第 5 章 構造振動学 棒の振動を縦振動, 捩り振動, 曲げ振動に分けて考える. 5.1 棒の縦振動と捩り振動 まっすぐな棒の縦振動の固有振動数 f[ Hz] f = l 2pL である. ただし, L [ 単位 m] は棒の長さ, [ 2 N / m ] 3 r[ 単位 Kg / m ] E r

日本機械学会宇宙工学部門

第５章 構造振動学

棒の振動を縦振動，捩り振動，曲げ振動に分けて考える．

５．１ 棒の縦振動と捩り振動

まっすぐな棒の縦振動の固有振動数

f

[ ]

H

z

は

r

E

p

l

=

L

f

2

(5.3) であ る． ただ し，

L 単位

[

m

]

は 棒の 長さ ,

[

2

]

m

/

N

E 単位

は 棒の 材料 の縦 弾性係 数（ ヤン グ率 ）

[

3

]

m

/

Kg

単位

r

は棒の材料の単位体積当りの質量である．

l

は境界条件と振動モードによって決まる無 次元の定数で，表に与えられる． また，まっすぐで一様な円形または中空円形断面棒，あるいは十分に長くて曲げ捩りが無視できて，断面 のせん断中心と重心が一致すれば，ねじり振動の固有振動数

f

[ ]

H

z

は p

I

GJ

L

f

r

p

l

=

2

(5.4) である．ただし，

[

2

]

m

/

N

G 単位

は棒の材料の横弾性係数,J は丸棒では極２次モーメント

[

4

]

m

I

_p

単位

と同じであるが，一般断面の場合表のように異なって，

[

2

]

Kgm

GJ 単位

は捩り剛性と呼ばれる．

[

3

]

m

/

Kg

単位

r

は棒の材料の単位体積当りの質量である．

l

は境界条件と振動モードによって決まる 無次元の定数で，表に与えられる．

5.2 梁の曲げ振動

5.2.1 理論解

まず，一様な梁の曲げ振動について考える．梁の方程式(2.8)は

( )

x

p

x

w

=

¶

¶

I

E

4₄ (5.5) であった． ここでは w は位置 x の関数であるとともに時間 t の関数でもあるので偏微分表示にしている． 分布力として慣性力を考えると

( )

2 2

t

w

A

x

p

¶

¶

r

-=

(5.6) と置けばよい．よって梁の振動方程式は

0

2 2 4 4

=

¶

¶

r

+

¶

¶

EI

t

w

A

x

w

(5.7) となる． 式(5.7)は

(

)

x it

e

e

t

,

x

w

=

l w

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自由 自由 自由 固定 固定 固定

π , 2 π , 3 π・・・

π ,

π ,

π・・・

1

2

3

2

5

2

固定 質量_付着 cot λ＝μλの根 μ＝  またはM1 M0 1 0 I M0は棒の全質量 0 I は軸まわりの慣性モーメント 境界条件 λ 表 1 棒の縦振動とねじり振動のλ a b h b r r2 断 面 形 状 I( 水平軸まわり )

I

p J

π a b

3

4

bh

3

12

π 4 (

r

-

r

2) 4 4

π

r

r

2

(

4

-

4

)

2

12

1

(bh

3

+ b

3

h)

π ab

4

(a

2

+b

2

₎

(a

2

+b

2

₎

π a b

3 3 1 _{b h}3 3 π

_r

_r

2 ( 4 - 4) 2

表 2 断面定数

図 5.1 棒の縦振動と捩りのλ

=

π₄

(2r

2 )

_(2r)t

= π r t

3 ( 近似式 ) M0 0 I M1 1 1 アルミ Ｅ=７×１０〃_{gram/cm S}2 ρ＝２．７gram/cm3

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として変数分離法により解くことができて，その一般解は

(

)

( )

it

e

x

W

t

,

x

w

=

w (5.8)

( )









x

sin

C

x

cos

C

x

sinh

C

x

cosh

C

x

W

=

₁

l

+

₂

l

+

₃

l

+

₄

l

(5.9) で与えられる．ここに

I

E

r

w

=

l

4 2 4

A



(5.10) 従って振動数 f は

A

f

r

I

E

l

p

=

p

w

=

₂2

2

1

2



(5.11) となる．未定定数

C

₁

,

C

₂

,

C

₃

,

C

₄ は梁の両端の２個づつの計４個の境界条件により決められ，その計算途 中で

l

の値も決定される．長さ 1m，直径 2cm のアルミの円断面梁について単位の例をとれば 例えば SI 単位系では

m

L

=

1

, 2

000314

0

.

m

A

=

, 9

10

70

70

=

´

=

E

G

P

a

2

m

/

N

3 3

10

8

2

.

´

Kg

/

m

=

r

, 8 4

10

785

0

.

´

-

m

=

I

重力（工学）単位系では

mm

L

=

1000

, 2

314mm

A

=

, 2

7200

Kgf

/

mm

E

=

(

3

) (

2

)

5 2 2

10

8

2

9800

28

0

.

K

gf

/

mm

m

m

/

sec

=

.

´

-

K

g

f

/

m

m

sec

=

r

4 10 785 0 ´ = . I である． 例１：片持ち梁 まず，x=0 で固定，x=



で自由の片持ちの場合を計算する．境界条件は 固定：変位 w=0, 傾き

=

0

¶

¶

x

w

自由：モーメント

0

2 2

=

¶

¶

x

w

, 剪断力

0

3 3

=

¶

¶

x

w

式(5.7)をこれらの条件式に代入して，固定条件から 1 3

C

C

=

-

,

C

4

=

-

C

2 この条件を考慮して自由条件から

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(

)

2

(

)

0

1

cosh

l

+

cos

l

+

C

sinh

l

+

sin

l

=

C

(

)

2

(

)

0

1

sinh

l

-

sin

l

+

C

cosh

l

+

cos

l

=

C

を得る．

C

₁ と

C

₂とがゼロとならないための条件はその係数行列式 がゼロであるから行列式を計算すると

0

1

=

+

l

l cos

cosh

(5.11) となる．これは超越方程式で代数的に解けないので数値計算（たとえば Newton-Raphson 法）を行って

875

1

1

=

.

l

,

l

2

=

4

.

694

,

l

3

=

7

.

855

を得る．よって固有振動数は式(5.10)によって与えられる． このときの変形は式(5.9)に

l

の値を代入して

÷

ø

ö

ç

è

æ

l

-l

-l

-l

=









x

sin

x

sinh

Q

x

cos

x

cosh

W

n n n n n (5.12) n n n n

sin

sinh

cos

cosh

Q

l

+

l

l

+

l

=

となる．これを固有振動モードとよぶ．固有振動モードは振動している形を表すものでその絶対値（最大 振幅値）は決められないことに注意されたい．固有振動モード図を図に示す．

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固有振動数と固有振動モードは数学的には固有値と固有ベクトルであるので直交性が成立する． ニュートン・ラフソン法(Newton-Raphson 法) この方法は一般の非線形方程式 f(x)=0 の強力な数値解法である。f(x)の微分 y 0 0 0

x

x

)

x

(

f

)

x

(

f

)

x

(

f

-=

¢

で定義されるので f(x)=0 より

)

x

(

f

)

x

(

f

x

x

0 0 0

-

¢

=

となる。 これを一般化して

)

x

(

f

)

x

(

f

x

x

n n n n+ 1

=

-

¢

として逐次計算に持ち込めばよい。 計算法を具体的に示す。例えば(5.11)を解くと

f

(

l

)

=

cosh

l

cos

l

+

1

として初期値にλ1=1.5 を採用すると f(1.5)=1.1664 同様に と真値 1.875 に近づいてくる。 この方法ではどの値に収束するかは初期値しだいである。 例２：両端単純支持梁 単純支持というのは変位は拘束して回転を許すので，モーメントがゼロとなって両端で単純支持：変 位 w=0, モーメント ₂

0

2

=

¶

¶

x

w

で，この条件を両端 x=0 ,



において課すと

0

3 2 1

=

C

=

C

=

C

,

C

4

sin

l

=

0

となる．よって振動数を決める式は

2042

2

2

0

3656

1

9247

0

4

1

6

1

4

1

6

1

5

1

.

.

.

.

.

.

)

.

(

f

)

.

(

f

)

.

(

f

=

-

=

-=

¢

029

2

2042

2

1664

1

5

1

2

.

.

.

.

+

=

=

l

002

0

1652

7

0627

7

002

0

028

2

030

2

029

2

.

.

.

.

)

.

(

f

)

.

(

f

)

.

(

f

¢

=

-

=

-890

1

1231

5

71139

0

029

2

3

.

.

.

.

-

-

=

=

l

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0

sin

l

=

で

141

3

1

=

p

=

.

l

,

l

2

=

2

p

=

6

.

283

,

l

3

=

3

p

=

9

.

424

であり，固有振動モードは



x

n

sin

W

_n

=

p

となる． 例３：両端自由梁 結果のみを示すと

730

4

1

=

.

l

,

l

2

=

7

.

853

,

l

3

=

10

.

996

である．

5.3 板の曲げ振動

板の曲げの基礎方程式は(4.7)式から z

q

y

w

y

x

w

x

w

D

_÷÷

=

ø

ö

çç

è

æ

¶

¶

+

¶

¶

¶

+

¶

¶

4 4 2 2 4 4 4

2

(4.7) であった． ここで分布力として慣性力を採用すると 2 2 4 4 2 2 4 4 4

2

t

w

h

y

w

y

x

w

x

w

D

¶

¶

r

-=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

¶

¶

+

¶

¶

¶

+

¶

¶

(5.13) これを適当な境界条件の元に解けばよい．４辺単純支持の境界条件以外は（理論的な）厳密解は得られて おらず，数値解析によることになる． 辺長が a,b の矩形板の固有振動数 f[Hz]は

h

D

a

f

r

p

l

=

₂

2

(5.14) ただし，a[m]は辺長，h[m]は板厚，D は板の曲げ剛性で 3

(

2

)

1

12

-

n

=

E

h

D

である．種々の境界条件 での

l

の値を表に示す．４辺単純支持の場合，n,m を正の整数として 2 2 2

n

b

a

m

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

=

l

(5.15) である．

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5.4 シェルの振動

円筒シェルの基礎方程式は式(4.30)において分布力を慣性力として 2 2

t

u

h

q

_x

¶

¶

r

-=

、 2 2

t

v

h

q

¶

¶

r

-=

j 、 2 2

t

w

h

q

_z

¶

¶

r

-=

として

çç

è

æ

j

¶

¶

n

-B

+

¶

¶

n

+

j

¶

¶

¶

n

-+

¶

¶

2 2 2 2 2 2

2

1

2

1

a

u

a

D

x

w

a

x

a

u

x

u

0

2

1

2 2 2 3 3 3

=

¶

¶

B

r

-÷÷

ø

ö

j

¶

¶

¶

n

-+

¶

¶

-t

u

h

x

a

w

x

w

a

(5.17a)

(

)

çç

è

æ

-

n

¶

B

+

j

¶

¶

+

¶

n

-+

j

¶

¶

+

j

¶

¶

¶

n

+

2 2 2 2 2 2 2 2

2

1

3

2

1

2

1

x

a

v

a

D

a

w

x

a

v

a

v

x

a

u

0

2

3

2 2 2 3

=

¶

¶

B

r

-÷÷

ø

ö

j

¶

¶

¶

n

-t

h

x

w

(5.17b)

çç

è

æ

j

¶

¶

¶

n

-¶

¶

-j

¶

¶

¶

n

-B

+

+

j

¶

¶

+

¶

¶

n

2 3 2 3 3 2 3 2 2 2

2

3

2

1

x

v

a

x

u

a

x

a

u

a

d

a

w

a

v

x

u

a

0

2

2

_{2 2 2} 2 4 2 4 2 2 4 4 4 2

+

=

j

¶

¶

+

¶

¶

+

j

¶

¶

¶

+

¶

¶

+

a

w

a

w

x

a

w

x

w

x

w

a

(5.17c) となる．シェルの厚さとしては第４章では t を採用していたが，時間に t を使う都合で h をシェル厚さと して採用している． さて，軸対称であることを考慮して荷重（ここでは慣性力）が円周方向に正弦的に変化する場合，各 変位もまた正弦的であるという性質を利用して式(4.39)と同じく

(

)

( )

(

)

( )

(

q

)

=

( )

q

q

=

q

q

=

q

n

cos

z

w

,

z

w

n

sin

z

v

,

z

v

n

cos

z

u

,

z

u

n n n (5.18) として解を求めてみる．n は円周方向波数である．数値的には厳密解が得られてたとえば表のように計算 される． ここに

(

2

)

2

1

2

p

r

-

n

l

=

E

R

f

(5.19) 円周方向波数 n が大きい（n>3）の場合の両端単純支持の場合の近似式として

(

)

h

D

n

n

R

f

r

k

+

k

a

+

k

+

p

=

_{2 2} 4 4 2 2 2 2

4

2

1

(5.20) がある．ただし 4

(

2

) (

)

2

1

12

4

a

=

-

n

R

/

h

，

k

=

m

p

R

/

L

でｍは軸方向の変形の波数で振動モ ードは

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( )

÷

ø

ö

ç

è

æ p

=

L

z

R

m

sin

z

w

n (5.21) で与えられる． 一般にシェルの場合，円周方向波数 n が小さいほど振動数が低いわけではなく，薄いシェルであるほど最 低固有振動数を与える n が大きくなる． 図５．５： 円筒シェルの固有振動数と円周方向波数 面内歪エ ネルギー 曲げ 歪エ ネル ギー これは n が小さいと面内歪エネルギーが支配的であり，n が大きいと曲げ歪エネルギーが支配的となり， その両者の和の一番小さい n で最低固有振動数となるのである．

参考文献

[5.1]．小林繁夫：振動学，丸善 構造振動についても記述した大学院向けの教科書

[5.2]．A.W.Leissa:Vibration of Plates, NASA SP-160 (1969) 板の振動のモノグラフ，これから多くの原論文を見つけることができる． [5.3]．A.W.Leissa:Vibration of Shells,NASA SP-288 (1973) 円筒以外にも詳しいモノグラフ [5.4]．古賀達蔵，小松敬治：円筒殻の自由振動における支配方程式と固有値，日本機会学会論文集 46-1 (1980) pp.70-79 Donnel,Flugge,Novozhilov,Love,Goldenveizer,Sanders などの円 筒殻理論を厳密に解いて解の精度比較がしてある．