2次元弾性基本解の有限要素解析 : 有限要素法による弾性基本解の解析に関する研究(その1)

NII-Electronic Library Service 【論 　 文 】 UDC ：624

．

04 ：519

．

6 日本建築学会構 造 系謚文 報 告 集 第 393号

・

昭 和 63 年11月

2

_次

元

弾性基 本解

の

有

_限

要素解析

有

限

要素法

に よ る

弾性

基

本解

の

_解

析

に

関

する

研

究 （

その

1

_＞

正 会 員

　藤

谷

義

信

＊ 　1

．

序

　

無 限領 域 中の

一

点に集 中 荷 重 を 受 け る場 合の荷重 点近 傍の_{弾性 応 力}お よび変位の_解は弾 性基本解， ま たは単に 基本 解1）

・

Z） と よば れ_， 近年著しい発 展を と げ てい る境界 要素 法の解析理論を構成す る上で重 要な役 割 を果たして い る

。

　

均 質物 体中の_弾性基 本 解は

．

2次 元 問 題の場 合 も

3

次 元 問 題の場合も解析 解が式の形で導か れ てい るので

，

利 用す る上で は何ら問 題 は ないが， これらの解の誘導は

，

Airy

の_{応 力 法}に_基づ く

2

_次元弾性 論や 難 解 な3次 元 弾 性論によっ て お り_， 解の解 析 的 側 面が 明確に把 握で き な い。 さ ら に

，

複 合 材 料や異 方 性 材 料 中の弾 性 基 本 解を解 析 的に導くこ と は難し く， その た め， 厳 密 解で な く て も よい か ら何 らか数 値 的に解を導くこと がで き れば非常に 有用である

。

　基杰解 を 数値 的に求め る方法と し て， 2次 元問題の 支 配 方 程 式 を差 分に よ り離散化し

，

領域 内の離散 点に お け るグリ

ー

ン_{関 数 値}を逆 行 列 計 算に より求める_{方 法}6）や

，

2次 元 問 題の支 配方程 式の固有 関数を組み立て， こ の固 有関数の特異点に注 意し な が ら数 値 積 分を行っ て基本解 を 求 める方法η _{な ど が あ る} 。

　

本論文は， 弾 性 基 本 解 を有限 要素法で定式 化す ること に よ り

，

解の

一

_般的な構築 法を探る と ともに_， 汎 用 性の あ る数 値 解 析 的 手 法を提案す る も の で あ る

。

本論文で提 案す る方 法に よれ ば

，

図

一

1に_示し た_無限領 域中の解で あ る

Kelvin

解だけ で な く， 半無 限 領 域の表 面に集 中 荷 重 を 受ける図

一

2に示す よ う な

Boussinesq

解 も

CerTuti

解 も 同じ範 疇の解と して解 析す るこ と がで き る

。

　

本論 文で提 案 する解 析 理 論の新しい点は， 基本解の応 力特 異 性のオ

ー

ダ

ー

に着 目し て_構成す る ところにあ る

。

こ の理論に基づ く と，r を 荷 重 点か ら の距 離と す る と き

，

2

次元問 題の弾性 基 本 解の応 力 特 異 性が r

−

’

，

変位が

log

　r で あ るの に対 して_， 3次 元 問 題の場 合は応力が ゲ 2

，

変 位が r

−

1の特 異 性をもっ た め

，

前 者は 離 散 化 さ れ た未 知 変 位 関 数に関 する連 立 方 程 式を解く問題 に な る が

，

後 者は 固有 値 問題とな る

。

そ の ため

，

解析法の_定式 x 図

一

1Kelvin 解

P

 



’

　

　

　

　

　

　

　

　

」

　

　

　

　

　

　

　

　

■

　

　

　

　

　

　

　

，

　

　

　

　

　

　

鹽

　

　

　

　

　

巳

　

　

　

　

．

　

　

　

辱

、   r _θ 　 ノ

ノ

L，

　

幅

亨

甲

．

噌

■

　

　　

「

，

，

．

，

r’

「

σ_r 　 　 x 図

一

2a 　Boussinesq解 　 　 x 図

一

2b　 Cerruti_解 y y 申 _広 島大学　助 教 授

・

工 博 　（昭 和63年4月6日 原稿 受理｝

y

一

₅₄

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

化が異な るの で_， 第 1報で2次 元弾性基本解の解析法お よび解析 例につ い て報告し

，

第 2 報以 下で 3次 元 弾 性 基 本 解 を 取り扱うことにす る

。

　

2

．

解 析 法 　

2．1

　 変位式の_構成 　

2

次 元の弾 性 基 本 解の解 析 を行うた め に

，

荷重

P

の 作 用 点 を原 点と す る極座標 系 （r

，

θ）を設 定す る （図

一3

参照）。 い ま

，

任 意の大 き さの半 径 r を もつ 扇 形 領 域 を切り出 すと

，

鉛 直および水 平 方 向の力のつ りあい は 次式で表さ れ る。

　　∫

：

（・¢ ・Sθ

一

・・eS ・n・）rde −

− P

・ ・Sβ

　　

fl

（・_・・… ＋ T・eC・s・）・

d

・一

一P

… β 　 　 　 　

…・

………・

・

一 一 ……・

（

1

） こ こ に

，

a は領 域 角の半 分， βは荷 重の方 向 角で ある

。

こ の式の右 辺は r に無関係である の で， 左辺 もr に無 関係でな くては な ら ない こと か ら

，

応 力成分 （およびひ ずみ成 分 ）の r の オ

ー

ダ

ー

は r

−

1である。 そ し て， 変 位

一

ひずみ関係 ［式 （

3

）参照］よ り

，

変位はひずみ を r で積 分 し た もの_， また は r 倍 し た もの で ある か ら_， 変 位は

log

　r また は r° の_項をもつ こと に な り

，

次の よ うに表すこと がで き る。 　 　 　Ur〔r

，

θ）

＝

プ三（θ＞

1097

’

十ノ』（θ｝ 　 　 　 　

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（2 ） 　 　 　Ue（r

_，

　

e

_）＝ 9_，（_θ）

logr

_十9z（

e

） こ こ に

，

ノ

1

（の

，g

、（

e

）等は

，

θの みの変 位 関 数で ある。 次に これらの関 数の具 体 的 な 形 を 求め てみ る

。

ひずみ成 分 を求めると次の よ うにな る

。

　

　

　

師

讐

一

五

÷

　 　 　 　 Ur 　l ∂Ue

　　　

εe

＝

₇

＋ 下 π

　　　

一

_五

b17

_＋

_忌

_＋

_咎

1

字

＋

器

÷

　 　 　 　 　

1

∂Ur 　 　 　 　∂uθ　Ue

　　

「

・

e＝ 厂 諏 ＋ ∂

F

−

r

　

　

　

　

一

_静

字

＋

蓄

÷

・

娃

一

_訊

1

字

_喩

÷

　 　 　

・

…一 …………・

………

（3）

e

P

図

一

3 極 座標 系と 扇 形 領 域 σ_r

＝

_Ct こ の式で_， ひずみの全 成 分が r

−

1の オ

ー

ダ

ー

に な る た め に は_，

fi

_，　

g

、は次の条件を満足し な け ればな ら ない 。

　　

fi

・

噐

一

・ 　 　 　

・

・

t・

・

−t・

−t・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（4） 　 　 　 顏

　　

瀞

』

『

9，＝

O

こ れ よ り， 次の ような 2つ の微分方程式が得られ る。 　 　 　∂2f，

　　

房

＋

fL

＝

o 　 　 　

・

・

・

・

・

・

…

　

『

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（5 ） 　 　 　∂29i

　　

万

＋

9

・

蔦

o この微 分 方 程 式の

一

般 解は次の ようになる

。

　 　

fi

＝

α｝COS θ十α2sin θ 　 　 　

……・

………・

…・

・

一

（6 ） 　 　 　9i＝

biCOS

_θ十

bzsin

_θ こ こ に

，

α1

，

at

，

　

b

_、

，

　

b

_、は

，

_{任 意}の定 数である

。

そ し て， （

6

）式 を再 度 （

4

）式に代 入す ると

，

次の関係が得ら れ る。 　 　 　

b

，

＝−

at

，

　

bi

＝

at 　 し た がっ て

，

変 位 式は最 終 的に次 式の形と な る

。

　 　 　UT

＝

（alC 十α28 ）

log

　r十

f

　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（7 ） 　 　 　U，； （α

，

C

−

a、S）

logr

＋9

f

，

g は

，

θに関 する任 意 関 数である

。

　（7）式 より， ひずみ成 分 を求め ると 次の よ う に なっ てい る

。

　 　 　εr

；

r

一

夏 （α且C 十α 28 ） 　 　 　εθ

＝

r

一

且 （∫→

−9

つ　　　　　　　

…

　

一・

…

　

一・

一・

・

（

8

） 　 　 　r。。＝ r

−

L （α、c

一

α、8＋∫

’

₋

9〕 こ こに

，

表現を簡単に す る た めに

，

cos θ

，

　sinθを c_， s で表し_， また_， θ に関する微 分 を ダッシュ （

O

で表 し て おい た。 そ して

，

平 面応力 状 態の場 合における応 力 成 分は次の よ うにな る

。

　 　

E

　　　　

グ 胴 ｝α、c＋α，8＋レげ＋

9

’

＞

1

σ r＝ 　 　1

一

ン2 ae

−

1

島

・

−

llv_（ ・・c＋… ｝＋

f

＋9

’

₁

a

・

＝

＝

，（

＃

． _の ・

一

・ （at・

一

α18 ＋ノ ’

一

・）

・

一

一

・

…

_{（9 ）} こ こ に

，E

は物 体のヤング率

，

　 v はボアソ ン比で あ る

。

　

2．

2

　つ りあい方 程 式 　いま_， 図

一

4に示す よ うに 2つ の_異なっ た任 意の半 径 rl と r2 に よっ て 切 り出さ れ た部分 領域につ い て

，

仮 想 仕 事 方 程 式 をたてる と次の よ うに なる。

　　∬∫

：

［（a，・er… δεθ＋T。ea7re ）rd ・

d

・］

　　　

一

［

∫：

嘛 編 ・u・）・

d

・

］

二

：

一

・

…一 ・

（1・） こ の式に （7）， （9 ）式を代入 する と次の よ うに な る。

　　

f

鼻 ∬

プ 1

砿

〔

1

・・C ＋ a・S ＋・（

f

・9

’

）

1

〈・・a・

NII-Electronic Library Service

e

P

　 　 　x 図N 部 分 領 域 　　 　 　十8δα2）十｝リ（αIC 十α28 ）十∫十

9

’

｝（af十δ

9

つ

　　　　

・］

子

_（・・c

−

・iS ＋

f

’

−

gx・δat

−

s・・，

　

　　　

・

Df

’

− ag

＞］・・

−

1

釧

∫

1

［｛αlc ＋・・8

　

　　　

・v（

f

・_・

’

）

H

・δai＋s・・，）

1

・

g

・r＋afl・

守

　　 　 　

・

（α2C

−

atS 十∫

’

_{− 9}

）

1

（Cδa2

−

Sδa］｝且ogr

　

　　　

＋

ag

_｝］

de

］

；

：

−

0

−

…・

…一 ……一 ・

…

（11） こ の式 中の い くつ かの項は相殺さ れ

，

また

，

r、k ，で あることよ り， こ の式は最 終 的に次 式の よ うに なる。

　

　　

fl

［レ（・ ・＋・・8｝・ノ・9

’

｝（

Sf

・

ag

’

）＋1i レ 　　 　（α2c

一

αL8 十∫

’

₋

gX哉

f

’

一

δ

9

）］

d

θ＝ 0

・

一・

rマ

r・

マ

（12＞ 次に

，

すで に （

2

）式に示した任意の半 径 r で切 り出 し た扇形領域の力のつ りあい式に （9＞式 を代 入 するこ と によ り次のよ うな方程 式が得ら れ る。

　

　　

1

至

。，

∫

：

｛

（

・・＋ 1i レ 8・

）

・・＋ 1

吉

μ ・sa ・

　　　　

・ vc （

f

・

9

’

〉

一

与

Z

・｛

f

’

一

・）

｝

d

・一

一P

_{・ ・}s_β

　

　　

1

至

。

∫

：

陪

・ ・α・＋

（

82＋

！

デ

c2

）

α2

　

　　　

・・8（

f

・

9

’

｝・」

子

・（

f

’

一

・）

｝

d

・

一一P

・血β 　 　 　

………・

…・

……一 ……

（13） し た がっ て

，

（12 ｝式と （

13

）式を満た す解を求め れ ば よいわけであ る が

，

こ こ では

，

次節で説 明す る よ う に有 限 要 素 法の 手 法 を 適 用し て数 値 的に解 析す ることにす る

。

　2

．

3 　有 限 要 素 法に よる定 式 化

．

　い ま

，

図

一

5に示す よ うに

，

θ の領 域を放射状に有限 個の要 素に分 割 する。

1

つ の要素 内で

，

f

（θ）

，

　g （の は 線 形に変形す る も の と して， 次の よ う に θの

1

次 式で 近似す る

。

一

₅₆

一

亅

．

敷

i

θ

，

亅 nU

」

図

一5

　領 域の有限 要素分割

θ

＝

0

θ3 α 　　

f

（

e

）

＝

（1

一

ξ）

f

，十ξ

f

， 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

…

　

一・

（14 ） 　　 　

9

｛θ〉

＝

（1

一

ξ）

9

‘＋ξ

9

， こ こに

，

ξ＝ （θ

一

　

e

，）／（

e

，

− e

，）であり

，

f

‘

，

　

fJ

，

　g‘

，

　g，は， それ ぞ れ_， 分 割 節 線

i，

」に お け る

f

（e），

g

（θ）の値で あ る。

　

さ て

，

仮想仕 事方程式 （

12

）に _（14 ）式 を代入し

，1

つ の要 素内で θに関 する積分を実 行す ると次の よ うな マ ト リッ クス 方程式 が 得 られる。 　 　 　 lxs ［

af

，，　

SfJ

，δ9‘，δ9∫］［

h

，］ 五 島 ゐ 島 仏 偽 000000

・

・

・

・

・

…

_（15） 次に力のつ り_合い式 （

13

）に， （

14

）式を代入 し同様の 定式 化を行うと次のような式が得られる。 txる ［た，」 五 95 ゐ ’ 　 匸 　 2

9

α α 　

0

　 0 　 0 　 0

− Pcos

β

一Psiii

β

・

……・

…・

・

……・

_（16） これらの

2

つの式をま とめること により

，

次のよ うな要 素剛 性 方 程 式が得られ る

。

　こ の よ うに し て得ら れ た未定係 数α1， α、および変位 関 数の_節点値

f

‘

，

f

，

，

　 g‘

，

　 g丿に関す る

6

×

6

の要素剛性 マ ト リックス は対 称であ り

，

本論文に よっ て初めて誘導 され たもの である。

』

左 κ

ー

五 91 ゐ 9 噺 02 　 0 　 0 　 0 　 0

− PCOS

β

一Psin

β

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一・

_{（17 ）} こ の式の中の剛性マ トリッ ク ス の具 体 的な形は次のよ う に な っ て い る

。

N工 工

一

Eleotronio _Library

　 　 　 　3　1

一

レ1　　 i 　 　 　 　1＋_Ti 　

i

　　　　

一

甼 　

i

÷

・

与咢 　 …

　 　 　 　

S・M

、

　 　 　

．

…

1

．

’

．

』

i

’

＝

D

』

』

1

「

’

「

”

「

．

1’

1’

「

．

．

．

「

’

．

「

．

．

「

．

．

3

＝_」

．

．

．

．

1．

．

．

．

．

．

．

．

1

．

．

．

．

．

．

．

1

．

．

．

’

i

＝

V

．

f

．

．

．

．

．

．

… E　 　 ボ 丁

1

　

1

　 　

−

T

　 　　… 言＋

一

？

−

7

　… 1

一

ノ

　

’

「

≒

互

．

「

．

．

．

．

．

．

．

．

1

．

．

．

．

．

．

．

．

_{干 睾}

．

．

．

．

．

．

．

1

．

．

．

．

．

．

．

．

_準

．

．

．

．

．

皿

．

．

1

．

．

．

．

．

．

．

．

．

_署薯

．

．

．

．

．

．

．

．

．

．

i

　　

二

_{撃 鍔}

廴

_壗

．

_嘱

高

亨

鱗

_≒

戛

．

li

_乎攣

：

漏

．

1

．

．

．

1

_乎

．

_準

：

_学

．

ll

．

．

1

_導

11

_孑

_糖

_闘

二

_誨

．

i

　　

−

’

壱

レ昂

テ

8‘ ・・c

・

i1

去

レ

雫

・ユ

デ

・

i

卑 塁

鳩

…

一

牛

．

撃

一

1

デ

c

’

i

　 1

_吉

レ （Sl ＋・tX〔SJ

−

・・

i3i

レ ・

一

’

吉

レ・・

’

S

）

一

・

・

s・

こ こ に

，

　1

＝

er

−

e，

，

　Si

＝

sin　el

，

　Ct＝＝coset

，

　SJ

＝

sinej

，

CJ

＝

COS 　

e

_」で あ る

。

　

2．

4

変位の

一

般解

．

　

前節で導い た要 素 剛 性マ ト リッ クス を用いて弾性基本 解の応 力お よび変位の数 値 解 を求める こと がで き る が

，

こ のう ちの_{変位 解}につ い ては

，

変 位 拘 束 点 を考 慮 する た めに は_， 変 位 式 （7）に剛体変位 （下線部 ）を付 加し た 次式 を もっ て変 位の

一

般 解 と しな くてはな らない。

　　　

uKr _，θ）

＝

（alcos θ十a2sin θ）

log

　r十

f

（θ）

　　　　　　　　十Cisin θ十CiCOS θ

　　　

πθ｛7

・

，θ）

＝

（αiCOS θ

一

_{aisine ）}

_log

_r十₉（θ） 　 　 　 十CiCOS θ

一

Czsm θ十 Cs7 　 　 　

・

・

…

　

t−…

　

tt・

・

・

・

・

・

…

　

t−・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　〔19＞ こ こに， C、，　 C，，　 C， は任 意の定 数で ある。 　い ま次 式に示す よ うに

_，

（rl

，

砌 の点で r 方 向と θ 方 向の変 位を拘束し

，

かつ _（rt

_，

島）の点で θ方 向の変 位を拘束し たとす る （図

一

6参 照 ）。 　　　Ur（rl

_，

　

ca

_）＝ ＝

O

　　　u

・

e（rl

，

　

e

，）

・

・

O …………・

…・

・

………・

…・

・

（

20

） 　　　包よ72，e，）；　O この_式に （

19

＞式 を代入 し， 未 定 係 数につ い て解く と次 の よ うに な る。

　　　C1

＝一

α：

log

　7T

−

f

（洗）sine ，

− 9

（

e

，）cosca

　

　

　

　

iUr

・

O

　 　 　 　 ’

　

　

　

1

『

→

Ue

_・＝

o

　

　

　

　

i

　　　

θ

＝

θ

_。 図

一

β　 剛 体 変 位の拘 束 ・

二

2

弓

コ

　　　　　　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一一一・

…

　

齟

・

・

（18 ）

　　

＋。 。sa （。、c。sa

−

。、。

i

。の

1

°

9

「・

−

1

°

9

．

_！’_：・・

．

 rl 　 　 　 　Te

−

71 c2

＝一

αilogrl

−

f

（

e

，｝cose ，十

9

（島）sin　eo

　　

−

。

i

。e，（a，。 。se。

一

α lsi 。の

1

°9’・

− 1

°9γ・ 。， 　 　 　 rt

−

rl （le　

10

−

2 ） 　 　 θ °

三

〇

二

〇 　 　 　 　　 llts 　　　　　　 △

6e

_］emenLs 　 　 　 O 　 　

12elemen

しs 　 　 　 　exac し 図

一

7a　 Boussinesq_解の応 力 解 析 結果

（

ii　

10

『

2 _）

一

一

一

図

一

7b 　 θ_° 　 　 　 匸〕　 　　

4e1 ．

emen し S 　 　 　 　 　△ 

6element

二s 　 　 　 O 　 　 　】2eleIue 【lts 　 　 　 exaC し Boussinesq解の変 位 解 析 結 果 　 　 　 　

一

57

一

NII-Electronic Library Service 　　　　　　　

log

　r2

− 10g

　ri 　　　C3

＝一

（αiCOS 仇

一

alsina ） 　 　 　 72

−

7t 　　　　　　

− …一 ………・

………

（

21

｝ し たがっ て

，

こ の よ う な係数をもつ _剛体 変位を （19 ）式 の よ うに付 加 することに よっ て， 変位拘束点 を考慮 し た 変位の

一

_般解が表 現さ れ たことにな る。 　

3．

解 析 結 果 と考 察 　図

一

7a， 図

一

₇

_b

_に

_Boussinesq

_{解の応 力} 分布お よび 変位分布を 示 す

。

荷 重 線に竝して対 称な解で ある た め領 域の半 分の解の み表 示 して い る

。

本 論 文で提案し た有 限 要 素 法に よって得られ た解 をシンボルマ

ー

ク （囗

，

△ な ど）でプロ _{ッ ト}し

，

後で_示す解 析 解 を実 線で示 している。 ボ アソ ン比は

0．

35，

ヤング率は1と し， 剛体 変位拘 束 点と して は図

一

8に示す よ うに

_，

_洗＝

0，

ri　＝・　

10，

　 rz＝

20

を選んで いる。 本論文中の計 算 例ではすべ て これ らの廼 を 用い て い る

。

本 数 饐 解は_少ない 自 由度でも厳 密解と良 好な

一

致を示し てい る。

　

同様に図

一

9a， 図

一9

　

b

に

Kelvin

解の応 力お よび変 位の _解を

，

ま た

，

図

一10a，

図

一10

　

b

に

Cerrttti

解の応 力および変 位の解 を示 す

。

　なお_， 参 考ま でに これ らの

3

つの_解の_{厳 密 解}を以 下に 示してお く。

Boussinesq

解3） 　 　 　 2P　COS θ 　 　 　σri

＝

一一

　　　　　　

，

　　σθ；

0，

_rre；

O

　 　 　 π　 　 r

　

　

　

u・

一一

舞｝

・・s・α・

9

・

一

・・

9

・ri）

一

（

≒

＃

）

P

・・…

　

　

　

・・

釜

・… （・・

9

・

− 1

…

1

−

（1

諸

）P … S・ 　 　 　 （1＋ v）

P

　 　 　 sinθ 　 　 　 十 　 　 　 π

E

　 　 　

・

・

一一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

…

　

一

・

・

〔22）

P

1

 

_■

」 　丶

　

丶 丶

　　

、

丶 、

　　　　

、

、

、

、

_、

10

　 　 　 1

、

_蒐

_、

_」

、

舳

　　　丶

…．

一

．

一

　 　 　 　1

　　　

　　　　　　

　　　　　ノ

e



_r



_／

　　　　　　　

1

　　　　　　！

，

　　　　　　　ノ ！ 　　　　　　

r

　”

　　　　　　　　

，

，

「

’

7’

　　　　　，

，

「

”

「

「

　 　 　

r’

．

ρ

　

，

一

，

“

一

一

一

1

t

図

一

8　剛体 変位の拘束

一

₅₈

一

（菅10

−

2_） 　 3 2 1 D

一

₁

一

2

一

3 τ rθ Or （艇10

−

2 ） 1 10 5 0 30° 　　609　　

90

° 180 。θ 　口　　　4elemen 【s 　 △ 　　　6ele 皿e 口 【s 　O　　12elemen しs

＿

　 　　exaet 図

一

9a　Kelvin解の応 力解析結果 e UeUr

＝

O 　 　 　 　e 300　　60

°

　　90

°

　　　120　　　1500 　　180e 　 　 　 　口　　　4elemen こS 　 　 　 　△　　　6elemen 仁s 　 　 　 　O　　12ele皿en しs 　 　 　

｝

　 　　巳xa にL 　図

一9b

　Kelvin解の_{変位解析結果} （es　10

−

2_） 　 口 　 △ 　o

＿

　　　exact 　 　 　 　 　図

一

10a　Cerruti解の応 力 解 析 結 果

一

76 氈 5432 90°

−

₆₀

°



−

₃₀

°

0 ₃₀ ° _6o9

曽

一

2 σ θ

一

₃

−

4 τrθ 4e工ements

一

5 6elementS

一

6 12elenents

一

7 〔廿10

−

； ） θ

°

。θ en 匸Sen 匸sentS 　 　 　 exa ⊂ し 匿 10b　Ceuuti解の変位 解 析 結 果 N工 工

一

Eleotronio _Library

Kelvin

解3） 　 　 　3十 uCOS θ 　 　 1

一

レ sin θ τ

・

一 万 　r 1

一

レ COS θ σ r

＝−

₄ π

　

r ・ σ・＝ _万

一

_厂

　

　　

U，

一一

S

’＋

藩

y） ・ ・S・（・・9・

一

・・9・ri）

　

　　

u、一 （

1

＋

器

ン｝ ・… （

1

・・r

−

1

・

9

・・） 　 　 　 （1＋の2 　 　 　 sin θ 　 　 　 十 　 　 　 4π

E

　　 　　　 　　　 　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

23

）

Cerruti

解3｝ 　 　 　 　2P　_{sin θ} 　 　 　σ。

＝一一

　 　． σe

＝

　O， τ，e

＝O

　 　 　 π　　 　7

　

　　

・_…

詈

・…

｛

1

・9・

− 1

・gri

　

　

　

　

　

＋「’（

1

°

署

塑

｝

・（

lt

_／

）

P

… sθ 　　 　　　 　 （

1

＋の

P

　 　 　 　sin θ 　 　 　 十 　 　 　 πE

　　

　

・广

蹇［

・ ・S・

｛

1

・

9

・

−

1

・

9

・ri

　

　

　

　

　

・ η（

1

°

碧

゜

9

”）

｝

」

°

9

；

i

≡

餮

2

制

　　

　

　　

一

_≒

老

）

P

・・

in

・ 　 　　　 　　　 　　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

24

） 　4

．

複 合物 体中の

Boussinesq

解の解 析 　図

一11

に示す よ う な異種の_{弾 性 特}性 を もつ 2つ の_物 体が結 合さ れ た場に お け る

Beussinesq

解を求めて み る

。

これは_，埋め戻 し地 盤モ デルを 想 定し た もの である

。

この_問題は

，

本論 文で提 案 する有 限 要 素 解 析 法 を適 用 す

P

‘ 」 L

、

　 　 も

10

＼

」

一

＼ 、

2

・

l

L

El

図

一

11　複 合 物 体 中の BDussinesq解の解 析 例 題 ることにより解 を容 易に求 めること がで き る。ここ で は， 2つ の物 体の ヤング率を

E

，と

E

，と し，

E

，／E，が 1

，

2

，

3

の場 合につ い て解 析 を行っ た。 ま た

，

剛体 変位 拘束 条 件は前 節 と 同じ条 件 を 用い て い る

。

解析結果のうち

，

応 力 分布を図

一12a

に_{変 位}分布を 図

一

12b と図

一

12c に 示 す。 図 中の実 線は厳 密 解で あ る。 本有限要 素法に よ る 解の

_，

厳 密 解へ の近 似 度は非 常に よい。 こ の厳密解は

，

各 領 域で別個に組み立て ら れ る応 力の

一

般 解 （9）式に_， r

_，

θ方 向の応 力のつ り合い条件

，

扇 形 領域の荷重と表 面 力のつ _り合い条 件

，

表 面 境 界 条 件および異 種 物 体 結 合 面の変 位の連 続 条 件 を適 用 するこ とにより解 析 的に導い たもの で あ る。

一

₉ （菩₁₀

”

z ） 砺 21

一

　〇

一

30

_一

₁₃₀

°

60

°

一

2

一

3

一

胃

_舶

＝

0

＿

6 始

己

0

＿

7

一

₈

一

₉ 口E1

葺

一

10 △EL

菷

一

_u OEド

一

9 図

一12a

θ 00 　 　 　 E1

；

1

，

E2

＝

1 　 　 　 El

＝

1，E2

＝

2 　 　 　 Et

＝

・

1

，

E2

菖

3 　 　 　

−

　 　exact 複合 物体中のBoussinesq解の応力解 析結果 （“10

−

2 ） 10 o

一

_{6o 0} 0

°

60

°

　　90

一

10

一

₂₀

一

30 e 　口　　Eユ

；

1

，

E2

＝

1 　△E1

＝

1

_，

E2

＝

2 　 0 　 　EL

＝

ユ

，

E2

＝

3

−

　　exaC 匸 図

一12b

複 合 物 体 中の Boussinesq 解の変 位 解 析 結 果 （“10

−

2 _＞ 5043210 0

° ＿

60

°

_一

30960

°

go 1

一

₂₀

一

30

一

40

−

50 口 △ oE 艮

置

工 E1

畜

1El

；

1 図

一

12c θ 　 　 　 E艮

置

工

，

E2

＝

l 　 　 　 E1

；

1

_，

E2

！

2 　 　 　 E1

；

1

、

E2

量

3 　 　 　

−

　 　exact 複 合 物体 中のBoussinesq解の変 位 解析 結 果

∴

∵

_一

NII-Electronic Library Service （ftlO

−

i ） al

一4 ．40

一

₄

_．

₄₂

一4 ．

44

，

（

巴

畄 O 匿 畄 国 　

4

　　

8

　 　

1

　 　 16 　

20

　

24

Number 　 of 　 elements

1 ．o

0 ．

8

O ．

6

0 ．

4

0 ．2

（畳

10T −

2 ） a2

0 ．0

9 ．

00

9 ．20

9 ．40

（

N

）

匡 O 些 匡 国

4

　　

8

　　12 　　ユ

6

　　

20

　

24

Number 　　of 　 　elements

5 ．0

4

．

0

3 。

0 2

．

0

1

．

0

図

一13

　 変位 拡 大 係 数の収 束性

O ．0

　本 論 文で提案し た有 限 要素 法に よっ て解 析 する場 合 も

，

こ の_未定係数が直接計算さ れる

。

こ の計 算 値の_{要 素} 分 割 数の増 加に伴 う変 化 状 態 を 図示し たもの が図

一

13 であり

，

良好な収束性を もっ ていること が分かる

。

これ らの_{係 数}は

，

変位の対 数 特異項の_{係 数}であり

，

変位の拡 大 係 数 を 意 味し ている

。

　

5．

結 　論 　

2

次 元 領 域に おける弾性 基本 解を有限要 素法によっ て 数 値 的に解 析す る方 法 を提 案し た

。

こ の計算 法 を用いれ

ば_，

Bouusinesq

解

，

　

Kelvin

_解

，

　

Cerruti

_解な ど が同じ

手 法で求め ら れ， 解の収 束 性は良 好であること が 分かっ た

。

ま た

，

異 種弾性 特性をもつ複 合 物 体 中の基 本解の解 析例を示 し た。 　 本論文で_提案する手 法は

，

極 座 標 系 を使 用し ている の で

，

異種材料が座標 原点の ま わり に放 射 状に配 置され て

一

₆₀

一

い る よ う な タイプの_{複合材 料}に適用で き る

。

また

，

直交 異 方 性 材 料にも適 用でき， こ の場合は文 献

5

ですで に 行っ て いるよ うに変 位 式 を直 交 デカル ト座標系か ら極座 標 系に変 換 し， 要素剛性マ ト リックスを数 値 積 分により 導くこと に よ り解 析で き る

。

た だし， 層 状の異方性材料 に対し て本 方 法 を適 用す るこ と はでき ない。 　ク ラック先端の応 力特異 解のべ _{き乗 型}の解 析 法3｝_に よ れ ば_， rλ 乗の 応 力 解に_対し て

，

変 位 解は その_{積 分 形} rλ

＋

1 と お くこと が で き

，

固 有 解 を 求 める問 題に帰 着 し て解を求め ること がで きる。 しか し， こ の 2次 元 基本解 は

，

λ

＝−

1の場 合に相 当し， その た め

，

応力 は ブ 脚

，

変位は

log

　r の項を もつ た め

，

べ き乗 型の特 異解 析 法が で き ない_特殊な_応力特異 解 析 問 題と し て位置づ け ら れ る

。

　

6．

謝 　辞 　本 研 究を ま と める にあた っ て_，広島大学吉_{田 長 行}助手

，

同大学 院生藤井大地君， 学生小 谷年 克君の協力 を得た。 こ こ に感謝の意を表しま す

。

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SYNOPSIS

UDC:624.04:S19.6

FIDglrliE

ELEMENT

ANALYSIS

OF

TVVO-DIMENSIONAL

ELASTIC

FUM])AMENTAL

SOLUTION

(Studies

on analysi$ of elastic

fundarnental

solutions

by

finite

element methocl,

Part

1)

byDr. YOSHINOBU FUJrl]ANL Assoc.Prof.,Hiroshima

University,Member of A.I.

J.

In

thispaper, themethod of

finite

element analysis

for

the

fundamental

solution

is

proposed,

The

fundamental

solution

dealt

with _this

_paper

contain the

Kelvin's

solution

defined

in

an

infinite

region, the

Boussinesq's

solu-tion

in

a semi-infinite region, and the_{generalizedproblem} with an arbitrary oriented

force,

an arbitrary opening angle and _generalmaterial characteristic.

In

the case of two-dimensional region, the

displacement

functien

must

be

composed

by

using rO and

log

r singularity,

because

of r-' stress singularity.

By

discretizing

_thevirtual work equation at theradial nodal

line,

and

by

arranging the equibrium equation

between

theexternal

force

and thestiess on theseparate

boundary,

the element stiffness matrix with re$pect tothenodal unknown

displacement

function

can

be

obtained.

The results of the _present

finite

element analysis of the Kelvin's,Boussinesq"s and

Cerruti's

solutions show a

good

convergence tetheir exact solutions,

And

as an example

for

application, the

Boussinesq's

solution ina composite

body

are analysed

by

the _presentmethod.

'