
V S V SdV
S
d
D
dV
S
d
E
,
Johann Carl Friedrich G ß 1777 1855 ある閉曲面領域内に電荷が存在すると、 その領域から電荷と等しい電束が出入 りする Gauß、1777-1855、 Germany りする。 微分形 ウィキペディアより 微分形
E
,
D
：ローと読む (rのギリシャ文字)
E
,
D
E 電界 D 電束密度 電荷密度 Q 電荷 誘電率 ：ローと読む。(rのギリシャ文字) E:電界、D:電束密度、：電荷密度、Q：電荷、：誘電率 ガウスの発散定理を使って積分形を微分形にする。 ベクトルの発散とは？第3回講義ノート参照 ベクトルの発散とは？第3回講義ノ ト参照A
d
S
S d r A
( ) SA
d
S
V r A r A div S V lim ) ( ) ( 0 微少体積 V 流束密度ベクトルA(r)を持つ流れの、微小体積Vの表面Sを通して 流束密度 クトル を持 流れの、微小体積 の表面Sを通して 外に向かう全流束をVで割ったものの極限。 ) (r Aガウスの発散定理を使って積分形を微分形にする。 S d r A ( ) V r A r A div S V ( ) lim ) ( ) ( 0
S A r V A r dS S d r A r A ) ( ) ( ) ( ) ( Vが十分小さい時、
V ( ) S ( ) ) ( ＊左図の様に、任意の大きさの体積V Vi V に対して、それをn個の微小領域 V1,V2,・・・に分けると、それぞれの微r
O V 小領域で上の式が成り立つので、すべ て加えると ir
n n
n i S n i i i i S d r A V r A 1 1 ) ( ) ( i i番目の微小領域Viの全表面 ガウスの発散定理を使って積分形を微分形にする。 ＊dSは各微小領域ごとに外向きにとる
n i S n i i i V A r dS r A 1 1 ) ( ) (
＊dSは各微小領域ごとに外向きにとる。 i S i i 1 1A
Vi V ir
ixS
d
x iS
d
1 O i ＊右辺の和に関して、隣接するViの 境界面の寄与はA( )が同じなのでdS i i+1 境界面の寄与はA(r)が同じなのでdS が逆向きとなり打ち消しあう。 もとの体積Vの外表面の寄与のみ →もとの体積Vの外表面の寄与のみ が残る。 ガウスの発散定理
n i n i i i V A r dS r A 1 1 ) ( ) (
S VS
d
r
A
dV
r
A
(
)
(
)
i S i i 1 1 V Sガウスの発散定理を使って積分形を微分形にする。 ガウスの発散定理
A
(
r
)
dV
A
(
r
)
d
S
ガウスの法則の積分形 ガウスの発散定理
S V)
(
)
(
ガウスの法則の積分形
V S dV S d D
D
dV
D
d
S
dV
V S
V S V
ガウスの法則の微分形
D
意 成 任意の点について成り立つ。 外の電荷と中の電荷とガウスの法則
真空中 閉曲面S Q dS E
真空中 Q1E
dS Q2 QN QN+1 QN+2 QN+1
E
E
E
NE
1
2
i i Q S d E より 1 2 N
S 0
NQ
iS
d
E
最重要！
S i iQ
S
d
E
1
0 閉曲面の外側の電荷は、右辺に 含まれない！Q5-1 図に示すように、Q1=6.0×10－8[C]、Q2=－12.0×10－8[C]の二 つの電荷が10.0[cm]離れて置かれている時、二つの点電荷の中点の[ ] 電界の向きと大きさを求めなさい。 Q1=6.0×10－8[C] Q2=－12.0×10－8[C] 10.0[cm] 10.0[cm] Q1の作る電界とQ2の作る電界は向きは同じでどちらも右側 向きは左から右 ] / [ 10 48 . 6 05 0 1 10 854 8 14 3 4 10 0 . 12 10 0 . 6 1 4 1 4 5 2 12 8 8 2 2 2 1 N C r Q r Q 向きは左から右 05 . 0 10 854 . 8 14 . 3 4 4 40 r1 0 r2 Q5-2 真空中に誘電率で，内部に一様に総電荷qが広がっている半 径aの球の内部および外部の電界を求めなさい。 球内部において，半径ｒの地点までの内部電荷は， 4 a q a r q a r 3 3 3 3 4 3 4 a a 3 従って球内部の電界は 従って球内部の電界は q r q a r E 3 3 1 1 ［N/C］ q a r a Ein 2 3 4 4 球外部の電界は ［N/C］ 球外部の電界は 2 4 1 q Eout 2 ［N/C］ 0 4 r out ［N/C］
Q5-3 無限の長さの導線に単位長さ当たりq［C/m］の電荷が与えられ ている時， この導線から垂直距離a［m］だけ離れている地点Pでの電 界の方向および大きさを求めなさい。 a a
P P a
地点Pから垂線を下ろした点を中心にし て上下同じ位置 同じ長さからのPへの て上下同じ位置，同じ長さからのPへの 電界を考えると，その合成電界は導線 に垂直方向で 放射状になる に垂直方向で，放射状になる。 Q5-3 無限の長さの導線に単位長さ当たりq［C/m］の電荷が与えら れている時， この導線から垂直距離a［m］だけ離れている地点Pでの 電界の方向および大きさを求めなさい。
d
図のように上下の微小長さｄｌがＰに作る電界Ｅは， a
d
に作る電界 は， Ｐ1
2
q
dl
a
E
d
(
)
)
(
4
2
2 2 2 2 0a
l
a
l
E
従って無限の導線では
d
34
1
2
q
a
dl
E
従って無限の導線では
0 2 3 2 2 0)
(
4
dl
l
a
0 2 3 2 2 0)
(
2
l
a
dl
aq
)
2(
a
l
Q5-3 無限の長さの導線に単位長さ当たりq［C/m］の電荷が与えられ ている時， この導線から垂直距離a［m］だけ離れている地点Pでの電 界の方向および大きさを求めなさい。
d
変数変換するとdl
aq
E
a
d
Ｐ 2
0(
)
2 3 2 2 0l
a
q
E
d
cos
)
(
2 3a
aq
d
cos
cos
2
0 0 3 2d
a
a
aq
cos
2d
q
cos
2
a
0 0
d
]
/
[
2
a
0N
C
q
問題2-4 Q5-3 無限の長さの導線に単位長さ当たりq［C/m］の電荷が与えられ ている時， この導線から垂直距離a［m］だけ離れている地点Pでの電 界の方向および大きさを求めなさい。 上下方向の電界は無い ガウスの法則を使うと 上下方向の電界は無い a ガウ の法則を使う
D
d
S
q
内部の電荷
d
dl×2a×D=q×dld
dl×2a×D q×dl]
/
[
N
C
q
E
[
/
]
2
0a
N
C
E
Q5-3 無限に広く薄い導体平板に面密度［C/m2］で電荷が一様に 分布している。この平板からr[m]だけ離れている地点Pでの電界の大[ ] きさを求めなさい。 表と裏を考える
D
d
S
q
表と裏を考える 2×DdS=qdS
]
/
[
2
0N
C
E
0 Q5-4 単位面積あたり，それぞれ［C/m2］の電荷密度で一様に 帯電している，無限に広い導体平板が平行に設置されている時，電界 の大きさを求めなさい。 コンデンサの原理。 － 二枚の 板間 板間 平行平板の外では 打ち消しあ て電界 平行平板の外では，打ち消しあって電界 は零 平行平板の内側のみ E 2 [N /C] 平行平板の内側のみ [ / ] 2 2 0 0 C N E 本日のまとめ •ガウスの法則を式で表しなさい。 ガウスの発散定理を説明しなさい •ガウスの発散定理を説明しなさい。 •電界の単位を２つ示しなさい。 ２枚の無限平面導体平板における導体の電荷密度と ２枚の導体の •２枚の無限平面導体平板における導体の電荷密度と，２枚の導体の 間、および外側の電界強度を説明しなさい。
