次方程式の解の公式

1 3

次方程式

1.1 3

次方程式の解の公式

xの3次式P(x) =x³−s1x²+s2x−s3 に対し, y=x−s1

3, t₂=s₂−s²₁

3, t₃=2s³₁ 27 −s1s2

3 +s₃, Q(y) =y³+t₂y−t₃

とおくと,Q(y) =P(y+^s₃¹)だからP(x) = 0の解を求めるには,Q(y) = 0の解を求めればよい. ω= ⁻¹⁺₂^√3i と おけば,

y³−3uvy−u³−v³= (y−u−v)(y−uω−vω²)(y−uω²−vω)

だから,u³+v³=t3とuv=−^t3² が成り立つような(u, v)の組を1組見つければ,u+v,uω+vω²,uω²+vωが Q(y) = 0の3つの解になる. u³,v³ は2次方程式X²−t3X−27^t32 = 0の2つの解だから,D=t²₃+^4t₂₇³² とおけば,

u³=1

2(t₃+√

D), v³=1

2(t₃−√

D), D= 1

27(4s³₁s₃−s²₁s²₂−18s₁s₂s₃+ 4s³₂+ 27s²₃) である. このD を3次式P(x)の判別式という. そこで ¹₂(t3+√

D), ¹₂(t3−√

D)の3乗根の1つをそれぞれη, ζ⁰ とする. (ηζ⁰)³=−27^t32 だからω^eηζ⁰=−^t3² となるe∈ {0,1,2} が選べて, ζ=ω^eζ⁰ とおくとQ(y) = 0 の3つ の解は,η+ζ,ηω+ζω²,ηω²+ζωで与えられる. 従って,P(x) = 0の3つの解α,β,γ は

α=η+ζ+s1

3, β=ηω+ζω²+s1

3 , γ=ηω²+ζω+s1

3

で与えられる. さらに,このとき解と係数の関係から(α−β)²(β−γ)²(α−γ)²=−27Dだから,P(x) = 0が重解 をもつための必要十分条件はD= 0 が成り立つことである.

1.2

重解をもつ

次方程式

t2 6= 0ならば Q³

−^3tt2³

´

=−^27tt³₂³D, Q³

3t3

2t2

´

= ^27t_8t3³ 2

D,Q⁰³

3t3

2t2

´

= _4t²⁷2 2

D が成り立つことは容易に確かめられ る. 従って,

P

µ−s³₁+ 4s1s2−9s3

3s2−s²₁

¶

= −27(2s3−9s1s2+ 27s3) (3s2−s²₁)³ D P

µ9s₃−s₁s₂ 2(3s2−s²₁)

¶

= 27(2s₃−9s₁s₂+ 27s₃) 8(3s2−s²₁)³ D P⁰

µ9s3+s1s2

2(3s₂−s²₁)

¶

= − 3⁶

4(3s₂−s²₁)³D が成り立つことに注意する.

D = 0の場合,t2 6= 0すなわちs²₁ 6= 3s2 ならば上の等式から P(x) = 0 は重解 _2(3s^9s3−s1s2

2−s²₁) と解 ^−s31+4s_3s^1s2−9s3

2−s²₁

をもつ. D=t2 = 0の場合, この条件は t2=t3 = 0と同値であり,さらにこれは s2= ^s₃²¹ かつs3 = ^s₂₇³¹ と同値 である. このときx=^s₃¹ がP(x) = 0の三重解であり,逆にP(x) = 0が三重解αをもてば解と係数の関係から s1= 3α,s2= 3α²,s3=α³ が成り立つため, s2= ^s₃²¹ かつs3=₂₇^s31 である. 以上をまとめると,

定理 1.1 3次方程式x³−s₁x²+s₂x−s₃= 0 が重解をもつためには4s³₁s₃−s²₁s²₂−18s₁s₂s₃+ 4s³₂+ 27s²₃= 0 が成り立つことが必要十分であり,s²₁ 6= 3s2 ならば _2(3s^9s3−s1s2

2−s²₁) が重解, ^−s31+4s_3s ^1s2−9s3

2−s²₁ がもう一つの解である. ま た,三重解をもつためにはs2=^s₃²¹ かつs3= ^s₂₇³¹ が成り立つことが必要十分であり, ^s₃¹ が三重解である.

1.3

実係数

次方程式

s₁,s₂, s₃がすべて実数の場合にP(x) = 0の実数解について調べる.

D=0の場合,η,ζ をそれぞれ ¹₂(t3+√

D), ¹₂(t3−√

D)の実数の3乗根とすると ηζ と −^t3² はともに実数だ からηζ=−^t3² が成り立つ. このときαはP(x) = 0の実数解で,γ= ¯β であり,β−γ= (η−ζ)√

3iだからβ と γ も実数になるのは D= 0の場合に限る. 従ってD >0 ならば,P(x) = 0 は1つの実数解と2つの虚数解をも ち,実数解の符号はs3の符号と一致する.

D= 0の場合の解の様子は前節で述べたとおりであるが,解はいずれも係数の分数式で表されるため,すべて実 数である.

D <0の場合, ¹₂(t₃+√

D)と ¹₂(t₃−√

D) は互いに共役な虚数だからη を ¹₂(t₃+√

D)の3乗根の1つとす れば, ¹₂(t3−√

D)の3乗根の1つはη¯で与えられ,ηη¯は実数の−^t27³² の3乗根だからηη¯=−^t3² である. 従って ζ= ¯η と選べるため,P(x) = 0 の3つの解はすべて実数になる.

次にD <0の場合にP(x) = 0の解の符号を調べる. s₃= 0ならば, D= ₂₇¹s²₂(−s²₁+ 4s₂)<0 だからs₂6= 0 かつs²₁−4s2>0 である. 0とx²−s1x+s2= 0の解がP(x) = 0の解になるため,s2<0ならばP(x) = 0は0 の他に正の解と負の解をもち, s1>0 かつs2>0ならば P(x) = 0は0 の他に2つの正の解をもち,s1<0 かつ s₂>0 ならばP(x) = 0は0 の他に2つの負の解をもつ.

s36= 0とする. P⁰(x) = 3x²−2s1x+s2 だから µ= ¹₃(s1−√

−3t2),ν = ¹₃(s1+√

−3t2)とおけば, P(x) = 0 の解は区間(−∞, µ), (µ, ν), (ν,+∞)にそれぞれ1つずつ実数解をもつ. 従ってs₂50ならばP(x) = 0は正の解 と負の解をもち,s1<0かつs2>0 ならばP(x) = 0の2つの解は負で,s1>0かつs2>0 ならばP(x) = 0の 2つの解は正である. さらにs₃ の符号を考えると,P(x) = 0の解の符号は以下の様になる. (D <0ならばs₁= 0 かつs2>0という場合はありえないことに注意する.)

s1,s2 の条件 s3の符号 正の解の個数 負の解の個数 s1>0 かつs2>0 s3>0 3 0 s1>0またはs250 s3<0 2 1 s1<0またはs250 s3>0 1 2 s1<0 かつs2>0 s3<0 0 3

2 4

次方程式

2.1 4

次方程式の解の公式

xの4次式P(x) =x⁴−σ₁x³+σ₂x²−σ₃x+σ₄に対し, y=x−σ1

4 , τ2=σ2−3σ²₁

8 , τ3=σ3+σ³₁ 8 −σ1σ2

2 , τ4=σ4−3σ⁴₁ 256+σ²₁σ2

16 −σ1σ3

4 , Q(y) =y⁴+τ2y²−τ3y+τ4

とおくと,Q(y) =P(y+^σ₄¹)だからP(x) = 0の解を求めるには, Q(y) = 0の解を求めればよい.

(y−u−v−w)(y−u+v+w)(y+u−v+w)(y+u+v−w)

=y⁴−2(u²+v²+w²)y²−8uvwy+ (u²+v²+w²)²−4(u²v²+v²w²+u²w²)

だからu²+v²+w²=−^τ2²,uvw= ^τ₈³,u²v²+v²w²+u²w²=^τ₁₆²² −^τ4⁴ が成り立つような(u, v, w)の組を1組見 つければ,u+v+w,u−v−w,−u+v−w,−u−v+wがQ(y) = 0の4つの解になる.

s1=−τ2

2 , s2= τ₂² 16−τ4

4, s3=τ₃²

64, R(X) =X³−s1X²+s2X−s3

とおくと,u², v²,w² は3次方程式R(X) = 0の3つの解である.

t₂=s₂−s²₁

3, t₃=2s³₁ 27 −s₁s₂

3 +s₃, D=t²₃+4t³₂ 27 とおき, ¹₂(t3+√

D), ¹₂(t3−√

D)の3乗根η,ζでηζ=−^t3² を満たすものをとれば,前節の結果からu²=η+ζ+^s₃¹, v²=ηω+ζω²+^s₃¹,w²=ηω²+ζω+^s₃¹ である. そこで,η+ζ+^s₃¹,ηω+ζω²+^s₃¹,ηω²+ζω+^s₃¹ の平方根κ,λ, ξをκλξ= ^τ₈³ が成り立つようにとれば,P(x) = 0の4つの解α,β γ,δはα=κ+λ+ξ+^σ₄¹,β=κ−λ−ξ+^σ₄¹, γ=−κ+λ−ξ+^σ₄¹,δ=−κ−λ+ξ+^σ₄¹ で与えられる.

解と係数の関係より, (α−β)²(α−γ)²(α−δ)²(β−γ)²(β−δ)²(δ−γ)²=−110592Dが成り立つため,P(x) = 0 が重解をもつための必要十分条件は D= 0 である.

s₁,s₂, s₃を σ₁,σ₂,σ₃,σ₄ を用いて表せば, s₁= 1

16(3σ²₁−8σ₂), s₂= 1

256(3σ⁴₁−16σ²₁σ₂+ 16σ₁σ₃+ 16σ²₂−64σ₄), s3= 1

4096(σ₁⁶−8σ⁴₁σ2+ 16σ₁³σ3+ 16σ₁²σ₂²−64σ1σ2σ3+ 64σ²₃) となる. またt2,t3, Dを τ2,τ3,τ4 およびσ1,σ2, σ3,σ4 を用いて表せば以下の様になる.

t2= ₄₈¹(−τ₂²−12τ4) = ₄₈¹(3σ1σ3−σ₂²−12σ4)

t3= ₁₇₂₈¹ (2τ₂³−72τ2τ4+ 27τ₃²) = ₁₇₂₈¹ (27σ²₁σ4−9σ1σ2σ3+ 2σ₂³−72σ2σ4+ 27σ²₃) D=₁₁₀₅₉₂¹ (−16τ₂⁴τ₄+ 4τ₂³τ₃²+ 128τ₂²τ₄²−144τ₂τ₃²τ₄+ 27τ₃⁴−256τ₄³)

=₁₁₀₅₉₂¹ (27σ₁⁴σ₄²−18σ₁³σ2σ3σ4+ 4σ₁³σ₃³+ 4σ²₁σ₂³σ4−σ²₁σ₂²σ₃²−144σ²₁σ2σ²₄+ 6σ₁²σ₃²σ4+ 80σ1σ₂²σ3σ4

−18σ₁σ₂σ₃³+ 192σ₁σ₃σ₄²−16σ₂⁴σ₄+ 4σ³₂σ²₃+ 128σ₂²σ²₄−144σ₂σ²₃σ₄+ 27σ⁴₃−256σ₄³)

2.2

重解をもつ

次方程式

D = 0 の場合のP(x) = 0 は重解をもつが, この重解を係数の有理式で表すことを考える. このときP(x)と

P(x)の微分P⁰(x) = 4x³−3σ₁x²+ 2σ₂x+σ₃の最大次数の共通の因数をd(x)とすればd(x)の次数は1以上で ある. P(x) = (¹₄x−^σ16¹)P⁰(x) +r1(x),r1(x) = (−16³σ₁²+¹₂σ2)x²+ (¹₈σ1σ2−³4σ3)x−16¹σ1σ3+σ4 であり,r1(x) は d(x)で割りきれる.

(1)r₁(x) = 0すなわちσ₂=³₈σ₁²,σ₃=₁₆¹σ₁³,σ₄=₂₅₆¹ σ₁⁴が成り立つ場合P(x) = (x−^σ4¹)⁴となるためP(x) = 0 は四重解^σ₄¹ をもつ.

(2) r1(x)6= 0 の場合,σ26= ³₈σ₁²または「σ2= ³₈σ₁²かつσ36= ₁₆¹σ₁³」が成り立つ.

(2–1)σ₂6= ³₈σ₁²の場合, P⁰(x) =³

−64

−8σ₂+3σ²₁x+^16(−32σ₍ ^{1σ2+9σ31+48σ3)}

−8σ₂+3σ₁²)²

´r₁(x) +r₂(x)

r2(x) = ^{32(4σ23−σ21σ22−16σ2σ4}₍^{−14σ3σ1σ2+6σ12σ4+3σ3σ13+18σ32)}

−8σ2+3σ²₁)² x−^{16(−3σ1σ23+4σ22σ3+9σ}(−^4σ8σ³¹⁻2+3σ^σ21σ₁³²)^{σ22−32σ4σ1σ2+48σ4σ3)}

であり,r₂(x) = 0ならばxの2次式r₁(x)がP(x)とP⁰(x)の最大公約数である. この場合は4次式P(x) は4次式r1(x)² で割りきれるため

P(x) = µ

x²+2σ₁σ₂−12σ₃

−3σ₁²+ 8σ2

x+−σ₁σ₃+ 16σ₄

−3σ₁²+ 8σ2

¶2

という形になる.

r₂(x)6= 0の場合,r₂(x)は1次以上の多項式d(x)で割り切れることからxの1次式r₂(x)がP(x)とP⁰(x)